常微分方程補(bǔ)充教程

1、第一章 一般理論1.1 預(yù)備知識一 .Banach空間設(shè)是實(shí)數(shù)域或復(fù)數(shù)域上的線性空間，若上的實(shí)值函數(shù)滿足下列條件：（1） 對任何，并且的充要條件是；（2） ，；（3） ，則稱為上的范數(shù)，而稱為賦范線性空間.通常我們略去，而把簡稱為賦范線性空間.設(shè)是賦范線性空間，對任何，令，則是上的距離函數(shù).因此，我們自然地把看成是度量空間. 完備的賦范線性空間稱為Banach空間.例如 n維向量空間,對,定義范數(shù),由導(dǎo)出的距離稱為Euclid距離,且稱為維Euclid空間,它是一個(gè)Banach空間.又如連續(xù)函數(shù)空間,對,定義范數(shù),則是一個(gè)Banach空間,但按范數(shù)是一個(gè)不完備的賦范線性空間.二 . 緊集與相對

2、緊集設(shè)為度量空間, 是中的子集.為相對緊集(或列緊集) 的充要條件是中任一點(diǎn)列必有收斂子列.為閉集的充要條件是中任何收斂點(diǎn)列必收斂于中的點(diǎn). 為緊集的充要條件是為相對緊閉集(或自列緊集).在中緊集與有界閉集是一致的,但在一般度量空間中,可以證明,緊集一定是有界閉集,但反之不然.于是我們可以把閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)推廣到度量空間緊集上的連續(xù)映射上來.例如1. 若是緊集上的連續(xù)映射,則在上必有界,而且可以達(dá)到上、下確界.2. 緊集上的連續(xù)映射必是一致連續(xù)的.3. 度量空間X上的連續(xù)映射必然把列緊集映為列緊集.三. Ascoli-Arzela定理考慮定義在上的實(shí)值(維)向量函數(shù)族,如果存在,使對任何

3、,都有,則稱函數(shù)族在上是一致有界的.如果對任給的,存在,使對任何和,只要,就有,則稱函數(shù)族在上是等度連續(xù)的.這里一致有界是指中所有在上有一個(gè)共同的界,等度連續(xù)是指，一個(gè)共同的,不僅對每個(gè)在上一致(即每個(gè)在上一致連續(xù)),并且對中所有一致.Ascoli-Arzela定理 設(shè)=是定義在上的一致有界且等度連續(xù)的實(shí)值( 維)向量函數(shù)族,則從中必可選取一個(gè)在上一致收斂的子序列.四 . 不動點(diǎn)原理設(shè)為度量空間到它自身的一個(gè)映射,如果存在數(shù),，使對一切都有，則稱為上的壓縮映射.壓縮映射從幾何上看就是和經(jīng)映射后,它們的像的距離縮短了(不超過的倍,).壓縮映射原理 完備的度量空間中的壓縮映射必有唯一的不動點(diǎn)(就是

4、說,方程有且只有一個(gè)解).定理中的完備性條件不能去掉.例如,=,是如下的映射,.顯然是到的壓縮映射,但在中無解,即在中不存在的不動點(diǎn).條件, 不能減弱為 .例如=0,+),X為完備的度量空間, 定義為+, .當(dāng)時(shí)，但在中沒有不動點(diǎn).應(yīng)用上常取中的一個(gè)閉子空間(子空間是完備空間的充要條件是是的閉子空間).Schauder不動點(diǎn)定理 設(shè)是Banach空間,是凸閉集, 是的連續(xù)映射,并且是相對緊集,則在中至少有一個(gè)不動點(diǎn).1.2解的局部存在和唯一性定理一 . 皮卡(Picard)定理考慮初值問題(或Cauchy問題) ,即方程 滿足初始條件的解的問題,其中，是定義在區(qū)域上的n維實(shí)值向量函數(shù),為某一區(qū)

5、間.歷史上Cauchy在十九世紀(jì)二十年代第一個(gè)成功地建立了微分方程初值問題的解的存在和唯一性定理(因此后人常把初值問題稱為Cauchy問題).1876年,Lipschity減弱了Cauchy定理的條件.1893年,Picard用逐次逼近法在Lipschity條件下對定理給出了一個(gè)新證明.定理2.1(Picard) 若函數(shù)在空間中某區(qū)域: ,上連續(xù),并且關(guān)于滿足Lipschity條件,即,使當(dāng),時(shí)有 ，則初值問題（I）在區(qū)間上存在唯一解，其中，.證明思路 先證明解的存在性（轉(zhuǎn)化逼近取極限）轉(zhuǎn)化 證明初值問題（I）等價(jià)于積分方程 .這里等價(jià)的含義是指是初值問題（I）的解當(dāng)且僅當(dāng)它是積分方程的連續(xù)解

6、.逼近 構(gòu)造逐次逼近序列 ，.證明序列在：上有定義，連續(xù)且滿足.取極限.證明序列及在上皆一致收斂.于是記，則在上連續(xù)，并且可通過積分號取極限，從而有，即是積分方程的連續(xù)解.最后證明解的唯一性.下面應(yīng)用壓縮映射原理證明定理2.1 .定理2.1的證明 僅考慮：的情形，對于左半?yún)^(qū)間的情形可以類似討論.用表示定義在上一切連續(xù)的維向量函數(shù)所構(gòu)成的集合.對，定義它的范數(shù)為，其中為某一常數(shù).容易證明按距離成為完備的度量空間.用表示滿足條件的連續(xù)向量函數(shù)全體構(gòu)成的子空間，不難看出是閉子空間，從而是完備的度量空間. 令，則是到中的映射. 事實(shí)上，任取有， 即當(dāng)時(shí)，. 又對有 .從而推出，.所以是中的壓縮映射，故

