數(shù)學預備知識

1、4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011數(shù)學預備知識數(shù)學預備知識4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 教學目的：了解和掌握金融投資理論中需要用到的數(shù)學知識。 教學重點：線性代數(shù)的基礎知識；數(shù)學模型的建立步驟及思想原理；極值求解；效用函數(shù)。 教學難點：二次型；歐氏空間；數(shù)學建模；拉格朗日乘法；4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 一定要分析挖掘數(shù)學公式蘊含的經(jīng)濟金融原理，而非簡單的數(shù)學問題。4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011

2、第一節(jié)第一節(jié) 線性代數(shù)基礎線性代數(shù)基礎 線性方程組與矩陣 二次型（quadratic form） 線性變換（linear transform） 歐氏空間（Euclidean space） 矩陣和行列式的微分4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011一、線性方程組與矩陣 n維實向量空間（vector space）如“組合投資風險分散問題” 回顧什么是向量？向量的運算法則？向量空間？線性相關？向量的秩？4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 矩陣(matrix) “向量的向量” “組合的組合” 回顧什么是矩陣？矩陣的運

3、算法則？矩陣的秩？矩陣的相似、等價？方陣的性質(zhì)？4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 線性方程組（linear equation system）?！癆PT套利定價”將使用到。 回顧方程組的一般形式？向量形式？矩陣形式？方程組求解條件？4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011二、二次型（quadratic form） 為實對陣方陣， 為列向量。 元函數(shù) 稱為二次型。它與對稱矩陣是一一對應的。()ijn nAa112(,.)Tnnx xxn121111( ,.)nnTnnn nnijijijf x xxAa x x

4、 4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 非退化線性替換 、矩陣的合同 、矩陣的規(guī)范型 、通過正交矩陣將對稱矩陣化為對角形等僅作了解。 注：作為應用工具，很多結(jié)論我們只是吸收，并不追根溯源，畢竟不是純數(shù)學理論課程，任何結(jié)論都要證明，保證精確嚴謹性。 4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011正定和負定矩陣（求極值的判斷條件） 任取向量 ，有 則稱二次型為正定（positive）二次型（or負定negative），相應實對稱矩陣A稱為正定（負定）矩陣。l注意正定負定的判定條件！0),(, 21TnXXXX)0(0)(

5、AXXXfT4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011性質(zhì)：l對稱矩陣A正定 ,C為可逆矩陣，即A合同于E。l設 為任意mn實矩陣，則 正定 A為列滿秩， 正定 A為行滿秩。CCATnmijaA)(AATTAA4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011三、線性變換 線性變換 （linear transform） 回顧什么是集合？什么是映射？映射和函數(shù)有什么關系？ 4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 線性變換與矩陣 回顧什么是坐標？什么是基？坐標變換的原則？4251 1001

6、1 0010 1010 1101 0001 0100 1011四、歐氏空間 定義了度量的線性空間，定義了線性變換的向量空間 回顧內(nèi)積？內(nèi)積的性質(zhì)？向量的長度？柯西-布涅科夫斯基不等式 ？三角不等式 ？4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 正交變換與正交矩陣（金融市場上的基礎資產(chǎn)問題） 回顧什么是標準正交量和正交矩陣？施密正交化法？正交變換？4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 向量之間的距離 注意垂線最短的向量表示及其運用（方程組的最小二乘解） 4251 10011 0010 1010 1101 0001

7、0100 1011五、矩陣和行列式的微分 多元函數(shù)的梯度向量表示 多元函數(shù)的二階偏導的矩陣表示海森矩陣4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011aaaXXXXTTTAXAXAXXAXXT2幾個重要結(jié)論：X是向量，A是矩陣4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011第二節(jié)第二節(jié) 數(shù)學模型和模型的建立數(shù)學模型和模型的建立 模型（model）和數(shù)學模型的概念 數(shù)學建模的步驟 建模實例 4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011一、模型（model）和數(shù)學模型 模型來源于原型，對原型的抽象

8、數(shù)學模型需要量化和假設 數(shù)學模型表現(xiàn)形式可以是數(shù)學公式，包括等式或不等式，也可以是圖表 數(shù)學模型的最佳結(jié)果是數(shù)學公式 自然科學中數(shù)學公式較多，并且應用效果好 社會科學中數(shù)學公式少，且效果差 經(jīng)濟和金融學中有很多數(shù)學模型4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011二、數(shù)學建模的步驟 一個好的數(shù)學模型，需要扎實的專業(yè)知識和深厚的數(shù)學基礎，“專業(yè)知識+數(shù)學”，數(shù)學只是工具，不要為了做模型而建模，必須對實際問題有深入的分析了解及歸納，然后借用數(shù)學工具簡化問題的分析復雜性。 4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 同一個問題，

