數(shù)學轉化與化歸思想實用教案

1、3.3.轉化具有多樣性、層次性和重復性的特點, ,為了實施有效的轉化, ,既可以變更問題的條件, ,也可以變更問題的結論; ;既可以變換問題的內部結構, ,又可以變換問題的外部形式, ,這就是多樣性. .轉化原則既可以應用于溝通數(shù)學與各分支學科的聯(lián)系, ,從宏觀上實現(xiàn)(shxin)(shxin)學科間的轉化, ,又能調動各種方法與技術, ,從微觀上解決多種具體問題, ,這是轉化的層次. .而解決問題時可以多次的使用轉化, ,使問題逐次達到規(guī)范化, ,這是轉化原則應用的重復性. .問題(wnt)規(guī)范(gufn)問題原問題的解答解答問題轉化已知理論、方法、技巧問題還原第1頁/共40頁第一頁，共40

2、頁。1.1.函數(shù)(hnsh)y=sin4x+cos2x(hnsh)y=sin4x+cos2x的最小正周期是 （ ） A. B. C. D. A. B. C. D. 解析.874cos8142cos322cos1)22cos1(22xxxxy4B B22第2頁/共40頁第二頁，共40頁。2.2.在直角坐標(zh jio zu bio)(zh jio zu bio)系中,O,O是坐標原點, , 動點P P在直線x=3x=3上運 動, ,若從動點P P向Q Q點的軌跡引切線, ,則所引切線長的最小值為 （ ） A.4 B.5 C. D. A.4 B.5 C. D.解析 點Q Q的軌跡是以(-2,-2

3、)(-2,-2)為圓心, ,半徑為1 1的圓, , 要使所求切線長最小, ,只要使圓心到直線x=3x=3的距 離最短即可. .62C C26)(sin2,cos2(ROQ第3頁/共40頁第三頁，共40頁。3.3.設橢圓 (a (ab b0)0)的半焦距為c,c,直線l l過（0,a)0,a)和(b,0),(b,0),已知原點到l l的距離等于(dngy) ,(dngy) ,則橢 圓的離心率為 （ ）A. B. C. D.A. B. C. D.解析 直線方程為l:ax+by-ab=0,l:ax+by-ab=0, 所以 ， 變形為12e4-31e2+7=0,12e4-31e2+7=0,再解出 .

4、.12222bxayc7212227212bacab21eB B41213322第4頁/共40頁第四頁，共40頁。4.4.設O O是坐標原點,A(1,1),A(1,1),若B(x,y)B(x,y)滿足(mnz)(mnz) ，則 取最小值時, , 點B B的個數(shù) （ ） A.1 B.2 C.3 D. A.1 B.2 C.3 D.無數(shù)個解析 點B B（x,yx,y）滿足(mnz)(mnz)畫出可行域如圖陰影部分, ,又A(1,1),A(1,1),B(x,y),B(x,y),令 =x+y=t =x+y=t，則由t t得幾何意義可知，當過圓中B1B1、B2B2兩點時，t t的值最小，此時tmin=3,

5、tmin=3,所以 取最小值時, ,點B B的個數(shù)為2.2.2121012222yxyxyxOBOAOBOAOBOA2121012222yxyxyxB B第5頁/共40頁第五頁，共40頁。題型一 等與不等的轉化(zhunhu)(zhunhu)與化歸【例1 1】若a a、b b是正數(shù)，且滿足ab=a+b+3ab=a+b+3，求abab的取 值范圍. .解 方法一（看成函數(shù)的值域）ab=a+b+3ab=a+b+3，即a a1 1或a a-3,-3,又a a0,0,aa1,1,故a-1a-10.0.當且僅當 , ,即a=3a=3時取等號. .NoImage,013,0, 13aabaab而9514)

