用解析法進(jìn)行機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)分析

1、33 用解析法進(jìn)行機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)分析用解析法進(jìn)行機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)分析 用解析法作平面機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)分析的關(guān)鍵關(guān)鍵是建立機(jī)構(gòu)位置矢量封閉方程式。隨著計(jì)算機(jī)的普及，解析法得到了越來(lái)越廣泛的采用。 常用的解析法有：矢量方程解析法、矩陣法、復(fù)數(shù)矢量法、桿組法。 一、復(fù)數(shù)矢量法一、復(fù)數(shù)矢量法 復(fù)數(shù)矢量法是先寫(xiě)出機(jī)構(gòu)的封閉矢量方程式，然后將它對(duì)時(shí)間求一次和二次導(dǎo)數(shù)即得速度和加速度矢量方程式，最后用復(fù)數(shù)矢量運(yùn)算法求出所需的運(yùn)動(dòng)參數(shù)。 缺點(diǎn)缺點(diǎn)：對(duì)每一個(gè)機(jī)構(gòu)都要列具體方程，對(duì)于多桿機(jī)構(gòu)用起來(lái)很復(fù)雜，有時(shí)甚至方程的解解不出來(lái)，所以對(duì)復(fù)雜機(jī)構(gòu)，我們多采用桿組法。機(jī)構(gòu)中的桿可用矢量來(lái)表示，而矢量又可用復(fù)數(shù)表示。 = r = r(

2、cos+isin)（歐拉公式） ieOP對(duì)上式求導(dǎo)，可用來(lái)速度分析： ire( )= ( r )i rie+ie其中： 為； 對(duì)于定長(zhǎng)矢量，為0，對(duì)于變長(zhǎng)矢量，表示相對(duì)移動(dòng)速度。 r對(duì)上式再求導(dǎo)，可用來(lái)加速度分析： ire( )=-( r 2) ie+ ( r )iie+ (2 )i+rier ie物理意義物理意義：r2 (向心)r(切向)ar(相對(duì)) 2V(哥氏加速度ak) 下面以圖示的鉸鏈四桿機(jī)構(gòu)為例來(lái)詳細(xì)推導(dǎo)位移、速度、加速度方程：已知：桿長(zhǎng)L1，L2，L3，L4，1，1。求：2， ， ，3 ， ， 2 2 3 3 解：建立如圖所示直角坐標(biāo)系，并將以 ， ， ， 分別表示各桿的向量，則向

3、量方程式為： 1L2L3L4L + = +1L2L3L4L用復(fù)數(shù)表示為： 1L1ie + = +2L3L4L2ie3ie（*） 按歐拉公式展開(kāi)： (cos1+isin1)+ (cos2+isin2) = (cos3+isin3) + 1L2L3L4L各桿以矢量形式表示出來(lái)。為方便起見(jiàn)，取x軸與機(jī)架重合且L4的方向沿x軸正向。 分離虛、實(shí)部： cos1 + cos2 = cos3+ 1L2L3L4L sin1 + sin2 = sin3 1L2L3L令a= cos1，b= sin1，則： 4L1L1L cos2= cos3 + a sin2= sin3b2L3L3L(1)(2)2L(1)2+(2

4、) 2 得： 2L2=( cos3 + a)2+( sin3b)23L3L整理得方程：A sin3+B cos3+C=0(3)1L (cos1+isin1)+ (cos2+isin2) = (cos3+isin3) + 2L3L4L其中：A=2b ，B=2a ， C= 2 2 2 2 +2 cos1 3L3L2L1L3L4L1L4L令：t=tg ，則：代入(3)式，整理得：(CB) t2+2A t+(B+C)=023t1、2= CBCBAA222 3=2arctg t1、2 =2arctg CBCBAA222同理可求2=？ A sin3+B cos3+C=0(3) cos3=（1t2）/ (1

