第一章 矢量分析 (2)ppt課件

1、第第1 1章章 矢量分析矢量分析第第1 1章章 矢量分析矢量分析本章內(nèi)容本章內(nèi)容1.1 矢量代數(shù)矢量代數(shù)1.2 三種常用的正交曲線坐標系三種常用的正交曲線坐標系1.3 標量場的梯度標量場的梯度1.4 矢量場的通量與散度矢量場的通量與散度1.5 矢量場的環(huán)流與旋度矢量場的環(huán)流與旋度1.6 無旋場與無散場無旋場與無散場1.7 拉普拉斯運算與格林定理拉普拉斯運算與格林定理1.8 亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理第第1 1章章 矢量分析矢量分析1. 1. 標量和矢量標量和矢量矢量的大小或模：矢量的大小或模：AA矢量的單位矢量：矢量的單位矢量：標量：一個只用大小描畫的物理量。標量：一個只用大小描畫的物理量。AA

2、eA矢量的代數(shù)表示：矢量的代數(shù)表示：AeAeAAA1.1 矢量代數(shù)矢量代數(shù)矢量：一個既有大小又有方向特性的物理量，常用黑體字矢量：一個既有大小又有方向特性的物理量，常用黑體字 母或帶箭頭的字母表示。母或帶箭頭的字母表示。 矢量的幾何表示：一個矢量可用一條有方向的線段來表示矢量的幾何表示：一個矢量可用一條有方向的線段來表示 留意：單位矢量不一定是常矢量。留意：單位矢量不一定是常矢量。 A矢量的幾何表示矢量的幾何表示常矢量：大小和方向均不變的矢量。常矢量：大小和方向均不變的矢量。 第第1 1章章 矢量分析矢量分析zzyyxxAeAeAeAAAAAAAxyzcoscoscos)coscoscos(z

3、yxeeeAA矢量用坐標分量表示矢量用坐標分量表示coscoscoszyxAeeeezAxAAyAzxyO第第1 1章章 矢量分析矢量分析1矢量的加減法矢量的加減法)()()(zzzyyyxxxBAeBAeBAeBA 兩矢量的加減在幾何上是以這兩矢量為兩矢量的加減在幾何上是以這兩矢量為鄰邊的平行四邊形的對角線鄰邊的平行四邊形的對角線, ,如下圖。如下圖。矢量的加減符合交換律和結(jié)合律矢量的加減符合交換律和結(jié)合律2. 矢量的代數(shù)運算矢量的代數(shù)運算 矢量的加法矢量的加法BAAB矢量的減法矢量的減法BAABB 在直角坐標系中兩矢量的加法和減法：在直角坐標系中兩矢量的加法和減法：結(jié)合律結(jié)合律()()AB

4、CABCABBA交換律交換律第第1 1章章 矢量分析矢量分析2 2標量乘矢量標量乘矢量3矢量的標積點積矢量的標積點積zzyyxxkAekAekAeAkzzyyxxBABABAABBAcos A BB A矢量的標積符合交換律矢量的標積符合交換律1zzyyxxeeeeee0 xzzyyxeeeeeeAB矢量矢量 與與 的夾角的夾角ABA B A B 0BA/A BAB第第1 1章章 矢量分析矢量分析4矢量的矢積叉積矢量的矢積叉積sinABeBAn)()()(xyyxzzxxzyyzzyxBABAeBABAeBABAeBAzyxzyxzyxBBBAAAeeeBAABBAsinABBABA矢量矢量 與

5、與 的叉積的叉積AB用坐標分量表示為用坐標分量表示為寫成行列式方式為寫成行列式方式為BAABBA假設假設 ，那么，那么BA/0BA假設假設 ，那么，那么第第1 1章章 矢量分析矢量分析5 5矢量的混合運算矢量的混合運算CBCACBA)(CBCACBA)()()()(BACACBCBACBABCACBA)()()( 分配律分配律 分配律分配律 標量三重積標量三重積 矢量三重積矢量三重積平行六面體的體積可證平行六面體的體積可證第第1 1章章 矢量分析矢量分析 三維空間恣意一點的位置可經(jīng)過三條相互正交曲線的交點來確定。三維空間恣意一點的位置可經(jīng)過三條相互正交曲線的交點來確定。1.2 三種常用的正交曲