7、存在唯一的，使，即，.由于積分方程定義在上的任何連續(xù)解都含于中，因此方程在上存在唯一的連續(xù)解，它等價(jià)于初值問題（I）在上存在唯一解. 推論2.1 若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)連續(xù)，且關(guān)于滿足局部Lipschity條件 即對任一點(diǎn)，存在它的一個(gè)鄰域，使在上關(guān)于滿足Lipschity條件（注意，相應(yīng)的Lipschity常數(shù)與有關(guān)），則對任一點(diǎn)，都相應(yīng)地有含點(diǎn)的一個(gè)區(qū)間，使初值問題（I）在上存在唯一解.推論2.2 若函數(shù)在區(qū)域內(nèi)連續(xù)并存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)則仍有推論1的結(jié)論成立.例1 利用Picard定理證明初值問題 ， 在區(qū)間上存在唯一解.證 在矩形：上考察所給初值問題.由于及都在上連續(xù)，故滿足Picard定理的條件

8、.這里，. 因此推出該問題在區(qū)間，即上存在唯一解. 例2 設(shè)二元函數(shù)在帶域：上連續(xù)，關(guān)于滿足局部Lipschity條件，且. 記為初值問題的解. 試證明：若，則對一切恒有證 由假設(shè)可知，對任給，所述初值問題在區(qū)間上存在唯一解，且是方程的解.用反證法證明：當(dāng)時(shí)，對一切恒有. 因?yàn)槿绻蝗唬卮嬖?，?于是過點(diǎn)就有方程的兩個(gè)不同的解及通過，這是一個(gè)矛盾. 例3 設(shè)在積分方程中，在上連續(xù)，在上連續(xù). 試證：當(dāng)足夠小時(shí)，此方程在上必存在唯一的連續(xù)解.證 在中定義范數(shù)=，則是一個(gè)Banach空間. 作映射：，.由假設(shè)條件知，是到自身的映射. 令，對有 .若記，則當(dāng)時(shí)就推出，.根據(jù)壓縮映射原理，在中有唯一

9、的不動點(diǎn)，即所給積分方程在上有唯一的連續(xù)解. 例4 設(shè)三元函數(shù)在上連續(xù)，且關(guān)于滿足Lipschity條件，而函數(shù)在上連續(xù)，試證積分方程 在上存在唯一的連續(xù)解.證 在中定義范數(shù)，其中是某一常數(shù)，則是一個(gè)Banach空間，考察到它自身的映射：.任取，有 ，從而推出，.根據(jù)壓縮映射原理，在中有唯一的不動點(diǎn)，即所給積分方程在上有唯一的連續(xù)解.例5 設(shè)二元函數(shù)在上連續(xù)，且存在，對及有.試證明初值問題， （2.1）在上存在唯一解。證 易知問題（2.1）存在唯一解等價(jià)于問題， （2.2）存在唯一解.而問題（2.2）存在唯一解又等價(jià)于積分方程 （2.3）存在唯一的連續(xù)解. 因此只需證明積分方程（2.3）存在唯

10、一的連續(xù)解.用表示所有在上連續(xù)，且存在（有限）極限的函數(shù)構(gòu)成的集合，并在中定義范數(shù)，其中則不難驗(yàn)證是一個(gè)Banach空間，作映射：.運(yùn)用洛必達(dá)法則，故，即是到其自身的映射. 又對， ，從而有， .所以滿足壓縮映射原理的條件. 因此存在唯一的不動點(diǎn)使，即， .再注意到對方程（2.3）的任意連續(xù)解都有.所以，這就證明了積分方程（2.3）在上存在唯一的連續(xù)解.附注1 為什么不直接考慮問題（2.1）而轉(zhuǎn)為問題（2.2）？因?yàn)榕c（2.1）等價(jià)的積分方程為，而 .附注2 檢驗(yàn)存在（有限）極限，從而說明方程（2.3）的解集合.二. 佩亞諾存在定理若不考慮唯一性，佩亞諾（Peano)在更一般的條件（即只要求函

11、數(shù)的連續(xù)性)下建立了初值問題解的存在性定理.定理2.2（Peano)若函數(shù)在空間中某區(qū)域上連續(xù)，則初值問題（） 在區(qū)間上至少有一個(gè)解，其中，.證明思路（只考慮：的情形）1.對，在上構(gòu)造Euler折線 滿足：（1），對；（2）在上分段光滑；（3）在上使得存在的，皆有.2. 設(shè)是一個(gè)單減無窮小數(shù)列，記.證明在上有一致收斂的子列，且令則在上連續(xù).3. 證明 是初值問題（）在上的一個(gè)解.下面應(yīng)用Schauder不動點(diǎn)定理證明定理2.2 .定理2.2的證明 在中定義范數(shù)=，則是一個(gè)Banach空間. 令是中滿足條件，的集合，則對及有 ，故，是凸集. 設(shè)序列且，由 可推出，故，是一個(gè)閉集. 作映射，. 對

