常微分方程的應用

1、111 編號編號 學學士士學學位位論論文文常微分方程的應用常微分方程的應用學生姓名： 學 號： 系 部： 專 業(yè)： 數(shù)學 年 級： 指導教師： 完成日期： 年 月 日 學學 士士 學學 位位 論論 文文 BACHELOR S THESIS中文摘要此處為中文摘要，宋體小四號字，行間距 1.25。關鍵詞：關鍵詞：多個關鍵詞之間用分號隔開 學學 士士 學學 位位 論論 文文 BACHELOR S THESIS1 目錄中文摘要中文摘要 .1引言引言 .21.1.微分方程的應用微分方程的應用 .21.11.1 等角軌線，正交軌線等角軌線，正交軌線.31.21.2 幾何學問題幾何學問題.71.31.3 動

2、力學問題動力學問題.81.41.4 生態(tài)學中的增長問題生態(tài)學中的增長問題.9總結總結 .11參考文獻參考文獻 .12致謝致謝 .12 學學 士士 學學 位位 論論 文文 BACHELOR S THESIS1引言人們在對物質的運動進行定量或定性的摸術時常常需要借助于數(shù)學工具。常微分方程是描述物質運動經(jīng)常使用，而且還使用得十分廣泛的一種數(shù)學工具。通過分析是想應的微分方程的各種特性，能夠對所研究物質的生態(tài)，獲得某些定性和定量的了解。本文我將通過實列說明一些物理學，幾何學，得某些定律或某些生態(tài)問題是如何導致微分方程問題的。由于這文的目的是說明如何從實際問題導致微分方程問題的。1.1.微分方程的應用微分

3、方程的應用常微分方程的應用很廣泛，常微分方程的產(chǎn)生和發(fā)展愿與實際問題的需要，同時它也成為解決實際問題的有力工具。我們應用常微分方程能解決幾何學，動力學，電學，光學，化學，天文學中的一些問題。一般來說，用常微分方程解決問題過程分以下三個步聚 ：1.建立方程 。對所研究問題，根據(jù)已知定律或公式以及某些等量關系列出微分方程和相應初值條件。2.求解微分方程 。3.分析問題 。通過已求得的解的性質，分析實際問題 。用微分方程來解決實際問題必順考慮如下幾個方面 ：1.轉換 。把實際問題的文字語言轉換為數(shù)學語言與符號，如數(shù)學上倒數(shù)用來表示運動學中的速率，生物學中的增長率，放射學中的衰減率等。既了解所討論問題

4、學科方面的知識，又掌握數(shù)學知識，我們就會在這兩者之間架起溝通橋染，完成建模任務 。2.關鍵。微分方程是瞬時命題，它必順在任何時刻都正確，這是數(shù)學中心部分 。如果你已經(jīng)了解代表導數(shù)的關鍵詞語，想找出,與之間的關系，首yyx 學學 士士 學學 位位 論論 文文 BACHELOR S THESIS2先要集中研究變化率，其次要注到往往不是直接對這些量應用規(guī)律，而是對某些微元應用，在取極限而得到微分方程 ，這就是數(shù)學上的所謂微元分析方法 。3.單位。對于進入微分方程的項必須保證它的每一項有相同的單位（如 m/s,kg/d,）如果注意到了這些，往往可以幫助你是實現(xiàn)與檢驗微分方程的正確性。4.已知條件。它是

5、在特定地點或時間的已知信息，它們不屬于微分方程本身，而是用來決定特定的運動或常數(shù)。這些就是所謂的初始條件或邊界條件。5.求解。這一步是純數(shù)數(shù)學問題，綜合我們學到的數(shù)學知識，求精確或近似解。1.11.1 等角軌線，正交軌線等角軌線，正交軌線我們來求這樣的曲線獲取險族，使得它與某已知曲線族的每一條曲線相交成給定的角度。這樣的曲線稱為已知曲線的等角軌線。當所給定的角為直角時，等角軌線稱為正交軌線。求等角軌線的方法：設在（）平面上，給定一個單叁數(shù)曲線族求這樣的曲, x y :c, ,0 x y c線 L 與（C）中每一條曲線的交角度都是定角（圖 1）yxoL C（圖 1） 學學 士士 學學 位位 論論

