大學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用基礎(chǔ)——高等數(shù)學(xué)中冊湖南教育出版社

1、湖南教育出版社湖南教育出版社大學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用根底 高等數(shù)學(xué)(中冊)湖南教育出版社湖南教育出版社湖南教育出版社湖南教育出版社第六章 向量代數(shù)與空間解析幾何 6.1 向量及其線性運(yùn)算 6.2 向量的向量積 6.3 平面與直線 6.4 曲面與曲線湖南教育出版社湖南教育出版社下頁下頁湖南教育出版社湖南教育出版社6.1向量及其線性運(yùn)算向量及其線性運(yùn)算1. 空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系2. 空間向量及其線性運(yùn)算空間向量及其線性運(yùn)算3. 向量的坐標(biāo)表示向量的坐標(biāo)表示上頁上頁下頁下頁首頁首頁湖南教育出版社湖南教育出版社6.1向量及其線性運(yùn)算向量及其線性運(yùn)算1. 空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系通常規(guī)定通常規(guī)定x軸，軸

2、，y軸，軸，z軸的正向要遵循右手法那么軸的正向要遵循右手法那么.x橫軸橫軸y縱軸縱軸z豎軸豎軸 坐標(biāo)原點坐標(biāo)原點o上頁上頁下頁下頁首頁首頁湖南教育出版社湖南教育出版社xyozxoy面面yoz面面zox面面空間直角坐標(biāo)系共有八個空間直角坐標(biāo)系共有八個卦限卦限.6.1向量及其線性運(yùn)算向量及其線性運(yùn)算上頁上頁下頁下頁首頁首頁湖南教育出版社湖南教育出版社空間的點空間的點有序數(shù)組有序數(shù)組),(zyx特殊點的表示特殊點的表示:)0 , 0 , 0(O),(zyxM xyzo)0 , 0 ,(xP)0 , 0(yQ), 0 , 0(zR)0 ,(yxA), 0(zyB),(zoxC坐標(biāo)軸上的點坐標(biāo)軸上的點,

3、P,Q,R坐標(biāo)面上的點坐標(biāo)面上的點,A,B,C6.1向量及其線性運(yùn)算向量及其線性運(yùn)算上頁上頁下頁下頁首頁首頁湖南教育出版社湖南教育出版社解解 根據(jù)坐標(biāo)與點的對應(yīng)關(guān)系，描出各點如以下圖所示根據(jù)坐標(biāo)與點的對應(yīng)關(guān)系，描出各點如以下圖所示.例例1 求空間直角坐標(biāo)系中，標(biāo)出以下各點的坐標(biāo)：求空間直角坐標(biāo)系中，標(biāo)出以下各點的坐標(biāo)： A(1,2,3), B(0,1,1),C(-1,0,0).6.1向量及其線性運(yùn)算向量及其線性運(yùn)算上頁上頁下頁下頁首頁首頁湖南教育出版社湖南教育出版社空間兩點的距離公式空間兩點的距離公式211212|,|,|.xxyyzz長方體的對角線長的平方等于三條棱長方體的對角線長的平方等于

4、三條棱長的平方和，那么：長的平方和，那么：22212121212|()()() .M Mxxyyzz所以點所以點12MM和間的距離為間的距離為222212212121|()()() .M Mxxyyzz由圖可知，該長方體的各棱長分別為：由圖可知，該長方體的各棱長分別為：6.1向量及其線性運(yùn)算向量及其線性運(yùn)算上頁上頁下頁下頁首頁首頁湖南教育出版社湖南教育出版社例例2 求證：以求證：以的三角形是等腰三角形的三角形是等腰三角形.123(4,3,1),(7,1,2),(5,2,3)MMM三點為頂點三點為頂點證證 因為因為22212|1( 1)26,M M 22223|( 2)116.M M1323|

5、|,M MM M所以所以故三角形故三角形123M M M為等腰三角形為等腰三角形.6.1向量及其線性運(yùn)算向量及其線性運(yùn)算上頁上頁下頁下頁首頁首頁湖南教育出版社湖南教育出版社例例3 一動點一動點M(x,y,z)到原點到原點O(0,0,0)的距離為定值的距離為定值1，求動點的，求動點的軌跡方程軌跡方程.解解 因為因為|MO|=1，所以根據(jù)兩點間的距離公式，得，所以根據(jù)兩點間的距離公式，得222(0)(0)(0)1.xyz化簡，得所求軌跡方程為化簡，得所求軌跡方程為2221.xyz6.1向量及其線性運(yùn)算向量及其線性運(yùn)算上頁上頁下頁下頁首頁首頁湖南教育出版社湖南教育出版社2. 空間向量及其線性運(yùn)算空間