5、+ t2) sin3 = 2t / (1+ t2)說(shuō)明說(shuō)明：1）“”取決于機(jī)構(gòu)的初始安裝模式：“+”號(hào)適用于圖示機(jī)構(gòu)ABCD位置的安裝方案；“-”號(hào)適用于機(jī)構(gòu)ABCD位置的安裝方案。2）31、32取決于從動(dòng)件運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性： 若|313 | |323 |（3為前一個(gè)位置計(jì)算出來(lái)的值） ，則取當(dāng)前的3=31，否則取3=32。3）若A2+B2-C20（如1=120代入時(shí)），即沒(méi)有3，說(shuō)明機(jī)構(gòu)不能運(yùn)動(dòng)到此位置可用來(lái)判斷機(jī)構(gòu)的可動(dòng)范圍。 3=2arctg t1、2 =2arctg CBCBAA2221 ie3L2L速度分析：速度分析： 對(duì)（*）式求導(dǎo)： ( ) i + ( ) i =( ) i1L12L

6、2 ie233 ie歐拉公式展開(kāi)：i (cos1+isin1)+ i(cos2+isin2) = i(cos3+isin3)3L1L12L23(*)分離虛、實(shí)部： - sin2 + sin3 = sin1 cos2 - cos3 = - cos123L31L12L23L31L1解得： 2=?3=?加速度分析：加速度分析：對(duì)（*）式再求導(dǎo)，可解得:2 =?3 =? 通過(guò)上述對(duì)四桿機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析的求解可見(jiàn)，用解析法作機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)分析的關(guān)鍵是位置方程的建立和求解，至于速度和加速度分析只不過(guò)是其位置方程對(duì)時(shí)間t求一次、二次導(dǎo)數(shù)。 1ie + = +2L3L4L2ie3ie（*） 1L二、桿組法二、桿組法

7、 一）基本思路一）基本思路 由機(jī)構(gòu)組成原理可知，任何平面機(jī)構(gòu)都可以分解為原動(dòng)件、機(jī)架和若干個(gè)桿組。因此，我們只要分別對(duì)原動(dòng)件和常見(jiàn)的基本桿組進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析并編成相應(yīng)的子程序，那么在對(duì)機(jī)構(gòu)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)分析時(shí)，就可以根據(jù)機(jī)構(gòu)組成情況的不同，依次調(diào)用這些子程序，從而完成對(duì)整個(gè)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)分析，這就是桿組法的基本思路桿組法的基本思路。 桿組法的主要特點(diǎn)： 不要針對(duì)每一個(gè)具體的機(jī)構(gòu)列方程，而是對(duì)組成機(jī)構(gòu)的桿組列方程（桿組的類(lèi)型是有限的，可先編好子程序）。所以此法具有較大的通用性和適用性，且簡(jiǎn)便。但采用此法的前提條件是要利用計(jì)算機(jī)。 二）桿組法運(yùn)動(dòng)分析的數(shù)學(xué)模型二）桿組法運(yùn)動(dòng)分析的數(shù)學(xué)模型1、構(gòu)件（或原動(dòng)件）的運(yùn)

8、動(dòng)分析、構(gòu)件（或原動(dòng)件）的運(yùn)動(dòng)分析同一構(gòu)件上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)分析 已知該構(gòu)件上一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)參數(shù)（位置、速度、加速度），構(gòu)件的角位置、角速度、角加速度，以及已知點(diǎn)到所求點(diǎn)的距離。求同一構(gòu)件上任意點(diǎn)的位置、速度、加速度。 如圖b-1所示的構(gòu)件AB，已知：運(yùn)動(dòng)副A的（xA、yA、 、 、 、 ）和構(gòu)件AB的（ 、 、 ）及AB的長(zhǎng)度Li。求B點(diǎn)的（xB、yB、 、 、 、 ） 。AxAyA xA yiii 圖b-1BxByB xB y 這種運(yùn)動(dòng)分析常用于求解原動(dòng)件（級(jí)機(jī)構(gòu)）、連桿和搖桿上點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。圖b-11）位置分析：）位置分析： = +BriLAr投影：xB = xA+Li cos yB = yA+Li s