6、線坐標系三種常用的正交曲線坐標系 在電磁場與波實際中，三種常用的正交曲線坐標系為：直角坐標系、圓柱在電磁場與波實際中，三種常用的正交曲線坐標系為：直角坐標系、圓柱坐標系和球坐標系。坐標系和球坐標系。 三條正交曲線組成確實定三維空間恣意點位置的體系，稱為三條正交曲線組成確實定三維空間恣意點位置的體系，稱為正交曲線坐標系；三條正交曲線稱為坐標軸；描畫坐標軸的量稱正交曲線坐標系；三條正交曲線稱為坐標軸；描畫坐標軸的量稱為坐標變量。為坐標變量。第第1 1章章 矢量分析矢量分析1. 直角坐標系直角坐標系 zeyexerzyx位置矢量位置矢量面元矢量面元矢量線元矢量線元矢量zeyexelzyxddddzy

7、elleSxzyxxdddddyxelleSzyxzzddddd體積元體積元zyxVddddzxelleSyzxyyddddd坐標變量坐標變量zyx,坐標單位矢量坐標單位矢量zyxeee, 點點P(x0,y0,z0)0yy平面平面 o x y z0 xx平面平面0zz平面平面P 直角坐標系直角坐標系 xezeyex yz直角坐標系的長度元、面積元、體積元直角坐標系的長度元、面積元、體積元 odzd ydxzyeSxxdddyxeSzzdddzxeSyyddd第第1 1章章 矢量分析矢量分析第第1 1章章 矢量分析矢量分析2. 圓柱坐標系圓柱坐標系dddddddddddddddzzzzzelle

8、SzelleSzelleSz,坐標變量坐標變量zeee,坐標單位矢量坐標單位矢量zeerz位置矢量位置矢量zeeelzdddd線元矢量線元矢量zVdddd體積元體積元面元矢量面元矢量圓柱坐標系中的線元、面元和體積元圓柱坐標系中的線元、面元和體積元圓柱坐標系圓柱坐標系0半平面0圓柱面0zz 平面),(000zP第第1 1章章 矢量分析矢量分析第第1 1章章 矢量分析矢量分析ddsinddd2relleSrrrddsindddrrelleSzrdddddrrelleSr3. 球坐標系球坐標系, r坐標變量坐標變量eeer,坐標單位矢量坐標單位矢量rerr位置矢量位置矢量dsindddrererel

9、r線元矢量線元矢量dddsind2rrV 體積元體積元面元矢量面元矢量球坐標系中的線元、面元和體積元球坐標系中的線元、面元和體積元球坐標系球坐標系0半平面0圓錐面0rr 球面),(000rP第第1 1章章 矢量分析矢量分析第第1 1章章 矢量分析矢量分析4. 坐標單位矢量之間的關(guān)系坐標單位矢量之間的關(guān)系 xeyezeeezecossin0cossin0001直角坐標與直角坐標與圓柱坐標系圓柱坐標系eezereeesin0cossincos0001圓柱坐標與圓柱坐標與球坐標系球坐標系直角坐標與直角坐標與球坐標系球坐標系zereeecossincossinsincos0 xeyesinsinsin

10、coscossinoxy單位圓單位圓 直角坐標系與柱坐標系之間直角坐標系與柱坐標系之間坐標單位矢量的關(guān)系坐標單位矢量的關(guān)系xeyeeeoz單位圓單位圓 柱坐標系與球坐標系之間柱坐標系與球坐標系之間坐標單位矢量的關(guān)系坐標單位矢量的關(guān)系zeeree第第1 1章章 矢量分析矢量分析1.3 標量場的梯度標量場的梯度q 假設物理量是標量，稱該場為標量場。假設物理量是標量，稱該場為標量場。q 例如：溫度場、電位場、高度場等。例如：溫度場、電位場、高度場等。q 假設物理量是矢量，稱該場為矢量場。假設物理量是矢量，稱該場為矢量場。q 例如：流速場、重力場、電場、磁場等。例如：流速場、重力場、電場、磁場等。q