6、向量及其線性運(yùn)算6.1向量及其線性運(yùn)算向量及其線性運(yùn)算向量： 既有大小又有方向的量.向量表示：或或以以M為起點，為起點，N為終點的有向線段為終點的有向線段.aMN 向量的模：向量的大小向量的大小.|a或或MN 零向量：模長為模長為0的向量的向量.0單位向量：模長為模長為1的向量的向量.MN相等向量：模相等且方向相同的向量模相等且方向相同的向量.a=b0a0|aaa上頁上頁下頁下頁首頁首頁湖南教育出版社湖南教育出版社 共線向量共線向量(平行向量平行向量): 方向相同或相反的兩個向量互相平行或方向相同或相反的兩個向量互相平行或 重合重合. a/b 零向量與任何向量都平行零向量與任何向量都平行.向量

7、向量a與與b垂直垂直:,2a bab約定零向量與任何向量都垂直約定零向量與任何向量都垂直.空間向量的加法、減法、與數(shù)乘統(tǒng)稱空間向量的加法、減法、與數(shù)乘統(tǒng)稱向量的線性運(yùn)算向量的線性運(yùn)算.6.1向量及其線性運(yùn)算向量及其線性運(yùn)算a,b上頁上頁下頁下頁首頁首頁湖南教育出版社湖南教育出版社 將向量將向量a與與b的起點放在一起的起點放在一起,以向量以向量a和和b為鄰邊為平行四邊形為鄰邊為平行四邊形,那么從起點到對角頂點的向量稱為那么從起點到對角頂點的向量稱為a與與b的和向量的和向量,記作記作a+b.這種求向量和的這種求向量和的方法稱為向量加法的平行四邊形法那么方法稱為向量加法的平行四邊形法那么. 向量可以

8、平移，假設(shè)把向量可以平移，假設(shè)把b的起點放到向量的起點放到向量a的終點上，那么自的終點上，那么自a的起點到向量的起點到向量b的終點的向量亦為的終點的向量亦為a+b向量向量.這種求向量的方法稱為這種求向量的方法稱為向量加法的三角形法那么向量加法的三角形法那么.定義定義16.1向量及其線性運(yùn)算向量及其線性運(yùn)算abababab上頁上頁下頁下頁首頁首頁湖南教育出版社湖南教育出版社向量向量a與與-b的和稱為的和稱為a與與b的差的差,記作記作a-b.6.1向量及其線性運(yùn)算向量及其線性運(yùn)算負(fù)向量負(fù)向量: 與與a的模相同而方向相反的向量的模相同而方向相反的向量.向量的減法向量的減法: 把把a(bǔ)與與b的起點放在一

9、起的起點放在一起,a-b即是以即是以b的終點的終點 為起點，以為起點，以a的終點為終點的向量的終點為終點的向量.a-ba-bba-ba上頁上頁下頁下頁首頁首頁湖南教育出版社湖南教育出版社空間向量的加法、減法與數(shù)乘滿足以下運(yùn)算性質(zhì)：空間向量的加法、減法與數(shù)乘滿足以下運(yùn)算性質(zhì)：(a+b)+c=a+(b+c),a+b=b+a;(a)=()a=(a);1交換律交換律定義定義2(+)a=a+a,(a+b)=a+b.2結(jié)合律結(jié)合律3分配律分配律6.1向量及其線性運(yùn)算向量及其線性運(yùn)算定理定理向量向量b與非向量與非向量a平行的充要條件是存在實數(shù)平行的充要條件是存在實數(shù)使得使得b=a.上頁上頁下頁下頁首頁首頁湖

10、南教育出版社湖南教育出版社3. 向量的坐標(biāo)表示向量的坐標(biāo)表示于是，由向量加法，有于是，由向量加法，有aOM ,OPxi ,OQyj.ORzk 點點M在在Ox,Oy,Oz軸上的投影軸上的投影依次為依次為P,Q,R.如果點如果點M的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(x,y,z),那么那么aOM OPOQOR ijkxyz6.1向量及其線性運(yùn)算向量及其線性運(yùn)算上頁上頁下頁下頁首頁首頁湖南教育出版社湖南教育出版社向量向量a有序數(shù)組有序數(shù)組),(zyx6.1向量及其線性運(yùn)算向量及其線性運(yùn)算a=(x,y,z)稱為向量稱為向量a的的坐標(biāo)表達(dá)式坐標(biāo)表達(dá)式，數(shù)數(shù)x,y,z稱為稱為向量向量a的坐標(biāo)的坐標(biāo)，向量向量xi,yj,zk分

