D111對弧長和曲線積分21429學(xué)習(xí)教案

1、會計(jì)學(xué)1D111對弧長和曲線對弧長和曲線(qxin)積分積分21429第一頁，共25頁。AB弧段為AB , 其線密度(md)為“大化小, 常代變, 近似和, 求極限” 可得為計(jì)算此構(gòu)件的質(zhì)量,ks1kMkM1.1.引例引例: 曲線形構(gòu)件的質(zhì)量采用機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 (其中 為 n 個小弧段的最大長度)第1頁/共25頁第二頁，共25頁。設(shè) 是空間中一條有限長的光滑(gung hu)曲線,義在 上的一個(y )有界函數(shù), 都存在(cnzi),上對弧長的曲線積分,記作若通過對 的任意分割局部的任意取點(diǎn), 下列“乘積和式極限”則稱此極限為函數(shù)在曲線或第一類曲線積分.),(zyxf稱為被

2、積函數(shù)， 稱為積分弧段 .曲線形構(gòu)件的質(zhì)量nk 1ks1kMkM和對機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第2頁/共25頁第三頁，共25頁。如果(rgu) L 是閉曲線 , 則記為則定義(dngy)對弧長的曲線積分為機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考思考:(1) 若在 L 上 f (x, y)1, (2) 定積分是否可看作對弧長曲線積分的特例 ? 否! 對弧長的曲線積分要求 ds 0 ,但定積分中dx 可能為負(fù).第3頁/共25頁第四頁，共25頁。（k 為常數(shù)(chngsh)( 由 組成) 21, ( l 為曲線(qxin)弧 的長度)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第4頁/共25頁第五

3、頁，共25頁?；舅悸坊舅悸?計(jì)算(j sun)定積分轉(zhuǎn) 化定理定理(dngl):且上的連續(xù)函數(shù),證證:是定義在光滑曲線弧則曲線積分求曲線積分根據(jù)定義 kknkksf),(lim10機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第5頁/共25頁第六頁，共25頁。點(diǎn)設(shè)各分點(diǎn)對應(yīng)(duyng)參數(shù)為對應(yīng)(duyng)參數(shù)為 則nk 10lim機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回(fnhu) 結(jié)束 第6頁/共25頁第七頁，共25頁。xdydsdxyoLsyxfd),(說明說明(shumng):因此積分限必須(bx)滿足(2) 注意(zh y)到 x因此上述計(jì)算公式相當(dāng)于“換元法”. 因此機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回

4、 結(jié)束 第7頁/共25頁第八頁，共25頁。則有如果(rgu)方程為極坐標(biāo)形式:則syxfLd),(推廣推廣(tugung): 設(shè)空間曲線弧的參數(shù)方程為設(shè)空間曲線弧的參數(shù)方程為則機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第8頁/共25頁第九頁，共25頁。其中(qzhng)L是拋物線與點(diǎn) B (1,1) 之間的一段弧 . 解解:上點(diǎn) O (0,0)1Lxy2xy o) 1 , 1 (B機(jī)動 目錄(ml) 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第9頁/共25頁第十頁，共25頁。的圓弧 L 對于(duy)它的對稱軸的轉(zhuǎn)動慣量I (設(shè)線密度(md) = 1). 解解: 建立坐標(biāo)系如圖,R xyoL則 機(jī)動 目錄 上頁 下頁

5、 返回 結(jié)束 sd第10頁/共25頁第十一頁，共25頁。其中(qzhng)L為雙紐線解解: 在極坐標(biāo)系下它在第一象限(xingxin)部分為利用對稱性 , 得yox機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 sd第11頁/共25頁第十二頁，共25頁。其線密度(md) 解解:RRoxy故所求引力(ynl)為),(yx求它對原點(diǎn)處單位質(zhì)量質(zhì)點(diǎn)的引力. RkRkF2,4機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 sd第12頁/共25頁第十三頁，共25頁。其中(qzhng)L為提示提示(tsh): L 分為四段進(jìn)行計(jì)算：分為四段進(jìn)行計(jì)算：化為定積分 , 得機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 yox1111第13頁/共

6、25頁第十四頁，共25頁。其中(qzhng)為螺旋的一段弧.解解: 線機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回(fnhu) 結(jié)束 BAzyx第14頁/共25頁第十五頁，共25頁。ozyx其中為球面 2222azyx被平面 所截的圓周. 0zyx解解: 由對稱性可知由對稱性可知(k zh)機(jī)動 目錄(ml) 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第15頁/共25頁第十六頁，共25頁。計(jì)算(j sun)解解: 令, 則332a圓的形心在原點(diǎn), 故, 如何(rh)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第16頁/共25頁第十七頁，共25頁。其中(qzhng)為球面解解: 化為參數(shù)(cnsh)方程 則機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回

7、結(jié)束 ozyx第17頁/共25頁第十八頁，共25頁。三個坐標(biāo)(zubio)面的交線 , 求其形心。在第一(dy)卦限與提示提示: 如圖所示 , 交線長度為RozyxRR1L3L2L由對稱性 , 形心坐標(biāo)為機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第18頁/共25頁第十九頁，共25頁。1. 定義定義(dngy)2. 性質(zhì)性質(zhì)(xngzh)( l 曲線弧 的長度)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第19頁/共25頁第二十頁，共25頁。 對光滑(gung hu)曲線弧Lsyxfd),( 對光滑(gung hu)曲線弧Lsyxfd),( 對光滑曲線弧機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第20頁/共25頁第

8、二十一頁，共25頁。1. 已知橢圓(tuyun)周長(zhu chn)為a , 求提示提示:原式 =o22yx3利用對稱性xyd1222分析分析:機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第21頁/共25頁第二十二頁，共25頁。(1) 求它關(guān)于(guny) z 軸的轉(zhuǎn)動慣量(2) 求它的質(zhì)心(zh xn) .解解: 設(shè)其密度為 (常數(shù)).(2) L的質(zhì)量而(1)機(jī)動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第22頁/共25頁第二十三頁，共25頁。0故重心坐標(biāo)為第二節(jié) 目錄(ml) 上頁 下頁 返回 結(jié)束 xyo3. 設(shè)設(shè) C 是由極坐標(biāo)系下曲線是由極坐標(biāo)系下曲線(qxin)及所圍區(qū)域(qy)的邊界, 求4提示提示: 分段積分第23頁/共25頁第二十四頁，共