11、假設場與時間無關(guān)，稱為靜態(tài)場，反之為時變場。假設場與時間無關(guān)，稱為靜態(tài)場，反之為時變場。時變標量場和矢量場可分別表示為：時變標量場和矢量場可分別表示為： 、),(tzyxu),(tzyxF 確定空間區(qū)域上的每一點都有確定物理量與之對應，稱在確定空間區(qū)域上的每一點都有確定物理量與之對應，稱在該區(qū)域上定義了一個場。該區(qū)域上定義了一個場。從數(shù)學上看，場是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)：從數(shù)學上看，場是定義在空間區(qū)域上的函數(shù)：標量場和矢量場標量場和矢量場、),(zyxu),(zyxF靜態(tài)標量場和矢量場可分別表示為：靜態(tài)標量場和矢量場可分別表示為：第第1 1章章 矢量分析矢量分析 標量場的等值面標量場的等值面等

12、值面等值面: : 標量場獲得同一數(shù)值的點在空標量場獲得同一數(shù)值的點在空 間構(gòu)成的曲面。間構(gòu)成的曲面。Czyxu),(等值面方程：等值面方程：常數(shù)常數(shù)C 取一系列不同的值，就得到一系列取一系列不同的值，就得到一系列不同的等值面，構(gòu)成等值面族；不同的等值面，構(gòu)成等值面族；標量場的等值面充溢場所在的整個空間；標量場的等值面充溢場所在的整個空間；標量場的等值面互不相交。標量場的等值面互不相交。 等值面的特點：等值面的特點：意義意義: : 籠統(tǒng)直觀地描畫了物理量在空間籠統(tǒng)直觀地描畫了物理量在空間 的分布形狀。的分布形狀。標量場的等值線標量場的等值線( (面面) )第第1 1章章 矢量分析矢量分析2. 方

13、導游數(shù)方導游數(shù)lMuMululMuMululMlM)()(lim|)()(lim|000000grad uuP0Plu u方導游數(shù)方導游數(shù)M0M第第1 1章章 矢量分析矢量分析00coscoscos|limMluuuuullxyz 概念：概念： lzzulyyulxxulMuMulu)()(0cos,cos,coslzlylx第第1 1章章 矢量分析矢量分析l0ul u(M) u(M)沿沿 方向添加；方向添加； l0ul u(M) u(M)沿沿 方向減小；方向減??； l0ul u(M) u(M)沿沿 方向無變化。方向無變化。 l特點：方導游數(shù)既與點特點：方導游數(shù)既與點M0有關(guān)，也與有關(guān)，也與

14、方向有關(guān)。方向有關(guān)。問題：在什么方向上變化率最大、其最大的變化率為多少？問題：在什么方向上變化率最大、其最大的變化率為多少？意義：方導游數(shù)表示場沿某方向的空間變化率。意義：方導游數(shù)表示場沿某方向的空間變化率。 的方向余弦。的方向余弦。 l式中：式中： coscoscos、第第1 1章章 矢量分析矢量分析3. 標量場的梯度標量場的梯度 或或 graduu意義：描畫標量場在某點的最大變化率及其變化最大的方向意義：描畫標量場在某點的最大變化率及其變化最大的方向概念：概念： ，其中，其中 獲得最大值的方向獲得最大值的方向max|luuel luel在直角坐標系中，假設令在直角坐標系中，假設令),(zu

15、yuxug)cos,cos,(cosle)cos,cos,(cos),(zuyuxulu那么那么所以：所以：zueyuexueugradzyx)(第第1 1章章 矢量分析矢量分析梯度的表達式：梯度的表達式：zueueueuz1圓柱坐標系圓柱坐標系 ureurerueursin11球坐標系球坐標系zueyuexueuzyx直角坐標系直角坐標系 在矢量分析中，經(jīng)常用到哈密爾頓算符在矢量分析中，經(jīng)常用到哈密爾頓算符“ ，在直角坐標系中，在直角坐標系中zeyexezyx第第1 1章章 矢量分析矢量分析標量場的梯度是矢量場，它在空間某標量場的梯度是矢量場，它在空間某點的方向表示該點場變化最大增大點的方向

16、表示該點場變化最大增大的方向，其數(shù)值表示變化最大方向上的方向，其數(shù)值表示變化最大方向上場的空間變化率。場的空間變化率。標量場在某個方向上的方導游數(shù)，是標量場在某個方向上的方導游數(shù)，是梯度在該方向上的投影。梯度在該方向上的投影。梯度的性質(zhì)：梯度的性質(zhì)：梯度運算的根本公式：梯度運算的根本公式：uufufuvvuuvvuvuuCCuC)()()()()(0標量場的梯度垂直于經(jīng)過該點的等值面或切平面標量場的梯度垂直于經(jīng)過該點的等值面或切平面第第1 1章章 矢量分析矢量分析 解解 (1) (1)由梯度計算公式，可求得由梯度計算公式，可求得P P點的梯度為點的梯度為PzyxPzyxzeyexe)(22zy