11、別稱為向量分別稱為向量a在在x軸軸,y軸軸,z軸的軸的分向量分向量.設(shè)設(shè)那那么么 b(,),xyzb b ba(,),xyza aa(1) ab,;xxyyzzab ab ab(2) ab(,);xxyyzzab ab ab(3) a(,)(R);xyzaaa上頁上頁下頁下頁首頁首頁湖南教育出版社湖南教育出版社(4) a b |a| |b| cosa,b;xxyyzza ba ba b(5) a/b;yxzxyzaaabbb(6) ab0;xxyyzza ba ba b222(7) |a |a a;xyzaaa222222a b(8) cosa,b.|a |b|xxyyzzxyzxyza ba

12、 ba baaabbb6.1向量及其線性運(yùn)算向量及其線性運(yùn)算上頁上頁下頁下頁首頁首頁湖南教育出版社湖南教育出版社例例4 1(0, 1,2)M2(1,0,3)M12M M和和，求向量，求向量12M M12(1 0,0( 1),32)(1,1,1).M M 222121113.M M121211333(1,1,1)(,).3333M MM M的模及與的模及與方向相同的單位向量方向相同的單位向量.解解 因為向量的坐標(biāo)為因為向量的坐標(biāo)為所以，向量的模為所以，向量的模為與與12M M方向相同的單位向量為方向相同的單位向量為6.1向量及其線性運(yùn)算向量及其線性運(yùn)算上頁上頁下頁下頁首頁首頁湖南教育出版社湖南教

13、育出版社例例5 設(shè)向量設(shè)向量解解 (1) 由由a/b的充要條件，得的充要條件，得ai4j 3k,b2jk , 43,0230,.204 ( 2)( 3)0. ，問數(shù)，問數(shù) 為何值時，為何值時，(1) a與與b平行；平行；(2) a與與b垂直垂直. ab(2) 由由的充要條件，得的充要條件，得8,3 可取任意值可取任意值.6.1向量及其線性運(yùn)算向量及其線性運(yùn)算上頁上頁下頁下頁首頁首頁湖南教育出版社湖南教育出版社例例6 三點三點A(-1,2,3), B(1,1,1), C(0,0,5),求求因為因為 解解 作向量作向量 .ABC.ABC( 1 1,2 1,3 1)( 2,1,2),BA (0 1,

14、0 1,5 1)( 1, 1,4),BC 222( 2)123,BA 222( 1)( 1)43 2,BC ( 2) ( 1) 1 ( 1)2 49.BA BC cos|BA BCABCBA BC .4ABC ,BA BC ,BC BA 那那么么 與與 的夾角就是的夾角就是所以所以6.1向量及其線性運(yùn)算向量及其線性運(yùn)算92.23 3 2上頁上頁下頁下頁首頁首頁湖南教育出版社湖南教育出版社| |MFOP |F| | sin,OAF OA 實例實例A6.2 向量的向量積向量的向量積設(shè)設(shè)O為一根杠桿的支點，有一力為一根杠桿的支點，有一力F作用于這杠桿上作用于這杠桿上點點A處，力處，力F對支點對支點O

15、的力矩是一向量的力矩是一向量M，它的模，它的模M的方向垂直于的方向垂直于F和和 ,且且 , F, M構(gòu)成右手系構(gòu)成右手系.OAOALFPO上頁上頁下頁下頁首頁首頁湖南教育出版社湖南教育出版社定義定義兩個向量兩個向量a和和b的的向量積向量積(又稱又稱叉積叉積或或外積外積)記作記作它是滿足下述條件的向量：它是滿足下述條件的向量：構(gòu)成右手系構(gòu)成右手系.6.2 向量的向量積向量的向量積abab,|ab| |a |b|sina,b ;ab1向量向量的模的模2向量向量與與a和和b都垂直都垂直,且且a, b,ab的方向的方向上頁上頁下頁下頁首頁首頁湖南教育出版社湖南教育出版社向量積有以下運(yùn)算律：向量積有以下

16、運(yùn)算律：|ab| |a |b|sina,b|a | |b|sin|a |.hS 平行四邊形b aab; ( a) b(ab)a( b);(ab) cacb c. 1反交換律反交換律2結(jié)合律結(jié)合律3分配律分配律6.2 向量的向量積向量的向量積上頁上頁下頁下頁首頁首頁湖南教育出版社湖南教育出版社例例1 設(shè)設(shè)a,b是兩個向量，且是兩個向量，且b=3a，試證：，試證：證證 1如果如果a=0，那么，那么所以所以于是于是 ab0.|a | 0,|ab| |a |b|sina,b0 |a |b|sina,b 0,ab0.a0,|ab| |a |b|sina,b所以所以2如果如果那么那么b=3a與與a平行，所

