專題6 運動型問題

1、專題六專題六 運動型問題運動型問題 運動問題一般是指動態(tài)幾何問題，它以幾何知識和圖形運動問題一般是指動態(tài)幾何問題，它以幾何知識和圖形為背景，研究幾何圖形在運動變化中存在的數(shù)量關系或規(guī)律為背景，研究幾何圖形在運動變化中存在的數(shù)量關系或規(guī)律，有較強的綜合性，有較強的綜合性. .解決這類問題時要用運動和變化的眼光去解決這類問題時要用運動和變化的眼光去觀察和研究問題，把握運動、變化的全過程，并特別關注運觀察和研究問題，把握運動、變化的全過程，并特別關注運動與變化中的不變量、不變關系或特殊關系，動中取靜，靜動與變化中的不變量、不變關系或特殊關系，動中取靜，靜中求動中求動. .一、動點問題一、動點問題 這

2、類問題就是在幾何圖形上，設計一個或幾個動點，這類問題就是在幾何圖形上，設計一個或幾個動點，探究這些動點在運動變化過程中伴隨著的變化規(guī)律，如等探究這些動點在運動變化過程中伴隨著的變化規(guī)律，如等量關系、變量關系、圖形的特殊位置、圖形間的特殊關系量關系、變量關系、圖形的特殊位置、圖形間的特殊關系等等. .綜合考查代數(shù)與幾何的知識和方法綜合考查代數(shù)與幾何的知識和方法. . （20142014貴州黔東南）在如圖所示的平面直角坐標系貴州黔東南）在如圖所示的平面直角坐標系中，點中，點P P是直線是直線y=xy=x上的動點，上的動點，A A（1 1，0 0），），B B（2 2，0 0）是）是x x軸軸上的兩

3、點，則上的兩點，則PA+PBPA+PB的最小值為的最小值為_._.【分析分析】利用一次函數(shù)圖象上點的坐標性質(zhì)得出利用一次函數(shù)圖象上點的坐標性質(zhì)得出OA=1OA=1，進而利用勾股定理得出即可進而利用勾股定理得出即可. .【解答解答】如圖所示，作如圖所示，作A A點關于直線點關于直線y=xy=x的對稱點的對稱點AA，連接，連接ABAB，交直線，交直線y=xy=x于點于點P P，此時此時PA+PBPA+PB最小，最小，由題意可得出由題意可得出OA=1OA=1，BO=2BO=2，PA=PAPA=PA，【答案答案】22PAPBA B125.5【點評點評】此題主要考查了利用軸對稱求最短路線以及一次此題主要

4、考查了利用軸對稱求最短路線以及一次函數(shù)圖象上點的特征等知識，得出函數(shù)圖象上點的特征等知識，得出P P點位置是解題的關鍵點位置是解題的關鍵. . （20152015廣東東莞）如圖，在同一平面上，兩塊斜邊廣東東莞）如圖，在同一平面上，兩塊斜邊相等的直角三角形相等的直角三角形RtRtABCABC和和RtRtADCADC拼在一起，使斜邊拼在一起，使斜邊ACAC完完全重合，且頂點全重合，且頂點B B，D D分別在分別在ACAC的兩旁，的兩旁，ABC=ADC=90ABC=ADC=90，CAD=30CAD=30，AB=BC=4 cm.AB=BC=4 cm.（1 1）填空：）填空：AD=_cmAD=_cm，D

5、C=_cmDC=_cm；（2 2）點）點M M，N N分別從分別從A A點，點，C C點同時以每秒點同時以每秒1 cm1 cm的速度等速出的速度等速出發(fā)，且分別在發(fā)，且分別在ADAD，CBCB上沿上沿ADAD，CBCB方向運動，當方向運動，當N N點運動點運動到到B B點時，點時，M M，N N兩點同時停止運動，連接兩點同時停止運動，連接MN.MN.求當求當M M，N N點運點運動了動了x x秒時，點秒時，點N N到到ADAD的距離（用含的距離（用含x x的式子表示）；的式子表示）；（3 3）在（）在（2 2）的條件下，?。┑臈l件下，取DCDC中點中點P P，連接，連接MPMP，NPNP，設，