17、xzyxeeeeyexe22)22()1 , 1 , 1( 例例1.2.1 1.2.1 設一標量函數(shù)設一標量函數(shù) ( x, y, z ) = x2 ( x, y, z ) = x2y2y2z z 描畫描畫了空間標量場。試求：了空間標量場。試求： (1) (1) 該函數(shù)該函數(shù) 在點在點 P(1,1,1) P(1,1,1) 處的梯度，以及表示該處的梯度，以及表示該梯度方向的單位矢量。梯度方向的單位矢量。 (2) (2) 求該函數(shù)求該函數(shù) 沿單位矢量沿單位矢量方向的方導游數(shù)，并以點方向的方導游數(shù)，并以點 P(1,1,1) P(1,1,1) 處的方導游數(shù)值與該點的梯處的方導游數(shù)值與該點的梯度值作以比較

18、，得出相應結(jié)論。度值作以比較，得出相應結(jié)論。ooo60cos45cos60coszyxleeee第第1 1章章 矢量分析矢量分析表征其方向的單位矢量表征其方向的單位矢量 222(1,1,1)22221333(2 )(2 )( 1)xyzlxyzPPexeyeeeeexy (2) 由方導游數(shù)與梯度之間的關(guān)系式可知，沿el 方向的方導游數(shù)為對于給定的對于給定的P P 點，上述方導游數(shù)在該點取值為點，上述方導游數(shù)在該點取值為(1,1,1)1221222Pxyl)212221()22(zyxzyxleeeeyexeel212 yx第第1 1章章 矢量分析矢量分析而該點的梯度值為而該點的梯度值為 222

19、(1,1,1)(2 )(2 )( 1)3Pxy 顯然，梯度 描畫了P點處標量函數(shù) 的最大變化率，即最大的方導游數(shù)，故 恒成立。PPPl 第第1 1章章 矢量分析矢量分析1.4 矢量場的通量與散度矢量場的通量與散度 1. 矢量線矢量線 意義：籠統(tǒng)直觀地描畫了矢量場的空間分意義：籠統(tǒng)直觀地描畫了矢量場的空間分 布形狀。布形狀。),(d),(d),(dzyxFzzyxFyzyxFxzyx矢量線方程：矢量線方程：概念：矢量線是這樣的曲線，其上每一概念：矢量線是這樣的曲線，其上每一 點的切線方向代表了該點矢量場點的切線方向代表了該點矢量場 的方向。的方向。矢量線矢量線OM Fdrrrdr) 0( rdF

20、第第1 1章章 矢量分析矢量分析2. 矢量場的通量矢量場的通量 問題：如何定量描畫矢量場的大小？ 引入通量的概念。 ndddSSFSF eS通量的概念通量的概念nddSe S其中：其中：面積元矢量；面積元矢量；ne面積元的法向單位矢量；面積元的法向單位矢量；dSnddF e S穿過面積元穿過面積元 的通量。的通量。 假設曲面假設曲面 S 是閉合的，那么規(guī)定曲面的法向矢量由閉合曲是閉合的，那么規(guī)定曲面的法向矢量由閉合曲面內(nèi)指向外，矢量場對閉合曲面的通量是面內(nèi)指向外，矢量場對閉合曲面的通量是),(zyxFSdne面積元矢量面積元矢量SSSeFSFddn第第1 1章章 矢量分析矢量分析0經(jīng)過閉合曲面