6、 1(14) 1( 5) 1(132aaaaaaaaab141aa第6頁/共40頁第六頁，共40頁。又a a3 3時， 是關于a a的單調增函數(shù). .abab的取值范圍是9 9，+）. .方法(fngf)(fngf)二（看成不等式的解集） a a，b b為正數(shù)， ab9.ab9.【探究拓展】將一個等式轉化成不等式，是求變量取值范圍的重要方法(fngf)(fngf)，通常利用函數(shù)的單調性解答此類問題，或者利用基本不等式解答這類問題. ., )( 13,032)(.32,3,22舍去或解得即又ababababababbaababba514)1(aa第7頁/共40頁第七頁，共40頁。變式訓練1 1

7、已知三實數(shù)a,b,ca,b,c成等比數(shù)列(dn b sh li),(dn b sh li),且a+b+c=ma+b+c=m(m(m是正常數(shù)) )，求b b的取值范圍. .解 方法一 設三個實數(shù)為 由a+b+c=m,a+b+c=m,得 ,bxbxb.3, 00 ,030, 0,111311,21,0; 21,0.11,)11 (mmbbmmbmxxxxxxxxxxxxmbmxxb即或所以又或從而時當時當從而第8頁/共40頁第八頁，共40頁。方法二 因為a,b,ca,b,c成等比數(shù)列，所以(suy)b2=ac,(suy)b2=ac,又a+b+c=m,a+b+c=m,所以(suy)(suy)則a a

8、、c c是關于x x的方程x2-(m-b)x+b2=0 x2-(m-b)x+b2=0的兩個實數(shù)根, ,所以(suy)=(suy)=-(m-b)-(m-b)2-4b20,2-4b20,2bacbmca3, 00 ,0),0(3,mmbbmmbm所以又解之得第9頁/共40頁第九頁，共40頁。題型二 正與反的轉化與化歸【例2 2】試求常數(shù)m m的范圍, ,使曲線y=x2y=x2的所有弦都不 能被直線(zhxin)y=m(x-3)(zhxin)y=m(x-3)垂直平分. .解 由題意可知，m0m0，所以設拋物線上兩點 關于直線(zhxin)y=m(x-3)(zhxin)y=m(x-3)對稱，于是有：)

9、,( , ),(222211xxxx:,1613)(21)(21221212221212221212221得消去所以xmxxxxmxxmxxxxxxmxx第10頁/共40頁第十頁，共40頁。因為(yn wi)(yn wi)存在x1Rx1R使上式恒成立，即12m3+2m2+112m3+2m2+10,0,也即(2m+1)(6m2-2m+1)(2m+1)(6m2-2m+1)0.0.因為(yn wi)6m2-2m+1(yn wi)6m2-2m+10 0恒成立, ,所以2m+12m+10,0,所以 . .即當 時, ,拋物線上存在兩點關于直線y=m(x-3)y=m(x-3)對稱. .所以當 時, ,曲線

10、y=x2y=x2的所有弦都不能被直線y=m(x-3)y=m(x-3)垂直平分. .0) 161(24)2(22mmm21m21m21m.0161222121mmxmx第11頁/共40頁第十一頁，共40頁?！咎骄客卣埂吭谶M行正與反的轉化時, ,一定要搞清楚 問題的反面是什么, ,就本題(bnt)(bnt)而言, ,它的反面是“至少 存在一條弦能被直線y=m(x-3)y=m(x-3)垂直平分”,”,進而將 問題轉化成對稱問題, ,在解答問題時, ,正難則反是轉 化的一種有效手段. .變式訓練2 2 已知a a、b b、c(0,1),c(0,1),求證:(1-a)b,:(1-a)b, (1-b)c,

11、(1-c)a (1-b)c,(1-c)a不能同時大于 . .證明 “ “不能同時大于 ” ”包含多種情形, ,不易直 接證明, ,可用反證法證明. . 假設三式同時大于 ， 414141,41)1 ( ,41)1 ( ,41)1 (accbba第12頁/共40頁第十二頁，共40頁。aa、b b、c(0,1),c(0,1),三式同向相乘(xin chn)(xin chn)得(1-a)b(1-b)c(1-c)a(1-a)b(1-b)c(1-c)a . .這與假設矛盾，故原命題正確. . 641,641)1()1()1(,41)1( ,41)1(,41)21()1(2ccbbaaccbbaaaa同理