12、 ，從而有故，是到中的映射. 又若，且，它蘊(yùn)含在上一致收斂于.于是在中，令便得，說明在上是連續(xù)的. 進(jìn)而對及有 說明作為定義在上的函數(shù)族是一致有界且等度連續(xù)的，由Ascoli-Arzela定理推知是相對緊集. 根據(jù)Schauder不動點(diǎn)定理，必存在使得，即初值問題在區(qū)間： 上至少有一個(gè)解. 推論 若在空間中某區(qū)域G內(nèi)連續(xù)，則對任一點(diǎn),初值問題（I）在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)至少有一個(gè)解. 例6 利用Peano定理證明初值問題的解在上存在證 對任給的正數(shù)在矩形：上連續(xù)，滿足Peano定理的條件，從而推出所給初值問題在區(qū)間上至少有一個(gè)解，其中而由于對任給的當(dāng)時(shí) ，故可取足夠大的使于是就有即該初值問題的解在區(qū)

13、間上存在.再由的任意性可知結(jié)論成立.例7 證明：若二元連續(xù)函數(shù)對是遞減的，則初值問題（） 在右側(cè)（即）的解是唯一的.證 由Peano定理的推論可知，初值問題在某一區(qū)間上至少有一個(gè)解.現(xiàn)設(shè)和都是問題在區(qū)間的解. 令，.由于對是遞減的，從而有 這說明在上也是遞減的，故有，. 但顯然，因此只有，即在上.例8 設(shè)三元函數(shù)在 上連續(xù)且有界，函數(shù) 在上連續(xù).試證：積分方程在上至少有一個(gè)連續(xù)解.證 在中定義范數(shù)，則是一個(gè)Banach空間用表示中滿足條件，的子集，其中. 不難驗(yàn)證是一個(gè)凸閉集. 今定義到中的映射：，易知是連續(xù)映射. 進(jìn)而對及有及，說明作為定義在上的函數(shù)族是一致有界且等度連續(xù)的，由Ascoli-

14、Arzela定理推知是相對緊集. 根據(jù)Schauder不動點(diǎn)定理，必存在，使，即所以該積分方程在至少有一個(gè)連續(xù)解.1.3 解的延拓 一. 解的延拓定理 考慮初值問題 ，其中在區(qū)域內(nèi)連續(xù).應(yīng)當(dāng)注意到，Peano存在定理是一個(gè)局部性定理，因?yàn)樵诙ɡ淼臈l件下，解的存在區(qū)間為，. 顯而易見，愈大，則h愈小. Peano定理的推論雖然在任意區(qū)域G內(nèi)討論初值問題，但未有實(shí)質(zhì)性的效果，過G內(nèi)任一點(diǎn)的積分曲線仍被限制在一個(gè)小區(qū)間上，這樣的結(jié)果是不能令人滿意的.在域G內(nèi)能否將定義在較小區(qū)間上的解拓廣到較大區(qū)間上去呢？這正是本節(jié)所要討論的延拓問題. 定義3.1 如果和分別是方程 在區(qū)間和上的解，且在上有，則稱方程

15、的解是解的一個(gè)延拓.如果方程在上的解不再存在任何延拓，則稱是方程的飽和解.而稱為解的最大存在區(qū)間. 定理3.1 設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)連續(xù)， 為內(nèi)任一點(diǎn)，并設(shè)為方程經(jīng)過的任一條積分曲線，則積分曲線將在區(qū)域內(nèi)延拓到邊界（換句話說，對于任何包含的有界區(qū)域G，積分曲線將延拓到之外）. 證 設(shè)方程經(jīng)過點(diǎn)的積分曲線有如下表達(dá)式 ： ， ，其中表示的最大存在區(qū)間. 討論積分曲線向右延拓的情況.令.如果，則在內(nèi)向右延拓到無窮遠(yuǎn)，從而延拓到的邊界.否則就有下面兩種可能： （1）為有限閉區(qū)間，其中常數(shù).這時(shí)向右延拓可達(dá)到，從而，即是區(qū)域的內(nèi)點(diǎn).于是可作以為中心的矩形，根據(jù)Peano定理，積分曲線可延拓到的右邊.由于已假

16、設(shè)在右邊的最大存在區(qū)間為，這是一個(gè)矛盾.所以不可能是有限閉區(qū)間. （2）為有限半開區(qū)間，其中常數(shù).要證對任何包含點(diǎn)的有界閉區(qū)域G，不可能對一切， （3.1）成立. 否則，設(shè)存在內(nèi)有界閉區(qū)域使（3.1）成立，則有 ，且 ，.它等價(jià)于 ， . （3.2）因?yàn)樵谏线B續(xù)，所以在上有上界.從而對有 ,這說明在上一致連續(xù)，故存在.記=B，并定義 則在上連續(xù)，進(jìn)而由（3.2）得出 在上成立. 換句話說，是方程（E）在區(qū)間上的解，且滿初始條件.于是積分曲線可延拓到上，這與的假設(shè)相矛盾.因此對任何有界閉區(qū)域，關(guān)系式（3.1）是不能成立的. 綜合上述討論可知，積分曲線在點(diǎn)的右邊將延拓到區(qū)域G的邊界.向左延拓的情形

17、可以類似討論. 附注 在定理3.1中，若G為無界區(qū)域，則可以是以下兩種情形之一： （1） ； （2 為有限數(shù)，且當(dāng)時(shí)或者無界，或者點(diǎn)趨于G的邊界. 在的情形，作圖示如下 特別地,當(dāng)G為時(shí)，圖示中（2）之二的情形不會發(fā)生.因此若能證明初值問題（）的右行飽和解在其存在區(qū)間上有界，則必有. 例1 證明對任何及，初值問題 ，的解必可延拓到上. 證 函數(shù)在上連續(xù)可微，滿足解的唯一性定理和延拓定理的條件. 當(dāng)或時(shí)，所述初值問題的解顯然就是或，它們都在上有定義. 當(dāng)時(shí)，所說的解在向的右方或左方延拓時(shí)將始終保持. 因?yàn)槿绻蝗唬瑒t必有一點(diǎn)使 或 .但由解的唯一性知，這是不可能的.故根據(jù)延拓定理，解必延拓到上.