6、 文文 BACHELOR S THESIS3設的方成為 。為了求，我們先來求出所應滿足的微L 11yyx1( )y x1( )y x分方程，也就是要先求得的關系式 。條件告訴我們與的曲線相交11,x y yL( )c成定角，于是，可以想象，和必然應當與中的曲線及其且顯1y1y c yy x得斜率有一個關系。事實上，當時，有y211tan1yyky y或 111ykyky 當 時，2 11yy 又因為在交點處，于是如果我們能求得的關系即曲線 1y xyx11,x y y族所滿足的微分方程 c , ,0f x y y 只要把盒霍代入（*） ，就可以求得的方成了。1yy11,x y y如何求（*）呢

7、？采用分析法。設為中任一條曲線，于是存在相應的，使得( )yy x( )cC 學學 士士 學學 位位 論論 文文 BACHELOR S THESIS4 ,0 x y xC因為要求的關系，將上式對求導數(shù)，得1, ,x y yx ,0 xyx y xCx y x C yx這樣，將上兩式聯(lián)立，既由 , ,0 x y C , , ,0 xyx y Cx y C y肖去,就得到所應當滿足的關系C ,x y xyx, ,0f x y y 這個關系成為曲線族的微分方程。 C于是，等較軌線的微分方程為2 111,01ykfx yky而正交軌線（）的微分方程為2 111,0fx yy例例 1：求直線束的等角軌線

8、和正交軌線 。yCx解：解：首先求直線族的微分方程 。yCx將對求導，得，由yCxxyC yCxyC 學學 士士 學學 位位 論論 文文 BACHELOR S THESIS5肖去，就得到的微分方程CyCxdyydxx當時，由（1.6）知道，等角軌線的微分方程為21dykydxdyxkdx或xdyydxxdxydyk及22221xdxydyxdyydxxykxy即22211ydxdxydyxxykyx積分后得到2211ln()arctanln2yxyCkx或1arctan22ykxxyCe如果寫成極坐標形式，不難看出等角軌線為對數(shù)螺線（圖 2）kCe如果，由可知，正交軌線的微分方程為21ydyx

9、即 學學 士士 學學 位位 論論 文文 BACHELOR S THESIS6dyxdxy 或0 xdxydy故正交軌線為同心圓族 （圖 3）222xyC 1.21.2 幾何學問題幾何學問題例例 2：設曲線位于平面的第一象限內，上任一點處的一切線與LxoyLM軸總相交，交點記為，已知且經(jīng)過點求的方程 。yAMAOAL3 3,2 2Lxyxyoo圖 3圖 2 學學 士士 學學 位位 論論 文文 BACHELOR S THESIS7解：解：題中的要求是，抓住這個關系式建立方程。設曲線的任一MAOAL點的坐標是，曲線的方程為，于是過點曲線的切線方程M, x yL( )yy xML為 ( )( )()Y

10、y xy x Xx與軸交點的坐標為：YYY ( )( )y xxy x由推知MAOA2222()()xxyoyxyo其中 ，化簡便得 ( ),( )yy xyy x212yyyxx 初值條件是，上述方程是伯努利方程，解之得323|2xy112dxdxxxyexedxc由于曲線在第一象限內，故2ycxx在以 定出。于是的曲線方程為，當或323|2xy3c 23yxx0 x 時，切線與軸重合或不相交，點無定義。故的定義域為：3x yA23yxx03x1.31.3 動力學問題動力學問題 動力學是微分方程最早期向泉愿之一。在求解動力學問題時，要特別注意力學問題中的定律條件，如初始條件等。 yy xyA