12、又第13頁/共40頁第十三頁，共40頁。題型三 以換元為手段的轉化(zhunhu)(zhunhu)與化歸【例3 3】已知函數(shù)f(x)=1-2a-2acos x-2sin2xf(x)=1-2a-2acos x-2sin2x的最小 值為g(a).g(a).(1)(1)求g(a)g(a)的表達式；(2)(2)若g(a)= ,g(a)= ,求實數(shù)a a的值, ,并求此時f(x)f(x)的最大值. .解（1 1）因f(x)=2cos2x-2acos x-2a-1 f(x)=2cos2x-2acos x-2a-1 令t=cos x,t=cos x,則-1t1, -1t1, 21,122)2(cos222a

13、aax.)2(41)22( 122)2( 1)()1 , 1( 122)2(2)(222aaaaaaagtaaatth則且原函數(shù)為第14頁/共40頁第十四頁，共40頁。(2)(2)由題意分析得: :只有 一種情況，所以(suy)(suy)令 , ,其中-2-2a a2,2,解得a=-1,a=-1,此時 , ,所以(suy)(suy)當cos x=1,cos x=1,即x=2k (kZ)x=2k (kZ)時，函數(shù)f(x)f(x)的最大值為5.5.【探究拓展】通過換元將三角問題轉化成較為熟悉的二次函數(shù)問題, ,應特別注意換元后t-1,1,t-1,1,應討論二次函數(shù)的對稱軸與區(qū)間-1,1-1,1的位

14、置關系, ,才能快速、準確解答此題. .211222aa211222aa21)21(cos2)(2xxf第15頁/共40頁第十五頁，共40頁。變式訓練(xnlin)3 (xnlin)3 求函數(shù) 的最大值和最小值. .解 設t=sin x+cos xt=sin x+cos x Z ZZ Zxxxxxfcossin1cossin)(.212)(,)(432;212)(,)(42,. ) 12,2(21121)(,21cossin,2,2)4sin(2minmax22xfkkxxfkkxttttttgtxxx時當時當解得且則原函數(shù)可化為則第16頁/共40頁第十六頁，共40頁。題型四 常量與變量的轉化

15、與化歸【例4 4】設f(x)f(x)是定義(dngy)(dngy)在R R上的單調遞增函數(shù)，若 f(-1-ax-x2)f(-2-a) f(-1-ax-x2)f(-2-a)對任意a-1,1a-1,1恒成立， 求實數(shù)x x的取值范圍. . 解 由題意知,-1-ax-x2-2-a,-1-ax-x2-2-a, 即(1-x)a-x2+10,(1-x)a-x2+10,令g(a)=(1-x)a-x2+1,g(a)=(1-x)a-x2+1, 所以原不等式等價于 解得x(-,-21,+)x(-,-21,+)， 所以實數(shù)x x的取值范圍是(-,-21,+). (-,-21,+). ,0)1 (0)1(gg,020

16、22xxxx即第17頁/共40頁第十七頁，共40頁。【探究拓展】 在解答這類問題時, ,往往是通過變換主元的方式(fngsh)(fngsh)，轉換思維方式(fngsh)(fngsh)從而使問題的解答變得簡潔、明快. .變式訓練4 4 已知二次方程ax2+2(2a-1)x+4a-7=0ax2+2(2a-1)x+4a-7=0中的a a為正整數(shù)，問a a取何值時此方程至少有一個整數(shù)根. .解 原方程即是(x2+4x+4)a=2x+7(x2+4x+4)a=2x+7，x=-2x=-2不是原方程的解，又aa為正整數(shù)， 即x2+2x-30 x2+2x-30，.)2(722xxa,1)2(722xx第18頁/