17、以平行，所以=0,|a |b| 00. 6.2 向量的向量積向量的向量積 兩個非零向量平行的充要條件是它們的向量兩個非零向量平行的充要條件是它們的向量積為零向量積為零向量. 定理定理上頁上頁下頁下頁首頁首頁湖南教育出版社湖南教育出版社例例2 設(shè)設(shè)m,n是互相垂直的單位向量，是互相垂直的單位向量，a=m-n,b=m+n,求求解解ab|ab|.(mn) (mn)(mn) m(mn) nmmnmmnnn0mnmn02(mn).|ab| 2|m n|2|m|n |sin22 1 1 12. 6.2 向量的向量積向量的向量積上頁上頁下頁下頁首頁首頁湖南教育出版社湖南教育出版社設(shè)向量設(shè)向量aijk,xyz

18、aaabijk,xyzbbbab(ijk) ( ijk)xyzxyzaaabbb ijk, j ki,k ij, j ik, kji, i kj. ab()i()j()k.yzzyzxxzxyyxa ba ba ba ba ba b6.2 向量的向量積向量的向量積i ijjkk0, 向量積的坐標(biāo)表示式上頁上頁下頁下頁首頁首頁湖南教育出版社湖南教育出版社為了記憶，它可寫成下面的形式：為了記憶，它可寫成下面的形式：其中其中abijk=yzxyzxyzxyzxaaaaaabbbbbb,yzxyzxyzxyzxaaaaaabbbbbb,yzyzzyyzaaa ba bbb,zxzxxzzxaaa ba

19、 bbb.xyxyyxxyaaa ba bbb上述三式的左端都稱為上述三式的左端都稱為二階行列式二階行列式，它的值等于對角線兩，它的值等于對角線兩 數(shù)之積的差數(shù)之積的差.6.2 向量的向量積向量的向量積上頁上頁下頁下頁首頁首頁湖南教育出版社湖南教育出版社例例3 設(shè)設(shè)a=(1,0,2),b=(-1,1,2),求求解解 及及abb a.022110abijk1221112i4jk, b a(ab) 2i4jk.6.2 向量的向量積向量的向量積上頁上頁下頁下頁首頁首頁湖南教育出版社湖南教育出版社例例4 求同時垂直于求同時垂直于x軸與向量軸與向量a=(3,6,8)的單位向量的單位向量.所以，所求單位向

20、量為所以，所求單位向量為解解 取與取與x軸同向的單位向量軸同向的單位向量i=(1,0,0),那么同時垂直于那么同時垂直于a與與i的的 單位向量就是與單位向量就是與ai的平行的單位向量的平行的單位向量.688336 aiijk000110 8j6k(0,8,6),222|ai|08610, 14 3(0,8,6)(0, ),105 5143(0,8,6)(0,).1055或或6.2 向量的向量積向量的向量積上頁上頁下頁下頁首頁首頁湖南教育出版社湖南教育出版社例例5 三點三點A(1,1,1),B(2,0,-1),C(-1,1,2),求三角形求三角形ABC的面積的面積.解解 三角形三角形ABC的面積

21、等于以向量的面積等于以向量為邊的平行為邊的平行,AB AC (2 1,0 1, 1 1)AB 形面積的一半，根據(jù)向量積模的幾何意義，得形面積的一半，根據(jù)向量積模的幾何意義，得(1, 1, 2), ( 1 1,1 1,2 1)AC ( 2,0,1), 122111 ijk011220ABAC i3j2k. 1 2SABAC 2221( 1)3( 2)2 114.26.2 向量的向量積向量的向量積1.2SABAC 上頁上頁下頁下頁首頁首頁湖南教育出版社湖南教育出版社6.3 平面與直線平面與直線1. 平面平面2. 直線直線3. 平面、直線間的夾角平面、直線間的夾角4. 點到平面的距離點到平面的距離上

22、頁上頁下頁下頁首頁首頁湖南教育出版社湖南教育出版社平面的平面的的方程的方程6.3 平面與直線平面與直線(1) 平面的點法式方程平面的點法式方程如果一個非零向量如果一個非零向量n垂直于一個平面垂直于一個平面,那么稱那么稱n為為平平面面 的法向量的法向量.平面的法向量常記作平面的法向量常記作n=(A,B,C).1. 平面平面定義定義1 ,n0000(,).M Mxxyyzz 0000(,),MxyzM(x,y,z)0 .M Mn 00,n M M 000()()()0.A xxB yyC zzxyzon0MM上頁上頁下頁下頁首頁首頁湖南教育出版社湖南教育出版社例例1 平面平面0(2, 1,3)M0