18、 定理3.2（解的整體唯一性定理） 設(shè)函數(shù)在區(qū)域內(nèi)連續(xù)，且對滿足局部Lipschity條件，則方程（E）過G內(nèi)任一點(diǎn)有唯一的積分曲線，并且在G內(nèi)將延拓到邊界. 證 由Picard定理及定理3.1可知，方程（E）過點(diǎn)的積分曲線在局部范圍內(nèi)唯一存在，并且將延拓到G的邊界.要證所述初值問題的飽和解是唯一的.否則，設(shè)有兩個(gè)不同的飽和解與則易知在它們共同存在的區(qū)間內(nèi)必有一點(diǎn)，使，且在的任意小的鄰域內(nèi)都存在點(diǎn)使.但這又與方程（E）經(jīng)過點(diǎn)的解的局部唯一性相矛盾.因此在其共同存在的區(qū)間內(nèi)應(yīng)有，隨之由飽和解的定義可知，. 二. 確定解的最大存在區(qū)間的方法 確定解的最大存在區(qū)間通常有兩種方法.一種方法是直接求出初

19、值問題的解，再確定它的存在區(qū)間；另一種方法是利用延拓定理（往往結(jié)合解的唯一性和單調(diào)性等性質(zhì)）進(jìn)行定性的討論. 例2 確定如下初值問題解的存在區(qū)間：（1） （2） 解 方程的通解為 .由初始條件及均確定，解的表達(dá)式為 .由于積分曲線分別經(jīng)過點(diǎn)及，所以初值問題（1）的解的存在區(qū)間為，而初值問題（2）的解的存在區(qū)間為. 例3 討論方程 經(jīng)過平面內(nèi)任一點(diǎn)的解的最大存在區(qū)間及當(dāng)趨向這區(qū)間端點(diǎn)時(shí)解的性狀.解 及在平面上連續(xù)，故所給方程經(jīng)過任一點(diǎn)的飽和解是唯一的.當(dāng)時(shí)，所說的解顯然就是，其存在區(qū)間是.當(dāng)時(shí)，所說的解為 .由唯一性可知，解在其存在區(qū)間上恒大于零，故其存在區(qū)間為，且當(dāng)時(shí)，而當(dāng)時(shí).當(dāng)時(shí)，類似討論可

20、知解的存在區(qū)間為，且當(dāng)時(shí)，而當(dāng)時(shí).綜合可知，解所對應(yīng)的積分曲線以為水平漸近線，以為垂直漸近線.例4 設(shè)及都在上連續(xù)，且，試證初值問題 ，的右行飽和解在區(qū)間上有定義，且有 . 證 由題設(shè)條件可知，對平面內(nèi)任一點(diǎn)，所述初值問題的飽和解是唯一的. 因?yàn)樵谏线B續(xù)，且，根據(jù)零點(diǎn)定理，必有零點(diǎn)，即，于是是方程的一個(gè)解. 當(dāng)時(shí)，由唯一性可知，所述右行飽和解顯然就是，其存在區(qū)間為，且有. 當(dāng)時(shí)，仍由唯一性知，所說的右行解在其存在區(qū)間上必有.又當(dāng)時(shí)，即，可知在上單調(diào)減少，從而在上，即有界.根據(jù)延拓定理，必須.此外還應(yīng)有（單調(diào)有界函數(shù)必有極限）.下面要證.事實(shí)上，是由方程 所確定的隱函數(shù).若，則在上式中令，可得

21、，這是一個(gè)矛盾.類似討論的 情形.例5 試證微分方程 的任一解的存在區(qū)間都是有限的. 證 函數(shù)在上連續(xù)可微，滿足解的整體唯一性定理的條件.要證任意解的存在區(qū)間是有限的.否則，不失一般性，設(shè)方程經(jīng)過某一點(diǎn)的右行飽和解的存在區(qū)間為.取正數(shù)，有 ，.推出 ，或 ， .上式兩邊從到積分得 ，于是 .但在上有上界，這是一個(gè)矛盾.為了對微分方程的解的存在區(qū)間作出估計(jì)，僅應(yīng)用延拓定理及解的某些性質(zhì)往往是不夠的，有時(shí)還要結(jié)合分析有關(guān)方向場的幾何性質(zhì).例6 設(shè)初值問題 ，其中函數(shù)在全平面連續(xù)且滿足，證明：對任意的，當(dāng)和適當(dāng)小時(shí)，的解可延拓到. 證 由于方程右端函數(shù)在全平面連續(xù)，故由延拓定理可知，方程經(jīng)過平面內(nèi)任

22、一點(diǎn)的解可延拓到無限遠(yuǎn). 因?yàn)楫?dāng)時(shí)，根據(jù)連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理，關(guān)于有零點(diǎn)，即，所以是方程的解.又從方程看出，直線是微分方程所對應(yīng)的方向場的水平等斜線.兩直線及積分直線將全平面分成IVI六個(gè)區(qū)域，如圖所示進(jìn)而推知，在區(qū)域I,III,V中，位于這三個(gè)區(qū)域的積分曲線是單調(diào)上升的，而在區(qū)域II,IV,VI中，位于這三個(gè)區(qū)域的積分曲線是單調(diào)下降的.對任給，當(dāng)時(shí)，即點(diǎn)位于區(qū)域III內(nèi)，考察相應(yīng)的初值問題的右行解 ： ，.積分曲線從出發(fā)，在區(qū)域III內(nèi)單調(diào)上升且向右延拓到無限遠(yuǎn)，所以必穿過直線進(jìn)入?yún)^(qū)域II.在區(qū)域II內(nèi)，積分曲線單調(diào)下降且繼續(xù)向右延拓，故它必與直線相交，設(shè)交點(diǎn)為.若，則向右進(jìn)入?yún)^(qū)域I后單調(diào)上升