6、設PMNPMN的面積為的面積為y cmy cm2 2，在整個運動過程中，在整個運動過程中，PMNPMN的面積的面積y y存存在最大值，請求出在最大值，請求出y y的最大值的最大值. .（參考數(shù)據(jù)（參考數(shù)據(jù): : ）6262sin 75sin 1544 ，【分析分析】（1 1）由勾股定理求出）由勾股定理求出ACAC，由，由CAD=30CAD=30，得出，得出 由三角函數(shù)求出由三角函數(shù)求出ADAD即可即可. .（2 2）過）過N N作作NEADNEAD于點于點E E，作，作NFDCNFDC，交，交DCDC的延長線于點的延長線于點F F，則則NE=DFNE=DF，求出，求出NCF=75NCF=75，

7、FNC=15FNC=15，由三角函數(shù)求出，由三角函數(shù)求出FCFC，得，得 即可得出結(jié)果即可得出結(jié)果. .1DCAC2 22，62NEDFx2 24，（3 3）由三角函數(shù)求出）由三角函數(shù)求出FNFN，得出，得出PFPF，PMNPMN的面積的面積y=y=梯形梯形MDFNMDFN的面積的面積- -PNFPNF的面積的面積- -PMDPMD的面積，得出的面積，得出y y是是x x的二次的二次函數(shù)，即可得出函數(shù)，即可得出y y的最大值的最大值. .1.1.（20152015煙臺）如圖，直線煙臺）如圖，直線 與坐標軸交于與坐標軸交于A A，B B兩點，點兩點，點M M（m m，0 0）是）是x x軸上一動

8、點，以點軸上一動點，以點M M為圓心，為圓心，2 2個單位長度為半徑作個單位長度為半徑作M M，當，當M M與直線與直線l相切時，相切時，m m的值為的值為_._.1yx12 ：l22 522 5或2.2.（20152015廣東廣州）如圖，四邊形廣東廣州）如圖，四邊形ABCDABCD中，中，A=90A=90， AD=3 AD=3，點，點M M，N N分別為線段分別為線段BCBC，ABAB上的動點（含端上的動點（含端點，但點點，但點M M不與點不與點B B重合），點重合），點E E，F(xiàn) F分別為分別為DMDM，MNMN的中點，則的中點，則EFEF長度的最大值為長度的最大值為_._.AB3 3，3

9、 33.3.（20152015湖南懷化）如圖，已知湖南懷化）如圖，已知RtRtABCABC中，中，C=90C=90，AC=8AC=8，BC=6BC=6，點，點P P以每秒以每秒1 1個單位的速度從個單位的速度從A A向向C C運動，同時運動，同時點點Q Q以每秒以每秒2 2個單位的速度從個單位的速度從ABCABC方向運動，他們到方向運動，他們到C C點點后都停止運動，設點后都停止運動，設點P P，Q Q運動的時間為運動的時間為t t秒秒. .（1 1）在運動過程中，求）在運動過程中，求P P，Q Q兩點間距離的最大值；兩點間距離的最大值；（2 2）經(jīng)過）經(jīng)過t t秒的運動，求秒的運動，求ABC

10、ABC被直線被直線PQPQ掃過的面積掃過的面積S S與時與時間間t t的函數(shù)關系式；的函數(shù)關系式；（3 3）P P，Q Q兩點在運動過程中，是否存在兩點在運動過程中，是否存在時間時間t t，使得，使得PQCPQC為等腰三角形，若存在，為等腰三角形，若存在，求出此時的求出此時的t t值，若不存在，請說明理由值，若不存在，請說明理由. .（ 結(jié)果保留一位小數(shù)）結(jié)果保留一位小數(shù)）52.24，當當CQ=CPCQ=CP時，時，即即解得解得 t=0(t=0(舍去舍去).).2322 tt168t.516t,5當當PQ=CQPQ=CQ時，時，即即解得解得 ( (舍去舍去).).當當PQ=PCPQ=PC時，時