11、M, x y3 3,2 2O圖 4x 學學 士士 學學 位位 論論 文文 BACHELOR S THESIS8例例 3：物體由高空下落，除受重力作用處，還收到空氣阻力阻力的作用，在速度不太大的情況下（地域音速的 4/5） ，空氣阻力可看作與速度的平方成正比。式證明在這情況下，落體存在極限速度 。v解：解：設物體質量為，空氣阻力系數(shù)為，由設在時刻 物體物體的下落速mkt度為 ，于是在時刻 物體所收的力為vtfmgku=-從而，根據(jù)牛頓第二定律可列出微分方程 2dmmgkdtuu=-因為是自由落體，所以有 (0)0u=解：解：由有200vtmdvdtmgku=-積分得1ln2mgkmtkgmgku

12、u+=-或ln2mgkkgtmmgkuu+=-解出 ，得v22(1)(1)kgtmkgmmg ek eu-=+當時，有t 1limtmgkuu += 學學 士士 學學 位位 論論 文文 BACHELOR S THESIS9據(jù)測定，其中為與物體形狀有關的常數(shù);為介質密度； 為物體kapsaps在地面上的投影面積。1.41.4 生態(tài)學中的增長問題生態(tài)學中的增長問題例例 4：對我國人口總數(shù)發(fā)展趨勢的估計。解：解：（1）令表示某一國家在時間 的人口總數(shù)。嚴格地說，是一個( )n tt( )n t不連續(xù)的階梯函數(shù)。但是一個人的增減與全體人數(shù)相比極為微小我們將把視為光滑的函數(shù)這樣就可應用微積分的方法。(

13、)n t（2）人口增長率（出生率與死亡率之差）是在時間內的平均( , )rr t nt增長率為，其中為人口的增量，所以tt n n01limtndnrtnn dt 即 dnrndt這就是人口總數(shù)所滿足的微分方程 。最簡單的模型是假設 為常數(shù)，nr0k 于是容易求出初值問題 00( )dnkndtn tn的解為 0()0k t tnn e這表明人口是按指數(shù)曲線增長的，這就是馬爾薩斯人口論的根據(jù)，這一理論已被實踐證明是錯誤的 。容易明了解，人口的增長率是會隨人口基數(shù)的增大而下降的因此人們又提出了一個新的模型 :假設 學學 士士 學學 位位 論論 文文 BACHELOR S THESIS10 rab

14、n其中正的常數(shù)和稱為生命系數(shù) 。一些生態(tài)學家測得的自然值為aba0.029，而的值測取決于各國的社會經(jīng)濟條件。在這一段設下，方程成為b ()dnabn ndt這是一個變量分離的方程，初值問題+的解為 00()0()00k t tk t tan enabnbn e這類增長和衰減的問題中，仍使用微分方程解決 。通過以上的例題，我們看到微分方程的一些背景 。當然還有很多實例，如在物理學的電學，光學，力學問題，及化學，天文學，生物學，電子技術，自動控制，宇宙飛行等等，都存在著大量的微分方程問題 。因此是會生產(chǎn)實踐是微分方程取之不盡的基本泉原實際問題的類型泛多，先對某種類型的微分方程進行研究，然后解決一大批同類性質實際問題 ?？偨Y微分方程是數(shù)學的一個重要分支，建立數(shù)學模型不是一個簡單的事情，這是對實際問題的一個“去粗取精“的過程。一個數(shù)學模型的建立不是成功，還要通過實踐來檢臉 。在人口問題中，如死亡率，自然災害等都直接影響人口數(shù)量 。因此，要做細致的工作，建立更好的數(shù)學模型，同時數(shù)學模型的不斷改進，也推動了微分方程本身發(fā)展 。我們應當對微分方程本身的基本理論和屆微分方程的方法所了解