21、有經(jīng)過閉合曲面有凈的矢量線穿出凈的矢量線穿出0有凈的矢有凈的矢量線進入量線進入0進入與穿出閉合曲進入與穿出閉合曲面的矢量線相等面的矢量線相等矢量場經(jīng)過閉合曲面通量的三種能夠結(jié)果矢量場經(jīng)過閉合曲面通量的三種能夠結(jié)果 閉合曲面的通量從宏觀上建立了矢量場經(jīng)過閉合曲面的通閉合曲面的通量從宏觀上建立了矢量場經(jīng)過閉合曲面的通量與曲面內(nèi)產(chǎn)生矢量場的源的關(guān)系。量與曲面內(nèi)產(chǎn)生矢量場的源的關(guān)系。通量的物理意義通量的物理意義第第1 1章章 矢量分析矢量分析3. 矢量場的散度矢量場的散度 矢量場穿過閉合曲面的通量是一個積分量，不能反映場域內(nèi)矢量場穿過閉合曲面的通量是一個積分量，不能反映場域內(nèi)的每一點的通量特性。為了研

22、討矢量場在一個點附近的通量特性，的每一點的通量特性。為了研討矢量場在一個點附近的通量特性，需求引入矢量場的散度，即矢量場在某點的通量密度：需求引入矢量場的散度，即矢量場在某點的通量密度：稱為矢量場的散度。稱為矢量場的散度。 散度是矢量經(jīng)過包含該點的恣意閉合小曲面的通量與曲面元體積之比的散度是矢量經(jīng)過包含該點的恣意閉合小曲面的通量與曲面元體積之比的極限。極限。FVSzyxFzyxFSVd),(lim),(0第第1 1章章 矢量分析矢量分析圓柱坐標系圓柱坐標系)(sin1)(sinsin1)(122FrFrFrrrFrzFFFFz)(球坐標系球坐標系zFyFxFFzyx直角坐標系直角坐標系散度的表

23、達式：散度的表達式：散度的有關(guān)公式：散度的有關(guān)公式：GFGFfFFfFfkFkFkfCfCCCC)()(為常量)()()()為常矢量(0第第1 1章章 矢量分析矢量分析直角坐標系下散度表達式的推導直角坐標系下散度表達式的推導 000000000,(,),22xxxx y zFxxF xy zF x y zx000000000,(,),22xxxx y zFxxF xy zF x y zx000000(,)(,)22xxxFxxF xyzF xyzy zx y zx 由此可知，穿出前、后兩側(cè)面的凈由此可知，穿出前、后兩側(cè)面的凈通量值為通量值為 不失普通性，令包圍不失普通性，令包圍P點的微體積點的

24、微體積 V 為不斷角平行六面體，為不斷角平行六面體，如下圖。那么如下圖。那么oxy在直角坐標系中計算在直角坐標系中計算zzxyPF第第1 1章章 矢量分析矢量分析根據(jù)定義，那么得到直角坐標系中的散度根據(jù)定義，那么得到直角坐標系中的散度 表達式為表達式為 同理，分析穿出另兩組側(cè)面的凈通量，并合成之，即得由點同理，分析穿出另兩組側(cè)面的凈通量，并合成之，即得由點P 穿出該六面體的凈通量為穿出該六面體的凈通量為zFyFxFVSFFzyxSVdlim0zyxzFzyxyFzyxxFSFzyxSd第第1 1章章 矢量分析矢量分析4. 散度定理散度定理VSVFSFdd體積的剖分體積的剖分VS1S2en2en

25、1S 從散度的定義出發(fā)，可從散度的定義出發(fā)，可以得到矢量場在空間恣意閉以得到矢量場在空間恣意閉合曲面的通量等于該閉合曲合曲面的通量等于該閉合曲面所包含體積中矢量場的散面所包含體積中矢量場的散度的體積分，即度的體積分，即 散度定理是閉合曲面積分與體積分之間的一個變換關(guān)系，散度定理是閉合曲面積分與體積分之間的一個變換關(guān)系，在電磁實際中有著廣泛的運用。在電磁實際中有著廣泛的運用。第第1 1章章 矢量分析矢量分析1.5 矢量場的環(huán)流與旋度矢量場的環(huán)流與旋度 H 矢量場的環(huán)流與旋渦源矢量場的環(huán)流與旋渦源 不是一切的矢量場都由通量源激發(fā)。存在另一類不同于通不是一切的矢量場都由通量源激發(fā)。存在另一類不同于通

