ch微分方程的基本概念實用學習教案

1、會計學1ch微分方程微分方程(wi fn fn chn)的基本的基本概念實用概念實用第一頁，共13頁。例例 2 2 設自由落體下落時的加速度為常數(shù)設自由落體下落時的加速度為常數(shù) 0 gg，求自由落體運動規(guī)律，求自由落體運動規(guī)律 . 解)(tSS 設運動規(guī)律為設運動規(guī)律為gdtSd 22則則 0,0000 tdtdSvS由由,021 CC求求得得1CgtdtdS 21221CtCgtS 221gtS 所以所以第1頁/共13頁第二頁，共13頁。微分方程:凡含有(hn yu)未知函數(shù)的導數(shù)或微分的方程叫微分方程.例,xyy , 0)(2 xdxdtxt,32xeyyy ,yxxz 實質(zhì): 聯(lián)系(li

2、nx)自變量,未知函數(shù)以及未知函數(shù)的某些導數(shù)(或微分)之間的關系式.分類1: 常微分方程, 偏微分方程.第2頁/共13頁第三頁，共13頁。微分方程的階: 微分方程中出現(xiàn)(chxin)的未知函數(shù)的最高階導數(shù)的階數(shù)稱之.第3頁/共13頁第四頁，共13頁。分類(fn li)3: 線性與非線性微分方程.),()(xQyxPy ; 02)(2 xyyyx, 0),( yyxF一階微分方程(wi fn fn chn);,(yxfy 高階(n)微分方程(wi fn fn chn), 0),()( nyyyxF).,()1()( nnyyyxfy分類2:第4頁/共13頁第五頁，共13頁。微分方程的解:代入微分

3、方程能使方程成為(chngwi)恒等式的函數(shù)稱之. ,)(階導數(shù)階導數(shù)上有上有在區(qū)間在區(qū)間設設nIxy . 0)(,),(),(,()( xxxxFn微分方程(wi fn fn chn)的解的分類：(1)通解: 微分方程的解中含有任意常數(shù),且任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同.第5頁/共13頁第六頁，共13頁。(2)特解: 確定了通解中任意常數(shù)(chngsh)以后的解., yy 例例;xCey 通解通解, 0 yy;cossin21xCxCy 通解通解解的圖象: 微分方程的積分(jfn)曲線.通解的圖象(t xin): 積分曲線族.212122SgtC tC例 中是通解21212SgtC tC

4、 t呢？212Sgt如第6頁/共13頁第七頁，共13頁。邊界條件: 說明方程中未知函數(shù)在邊界上約 束情況的條件(通常(tngchng)是等式).定解條件: 用來確定(qudng)通解中任意常數(shù)的條件.初始條件: 當自變量取某個值時,給出未知函 數(shù)及其導數(shù)(do sh)的相應值的條件.定定解解條條件件初始條件：常微分方程初始條件：常微分方程邊界條件：偏微分方程邊界條件：偏微分方程00,00ttdSSdt如第7頁/共13頁第八頁，共13頁。過定點(dn din)的積分曲線; 00),(yyyxfyxx一階:二階: 1000,),(yyyyyyxfyxxxx初值問題: 求微分方程滿足(mnz)初始條

5、件的解的問題.第8頁/共13頁第九頁，共13頁。一一般般形形式式通通解解初初始始條條件件一一階階方方程程0),( yyxF),(Cxfy 00)(yxy 二二階階方方程程0),( yyyxF),(21CCxfy 00)(yxy 10)(yxy 階方程階方程n0),()( nyyyxF),(1nCCxfy iiyxy )(0)(1, 2, 1, 0 ni定義定義0),()( nyyyxF求微分方程求微分方程滿足初始條件滿足初始條件iiyxy )(0)()1, 2, 1, 0( ni的的特特解解，階微分方程的階微分方程的這樣一個問題稱為這樣一個問題稱為 n，初初值值問問題題記記作作0),()( n

6、yyyxFiiyxy )(0)()1, 2, 1, 0( ni第9頁/共13頁第十頁，共13頁。11034 yyy試問(shwn)下列函數(shù)xxececy321. 1是否是方程(fngchng)的解,是通解還是特解?解解: 分別將四個函數(shù)代入方程,均 左邊=右邊則這四個函數(shù)均為方程的解.0, 121cceyx是方程的特解.1, 0213cceyx是方程的特解.xxececy321其中有兩個任意常數(shù)是方程的通解.xcey 其中只有一個常數(shù),則即不是方程的通解,也不是特解.xxxceyeyey. 4. 3. 23第10頁/共13頁第十一頁，共13頁。的通解，的通解，是方程是方程驗證函數(shù)驗證函數(shù)例例x

7、xxeyyeCey22333 的特解的特解并求滿足初始條件并求滿足初始條件00| xy解解xxeCey2323 yy3 則則)23(23xxeCe )(323xxeCe xe2 含有一個任意常數(shù)，含有一個任意常數(shù)，又因又因 y且且方方程程是是一一階階的的，的通解的通解是方程是方程函數(shù)函數(shù)xxxeyyeCey2233 1)0( Cy而而，0 ，得到得到1 C故特解為故特解為xxeey23 第11頁/共13頁第十二頁，共13頁。與原點連與原點連處的切線恒垂直于該點處的切線恒垂直于該點若曲線在其任一點若曲線在其任一點例例),(5yxP方程及初始條件方程及初始條件，求曲線所滿足的微分，求曲線所滿足的微分且曲線過點且曲線過點線線)1,1(,OP解解xy0P得得根根據(jù)據(jù)導導數(shù)數(shù)的的幾幾何何意意義義，1dd xyxy)3(初初始始條條件件1)1( y)4(式可