23、，但它不可能從水平等斜線的下方穿越到上方，因此它必然延拓到上，若，則將曲線與銜接即得的解 再考察初值問題經(jīng)過的左行解 ，.若存在 使，則所述左行解可表示為 若不存在這樣的，則在上保持有界：，故按延拓定理推知必有.同理可證當(dāng)，即點(diǎn)位于區(qū)域IV的情形.綜合可知當(dāng)時(shí)，的解均可延拓到.三Gronwall不等式Gronwall不等式及其推廣形式在微分方程的理論研究中應(yīng)用廣泛.例如它可用來證明Picard定理中的唯一性部分，也可以結(jié)合它討論解的延拓問題.此外它本身的證明方法也很有技巧，值得我們學(xué)習(xí)和運(yùn)用.Gronwall不等式 設(shè)都是上的連續(xù)函數(shù)，是常數(shù)，且滿足 ,則.證：令,則在上，,且,即.上式兩邊同

24、乘以，將它寫為.這說明在上遞減，于是或.進(jìn)而推出 . 推廣的Gronwall不等式 設(shè)和都是上的連續(xù)函數(shù)，,使得,則.若還是遞增的，則.證 令.則在上，,且,即.上式兩邊同乘以，將它寫為,再從到積分，并注意，可得或.從而推出.又若還是遞增的，則得.例 設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，關(guān)于滿足局部條件，且滿足，其中，都是上的非負(fù)連續(xù)函數(shù)，試證明方程 的任一解都可以延拓到上.證 依假設(shè)，方程的任一飽和解都存在并且是唯一的.任取，并記.先考慮向右延拓的情形，要證.否則，即為有限數(shù)，根據(jù)延拓定理，當(dāng)時(shí)必?zé)o界，但在上，從而推出.應(yīng)用Gronwall不等式可得，即在上有界，這是一個(gè)矛盾，所以必有，同理可證.練習(xí) 證明對任

25、何及，初值問題的解必可延拓到 上。 設(shè)初值問題的解得最大存在區(qū)間為 ，其中是平面上的任一點(diǎn)，則和中至少有一個(gè)成立。 在平面上任取一點(diǎn)，試證初值問題的右行解都在區(qū)間上存在. 1.4比較定理 微分方程的比較定理可以從分析方向場的幾何性質(zhì)中提煉得出.本節(jié)我們先就純量方程的情形論述它的有關(guān)結(jié)果，然后考慮向向量系統(tǒng)的推廣形式.一. 第一比較定理 定理4.1 設(shè)函數(shù)與都在平面區(qū)域內(nèi)連續(xù)且滿足不等式.若函數(shù)與分別是一階方程 與 在區(qū)間上經(jīng)過同一點(diǎn)G的解，則必有 （4.1） 證 在上，令 則 于是存在, 使得在上 . 如果（4.1）第一式不成立，則至少存在一點(diǎn)(使得.令 ，就有，從而推出 . 但由于可得 .這

26、是一個(gè)矛盾，故第一式成立.同理可證第二式也成立. 定理4.1的幾何意義是明顯的：斜率小的曲線向右不可能從斜率大的曲線的下方穿越到上方.應(yīng)該注意的是，兩個(gè)方向場只有在同一點(diǎn)，才能比較它們斜率的大小.二. 最大解與最小解 考慮一階微分方程的初值問題（I） 其中）在平面區(qū)域G內(nèi)連續(xù)，. 定義4.1 設(shè)是問題（I）定義在區(qū)間J上的一個(gè)解，若對問題（I）的任何解，不等式在它們共同存在的區(qū)間上總成立，則稱是問題（I）在區(qū)間J上的最大（小）解. 定理4.2 設(shè)在矩形：，上連續(xù)，則初值問題（I）在區(qū)間上有最大解和最小解，這里，.證 由于，故可選，使，考慮與問題（I）相聯(lián)系的初值問題（I） ，其中，如上所述，并

27、且當(dāng)時(shí)單減且趨于零.根據(jù)解的延拓定理，問題（）的一個(gè)飽和解也一定在上有定義. 否則，設(shè)(t)的存在區(qū)間的一個(gè)端點(diǎn)，譬如右端點(diǎn)(,),則必存在，且有.但另一方面又有=，這是一個(gè)矛盾.于是在上成立 （4.2）進(jìn)而推出且對， ，因此序列在上一致有界且同等連續(xù)，故必有一致收斂的子列. 令 .由于為單減數(shù)列，故從第一比較定理推出 ，及 ， ，也就是說在及上均為單調(diào)序列，所以本身在上一致收斂，并且.進(jìn)而由在上的一致連續(xù)性推出，在上一致收斂于在（4.2）式中令得，即是問題（I）在區(qū)間上的一個(gè)解. 這樣，對初值問題（I）的任一解，應(yīng)用第一比較定理于問題（I）和有 及 在以上兩式中分別令就推出是問題（I）的右行