9、如果建模者關注的側(cè)重點不同，消息不同，甚至偏好不同，都會導致不同的模型。 建模沒有固定的模式，但有基本的思路和原則4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 建模準備：了解實際問題的背景 模型假設：對問題進行簡化 建立數(shù)學模型：用數(shù)學方式（公式、圖表）表現(xiàn)出實際問題，盡量簡單化原則 模型求解：求解出結(jié)果，優(yōu)化求解較多 模型分析：得到結(jié)論，做出預測 模型檢驗和修正：與實際比較，模擬實際4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011三、建模實例 資金總量為M，可投資于 n1種資產(chǎn) Si(i0，1，n)，0表示存銀行 Si的平均

10、收益率為ri，風險損失率為qi 總體風險Si中的最大風險 投資Si的交易費率為pi，低于ui按ui計算 同期銀行存款r0=5%，無交易費用和損失 問題：如何總資金M如何投資，使得盡可能收益大，總體風險盡可能小4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011對問題的分析 兩個目標：凈收益大，風險損失小 兩個目標不可能同時滿足 限定其中一個目標的范圍，另一個盡可能最優(yōu) 最優(yōu)解是不唯一的4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011用數(shù)學符號和公式表示模型 優(yōu)化問題的模型最主要的過程：用數(shù)學符號表達 決策變量 目標函數(shù) 約束條件425

11、1 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 xi表示購買的Si資金量，i=0,1,2n 則xi即為投資中的決策變量選擇4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 ci(xi)是交易費，投資于Si的凈收益：Ri (xi) rixi ci(xi) 故總凈收益：R Ri (xi) 投資于Si的風險損失：Qi (xi) qixi 故總風險損失：Q)(max)(max)0()0(iiniiiniqxxQ4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 投資于Si所需資金：Fi(xi) =xi ci(xi

12、)，所有投資及相關支出不能超過總資金規(guī)模 故有約束條件： F（x） （xi ci(xi)）=M4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 交易費用的數(shù)學表達式和圖形iiiiiiiiiiiuxxpuxupxxc,0,0,0)(4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011幾個優(yōu)化模型 兩目標優(yōu)化模型：屬于多目標規(guī)劃問題 思考還有其他表述方法嗎？0,)()()(minxMxFxRxQx4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 單目標優(yōu)化模型：分三種情況 確定風險不能超過k，求最大收益 確

13、定收益水平不能低于h，求最小損失)(max0,)()(.xRxMxFkxQst)(min0,)()(.xQxMxFhxRst4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 或者假定相對偏好10，)()1 ()(min0,)(xRxQxMxFrr4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 上面模型不容易求解，簡化費用的表達式可以將模型簡化問題。 假設費用：ci(xi)pixi 資金約束條件變成：F（x） (1+pi)xiM 前面的三個模型都可以變成線性規(guī)劃問題，對此已經(jīng)有成熟的方法解決。4251 10011 0010 101

14、0 1101 0001 0100 1011第三節(jié)第三節(jié) 優(yōu)化問題的求解優(yōu)化問題的求解 解決建模后是否有解、如何解的問題 回顧簡單（一元）函數(shù)求值及判斷的方法 ？ 4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011多元函數(shù)的極值及其判斷-無條件極值定理1.1（定理1.2） 一階偏導數(shù)為0（必要條件）， 二階偏導數(shù)，海森矩陣Hessian matrix的正定和負定 正定極小值，負定極大值 回顧前面關于矩陣正定負定的判別？4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011二次多項式的極值點推論1.1（推論1.2） 設 為一個二次多項式。 則

15、f(X)在 達到極大（?。┲档某浞直匾獥l件： f(X)在 處一階導數(shù)為零； 矩陣A是負（正）定的。()Tf XX AXBXCTAA12(,)Tna aaaa4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 如果是凹函數(shù)或凸函數(shù)，則一階條件也是充分條件（為什么？）4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011條件極值的拉格朗日乘子法 思想：將條件極值轉(zhuǎn)化為無條件極值! 紐帶：拉格朗日乘子！ 4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 有3階連續(xù)偏導數(shù) 是m個約束條件1,2,()nMf x xx

16、11,2,121,2,231,2,3()()()nnng x xxbgx xxbgx xxbmnmbxxxg),.(2, 14251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 引入m個拉格朗日乘數(shù) 構(gòu)造新函數(shù) 12,m ),.(),.,(),.,.,(2, 11212121inimiinmnbxxxgxxxfxxxF4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 定理1.1，定理1.2，推論仍然成立。僅一階條件轉(zhuǎn)化為：0),.,.,(2121imnxxxxF1,2,i n1,2,12(,)0nmjF x xx 1,2,j m 42

17、51 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011舉例：求解收益相同風險最小的投資組合 有n種資產(chǎn)，R是資產(chǎn)的期望收益率向量，W是資產(chǎn)的投資比例向量（需要求解），V是資產(chǎn)協(xié)方差矩陣，試問如何分散投資使得組合收益為C0的同時組合風險盡可能的小。 組合風險的衡量： （為什么？）VWWT4251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 因此，該問題是下面的優(yōu)化問題 思考為什么乘以二分之一？VWWTcRWWTT21min0114251 10011 0010 1010 1101 0001 0100 1011 該優(yōu)化問題有解的充分必要條件充分必要條件是拉格朗日乘子函數(shù)的一階