26、量源的矢量源，它所激發(fā)的矢量場的力線是閉合的，它對于任量源的矢量源，它所激發(fā)的矢量場的力線是閉合的，它對于任何閉合曲面的通量為零。但在場所定義的空間中閉合途徑的積何閉合曲面的通量為零。但在場所定義的空間中閉合途徑的積分不為零。分不為零。 根據(jù)安培環(huán)路定理式2.3.18，磁場強度 沿閉合途徑 的環(huán)流就是經(jīng)過以途徑 為邊境的曲面 的總電流。 其中， HB0CCSJ為電流密度為電流密度 第第1 1章章 矢量分析矢量分析 如磁場沿恣意閉合曲線的積分與經(jīng)過閉合曲線所圍曲面的電如磁場沿恣意閉合曲線的積分與經(jīng)過閉合曲線所圍曲面的電流成正比，即流成正比，即SCSzyxJIlzyxBd),(d),(00上式建立

27、了磁場的環(huán)流與電流的關(guān)系。上式建立了磁場的環(huán)流與電流的關(guān)系。 磁感應線要磁感應線要么穿過曲面么穿過曲面磁感應線要么同時磁感應線要么同時穿入和穿出曲面穿入和穿出曲面磁感應線磁感應線第第1 1章章 矢量分析矢量分析q 假設矢量場的恣意閉合回路的環(huán)流恒為零，稱該矢量場為無假設矢量場的恣意閉合回路的環(huán)流恒為零，稱該矢量場為無旋場，又稱為保守場。旋場，又稱為保守場。ClzyxFd),(環(huán)流的概念環(huán)流的概念 矢量場對于閉合曲線矢量場對于閉合曲線C 的環(huán)流定義為該矢量對閉合曲線的環(huán)流定義為該矢量對閉合曲線C 的線積分，即的線積分，即q 假設矢量場對于任何閉合曲線的環(huán)流不為零，稱該矢量場為假設矢量場對于任何閉

28、合曲線的環(huán)流不為零，稱該矢量場為有旋矢量場，可以激發(fā)有旋矢量場的源稱為旋渦源。電流是有旋矢量場，可以激發(fā)有旋矢量場的源稱為旋渦源。電流是磁場的旋渦源。磁場的旋渦源。第第1 1章章 矢量分析矢量分析 矢量場的環(huán)流給出了矢量場與積分回路所圍曲面內(nèi)旋渦源矢量場的環(huán)流給出了矢量場與積分回路所圍曲面內(nèi)旋渦源宏觀聯(lián)絡。為了給出空間恣意點矢量場與旋渦源的關(guān)系，引入宏觀聯(lián)絡。為了給出空間恣意點矢量場與旋渦源的關(guān)系，引入矢量場的旋度。矢量場的旋度。 2. 矢量場的旋度矢量場的旋度 F 1環(huán)流面密度環(huán)流面密度CSlFSFd1limrot0m稱為矢量場在點稱為矢量場在點M 處沿方向處沿方向 的環(huán)流面密度。的環(huán)流面密

29、度。m特點：其值與點特點：其值與點M 處的方向處的方向 有關(guān)。有關(guān)。m 過點過點M 作一微小曲面作一微小曲面S ，它的邊境曲線記為，它的邊境曲線記為C，曲面的，曲面的法法線方向線方向 與曲線的繞向成右手螺旋法那么。當與曲線的繞向成右手螺旋法那么。當S0 時，極限時，極限SCMI nmm第第1 1章章 矢量分析矢量分析 概念：矢量場在概念：矢量場在 M 點處的旋度為一矢量，其數(shù)值為點處的旋度為一矢量，其數(shù)值為M 點的環(huán)點的環(huán) 流面密度最大值，其方向為獲得環(huán)量密度最大值時面積元的法流面密度最大值，其方向為獲得環(huán)量密度最大值時面積元的法線方向，即線方向，即 物理意義：旋渦源密度矢量。物理意義：旋渦源

30、密度矢量。2矢量場的旋度矢量場的旋度maxnnrotFeFFeFmmrot性質(zhì)：矢量場性質(zhì)：矢量場 在點在點M處沿方向處沿方向 的環(huán)流面密度的環(huán)流面密度 等于等于 在該方向上的投影。即：在該方向上的投影。即： meFFmrotF第第1 1章章 矢量分析矢量分析yFxFexFzFezFyFeFxyzzxyyzx旋度的計算公式旋度的計算公式: :zzFFFzeeeF1FrrFFrerererFrrsinsinsin12 直角坐標系直角坐標系 圓柱坐標系圓柱坐標系 球坐標系球坐標系zyxzyxFFFzyxeee第第1 1章章 矢量分析矢量分析而而 推導推導 的表示圖如下圖。的表示圖如下圖。rotxF

