2007全國碩士研究生統(tǒng)一入學(xué)考試考研數(shù)學(xué)一試題及答案解析

1、2007年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題一、選擇題：小題，每題4分，共40分，以下每題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求，請將所選項前的字母填在答題紙指定位置上.(1) 當時，與等價的無窮小量是( ). (2) 曲線漸近線的條數(shù)為( ) 0 1 2 3(3) 如圖，連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周，在區(qū)間上圖形分別是直徑為的上、下半圓周，設(shè)那么以下結(jié)論正確的選項是( )32-1O1-2-3 (4) 設(shè)函數(shù)在連續(xù)，那么以下命題錯誤的選項是( )假設(shè)存在，那么 假設(shè)存在，那么假設(shè)存在，那么存在 假設(shè)存在，那么存在(5) 設(shè)函數(shù)在上具有二階導(dǎo)數(shù)，且，令，那么以下結(jié)論正

2、確的選項是( ) 假設(shè)，那么必收斂 假設(shè)，那么必發(fā)散 假設(shè)，那么必收斂 假設(shè)，那么必發(fā)散(6) 設(shè)曲線(具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù))過第象限內(nèi)的點和第IV象限內(nèi)的點，為上從點到點的一段弧，那么以下積分小于零的是( ) (7) 設(shè)向量組線性無關(guān)，那么以下向量組線性相關(guān)的是( ). . . . (8) 設(shè)矩陣，那么與( ). 合同，且相似 . 合同，但不相似 . 不合同，但相似 . 既不合同，也不相似(9) 某人向同一目標獨立重復(fù)射擊，每次射擊命中目標的概率為那么此人第4次射擊恰好第次命中目標的概率為 ( ). . .(10) 設(shè)隨機變量服從二維正態(tài)分布，且與不相關(guān)，分別表示的概率密度，那么在條件下，的條

3、件概率密度為( ). . .二、填空題：11-16小題，每題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上.(11) (12) 設(shè)為二元可微函數(shù)，那么(13) 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的通解為(14) 設(shè)曲面，那么(15) 設(shè)距陣那么的秩為(16) 在區(qū)間中隨機地取兩個數(shù),那么這兩數(shù)之差的絕對值小于的概率為三、解答題：1724小題，共86分.請將解答寫在答題紙指定的位置上.解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟.(17)(此題總分值10分) 求函數(shù)在區(qū)域上的最大值和最小值.(18)(此題總分值11分)計算曲面積分 其中為曲面的上側(cè).(19)(此題總分值11分)設(shè)函數(shù)，在上連續(xù)，在內(nèi)二階可導(dǎo)且

4、存在相等的最大值，又，證明：存在使得(20)(此題總分值10分)設(shè)冪級數(shù)在內(nèi)收斂，其和函數(shù)滿足(I) 證明(II) 求的表達式(21)(此題總分值11分)設(shè)線性方程組 與方程 有公共解，求得值及所有公共解.(22)(此題總分值11分)設(shè)3階實對稱矩陣的特征值是的屬于的一個特征向量,記，其中為3階單位矩陣.(I) 驗證是矩陣的特征向量，并求的全部特征值與特征向量；(II) 求矩陣.(23)(此題總分值11分)設(shè)二維隨機變量的概率密度為 (I) 求；(II) 求的概率密度. (24)(此題總分值11分)設(shè)總體的概率密度為.其中參數(shù)未知，是來自總體的簡單隨機樣本，是樣本均值.(I) 求參數(shù)的矩估計量

5、；(II) 判斷是否為的無偏估計量，并說明理由. 2007年全國碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題解析一、選擇題(1)【答案】B【詳解】方法1：排除法：由幾個常見的等價無窮小，當時，當時，此時，所以可以排除、，所以選(B).方法2： 當時，又因為時，所以，選(B).方法3：設(shè)，那么對應(yīng)系數(shù)相等得：，所以原式，選(B).(2)【答案】D【詳解】因為，所以是一條鉛直漸近線；因為，所以是沿方向的一條水平漸近線；令 令 所以是曲線的斜漸近線，所以共有3條，選擇(D)(3)【答案】C【詳解】由題給條件知，為的奇函數(shù)，那么，由 知，故為的偶函數(shù)，所以. 而表示半徑的半圓的面積，所以，其中表示半徑的半圓的面積

6、的負值，所以所以 所以 ，選擇C(4)【答案】( D)【詳解】方法1：論證法，證明都正確，從而只有不正確.由存在及在處連續(xù)，所以，所以(A)正確；由選項(A)知，所以存在，根據(jù)導(dǎo)數(shù)定義，存在，所以(C)也正確；由在處連續(xù)，所以在處連續(xù)，從而所以即有.所以(B)正確，故此題選擇(D).方法2：舉例法，舉例說明(D)不正確. 例如取，有存在而 ，左右極限存在但不相等，所以在的導(dǎo)數(shù)不存在. (D)不正確，選(D).(5)【答案】( D)【詳解】，由拉格朗日中值定理，有，其中， 由知嚴格單調(diào)增，故假設(shè)，那么 所以而是一個確定的正數(shù). 于是推知故發(fā)散. 選(D)(6)【答案】B【詳解】用排除法.將代入知