11、，即即解得解得23 532t2 tt16.5540tt811，3 5t8t.5t6 5103.4.當當5t85t8時，時，PQCPQC是直角三角形，是直角三角形，且且CP=16-2t=2(8-t)=2CP,CP=16-2t=2(8-t)=2CP,此時不存在等腰三角形此時不存在等腰三角形. .綜上所述，當綜上所述，當 時，時，PCQPCQ是等腰三角形是等腰三角形. .1640ttt3.4511或或二、動線問題二、動線問題 這類問題是指直線按指定的路徑運動，進而引起圖形這類問題是指直線按指定的路徑運動，進而引起圖形的變化的變化. .解答這類問題時要把握直線運動與變化的全過程，解答這類問題時要把握直

12、線運動與變化的全過程，抓住等量關系和變量關系，特別是注意一些不變量、不變抓住等量關系和變量關系，特別是注意一些不變量、不變關系或特殊關系關系或特殊關系. . （20142014甘肅蘭州）如圖，在平面直角坐標系中，四甘肅蘭州）如圖，在平面直角坐標系中，四邊形邊形OBCDOBCD是邊長為是邊長為4 4的正方形，平行于對角線的正方形，平行于對角線BDBD的直線的直線l從從O O出發(fā)，沿出發(fā)，沿x x軸正方向以每秒軸正方向以每秒1 1個單位長度的速度運動，運動個單位長度的速度運動，運動到直線到直線l與正方形沒有交點為止與正方形沒有交點為止. .設直線設直線l掃過正方形掃過正方形OBCDOBCD的的面積

13、為面積為S S，直線，直線l運動的時間為運動的時間為t t（秒），下列能反映（秒），下列能反映S S與與t t之之間函數(shù)關系的圖象是間函數(shù)關系的圖象是( )( )【分析分析】根據(jù)三角形的面積即可求出根據(jù)三角形的面積即可求出S S與與t t的函數(shù)關系式，的函數(shù)關系式，根據(jù)函數(shù)關系式選擇圖象根據(jù)函數(shù)關系式選擇圖象. . 【解答解答】即即該函數(shù)圖象是開口向上的拋物線的一部分該函數(shù)圖象是開口向上的拋物線的一部分. .故故B B，C C錯誤；錯誤；當當4 4t8t8時，時，該函數(shù)圖象是開口向下的拋物線的一部分該函數(shù)圖象是開口向下的拋物線的一部分. .故故A A錯誤錯誤. .【答案答案】D D2110t4

14、Sttt22 當時，21St .2211S168t8tt8t16.22 （） （）【點評點評】本題考查了動線問題的函數(shù)圖象本題考查了動線問題的函數(shù)圖象. .本題以動態(tài)的形本題以動態(tài)的形式考查了分類討論的思想，函數(shù)的知識和等腰直角三角形，式考查了分類討論的思想，函數(shù)的知識和等腰直角三角形，具有很強的綜合性具有很強的綜合性. .4.4.（20152015湖南邵陽）如圖，在等腰湖南邵陽）如圖，在等腰ABCABC中，直線中，直線l垂直底垂直底邊邊BCBC，先將直線，先將直線l沿線段沿線段BCBC從從B B點勻速平移至點勻速平移至C C點，直線點，直線l與與ABCABC的邊相交于的邊相交于E E，F(xiàn) F

15、兩點，設線段兩點，設線段EFEF的長度為的長度為y y，平移時，平移時間為間為t t，則能較好反映，則能較好反映y y與與t t的函數(shù)關系的圖象是的函數(shù)關系的圖象是( )( )5.5.（20152015四川樂山）如圖四川樂山）如圖1 1，二次函數(shù)，二次函數(shù)y=axy=ax2 2+bx+c +bx+c 的圖象的圖象與與x x軸分別交于軸分別交于A A，B B兩點，與兩點，與y y軸交于點軸交于點C C，若，若tan ABC=3tan ABC=3，一元二次方程一元二次方程axax2 2+bx+c=0+bx+c=0的兩根為的兩根為-8-8，2.2.（1 1）求二次函數(shù)的解析式；）求二次函數(shù)的解析式；