28、最大解和左行最小解。 類似地，在初值問題（）中以代替，可證初值問題（I）有左行最大解和右行最小解。由于初值問題（I）的所有解在點(diǎn)均相切，所以（I）的左行最大（?。┙馀c右行最大（小）解就可以銜接為上的最大（?。┙? 附注 從定理4.2的證明中不難看出，利用解的延拓定理，我們能把問題（I）的最大解和最小解從局部延拓到區(qū)域G的邊界，并且可證飽和最大解與飽和最小解是唯一的. 例 1 證明初值問題 ，有無窮多個(gè)不同的解，找出它的最大解和最小解. 解 解方程 ，得 ，或 ，. 此外是常數(shù)解. 注意到曲線 ，與直線 在點(diǎn)相切，故通過銜接，初值問題定義在上的所有解析可表示為 及x=0，.其中為任意常數(shù).所以初

29、值問題有無窮多個(gè)不同的解，其中最大解和最小解顯然分別是 和 三. 第二比較定理 若將第一比較定理中嚴(yán)格不等式皆換為廣義不等式，相應(yīng)的結(jié)論仍成立，并它稱為第二比較定理.定理4.3（第二比較定理） 設(shè)和在平面區(qū)域G內(nèi)連續(xù)，且滿足不等式 . 若和分別是一階方程 和 在區(qū)間上經(jīng)過同一點(diǎn)的解，并且是后一方程的右行最大解和左行最小解，則有 證 考慮初值問題 ，其中， 并且當(dāng) 時(shí)單調(diào)減且趨向于零.由定理4.2可知，問題 在上有解，并且一致地有 .應(yīng)用第一比較定理于問題（I）和 可得 在上式中令取極限，并考慮到當(dāng)時(shí) 就有 例2 設(shè)是初值問題 的解.試給出當(dāng)時(shí)的上、下界. 解 將所給方程與方程 及 相比較，顯見

30、三個(gè)方程的右端函數(shù)在全平面連續(xù)可微，滿足解的整體唯一性定理的條件，且有 .初值問題 ，及 ，的右行飽和解分別為 ，及 ，.根據(jù)第二比較定理，所述問題的右行飽和解在其存在區(qū)間上應(yīng)滿足. 可見，和1可分別取為的一個(gè)上界和下界.又根據(jù)延拓定理可知，的存在區(qū)間也是.四. 向量系統(tǒng)與純量方程的比較 給定函數(shù)，定義的上右Dini導(dǎo)數(shù)和下左Dini導(dǎo)數(shù)分別為 和 .顯然當(dāng)存在時(shí)有.引理4.1 設(shè)在平面區(qū)域G內(nèi)連續(xù)，函數(shù)在上連續(xù)，滿足微分不等式且.若在區(qū)間上是初值問題的右行最大解，則有.證 考慮初值問題 ，其中，并且當(dāng)時(shí)單調(diào)減且趨于零.由定理4.2可知，問題在上有解，并且一致地有.固定，依假設(shè)有，且，故存在的

31、一個(gè)右鄰域，使得不等式成立. 要證這兩個(gè)右行解在共同存在的區(qū)間上總有. 否則，必存在及單調(diào)減且趨于零的序列，使得，且由此推出 于是這是一個(gè)矛盾.由于對每個(gè)，在 上有，令取極限得，.類似地可以證明。引理4.2 設(shè)在平面區(qū)域內(nèi)連續(xù)，函數(shù)在上連續(xù)，滿足微分不等式，且，若在區(qū)間上是初值問題的左行最小解，則有 .定理4.4 設(shè)在區(qū)域內(nèi)連續(xù)，是平面上的連續(xù)函數(shù)，且對有.若和分別是初值問題和在區(qū)間上的解，并且是后一方程的右行最大解和左行最小解，則有證 當(dāng)時(shí)有，在上面不等式兩邊令取上極限可得.取，依假設(shè).故由引理4.1推出，在上.利用引理4.2類似可證在上 .比較定理對解的延拓及某些類型的解的估計(jì)常常是有用的

32、。但是我們注意到，定理4.4中F具有非負(fù)性會極大限制比較定理的應(yīng)用，特別是在分析系統(tǒng)的解的穩(wěn)定性性質(zhì)方面。如果對向量函數(shù)也規(guī)定一種合適的“大小關(guān)系”，則比較定理的結(jié)果可推廣到向量系統(tǒng)上去.然而它需要在向量函數(shù)為擬單調(diào)這樣較強(qiáng)的假設(shè)下方可進(jìn)行，從略.1.5 解對初值和參數(shù)的連續(xù)性依賴性從前面的討論已經(jīng)看出，微分方程的解不僅決定于方程本身，而且也決定于初值或某些參數(shù)，因此我們需要考慮微分方程的解對初值和參數(shù)的依賴性。就是說要考慮當(dāng)初值或參數(shù)作微小變動時(shí)，方程的解是否也只作微小變動？進(jìn)而還可以考慮解對初值或參數(shù)的變化率。下面我們先討論解對初值的連續(xù)依賴性問題?？疾斐踔祮栴} （I） 其中，在區(qū)域內(nèi)連續(xù)