9、inii2）速度、加速度分析：）速度、加速度分析： 上式對(duì)t求導(dǎo)，得： = - Li sin = + Licos BxAxiByAyiii 對(duì)時(shí)間t再求導(dǎo)，得： =？ =？ B xB y 若A為固定轉(zhuǎn)動(dòng)副，即xA、yA為常數(shù)，則 、 、 、 為0，此時(shí)構(gòu)件AB和機(jī)架組成級(jí)機(jī)構(gòu)（即AB為原動(dòng)件）。 AxAyA xA y2、桿組的運(yùn)動(dòng)分析、桿組的運(yùn)動(dòng)分析 在生產(chǎn)實(shí)際中，應(yīng)用最多的是級(jí)機(jī)構(gòu)，、級(jí)機(jī)構(gòu)應(yīng)用較少，在此只討論級(jí)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)分析問(wèn)題。 級(jí)機(jī)構(gòu)是級(jí)機(jī)構(gòu)+級(jí)桿組組成的，級(jí)桿組只有5種基本類(lèi)型。下面分別對(duì)各種桿組進(jìn)行分析。 Bxi1）RRR級(jí)桿組：級(jí)桿組：由2個(gè)外轉(zhuǎn)動(dòng)副、 1個(gè)內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)副和2個(gè)構(gòu)件組成

10、 如圖b-2所示，已知桿長(zhǎng)Li、Lj，兩個(gè)外運(yùn)動(dòng)副B、D的位置（xB、yB、xD、yD），速度（ 、 、 、 ）和加速度（ 、 、 、 ）。ByDxDyB xB yD xD y 求：內(nèi)運(yùn)動(dòng)副C的位置（xC、yC）、速度（ 、 ）、加速度（ 、 ）以及兩桿的角位置（ 、 ）、角速度（ 、 ）、角加速度（ 、 ）。 圖b-2CyCxC xC yijji j i位置方程位置方程： = + = + BriLCrDrjL投影：xC = xB +Licos = xD +Ljcos （*） yC = yB +Lisin = yD +Ljsin （*） jij解得： 、 =？ij注意： 有兩解，根號(hào)前的“”號(hào)

11、與初始安裝方式有關(guān)，B、C、D三副順時(shí)針排列順時(shí)針排列取“+”，逆時(shí)針排列逆時(shí)針排列取“- -”。 圖b-2速度方程速度方程： 對(duì)(*)式求導(dǎo)，得： 、 =？ iij則C點(diǎn)的速度： = - Li sin = + Li cos CxCyBxByiiii加速度方程加速度方程： 對(duì)(*)式兩次求導(dǎo)，得： 、 =？ i j 則C點(diǎn)的加速度： = - Lisin - 2Licos = + Licos - 2Lisin B xBy C xCy i i iiiiii2）RRP級(jí)桿組：級(jí)桿組：由1個(gè)外轉(zhuǎn)動(dòng)副、1個(gè)內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)副、 1個(gè)外移動(dòng)副和2個(gè)構(gòu)件組成 如圖b-3，已知：Li、Lj（Lj桿垂直導(dǎo)路），外轉(zhuǎn)動(dòng)副B

12、的參數(shù)（xB、yB、 、 、 、 ），滑塊導(dǎo)路方向角和計(jì)算位移s時(shí)參考點(diǎn)K的位置（xK、yK），若導(dǎo)路運(yùn)動(dòng)（如導(dǎo)桿），還必須給出K點(diǎn)和導(dǎo)路的運(yùn)動(dòng)參數(shù)（xK、yK、 、 、 、 、 、 、 ）。 求：內(nèi)副C的運(yùn)動(dòng)參數(shù)（xC、yC、 、 、 、 ）。 BxByB xB yKxKyK xK yjjCxCyC xC y圖b-3j 位置方程位置方程： i = + = + + BriLCrKrs投影：xC = xB +Licos = xK +s cos - Ljcos （*） yC = yB +Lisin = yK +s sin + Ljsin （*） jij消去s，解得： =？i圖b-3jLjj代入（*