31、oyz CMzx1234計算計算 的表示圖的表示圖 rotxF 直角坐標系中直角坐標系中 、 、 的表達式的表達式rotxFrotyFrotzF41321dddddllllClFlFlFlFlF)()(4321zFyFzFyFzyzy2)(2yyFMFFMzzz2)(3zzFMFFMyyy21zzF(M)FFMyyy2)(4yyFMFFMzzz第第1 1章章 矢量分析矢量分析于是于是 同理可得同理可得故得故得zyzFyFlFyzC)(dzFyFSlFFyzCSxdlimrot0 xFzFFzxyrotyFxFFxyzrot旋度的計算式：旋度的計算式：FeFeFeFzyxzyxrotrotrot

32、rot第第1 1章章 矢量分析矢量分析旋度的有關(guān)公式：旋度的有關(guān)公式：矢量場的旋度矢量場的旋度的散度恒為零的散度恒為零標量場的梯度標量場的梯度的旋度恒為零的旋度恒為零FfFfFf)(CfCf)(0CGFGF)(GFFGGF)(0)(F0)(u第第1 1章章 矢量分析矢量分析SCSFlFdd3. 斯托克斯定理斯托克斯定理 斯托克斯定理是閉合曲線斯托克斯定理是閉合曲線積分與曲面積分之間的一個變積分與曲面積分之間的一個變換關(guān)系式，也在電磁實際中有換關(guān)系式，也在電磁實際中有廣泛的運用。廣泛的運用。曲面的剖分曲面的剖分方向相反大小方向相反大小相等結(jié)果抵消相等結(jié)果抵消 從旋度的定義出發(fā)，可以得到矢量場沿恣

33、意閉合曲線的環(huán)從旋度的定義出發(fā)，可以得到矢量場沿恣意閉合曲線的環(huán)流等于矢量場的旋度在該閉合曲線所圍的曲面的通量，即流等于矢量場的旋度在該閉合曲線所圍的曲面的通量，即第第1 1章章 矢量分析矢量分析4. 散度和旋度的區(qū)別散度和旋度的區(qū)別 0,0FF0.0FF0,0FF0,0FF第第1 1章章 矢量分析矢量分析1. 矢量場的源矢量場的源散度源：是標量，產(chǎn)生的矢量場在包圍源的封鎖面上的通量散度源：是標量，產(chǎn)生的矢量場在包圍源的封鎖面上的通量 等于該封鎖面內(nèi)所包圍的源的總和，源在一給定點等于該封鎖面內(nèi)所包圍的源的總和，源在一給定點的體密度等于矢量場在該點的散度；的體密度等于矢量場在該點的散度； 旋度源

34、：是矢量，產(chǎn)生的矢量場具有渦旋性質(zhì)，穿過一曲面旋度源：是矢量，產(chǎn)生的矢量場具有渦旋性質(zhì)，穿過一曲面 的旋度源等于沿此曲面邊境的閉合回路的環(huán)量，在的旋度源等于沿此曲面邊境的閉合回路的環(huán)量，在 1.6 無旋場與無散場無旋場與無散場 給定點上，這種源的面密度等于矢量場在該點給定點上，這種源的面密度等于矢量場在該點 的旋度。的旋度。 第第1 1章章 矢量分析矢量分析2. 矢量場按源的分類矢量場按源的分類1無旋場無旋場0dClF根據(jù)斯托克斯定理根據(jù)斯托克斯定理 ，線積分與途徑無關(guān)。，線積分與途徑無關(guān)。僅有散度源而無旋度源的矢量場，僅有散度源而無旋度源的矢量場，0FuF0)(u負號是使場量和標量的對應關(guān)系

35、負號是使場量和標量的對應關(guān)系l dFQP只與起點只與起點P和終點和終點Q有關(guān)。有關(guān)。)()(QuPududllul dul dFQPQPQPQP第第1 1章章 矢量分析矢量分析無旋場可以用標量場的梯度來表示無旋場可以用標量場的梯度來表示例如：靜電場例如：靜電場0EECl dFPuQP)(常數(shù)常數(shù)C的值取決于固定點的值取決于固定點Q的選擇的選擇Cl duPuQP)(選選Q為不動的固定點，上式可看做是為不動的固定點，上式可看做是P的函數(shù)，即的函數(shù)，即第第1 1章章 矢量分析矢量分析2無散場無散場 僅有旋度源而無散度源的矢量場，即僅有旋度源而無散度源的矢量場，即性質(zhì)：性質(zhì)：0dSSF0 F無散場可以