23、14 0 2MM與 （ ， ， ）42 0( 1),23) （，(2,1, 1).過點過點，且垂直于，且垂直于的連線，求平面的連線，求平面的方程的方程.解解 取平面的法線向量為取平面的法線向量為01nM M由平面的點法式方程，得所求平面的方程為由平面的點法式方程，得所求平面的方程為2(x-2)+(y+1)-(z-3)=0, 即即 2x+y-z=0.6.3 平面與直線平面與直線上頁上頁下頁下頁首頁首頁湖南教育出版社湖南教育出版社都在平面上，都在平面上，例例2 求過點求過點A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1)的平面方程的平面方程.解解 由于由于A,B,C三點都在平面上，所以向量三點

24、都在平面上，所以向量,AB AC ABAC ( 1,1,0),AB 因此向量因此向量( 1,0,1),AC nABAC 10 0111,01 11101 (1) 1 (0) 1 (0)0.xyz 垂直于平面，故可取它作為平面的法向量垂直于平面，故可取它作為平面的法向量.(1,1,1).因此，過點因此，過點A(1,0,0)，且以，且以n=i+j+k為法向量的平面方程為為法向量的平面方程為 即即 x+y+z=1.6.3 平面與直線平面與直線上頁上頁下頁下頁首頁首頁湖南教育出版社湖南教育出版社6.3 平面與直線平面與直線(2) 平面的一般方程平面的一般方程000()()()0A xxB yyC zz

25、平面的一般方程平面的一般方程0)(000 CzByAxCzByAxD 0 DCzByAxn , , .A B C由平面的點法式方程上頁上頁下頁下頁首頁首頁湖南教育出版社湖南教育出版社平面一般方程的幾種特殊情況：, 0)1( D平面通過坐標(biāo)原點；平面通過坐標(biāo)原點；, 0)2( A , 0, 0DD平面通過平面通過 軸；軸；x平面平行于平面平行于 軸；軸；x, 0)3( BA平面平行于平面平行于 坐標(biāo)面；坐標(biāo)面；xoy類似地可討論類似地可討論 情形情形.0, 0 CBCA0, 0 CB類似地可討論類似地可討論 情形情形.6.3 平面與直線平面與直線上頁上頁下頁下頁首頁首頁湖南教育出版社湖南教育出版

26、社例例3 作出以下平面作出以下平面. (1) x=2; (2) z=3; (3) x+y=2; (4)1.324xyz解解 (1) x=2表示過點表示過點(2,0,0)且平行于且平行于yOz面的平面面的平面. (2) z=3表示過點表示過點(0,0,3)且平行于且平行于xOy面的平面面的平面.6.3 平面與直線平面與直線上頁上頁下頁下頁首頁首頁湖南教育出版社湖南教育出版社(3) x+y=2表示過點表示過點(2,0,0),(0,2,0)且與且與z軸平行的平面軸平行的平面.(4)1324xyz表示過三點表示過三點(3,0,0),(0,2,0),(0,0,4)的平面的平面.6.3 平面與直線平面與直

27、線上頁上頁下頁下頁首頁首頁湖南教育出版社湖南教育出版社例例4 求過求過x軸和點軸和點M(2,-2,3)的平面方程的平面方程.解解 因為平面過因為平面過x軸，所以設(shè)平面的方程為軸，所以設(shè)平面的方程為 By+Cz=0. 將點將點M(2,-2,3)代入上式，得代入上式，得 -2B+3C=0. 解得解得32BC3.2BC30,2yz30.2CyCz0C 將將代入方程代入方程By+Cz=0中，得中，得因為因為，故所求平面方程為，故所求平面方程為或或 3y+2z=0.6.3 平面與直線平面與直線上頁上頁下頁下頁首頁首頁湖南教育出版社湖南教育出版社例例5 設(shè)平面過點設(shè)平面過點P(a,0,0),Q(0,b,0

28、),R(0,0,c)(abc 0)，解解 設(shè)平面的方程為設(shè)平面的方程為 Ax+By+Cz+D=0.0,0,0.AaDBbDCcD,DAa ,DBb .DCc 6.3 平面與直線平面與直線將三點坐標(biāo)代入得將三點坐標(biāo)代入得求它的方程求它的方程.上頁上頁下頁下頁首頁首頁湖南教育出版社湖南教育出版社,aDA ,bDB ,cDC 將將代入所設(shè)方程得代入所設(shè)方程得1xyzabc平面的截距式方程平面的截距式方程x軸軸上上截截距距y軸軸上上截截距距z軸軸上上截截距距6.3 平面與直線平面與直線0DDDxyzDabc整理得整理得上頁上頁下頁下頁首頁首頁湖南教育出版社湖南教育出版社2. 直線直線(1)直線的一般方