13、）得： xC、yC 、s =？ 則滑塊D點(diǎn)的位置方程： xD = xK + s cos =？ yD = yK + s sin =? jj速度方程速度方程： 對(duì)(*)式求導(dǎo)，得： 、 =？ is則C點(diǎn)的速度： = - Li sin = + Li cos CxCyBxByiiii外副D點(diǎn)的速度： = + cos - s sin = + sin + s cos DxDyKxKyssjjjjjji xC = xB +Licos = xK +s cos - Ljcos （*） yC = yB +Lisin = yK +s sin + Ljsin （*） jijjj圖b-3加速度方程加速度方程： 對(duì)(*)

14、式兩次求導(dǎo)，得： 、 =？ i s則C點(diǎn)的加速度： = - Lisin - 2Licos = + Licos - 2Lisin B xBy C xC yi i iiiiiii xC = xB +Licos = xK +s cos - Ljcos （*） yC = yB +Lisin = yK +s sin + Ljsin （*） jijjjD xK xKy D yssjjj j jj外副D點(diǎn)的加速度： = + cos - s sin - s 2 cos -2 sin = + sin + s cos - s 2 sin +2 cos jjjjssjjjj3）RPR級(jí)桿組：級(jí)桿組：由2個(gè)外轉(zhuǎn)動(dòng)副、

15、1個(gè)內(nèi)移動(dòng)副和2個(gè)構(gòu)件組成 如圖b-4，已知：Li、Lj、Lk（Li、Lk桿垂直導(dǎo)路），兩外轉(zhuǎn)動(dòng)副B、D的參數(shù)（xB、yB、 、 、 、 、xD、yD、 、 、 、 ）。 求：內(nèi)副C的運(yùn)動(dòng)參數(shù)（xC、yC、 、 、 、 ），構(gòu)件上E點(diǎn)的參數(shù)（xE、yE、 、 、 、 ），構(gòu)件Lj的參數(shù)（ 、 、 ）。 BxByB xB yDxDyD xD yCxCyC xC yExEyE xE yjjj 圖b-4位置方程位置方程： = + = + + BriLCrDrs投影：xC = xB - Licos = xD + Lksin +s cos （*） yC = yB - Lisin = yD - Lkcos

16、 +s sin （*） jj解得： s 、 =？kLjj代入（*）得： xC、yC =？ 導(dǎo)桿上E點(diǎn)的位置方程： xE = xC +（Lj-s）cos =？ yE = yC +（Lj-s）sin =? jjjjj圖b-4 xC = xB - Licos = xD + Lksin +s cos （*） yC = yB - Lisin = yD - Lkcos +s sin （*） jjjjjj速度方程速度方程： 對(duì)(*)式求導(dǎo)，得： 、 =？ s則C點(diǎn)的速度： = - Li sin = - Li cos CxCyBxByjjjjjE點(diǎn)的速度： = - ( Ljsin - Lkcos ) = +

17、( Lj cos + Lk sin )ExEyDxDyjjjjjj圖b-4 xC = xB - Licos = xD + Lksin +s cos （*） yC = yB - Lisin = yD - Lkcos +s sin （*） jjjjjj加速度方程加速度方程： 對(duì)(*)式兩次求導(dǎo)，得： 、 =？ s則C點(diǎn)的加速度： = - Licos + 2Lisin = - Lisin - 2LicosB xB yC xC yj j j jjjjjjE點(diǎn)的加速度： = - ( Ljsin - Lkcos ) - 2( Ljcos + Lksin ) = + ( Ljcos + Lksin ) -