36、表示為另一個矢量場的旋度無散場可以表示為另一個矢量場的旋度例如，恒定磁場例如，恒定磁場AB0BAF0)(AF第第1 1章章 矢量分析矢量分析3無旋、無散場無旋、無散場源在所討論的區(qū)域之外源在所討論的區(qū)域之外0F 4有散、有旋場有散、有旋場這樣的場可分解為兩部分：無旋場部分和無散場部分這樣的場可分解為兩部分：無旋場部分和無散場部分( )( )( )( )( )lCF rF rF ru rA r 無旋場部分無旋場部分無散場部分無散場部分()0u Fu 02 u0F 第第1 1章章 矢量分析矢量分析1.7 拉普拉斯運算與格林定理拉普拉斯運算與格林定理 1. 拉普拉斯運算拉普拉斯運算 標量拉普拉斯運算

37、標量拉普拉斯運算2u概念：概念：2 拉普拉斯算符拉普拉斯算符2222222uuuuxyz直角坐標系直角坐標系計算公式：計算公式：22222211()uuuuz22222222111()(sin)sinsinuuuurrrrrr 圓柱坐標系圓柱坐標系球坐標系球坐標系uu2)(第第1 1章章 矢量分析矢量分析 矢量拉普拉斯運算矢量拉普拉斯運算2F概念：概念：2222xxyyzzFeFeFeF即即22()iiFF留意：對于非直角分量，留意：對于非直角分量，22()iiFF直角坐標系中：直角坐標系中：如：如：22()FF(, , )ix y z)()(2FFF第第1 1章章 矢量分析矢量分析2. 格林

38、定理格林定理 設恣意兩個標量場設恣意兩個標量場 及及 ，假設在區(qū)域，假設在區(qū)域 V V 中具有延續(xù)的二階偏導數(shù)，中具有延續(xù)的二階偏導數(shù)，那么，可以證明該兩個標量場那么，可以證明該兩個標量場 及及 滿足以下等式：滿足以下等式： SVSnV 2dd)(根據(jù)方導游數(shù)與梯度的關(guān)系，上式又可寫成根據(jù)方導游數(shù)與梯度的關(guān)系，上式又可寫成以上兩式稱為標量第一格林定理。以上兩式稱為標量第一格林定理。SV , neSVSV 2d)(d)(式中式中S 為包圍為包圍V 的閉合曲面，的閉合曲面， 為為標量場標量場 在在 S 外表的外法線外表的外法線 方向方向上的偏導數(shù)。上的偏導數(shù)。nne第第1 1章章 矢量分析矢量分析

39、基于上式還可獲得以下兩式：基于上式還可獲得以下兩式：上兩式稱為標量第二格林定理。上兩式稱為標量第二格林定理。 格林定理闡明了區(qū)域格林定理闡明了區(qū)域 V 中的場與邊境中的場與邊境 S 上的場之間的關(guān)系。因此，利上的場之間的關(guān)系。因此，利用格林定理可以將區(qū)域中場的求解問題轉(zhuǎn)變?yōu)檫吘成蠄龅那蠼鈫栴}。用格林定理可以將區(qū)域中場的求解問題轉(zhuǎn)變?yōu)檫吘成蠄龅那蠼鈫栴}。 此外，格林定理反映了兩種標量場之間滿足的關(guān)系。因此，假設知其中此外，格林定理反映了兩種標量場之間滿足的關(guān)系。因此，假設知其中一種場的分布，即可利用格林定理求解另一種場的分布。一種場的分布，即可利用格林定理求解另一種場的分布。 格林定理廣泛地用于電磁實際。格林定理廣泛地用于電磁實際。SVSV 22d)(d)(SVSnnV 22d)(d)(第第1 1章章 矢量分析矢量分析亥姆霍茲定理亥姆霍茲定理: : 假設矢量場在無限空間中處處單值，且其導數(shù)延續(xù)有界，源假設矢量場在無限空間中處處單值，且其導數(shù)延續(xù)有界，源