向量的內(nèi)積、外積、混合積

1、第六講第六講 向量乘法向量乘法(內(nèi)積、外積、混合積內(nèi)積、外積、混合積)一一. 向量的內(nèi)積向量的內(nèi)積1. 向量的射影與正交分解向量的射影與正交分解.,.,.,aeakekaprapreaAOAlAelOaOAeaeee記為上的分量在稱為實數(shù)從而有記為上的射影在方向量所表示的向量就稱為向那么點上的射影是在直線設(shè)點的方向表示平行于單位向量的直線過表示向量用有向線段是一個單位向量是一個向量設(shè)(1)定義eOa1aAA2al.,2121方向的分解為正交分解沿向量則稱向量若其中方向可分解為沿向量向量上圖中eaaaaaaea(2)正交分解正交分解(3)向量的夾角向量的夾角.0,abbabababa，且，的夾角

2、記為與向量向量.,cos|:eaaaeae的方向上的分量在單位向量向量:命題1.)(,)(,akakbababaeeeeee有則對任意向量是一個單位向量設(shè):命題22. 向量的內(nèi)積概念及性質(zhì)向量的內(nèi)積概念及性質(zhì).,cos|bababababa定義為一個實數(shù)：的內(nèi)積與兩個向量(1)定義1.|,cos,|:|1bababaaaa有由定義. 0:1)2(baba垂直的充分必要條件是與向量定理. 0. 0)4();()()3(;)()2(;) 1(,:2)3(aaaIPbakbakIPcbcacbaIPabbaIPkcba而且等號成立等價于正定性：質(zhì)：關(guān)于標量乘法的線性性質(zhì)：關(guān)于向量加法的線性性對稱性質(zhì)

3、有以及實數(shù)對任意的向量向量的內(nèi)積有下列性質(zhì)定理. | )(, 00bababb 則若3. 用直角坐標計算向量的內(nèi)積用直角坐標計算向量的內(nèi)積.:),(),(,;,:3) 1 (332211321321bababababbbaaakjiOba則它們的內(nèi)積為與下的坐標分別為在直角坐標系設(shè)向量定理232221232221332211232221arccos,bbbaaababababaaaaa從而(2). 向量的方向余弦非零向量 與三條坐標軸的正向的夾角稱為方向角方向角. .a, kajaia ,02322211cosaaaaiaiaxyzikja0a2322212cosaaaajaja2322213

4、cosaaaakaka cos， cos， cos稱為向量稱為向量a的方向余弦的方向余弦. 1coscoscos)cos,cos,(cos2220且單位向量aaa.365化成單位向量將向量kjia例1.,)2, 1 , 2(),3 , 2, 1 (的夾角求已知向量baba例2.703706705kjiaaa0:解93625365kjibababa,cos:解.31912622.) 1 , 1 , 1 (),2 , 1, 1 (上的射影在求向量eaea例3.eaaaapree,cos:解.32362116.),6, 3, 2(的方向余弦求向量aa例4.,72cos:解,73cos.76cos10

5、),2.(9, 7, 6, 5)2.(3)2.(1:46，教材作業(yè)P二二. 向量的外積向量的外積.),(,:,sin|:|,構(gòu)成右手系并且使均垂直與它的方向規(guī)定為它的長度規(guī)定為仍是一個向量的外積與兩個向量babababababababa:定義11. 外積的概念外積的概念2. 外積的的直接應(yīng)用外積的的直接應(yīng)用. 0,).1 (baba共線兩個向量定理 :1.,/, 0,22121babaababbbbaba則其中方向的正交分解為沿向量向量如果特別地1b2bba(問題問題:外積的幾何意義？)0(aa顯然.90.,(bebbeebe得到的向量旋轉(zhuǎn)右手螺旋規(guī)則繞按等于則是單位向量設(shè)定理:22).ebb

6、e.)( ,)(:)3();()(),()(2(;:) 1(,:cbcacbacabacbaEPbakbkabakbakEPabbaEPkcba分配律反交換律有：和任意實數(shù)對于任意向量外積具有下列運算性質(zhì):定理33. 外積的性質(zhì)外積的性質(zhì)4. 用直角坐標計算向量的外積用直角坐標計算向量的外積),(),(),(,;122131132332321321babababababababbbaaabakjiO 的坐標為：則分別是在其中的坐標與是一個右手直角標架設(shè)定理:4321321:bbbaaakjiba即)()(321321kbjbibkajaiaba分析分析:kjbabaikbabajibaba)(

7、)()(233231131221.)()()(122131132332kbabajbabaibaba.2,423都垂直的向量求與kjibkjia例1.cab解解211423 kji.510kj.21).6, 4 , 0(),1 , 1 , 4(),1, 0 , 1 (3邊上的高的長度）求（的面積；）求（點已知空間ABABCCBA例2.ABCH5. 外積在立體幾何中的應(yīng)用外積在立體幾何中的應(yīng)用.)2() 1 ( :求夾角；點到直線或平面的距離解決的主要問題AB|ABACABdC由例2可知（教材P52):.)()()(,:5acbbcacbacba有對于任意的向量定理6. 二重外積二重外積7:57

8、P教材作業(yè)9, 5, 4:57P教材練習三三. 向量的混合積向量的混合積).,(.)(,3,. 1cbacbacba也可記為為這三個向量的混合積稱個向量是設(shè):定義1。左手系時混合積取負值混合積取正值；構(gòu)成構(gòu)成右手系時當平行六面體的體積個向量張成的這的混合積的絕對值等于個向量：定理,.3,3(cbacba11).2. 混合積的性質(zhì)混合積的性質(zhì)0)(,3(cbacba共面?zhèn)€向量定理:22).,3(要改變混合積的符號而對換任何兩個因子都號個因子不會改變它的符輪換混合積的定理 :33)0),(cba).,(),(),(),(),(),(:bcaabccabbacacbcba即:, 3 顯然有結(jié)論由定理

9、).()(:cbacba推論.3, 0,3個向量共面證明這滿足：個向量設(shè)accbbacba例10),(,0),(),(),(:cbacacccbcbac從而作內(nèi)積，則有將題設(shè)等式與分析3. 用直角坐標計算混合積用直角坐標計算混合積333222111321321321)(),(),(),;cbacbacbacbacccbbbaaacbakjiO則分別是（在其中的坐標和是一個右手直角坐標設(shè)定理 :4321321321cccbbbaaa),(122131132332bababababababa 的坐標為：分析分析:312212311312332)()()()(cbabacbabacbabacba則321321321cccbbbaaa.3, 0),(321的系數(shù)線性表示個向量被這求向量已知混合積cxbxaxddcba例2.).,(