29、程直線的一般方程設(shè)空間一直線為設(shè)空間一直線為l,12、1111222200AxB yC zDA xB yC zD為交于為交于l的兩個平面，方程為的兩個平面，方程為1111122222:0,:0,AxB yC zDA xB yC zD(1) (2)直線的一般方程直線的一般方程6.3 平面與直線平面與直線上頁上頁下頁下頁首頁首頁湖南教育出版社湖南教育出版社 如果一個非零向量如果一個非零向量s平行于一條直線平行于一條直線l，那么稱，那么稱s為為直線直線l的方向向量的方向向量.定義定義20000(,).M Mxxyyzz /sl0/ .M Ms 000.xxyyzzmnp直線直線l的的點向式方程點向式

30、方程6.3 平面與直線平面與直線xyzosl0MM),(0000zyxM),(zyxM),(pnms直線的一組直線的一組方向數(shù)方向數(shù)上頁上頁下頁下頁首頁首頁湖南教育出版社湖南教育出版社tpzznyymxx 000令令6.3 平面與直線平面與直線000,.xxmtyyntzzpt直線的參數(shù)方程直線的參數(shù)方程參數(shù)參數(shù)上頁上頁下頁下頁首頁首頁湖南教育出版社湖南教育出版社例例6 求過點求過點(1,-1,2)且垂直于平面且垂直于平面3x+2y-z+5=0的直線方程的直線方程.112.321xyz解解 與平面的法向量與平面的法向量n=(3,2,-1) ,可取可取n作為直線的方向向量作為直線的方向向量. 于

31、是由點向式方程，得所求直線的方程為于是由點向式方程，得所求直線的方程為6.3 平面與直線平面與直線例例7 求過點求過點A(2,1,-1)和和B(0,3,4) 的直線方程的直線方程.(02,3 1,4 1)AB ( 2,2,5) 解解 211.225xyz上頁上頁下頁下頁首頁首頁湖南教育出版社湖南教育出版社例例8把直線把直線l的一般方程的一般方程化為點法式方程化為點法式方程03250 xyzxyz03250 xyxy0(1,1,0)M和參數(shù)方程和參數(shù)方程.解解先在直線先在直線l上找一點，令上找一點，令z=0，得，得為直線為直線l上的一點上的一點.6.3 平面與直線平面與直線1,1.xy12n(1

32、, 1,1),n(3,2, 1)12/.lnnkjinn2311311112112145( 1,4,5). ijk上頁上頁下頁下頁首頁首頁湖南教育出版社湖南教育出版社11;145xyz1145xtytzt 所以，直線所以，直線l的點法式方程為的點法式方程為參數(shù)方程為參數(shù)方程為6.3 平面與直線平面與直線上頁上頁下頁下頁首頁首頁湖南教育出版社湖南教育出版社6.3 平面與直線平面與直線3. 平面、直線間的夾角平面、直線間的夾角定義定義3兩平面發(fā)向量的夾角中的銳角，稱為兩平面的夾角兩平面發(fā)向量的夾角中的銳角，稱為兩平面的夾角.11n22n111,1222,2(,),(,)nA B CnA B C11

33、11122222:0:0A xB yC zDA xB yC zD 22222221212121212121|,cos|cosCBACBACCBBAAnn222222212121212121|cosCBACBACCBBAA兩平面的夾角公式兩平面的夾角公式 上頁上頁下頁下頁首頁首頁湖南教育出版社湖南教育出版社121212120.A AB BCC11112222/;ABCABC(1)(2)例例9 求兩平面求兩平面x-2y+z+1=0和和2x-y-z-2=0的夾角的夾角.解解12n(1, 2,1),n(2, 1, 1). 222222|1 2( 2) ( 1) 1 ( 1)|1cos.21( 2)12

34、( 1)( 1) .3所以，兩平面的夾角所以，兩平面的夾角6.3 平面與直線平面與直線兩平面位置特征：上頁上頁下頁下頁首頁首頁湖南教育出版社湖南教育出版社定義定義4 兩直線方向向量的夾角中的銳角，稱為兩直線的夾角兩直線方向向量的夾角中的銳角，稱為兩直線的夾角.1111111:xxyyzzlmnp2222222:xxyyzzlmnp11112222(,),(,)sm n psm np12121212222222111222|cos|cos,|m mn np ps smnpmnp121212222222111222|cosm mn np pmnpmnp設(shè)兩直線的夾角為設(shè)兩直線的夾角為兩直線的夾角公

35、式兩直線的夾角公式6.3 平面與直線平面與直線上頁上頁下頁下頁首頁首頁湖南教育出版社湖南教育出版社 11112222(1) /;mnpllmnp12121212(2) 0.llmmn np p12 .ll1112:321xyzl2312:254xyzl根據(jù)向量平行、垂直的條件，可推出下述結(jié)論：根據(jù)向量平行、垂直的條件，可推出下述結(jié)論：例例10 試證直線試證直線與直線與直線垂直垂直.證證1s(3,2,1),2s( 2,5, 4) 3(-2)+25+1(-4)=06.3 平面與直線平面與直線上頁上頁下頁下頁首頁首頁湖南教育出版社湖南教育出版社 直線與其在平面內(nèi)的投影之間的夾角的銳角，叫直線與其在平