16、（2 2）直線）直線l以以ABAB為起始位置，繞點為起始位置，繞點A A順時針旋轉(zhuǎn)到順時針旋轉(zhuǎn)到ACAC位置停位置停止，止，l與線段與線段BCBC交于點交于點D D，P P是是ADAD的中點的中點. .求點求點P P的運動路程；的運動路程；如圖如圖2 2，過點，過點D D作作DEDE垂直垂直x x軸于軸于點點E E，作，作DFACDFAC所在的直線于點所在的直線于點F F，連接，連接PEPE，PFPF，在，在l運動過程中，運動過程中，EPFEPF的大小是否改變？請說明理由的大小是否改變？請說明理由. .（3 3）在（）在（2 2）的條件下，連接）的條件下，連接EFEF，求，求PEFPEF周長的

17、最小值周長的最小值. .解：解：（1 1）有題意知點）有題意知點A A的坐標為（的坐標為（-8,0-8,0），），點點B B的坐標為（的坐標為（2 2，0 0），），即即AO=8AO=8，OB=2.OB=2.又又tanABCtanABC=3=3，OC=6OC=6，即，即C C（0 0，-6-6）. .將將A A（-8,0-8,0），），B B（2,02,0），），C C（0 0，-6-6）代入）代入y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c中，得中，得二次函數(shù)解析式為二次函數(shù)解析式為39abc6.84 ，239yxx6.84（2 2）如圖）如圖1 1，當，當l在在ABAB位置時，位置時，P P

18、即為即為ABAB的中點的中點H H，當當l運動到運動到ACAC位置時，位置時，P P即為即為ACAC中點中點K K，P P的運動路程為的運動路程為ABCABC的中位線的中位線HKHK，在在RtRtBOCBOC中，中，OB=2OB=2，OC=6OC=6，即即P P的運動路程為的運動路程為1HKBC.2BC2 10HK10.，10.EPFEPF的大小不會改變，理由如下：的大小不會改變，理由如下：如圖如圖2 2，DEABDEAB，在在RtRtAEDAED中，中，P P為斜邊為斜邊ADAD的中點，的中點，PAE=PEA=PAE=PEA=同理可得同理可得PAF=PFA= PAF=PFA= EPF=EPD

19、+FPD=2(PAE+PAF).EPF=EPD+FPD=2(PAE+PAF).1PEADPA2，1EPD.21DPF.2即即EPF=2EAF.EPF=2EAF.又又EAFEAF大小不變，大小不變，EPFEPF的大小不會改變的大小不會改變. .(3)(3)設設PEFPEF的周長為的周長為C C，則則C CPEFPEF =PE+PF+EF =PE+PF+EF，C CPEFPEF=AD+EF.=AD+EF.在等腰三角形在等腰三角形PEFPEF中，如圖中，如圖2 2，過點，過點P P作作PGEFPGEF于點于點G G，11PEADPFAD22，1EPCEPFBAC.2OC3tan BACAO4EG3t

20、an EPG.PG4 ，又當又當ADBCADBC時，時，ADAD最小，最小，此時此時C CPEFPEF最小，最小，PEF363EGPEEFPEAD.5558CADEFAD.5，ABCPEF1S30BC AD30.2AD3 10.824CAD10.55又，即的最小值為三、動面問題三、動面問題 圖形的運動包括圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等圖形的運動包括圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、翻折等. .解答這類解答這類問題，應注意到圖形在運動過程中，對應線段、對應角保持問題，應注意到圖形在運動過程中，對應線段、對應角保持不變不變. .其中以三角形、四邊形的運動是最常見的一種題型其中以三角形、四邊形的運動是最常見的一種題型. . （20152015煙臺）如圖，煙臺）如圖，RtRtABCABC中，中，C=90C=90，BAC=30BAC=30，AB=8AB=8，以，以 為邊長的正方形為邊長的正方形DEF