33、.當(dāng)在內(nèi)變動時(shí)，（I）的解一般也隨之變動，故把它看作自變量和值的函數(shù)，而記作.這時(shí)顯然有.引理5.1 設(shè)在區(qū)域內(nèi)連續(xù)，且關(guān)于滿足局部Lipschitz條件，則在的任一有界閉子域上，關(guān)于滿足Lipschitz條件.證 用反證法.如果不然，則存在某有界閉子域，使對任意正整數(shù)，有，使得 （5.1）由于是有界閉子域，按波爾察諾魏爾斯特拉斯(Bolzano-Weierstrass)聚點(diǎn)定理，點(diǎn)列與必分別存在收斂子列，不妨仍以它們本身記之，且設(shè)它們分別收斂于中的點(diǎn)與. 又因?yàn)樵谏线B續(xù) 有 .于是在兩邊令取極限得.所以，而有 .由假設(shè)知在的某鄰域內(nèi)關(guān)于滿足Lipschitz條件，故存在及正整數(shù)，使得時(shí)就有，

34、這與不等式（5.1）相矛盾.附注 由引理5.1可知，若是有界閉區(qū)域，則在上滿足局部Lipschitz條件等價(jià)于它在上滿足Lipschitz條件.但當(dāng)是開區(qū)域時(shí)，上的局部Lipschitz條件則弱于上的Lipschitz條件.又對于任意區(qū)域，若在上有對的連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則在上關(guān)于滿足局部Lipschitz條件.上述結(jié)論及引理5.1也可由有限覆蓋定理推出.引理5.2 設(shè)在區(qū)域內(nèi)連續(xù)，且關(guān)于滿Lipschitz條件（Lipschitz常數(shù)為）. 若方程 的兩個(gè)解和都在區(qū)間上有定義，則在上成立不等式 ， （5.2）其中.證 在上有，.于是當(dāng)時(shí) 應(yīng)用Gronwall不等式 可得.同理，在上因此得.綜合可知，

35、不等式（5.2）在上成立. 定理5.1（解對初值的連續(xù)依賴性） 設(shè)在區(qū)域內(nèi)連續(xù)，且關(guān)于滿足局部Lipschitz條件,.并設(shè)初值問題 的解在上存在（），則對于，總存在,使得當(dāng)，時(shí)，初值問題 （I） 的解也至少在區(qū)間上存在，并且，.分析 記，.，取，使“管狀”區(qū)域：落在內(nèi).要證，.在上 由于，若使，就有因此可取.證 記 先設(shè)任給由于積分曲線段是G內(nèi)的一個(gè)有界閉集，故 使得有界閉域含于G內(nèi)，且由引理知在D上關(guān)于滿足Lipschitz條件，Lipschitz常數(shù)取為L.對上述，因?yàn)樵谶B續(xù)，應(yīng)存在：使得時(shí)有，今取. 要證當(dāng)，時(shí)，初值問題的解也至少在區(qū)間上存在，并且 不妨考慮右行解的情形. 如果所述結(jié)論

36、不真，必存在使得時(shí) 而 但由引理推出，在區(qū)間上 .特別地 這是一個(gè)矛盾. 當(dāng)是區(qū)間端點(diǎn)，譬如時(shí)，先利用Picard定理把解的存在區(qū)間延拓到上，按照上面的討論可知所述結(jié)論在上成立，從而在區(qū)間上成立. 幾何解釋(n=1的情形) 對在平面區(qū)域內(nèi)作積分曲線的帶域 則以為中心，以為半徑的方形領(lǐng)域含于帶域內(nèi)，使得方程經(jīng)過該鄰域內(nèi)任一點(diǎn)的積分曲線也一定在上存在，并且該曲線段完全落在所作帶域內(nèi). 定理所表述的結(jié)果通常稱為初值問題的解在點(diǎn)連續(xù)依賴于初值.具體地說，若初值問題 的解在區(qū)間上存在，則只要充分靠近初值問題的解也至少在區(qū)間上存在，并且一致地有.其實(shí)質(zhì)是討論解的延拓問題 定理所討論的解對初值的連續(xù)依賴關(guān)系

37、，其實(shí)仍把解視為自變量的函數(shù)，如果把解看作自變量和初值的函數(shù)時(shí)，可推出下述解對初值的連續(xù)性定理. 定理5.2（解對初值的連續(xù)性） 在定理的假設(shè)下，對每一點(diǎn)，記初值問題 （I） 的飽和解的存在區(qū)間為，則作為的函數(shù)在區(qū)域 ， 內(nèi)是連續(xù)的 證 任取，可選擇使. 對根據(jù)解在點(diǎn)對初值的連續(xù)依賴性，應(yīng)存在，使得當(dāng)，時(shí)，也在上存在，并且在上 . 又由在的連續(xù)性可知，存在，使得當(dāng)時(shí) .取則當(dāng)，時(shí)就有 在應(yīng)用上，有時(shí)還要研究含有參數(shù)的初值問題 ，其中在區(qū)域內(nèi)連續(xù)如果把參數(shù)也視為的未知函數(shù)，則問題可轉(zhuǎn)化為維的初值問題 ，其中，而是引進(jìn)的一個(gè)維未知向量.于是從定理推出 定理5.3（解對初值和參數(shù)的連續(xù)性） 設(shè)在區(qū)域

38、內(nèi)連續(xù)，且關(guān)于滿足局部Lipschitz條件.對每一點(diǎn)，初值問題的飽和解的存在區(qū)間為 則作為 的函數(shù)在區(qū)域 ， 內(nèi)是連續(xù)的. 例1 設(shè)是初值問題 的解，試證明：對于和，存在正整數(shù)N，使得當(dāng)時(shí)在區(qū)間上存在，且在此區(qū)間上. 證 由于在全平面連續(xù)可微，故對及，初值問題 ，有唯一解，且連續(xù)依賴于初值. 又明顯看出是所給方程的解，它在上存在，且滿足初始條件 . 任給及，考慮平凡解，由解對初值的連續(xù)依賴性定理推出，使得當(dāng)，時(shí)，初值問題的解在區(qū)間上存在，且在此區(qū)間上有 . 對此，再由及推出，存在正整數(shù)，使得當(dāng)時(shí)就有，.從而當(dāng)時(shí)所述初值問題的解在上存在，且此區(qū)間上. 例2 假設(shè)函數(shù)在平面區(qū)域內(nèi)連續(xù)并滿足Lip