18、2( Ljsin - Lkcos ) E xE yD xDy j j jjjjjjjjjj圖b-44）RPP級(jí)桿組：級(jí)桿組：由1個(gè)外轉(zhuǎn)動(dòng)副、 1個(gè)內(nèi)移動(dòng)副、 1個(gè)外移動(dòng)副和2個(gè)構(gòu)件組成 如圖b-5，已知：BC長(zhǎng)為L(zhǎng)i（B、C、D順時(shí)針為“+”，逆時(shí)針為“-”），外轉(zhuǎn)動(dòng)副B的參數(shù)（xB、yB、 、 、 、），參考點(diǎn)K（xK、yK 、 、 、 、 ），滑塊D的導(dǎo)路與x軸夾角 、 、 ，滑塊C和D兩導(dǎo)路之間夾角。 求：滑塊C的運(yùn)動(dòng)參數(shù)（ 、 、 、xC、yC、 、 、 、 ）和滑塊D的參數(shù)（ 、 、 、xD、yD、 、 、 、 ）。 BxByB xB yKxKyK xK yjisisis CxCyC

19、 xC yjsjsjs DxDyD xD y圖b-5jj B位置方程位置方程： 內(nèi)副C點(diǎn)：xC = xB + Li sin( +) yC = yB - Li cos( +) jj滑塊D點(diǎn)： xD = xK + cos = xC cos( +)（*） yD = yK + sin = yC sin( +) （*） 圖b-5jsjsjjisisjj解得： 、 =？ xD、yD =？ isjsB xD = xK + cos = xC cos( +) （*） yD = yK + sin = yC sin( +) （*） jsjsjjisisjj速度方程速度方程： 對(duì)(*)式求導(dǎo)，得： 、 =？ C點(diǎn)的速

20、度： = + Li cos ( +) = + Li sin ( +) CxCyBxByjjjjisjs得D點(diǎn)速度： 、 =？ DxDy圖b-5B加速度方程加速度方程： 對(duì)(*)式兩次求導(dǎo)，得： 、 =？ C點(diǎn)的加速度： = + Licos ( +) - 2Lisin ( +) = + Lisin ( +) + 2Licos ( +) B xB yC xC yj j jjjjjj xD = xK + cos = xC cos( +) （*） yD = yK + sin = yC sin( +) （*） jsjsjjisisjjis js 得D點(diǎn)加速度： 、 =？ D xD y5）PRP級(jí)桿組：級(jí)

21、桿組：由2個(gè)外移動(dòng)副、1個(gè)內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)副和2個(gè)構(gòu)件組成 如圖b-6，已知：兩桿長(zhǎng)為L(zhǎng)i、Lj，兩移動(dòng)副導(dǎo)路有關(guān)參數(shù)（ 、 、 、 、 、 ），參考點(diǎn)Ki、Kj的運(yùn)動(dòng)參數(shù)（xKi、yKi 、 、 、 、 ； xKj、yKj 、 、 、 、 ）。 ijiji j KixKiyKi xKi yKjxKjyKj xKj y 求：滑塊相對(duì)于參考點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)參數(shù)（ 、 、 、 、 、 ）和內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)副C的參數(shù)（xC、yC、 、 、 、 ） isjsisjsis js CxCyC xC y圖b-6位置方程位置方程： 內(nèi)副C點(diǎn)： xC = xKi + cos - Li sin = xKj+ cos - Ljsin （*） yC = yKi + sin + Li cos = yKj + sin + Ljcos （*）isisiiiijsjsjjjj解得： 、 =？ xC、yC =？ isjs滑塊B點(diǎn)：xB= xKi + cos yB= yKi + sin 滑塊D點(diǎn)：xD = xKj+ cos yD= yKj+ sin isisiijsjsjj圖b-6D xD yB xB yC xC yjs is xC = xKi + cos - Li sin = xKj+ cos - L