36、面內(nèi)的投影之間的夾角的銳角，叫做直線與平面的夾角做直線與平面的夾角.定義定義5sin|cos,|s nln| |s ns n222222|.mAnBpCmnpABC222222|sin.mAnBpCmnpABC直線與平面的夾角公式直線與平面的夾角公式6.3 平面與直線平面與直線,:000pzznyymxxL :0,AxByCzD, ,sm n p, ,nA B C 上頁上頁下頁下頁首頁首頁湖南教育出版社湖南教育出版社(1) /0;lmAnBpC(2) .mnplABC根據(jù)向量平行、垂直的條件，可推出下述結(jié)論：根據(jù)向量平行、垂直的條件，可推出下述結(jié)論：123211xyz222222|2 1 1

37、( 1) 1 2|1sin22111( 1)2 .6例例11 求直線求直線與平面與平面x-y+2z-3=0的夾角的夾角.解解 直線的方向向量為直線的方向向量為s=(2,1,1),平面的法向量為平面的法向量為n=(1,-1,2).所以，所求夾角為所以，所求夾角為6.3 平面與直線平面與直線上頁上頁下頁下頁首頁首頁湖南教育出版社湖南教育出版社Nn0P6.3 平面與直線平面與直線4. 點到平面的距離點到平面的距離1Pd0000(,),P xyz: 0,AxByCzD1111( ,)P x y z10|cosdPP 10010101(,)PPxx yy zz ( , ,),A B Cn10010101

38、()()()PPA xxB yyC zz 000111()AxByCzAxByCz000.AxByCzD1010n|cos|n |PPPP 00022210|,AxByCzDPPABC 上頁上頁下頁下頁首頁首頁湖南教育出版社湖南教育出版社000000101022222210d |cos| |.AxByCzDAxByCzDPPPPPPABCABC 6.3 平面與直線平面與直線點到平面的距離公式為點到平面的距離公式為 000222|.AxByCzDdABC例例12 求點求點(3,1,-2)到平面到平面3x-5y+4z-1=0的距離的距離.解解 根據(jù)點到平面的距離公式，得根據(jù)點到平面的距離公式，得2

39、22|3 35 14 ( 2) 1|d354 55 22.2上頁上頁下頁下頁首頁首頁湖南教育出版社湖南教育出版社6.4 曲面與曲線曲面與曲線1. 曲面方程的概念曲面方程的概念2. 旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面3. 柱面柱面4. 二次曲面二次曲面5. 曲線曲線上頁上頁下頁下頁首頁首頁湖南教育出版社湖南教育出版社1. 曲面方程的概念曲面方程的概念如果曲面如果曲面S與三元方程與三元方程F(x,y,z)=0有如下關(guān)系：有如下關(guān)系：6.4 曲面與曲線曲面與曲線定義定義1曲面曲面S上任意一點的坐標(biāo)都滿足方程上任意一點的坐標(biāo)都滿足方程F(x,y,z)=0；(2) 不在曲面不在曲面S上的點的坐標(biāo)都不滿足上的點的坐標(biāo)都不滿

40、足F(x,y,z)=0，那么稱方，那么稱方程程F(x,y,z)=0為曲面為曲面S的方程，而曲面的方程，而曲面S稱為方程稱為方程F(x,y,z)=0的的圖圖形形.上頁上頁下頁下頁首頁首頁湖南教育出版社湖南教育出版社例例1 求球心在點求球心在點，半徑為，半徑為R的球面方程的球面方程.0( , , )Ma b c222()()(),xaybzcR2222()()().xaybzcR2222.xyzR解解 設(shè)設(shè)M(x,y,z)是球面上任意一點，是球面上任意一點， 那么根據(jù)兩點間的距離公式，得那么根據(jù)兩點間的距離公式，得整理，得特別地，當(dāng)球心在原點O(0,0,0)時，球面方程為6.4 曲面與曲線曲面與曲