17、共40頁第十八頁，共40頁。解得-3x1.-3x1.又xx是整數(shù)且x-2,x-2,x=-3,-1,0,1,x=-3,-1,0,1,把它們分別代入原方程得又因為(yn wi)a(yn wi)a為正常數(shù)，故當a=1a=1或a=5a=5時, ,原方程至少有一個整數(shù)根. .,11,470,51,13axaxaxax第19頁/共40頁第十九頁，共40頁?！究碱}再現(xiàn)】 已知奇函數(shù)f(x)f(x)的定義域為實數(shù)集R,R,且f(x)f(x)在0,0, +) +)上是增函數(shù), ,當 時, ,是否存在這樣(zhyng)(zhyng)的實 數(shù) m, m,使 對所有 的 均成立? ?若存在, ,求出所有適合條件的實

18、數(shù)m;m;若不存在, ,請說明理由. .202, 0)0()cos24()32(cosfmmff第20頁/共40頁第二十頁，共40頁。【解題(ji t)(ji t)示范】 解 由f(x)f(x)是R R上的奇函數(shù)可得f(0)=0,f(0)=0,再利用f(x)f(x)的單 調性, ,則可把原不等式轉化為關于 的三角不等式. . f(x) f(x)在R R上為奇函數(shù), ,又在0,+)0,+)上是增函數(shù), ,故 f(x) f(x)在R R上為增函數(shù), ,且f(0)=0.f(0)=0. 2 2分由題設條件可得, ,又由f(x)f(x)為奇函數(shù), ,可得 4 4分f(x)f(x)在R R上為增函數(shù), 6

19、 6分.0)cos24()32(cosmmff,4cos232cosmm.022coscos2mm即. )4cos2() 32(cosmmff第21頁/共40頁第二十一頁，共40頁。令 0t1. 0t1.于是問題轉化為對一切0t1,0t1,不等式t2-mt+2m-2t2-mt+2m-20 0恒成立(chngl).(chngl). 8 8分t2-2t2-2m(t-2),m(t-2),即又 10 10分 11 11分存在實數(shù)m m滿足題設的條件, 12, 12分.222恒成立ttm,224422) 2(222tttt224m.224m,20,cost第22頁/共40頁第二十二頁，共40頁。轉化思想

20、方法包含三個基本要素：1.1.把什么東西轉化, ,即轉化的對象；2.2.轉化到何處去, ,即轉化的目標；3.3.如何進行轉化, ,即轉化的方法. .轉化思想方法應遵循以下五條原則：1.1.熟悉化原則: :將陌生(mshng)(mshng)等問題轉化成熟悉的問題, ,以利 于我們運用熟悉的知識、經驗和問題來解決. .2.2.簡單化原則: :將復雜問題轉化成簡單問題, ,通過對簡 單問題的解決, ,達到解決復雜問題的目的, ,或獲得某 種解題的啟示和依據(jù). .第23頁/共40頁第二十三頁，共40頁。3.3.和諧化原則: :轉化問題的條件或結論, ,使其表現(xiàn)形式 更符合數(shù)與形內部所表示和諧統(tǒng)一的形式

21、, ,或者轉化 命題, ,使其推演(tuyn)(tuyn)有利于運用某種數(shù)學方法或符合人們 的思維規(guī)律. .4.4.直觀化原則: :將比較抽象的問題轉化為比較直觀的 問題來解決. .5.5.正難則反原則: :當問題正面討論遇到困難時, ,應想到 考慮問題的反面, ,設法從問題的反面去探求, ,是問題 獲得解決，或證明問題的可能性. . 第24頁/共40頁第二十四頁，共40頁。一、選擇題1.1.已知向量a=(1,1),b=(x,-1),a=(1,1),b=(x,-1),若a a與b b所成的角不是 銳角，則x x的取值范圍是 （ ） A.(-,1) B.(-,1 A.(-,1) B.(-,1 C