39、schitz條件及，又方程的滿足初始條件的解對一切有定義，試證下列說法是等價(jià)的： 任給，可以找到正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，對一切有 . 任給及，存在正數(shù)，使得當(dāng)時(shí)，對一切有 . 證 依假設(shè)，是一個(gè)包含半直線的無界區(qū)域，所給方程經(jīng)過任一點(diǎn)都在區(qū)間上存在唯一解，并且對，在區(qū)間上具有對初值的連續(xù)依賴性. 又是該方程經(jīng)過的解. 任給及，根據(jù)，應(yīng)存在，使當(dāng)時(shí)，對一切有 由于以及為初值的解，及也都在上存在，且由解得唯一性可知.故若取，則，且當(dāng)時(shí)就有，從而對一切有.當(dāng)然對一切上式也成立.獲證.任給及任取，由得假設(shè)可知，應(yīng)，使得時(shí)，對一切有 .顯然.對此，根據(jù)解在對初值的連續(xù)依賴性，（這里視為固定），使得當(dāng)時(shí)，對一切有

40、 ，特別有.于是當(dāng)時(shí)，對一切有 . 獲證.例3 設(shè)是初值問題的解，試討論對參數(shù)的連續(xù)性. 解 容易求出 當(dāng)時(shí)，顯然對連續(xù)，又 ，所以對也連續(xù). 作業(yè) 設(shè)是初值問題的解.試證明：對任給的，存在正整數(shù)，使當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上存在，且在此區(qū)間上有 . 1.6 解對初值和參數(shù)的可微性本節(jié)考慮解對初值和參數(shù)的變化率的變化定理6.1 設(shè)在區(qū)域內(nèi)連續(xù)，且對有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，對每一點(diǎn)，初值問題 （I） 的飽和解的存在區(qū)間為，則作為的函數(shù)在區(qū)域 ：內(nèi)是連續(xù)可微的，每一個(gè)向量函數(shù)或作為的函數(shù)滿足方程 ，并且 ，其中為的雅可比矩陣，為單位矩陣. 證 由假設(shè)知，對每一點(diǎn)，初值問題的飽和解存在且唯一，并對連續(xù). 固定一點(diǎn)，可選

41、，使.取足夠小，使，這里.定義. （6.1）根據(jù)解對初值的連續(xù)依賴性，也至少在上存在,且在上一致地有求y對t的導(dǎo)數(shù),并應(yīng)用中值定理于每個(gè)分量，得 ，其中，是與間線段上一點(diǎn),矩陣P的元素作為t的函數(shù)在上連續(xù),且一致地有.因此對任一序列,向量函數(shù)序列在上一致收斂,令，在(6.1)兩邊對t求導(dǎo),且令便得 又由得到.這說明作為t的函數(shù)滿足初值問題. (6.2)由于(6.2)中的方程是線性的,且有連續(xù)的系數(shù)矩陣,從而它在整個(gè)區(qū)間上存在唯一的飽和解,并滿足解對初值的連續(xù)性,由此推出 作為的函數(shù)在內(nèi)是連續(xù)的,及的連續(xù)性可以類似討論.又注意到 ，可得 類似分析可以用于問題定理6.2 (解對初值和參數(shù)的可微性)

42、 設(shè)在內(nèi)連續(xù),且對x和有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù).對每一點(diǎn),初值問題 的飽和解的存在區(qū)間為,則作為的函數(shù)在區(qū)域內(nèi)是連續(xù)可微的,并且，分別為下列初值問題的解: 及 例1對給定方程,時(shí)的表達(dá)式.求當(dāng)時(shí)的表達(dá)式。解 及在包含點(diǎn)(1,0)的右半平面內(nèi)連續(xù),且初值問題的解為分別解初值問題和 得 和 第二章 線性微分方程組2.1 一般理論一 解的存在唯一性定理考慮標(biāo)準(zhǔn)形式的n階線性微分方程組 ，其中系數(shù)函數(shù)和都是某有限區(qū)間上的實(shí)值連續(xù)函數(shù).采用矩陣和向量的記號，將上述線性微分方程組寫為 ， 其中 ，.當(dāng)時(shí)，稱為非齊次線性微分方程組.當(dāng)時(shí)，寫為 ， 稱它為與相對應(yīng)的齊次線性方程組.下面如果不作特別說明，的范數(shù)可取下列等價(jià)形式的任何一種， 或 .定理1.1（解的存在唯一性定理） 設(shè)矩陣函數(shù)和向量函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)，則對任意及，初值問題 ， 在區(qū)間上存在唯一解. 由于在上連續(xù)，故存在常數(shù)使，進(jìn)而推出在上，關(guān)于滿足Lip條件 .于是從第一章定理3.2（解的整體唯一性定理）立刻推出本定理結(jié)論成立.二齊次線性微分方程組顯然是的解，稱它為零解或平凡解.容易驗(yàn)證 引理1.1（疊加原理）設(shè)和都是齊次線性微分方程組的解，則它們的線性組合也是的解，其中，為任意常數(shù).引理1.2 方程組的解集合是一個(gè)n