7、，排除C.取，、依次為、，那么，排除A，排除D，選B(7) 【答案】A【詳解】方法1：根據(jù)線性相關(guān)的定義，假設(shè)存在不全為零的數(shù)，使得成立，那么稱線性相關(guān).因，故線性相關(guān)，所以選擇(A).方法2：排除法因為其中，且 .故是可逆矩陣，由可逆矩陣可以表示為假設(shè)干個初等矩陣的乘積，右乘時，等于作假設(shè)干次初等變換，初等變換不改變矩陣的秩，故有所以線性無關(guān)，排除(B).因為 其中，故是可逆矩陣，由可逆矩陣可以表示為假設(shè)干個初等矩陣的乘積, 右乘時，等于作假設(shè)干次初等變換，初等變換不改變矩陣的秩，故有所以線性無關(guān)，排除(C).因為 其中，故是可逆矩陣，由可逆矩陣可以表示為假設(shè)干個初等矩陣的乘積, 右乘時，等

8、于作假設(shè)干次初等變換，初等變換不改變矩陣的秩，故有所以線性無關(guān)，排除(D).綜上知應(yīng)選(A).(8) 【答案】B【詳解】 方法1：那么的特征值為3，3，0;是對角陣，對應(yīng)元素即是的特征值，那么的特征值為1，1，0. 的特征值不相同，由相似矩陣的特征值相同知，不相似.由的特征值可知，的正慣性指數(shù)都是2，又秩都等于2可知負慣性指數(shù)也相同，那么由實對稱矩陣合同的充要條件是有相同的正慣性指數(shù)和相同的負慣性指數(shù)，知與合同，應(yīng)選(B).方法2: 因為跡(A)=2+2+2=6，跡(B)=1+1=26，所以A與B不相似(不滿足相似的必要條件).又，A與B是同階實對稱矩陣，其秩相等，且有相同的正慣性指數(shù)，故A與

9、B合同.(9)【答案】【詳解】把獨立重復(fù)射擊看成獨立重復(fù)試驗.射中目標看成試驗成功. 第4次射擊恰好是第次命中目標可以理解為：第4次試驗成功而前三次試驗中必有1次成功，2次失敗.再加上第4次是成功的，其概率為.根據(jù)獨立性原理：假設(shè)事件獨立，那么所以，第4次射擊為第二次命中目標的概率為 所以選(C) (10)【答案】【詳解】二維正態(tài)隨機變量中，與的獨立等價于與不相關(guān). 而對任意兩個隨機變量與，如果它們相互獨立，那么有.由于二維正態(tài)隨機變量中與不相關(guān)，故與獨立，且. 根據(jù)條件概率密度的定義，當在條件下，如果那么.現(xiàn)顯然不為0，因此 所以應(yīng)選(A).二、填空題(11)【答案】【詳解】命，有(12)【

10、答案】【詳解】(13)【答案】【詳解】這是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程，且函數(shù)是型(其中). 所給方程對應(yīng)的齊次方程為，它的特征方程為 得特征根 對應(yīng)齊次方程的通解由于這里不是特征方程的根，所以應(yīng)設(shè)該非齊次方程的一個特解為 所以，代入原方程：，那么，所以 故得原方程的通解為.(14)【答案】【詳解】 ，對于第一局部，由于積分區(qū)域關(guān)于軸、軸是對稱的面，被積函數(shù)為的奇函數(shù)，所以對于第二局部，因關(guān)于輪換對稱，所以那么，由曲面積分的幾何意義，為曲面的外表積，所以 而為8塊同樣的等邊三角形，每塊等邊三角形的邊長為，所以所以 (15)【答案】1【詳解】 由階梯矩陣的行秩等于列秩，其值等于階梯形矩陣的非零行

11、的行數(shù)，知1O1(16) 【答案】【詳解】不妨假定隨機地抽出兩個數(shù)分別為，它們應(yīng)是相互獨立的. 如果把看成平面上一個點的坐標，那么由于所以為平面上正方形：中的一個點. 兩個數(shù)之差的絕對值小于對應(yīng)于正方形中的區(qū)域.所有可能在區(qū)間中隨機取的兩個數(shù)，可以被看成上圖中單位正方形里的點.的區(qū)域就是正方形中陰影的面積. 根據(jù)幾何概率的定義： 三、解答題(17)【詳解】方法1：先求函數(shù)在的內(nèi)部駐點，由，解得內(nèi)的駐點為，相應(yīng)的函數(shù)值為再考慮在的邊界：上的. 即，易知函數(shù)在此邊界上的最大值為，最小值為.考慮在的邊界：上的，所以，令 由得駐點，所以函數(shù)在相應(yīng)點處的函數(shù)值為，綜上可知函數(shù)在上的最大值為，最小值為.方