22、.(-1,1 D.(1,+) C.(-1,1 D.(1,+)解析 假設(jish)a(jish)a與b b所成的角是銳角， 則 得x x1,1, 所以a a與b b所成的角不是銳角時， x x的取值范圍是（-,1-,1. . , 0121|cos2xxbabaB B第25頁/共40頁第二十五頁，共40頁。2.2.已知a ab bc,a+b+c=0,c,a+b+c=0,當0 0 x x1 1時, ,代數(shù)式ax2+bxax2+bx+c+c的值是 （ ） A. A.正數(shù) B. B.負數(shù)(fsh)(fsh) C.0 D. C.0 D.介于-1-1到0 0之間解析 由a ab bc,a+b+c=0c,a

23、+b+c=0知a a0,c0,c0,0,令f(x)=ax2+bx+c,f(x)=ax2+bx+c, 則f(0)=cf(0)=c0,f(1)=a+b+c=0,0,f(1)=a+b+c=0, 設m m是f(x)=0f(x)=0的另一根， 則 所以在區(qū)間(0,1)(0,1)上,f(x)=ax2+bx+c0. ,f(x)=ax2+bx+cb0) (ab0)的左、右焦點分別(fnbi)(fnbi)為 F1 F1、F2,PF2,P為橢圓上的一點, ,且|PF1|PF2|PF1|PF2|的最大值 的取值范圍是2c2,3c2,2c2,3c2,其中 則橢圓的離心 率的取值范圍為 （ ） A. B. A. B.

24、C. D. C. D. 12222byax22bac22,331 ,221 ,3321,31第31頁/共40頁第三十一頁，共40頁。解析 因為(yn wi)|PF1|+|PF2|=2a(yn wi)|PF1|+|PF2|=2a， 即(|PF1|PF2|)max=a2(|PF1|PF2|)max=a2，所以2c2a23c2,2c2a23c2, 答案 A A,)2|(|222121aPFPFPFPF.2233,213122aceac則第32頁/共40頁第三十二頁，共40頁。二、填空題7. =_.7. =_.解析(ji x) (ji x) 原式= =。20cos40cos20sin40sin)103

25、0(cos)1030(cos)1030sin()1030sin(。.310sin30sin210sin30cos2。3第33頁/共40頁第三十三頁，共40頁。8.8.已知a,b,x,yR,a2+b2=4,ax+by=6,a,b,x,yR,a2+b2=4,ax+by=6,則x2+y2x2+y2的最小 值為_._.解析 由題意(t y)(t y)可設 則 所以 即x2+y2=r2=x2+y2=r2=,sincos,sin2cos2ryrxba,)cos(3r.9)(cos929,6sinsin2coscos2rr第34頁/共40頁第三十四頁，共40頁。9.9.直線y=x-3y=x-3與拋物線y2=

26、4xy2=4x交于A A、B B兩點并向拋物線 的準線作垂線. .垂足分別為D D、C C，則梯形ABCDABCD的面 積為_._.解析(ji x) (ji x) 由 得x2-10 x+9=0,x2-10 x+9=0, 解得x1=9,x2=1,x1=9,x2=1,如圖， 梯形面積 S= (|AD|+|BC|)|CD| S= (|AD|+|BC|)|CD| = (x1+x2+p)|y1-y2| = (x1+x2+p)|y1-y2| = (9+1+2)2(3+1)=48. = (9+1+2)2(3+1)=48. ,432xyxy2121214848第35頁/共40頁第三十五頁，共40頁。10.10.已知函數(shù)f(x)f(x)滿足(mnz)f(1)=2, (mnz)f(1)=2, 則f(1)ff(1)f（2 2）ff（2 0092 009）=_.=_.解析 由題意得， 所以f(x)f(x)是以4 4為周期的函數(shù)， 且f(1)f(2)f(3)f(4)=1f(1)f(2)f(3)f(4)=1， 所以f(1)f(2)f(2 009)f(1)f(2)f(2 009) =1502f(2 009) =1502f(2 009) =f(502 =f(5024+1)=f(1)=2. 4+1)=f(1)=2. ,)(1)(1) 1(xfxfxf,213131) 3 (, 32121) 2(