41、線上頁上頁下頁下頁首頁首頁湖南教育出版社湖南教育出版社的球面的球面.例例2方程方程解解 把原方程配方，得把原方程配方，得5222420 xyzxz222(2)(1)5.xyz表示怎樣的曲面？表示怎樣的曲面？所以，它表示球心在點所以，它表示球心在點(2,0,-1),半徑為半徑為6.4 曲面與曲線曲面與曲線上頁上頁下頁下頁首頁首頁湖南教育出版社湖南教育出版社2. 旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面6.4 曲面與曲線曲面與曲線 一條平面曲線一條平面曲線C繞同一平面上的定直線繞同一平面上的定直線l旋轉(zhuǎn)所形成旋轉(zhuǎn)所形成的曲面稱為的曲面稱為旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面.這條定直線這條定直線l叫作叫作旋轉(zhuǎn)曲面的旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)曲面的旋轉(zhuǎn)軸，平

42、面曲線平面曲線C叫作叫作旋轉(zhuǎn)曲面的母線旋轉(zhuǎn)曲面的母線.定義定義2 ( , )0,: 0.f x yCx11(0,0,)Oz111(0,)My z11(,)0.f y z1MM和1.zz都在垂直于都在垂直于z軸的平面上，軸的平面上，(2)(1)上頁上頁下頁下頁首頁首頁湖南教育出版社湖南教育出版社到到z軸的距離，軸的距離，2222211| |(0)(0)().yO Mxyzzxy221.yxy 22(, )0.fxyz又點又點M到到z軸的距離等于點軸的距離等于點1M(3)將將(2)和和(3)代入代入(1)，得，得22( ,)0.f yxy6.4 曲面與曲線曲面與曲線類似地，曲線類似地，曲線C繞繞y

43、軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為上頁上頁下頁下頁首頁首頁湖南教育出版社湖南教育出版社例例3 求求xOy面上的橢圓面上的橢圓22xy22221yzab22221yzab222221.xyzab2222221.xyzaab 繞繞z軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程.解解 因為因為z軸是旋轉(zhuǎn)軸，所以在方程軸是旋轉(zhuǎn)軸，所以在方程以以中，保持中，保持z不變，不變，代代y，得，得即所求的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為即所求的旋轉(zhuǎn)曲面的方程為6.4 曲面與曲線曲面與曲線旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)橢球面 ozyx上頁上頁下頁下頁首頁首頁湖南教育出版社湖南教育出版社例例4 求求xOy面上的拋物線

44、面上的拋物線22(0)xpy p22xz222.xzpy22xpy繞繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程曲面的方程.解解 因為因為y軸是旋轉(zhuǎn)軸，所以在方程軸是旋轉(zhuǎn)軸，所以在方程中保持中保持y不變，以不變，以代代x，得所求曲面方程為，得所求曲面方程為6.4 曲面與曲線曲面與曲線旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面 xyzo上頁上頁下頁下頁首頁首頁湖南教育出版社湖南教育出版社例例5 求求yOz面上的直線面上的直線z=ky(k0)繞繞z軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn) 曲面方程曲面方程.解解 因為因為z軸是旋轉(zhuǎn)軸，所以在方程軸是旋轉(zhuǎn)軸，所以在方程z=ky中保持中保持z不變，以不變，以22xy22.

45、zkxy 2222().zkxy代代y，得所求旋轉(zhuǎn)曲面的方程為，得所求旋轉(zhuǎn)曲面的方程為對上式平方，得對上式平方，得6.4 曲面與曲線曲面與曲線圓錐曲面圓錐曲面 oxzy上頁上頁下頁下頁首頁首頁湖南教育出版社湖南教育出版社但凡過但凡過xOy平面內(nèi)圓平面內(nèi)圓 且平行于且平行于z軸的直線軸的直線3. 柱面柱面例例6 方程方程221xy221xy221xy在空間表示怎樣的曲面？在空間表示怎樣的曲面？解解 方程方程在在xOy平面上表示一個圓平面上表示一個圓.上一點上一點都在方程都在方程 所表示的空間圖形上所表示的空間圖形上.221xy方程方程221xy所表示的空間圖形可看作是所表示的空間圖形可看作是由平行于由平行于z軸的一條直線沿軸的一條直線沿xOy平面內(nèi)的圓移動而成的平面內(nèi)的圓移動而成的曲面，稱為曲面，稱為圓柱面圓柱面.6.4 曲面與曲線曲面與曲線oxzy1上頁上頁下頁下頁首頁首頁湖南教育出版社湖南教育出版社 一動直線一動直線L沿定曲線沿定曲線C移動，且始終與定直線移動，且始終與定直線l平行，平行，那么稱動直線那么稱動直線L的軌跡為柱面的軌跡為柱面.定曲線定曲線C叫作柱面的準(zhǔn)線，動直叫作柱面的準(zhǔn)線，動直線線L叫作柱面的母線叫作柱面的母線.定義定義3 6.4 曲面與曲線曲面與曲線上頁上頁下頁下頁首頁首頁湖南教育出版社湖南教育出版社例例7 以下方程各表示何種曲面：以下方程各表示何種曲