12、法2：在內(nèi)與邊界上，同方法1 .在邊界：上，構(gòu)造函數(shù)令 ， 解得，綜上，在上的最大值為8，最小值為0(18)【詳解】方法1：增加一個曲面使之成為閉合曲面，從而利用高斯公式，補充曲面片，下側(cè)為正，有根據(jù)高斯公式，其中，. 又由函數(shù)奇偶性可知，從而.方法2：曲面在上的投影記為，由于曲面的正向法向量為，所以 令 ，那么方法3：記曲面在三個坐標平面上的投影分別為，那么利用函數(shù)奇偶性有，所以 (19)【詳解】欲證明存在使得，可構(gòu)造函數(shù)，從而使用介值定理、微分中值定理等證明之.令，由題設(shè)存在相等的最大值，設(shè)，使得. 于是，假設(shè)，那么取有.假設(shè)，那么取有.假設(shè)，那么由連續(xù)函數(shù)介值定理知，存在使.不管以上哪種

13、情況，總存在使.再，將在區(qū)間分別應(yīng)用羅爾定理，得存在使得；再由羅爾定理知，存在使.即有.(20)【詳解】(I) 證法一：對求一階和二階導(dǎo)數(shù)，得 代入，得 即 于是 從而 證法二：由于，根據(jù)泰勒級數(shù)的唯一性便知.在方程兩端求階導(dǎo)數(shù)，得令，得，即 ， 故 (II) 證法一：由于且根據(jù)題設(shè)中條件 所以 ； 從而 .證法二：因為，所以，兩邊求導(dǎo)，得由于 ，所以 ，即函數(shù)滿足方程令，那么上述方程變?yōu)椋?，解之得，從?由得，所以.(21) 【詳解】方法1：因為方程組(1)、(2)有公共解，將方程組聯(lián)立得 對聯(lián)立方程組的增廣矩陣作初等行變換由此知，要使此線性方程組有解，必須滿足，即或.當時，聯(lián)立方程組(3

14、)的同解方程組為，由，方程組有個自由未知量. 選為自由未知量，取，解得兩方程組的公共解為，其中是任意常數(shù).當時, 聯(lián)立方程組(3)的同解方程組為，解得兩方程的公共解為.方法2：將方程組(1)的系數(shù)矩陣作初等行變換當時，方程組(1)的同解方程組為，由，方程組有個自由未知量.選為自由未知量，取，解得(1)的通解為，其中是任意常數(shù). 將通解代入方程(2)得，對任意的成立，故當時，是(1)、(2)的公共解.當時，方程組(1)的同解方程組為，由，方程組有個自由未知量.選為自由未知量，取，解得(1)的通解為,其中是任意常數(shù). 將通解代入方程(2)得，即，故當時，(1)和(2)的公共解為.(22) 【詳解】

15、由，可得 ，是正整數(shù),故 于是是矩陣的特征向量(對應(yīng)的特征值為). 假設(shè)，那么因此對任意多項式，即是的特征值.故的特征值可以由的特征值以及與的關(guān)系得到，的特征值 那么有特征值所以的全部特征值為2，1，1. 由是實對稱矩陣及與的關(guān)系可以知道，也是實對稱矩陣，屬于不同的特征值的特征向量正交. 由前面證明知是矩陣的屬于特征值的特征向量，設(shè)的屬于1的特征向量為，與正交，所以有方程如下：選為自由未知量，取，于是求得的屬于1的特征向量為 故的所有的特征向量為：對應(yīng)于的全體特征向量為，其中是非零任意常數(shù)，對應(yīng)于的全體特征向量為，其中是不同時為零的任意常數(shù).方法1：令矩陣，求逆矩陣. 那么 由，所以 方法2：

16、由知與分別正交，但是不正交，現(xiàn)將正交化：取 .其中，再對單位化： 其中，合并成正交矩陣，記 由，有. 又由正交矩陣的性質(zhì)：，得.(23)【詳解】 計算可用公式求的概率密度：可用兩個隨機變量和的概率密度的一般公式求解.(卷積公式)此公式簡單，但討論具體的積分上下限會較復(fù)雜.另一種方法可用定義先求出然后再.1O1(I)，其中為中的那局部區(qū)域(右圖陰影局部)；求此二重積分可得()方法1：根據(jù)兩個隨機變量和的概率密度的卷積公式有先考慮被積函數(shù)中第一個自變量的變化范圍，根據(jù)題設(shè)條件只有當時才不等于0. 因此，不妨將積分范圍改成現(xiàn)再考慮被積函數(shù)的第二個變量.顯然，只有當時，為此，我們將分段討論.因為有，即是而的取值范圍是，所以使得不等于0的取值范圍是 如以下圖，在情況下，在陰影區(qū)域和，密度函數(shù)值不為0，積分方向如下圖，積分上下限就很好確定了，所以很容易由卷積公式得出答案。