第3章力矩與平面力偶系

1、3- 1 關于力矩的概念與計算關于力矩的概念與計算3- 2 關于力偶的概念關于力偶的概念3- 3 平面力偶系的合成與平衡平面力偶系的合成與平衡第三章第三章 力矩與平面力偶系力矩與平面力偶系本章研究關于本章研究關于 力矩和力偶的概念力矩和力偶的概念, , 力偶的性力偶的性質質, , 平面力偶系的合成與平衡平面力偶系的合成與平衡它們是研究平面一般力系的基礎它們是研究平面一般力系的基礎. .一、力對一、力對點點之矩的概念之矩的概念O 點：矩心點：矩心垂直距離垂直距離 d :力臂力臂.oAldF3-1 關于力矩的概念與計算關于力矩的概念與計算用力用力 F 的大小與的大小與 O 點到力點到力 F 作用線

2、的垂直距離作用線的垂直距離 d 的乘積，再冠以的乘積，再冠以適當?shù)恼撎?，表示適當?shù)恼撎?，表?F 對對O 點的矩。點的矩。用以作為力用以作為力 F 使物體繞使物體繞 O 點轉動效應的度量。點轉動效應的度量。.oAldF.oFAld平面力矩為代數(shù)量平面力矩為代數(shù)量大?。捍笮。篎d符號規(guī)定符號規(guī)定：力使物體繞矩心逆時針方向轉動為正，順時針轉動為負力使物體繞矩心逆時針方向轉動為正，順時針轉動為負FdFMO)(dFO+力矩的單位力矩的單位: N.m , kN.m-.oFAdFdFMO)(AFdFMOABO2)(的面積為三角形OABAOAB.oFAd(2) 力作用線通過矩心力作用線通過矩心時時, 則

3、力矩為零。反之則力矩為零。反之, 如果一個力其大小如果一個力其大小不為零不為零, 而它對某點之矩等于零而它對某點之矩等于零, 則此力的作用線必通過該點則此力的作用線必通過該點(1) 當力沿其作用線滑移時，并不改變力對點之矩。當力沿其作用線滑移時，并不改變力對點之矩。FdFMO)(F(4) 同一力對不同點的矩一般不同，因此必須指明矩心。同一力對不同點的矩一般不同，因此必須指明矩心。FdFMO)(3) 互相平衡的二力對同一點之的代數(shù)和為零互相平衡的二力對同一點之的代數(shù)和為零FFFFOd0)()(dFFdFMFMOO例題例題, 懸臂梁懸臂梁 AB 的自由端的自由端 B , 作用一個在作用一個在 xO

4、y 平面內平面內, 與與 x方向夾方向夾角角 300 的力的力 F = 2kN. AB 梁的跨度梁的跨度 l = 4m . 求力求力 F 對對 A 點的矩點的矩 .300FBAl解解: 用定義用定義FdFMO)(mkNFdFMA.430sin42)(0d例題例題：已知：已知 F，a, 。求求 F 力對力對 O 點之矩。點之矩。FOAa 解：由定義式：解：由定義式：sin)(FaFdFMOd 二，合力矩定理二，合力矩定理xyoFAdr FxFyyx)cossincos(sin)sin()(FrFrFdFMOFFFFxycos,sinyrxrsin,cosFyFxFMxyO)(FyFxFMxyO)

5、(xyoF1AyxFnF2如果作用在如果作用在 A 點上的是一個匯交力系點上的是一個匯交力系 ( F1, F2, , Fn ) , 則由上式求則由上式求出每一個力對矩心出每一個力對矩心 O 的矩的矩 , 加在一起可得加在一起可得FyFxyFxFFMxyxyO)(xyoF1AyxFnF2FyFxFMxyO)(匯交力系的合力匯交力系的合力FyFxFyFxFMxyRxRyRO)(FFFFyRyxRx,FyFxFMxyO)(FRFRxFRyxyoF1AyxFnF2)()(FMFMORO平面匯交力系平面匯交力系 的合力矩投影定理的合力矩投影定理: 平面匯交力系平面匯交力系 的合力對平面上任的合力對平面上

6、任一點之矩等于各分力對同一點之矩的代數(shù)和。一點之矩等于各分力對同一點之矩的代數(shù)和。FR.oAl=0.4mF=200N例例3-2 用合力矩定理計算力用合力矩定理計算力 F 對對 O點之矩點之矩600FyFxyx)()()(FMFMFMyOxOO60sin,60cos00FFFFyxmNFlFFMyO.3 .694 . 060sin0)(0例題例題, 懸臂梁懸臂梁 AB 的自由端的自由端 B , 作用一個在作用一個在 xOy 平面內平面內, 與與 x方向夾方向夾角角 300 的力的力 F = 2kN. AB梁的跨度梁的跨度 l = 4m . 求力求力 F 對對 A點的矩點的矩 .300FBAl30

7、0FBAl用合力矩定理用合力矩定理FyFx)()()(FMFMFMyAxAAmkNF.4)430sin(00練習題練習題：已知：已知 F，a，b， 。用。用合力矩定理求力合力矩定理求力 F 對對 O 點之矩。點之矩。bFaFFMFMFMyOxOOsincos)()()(FbOABa FxFy3-2 關于關于力偶力偶的概念的概念一，力偶一，力偶1，力偶：大小相等，力偶：大小相等 ，方向相反而不共線的一對平行力稱為力偶。，方向相反而不共線的一對平行力稱為力偶。力偶對物體產(chǎn)生力偶對物體產(chǎn)生純轉動效應純轉動效應.),(FFABFF ABFF 力偶作用面力偶作用面d 稱為力偶臂稱為力偶臂2，力偶三要素，

8、力偶三要素（1）力偶的大小稱為力偶矩）力偶的大小稱為力偶矩（2）力偶作用面的方位）力偶作用面的方位.（3）在力偶作用面內，力偶的轉向）在力偶作用面內，力偶的轉向FdFFM),(符號的規(guī)定符號的規(guī)定：使物體逆時針轉動為正號，反之負為號。：使物體逆時針轉動為正號，反之負為號。d(-)力偶沒有合力，因此力偶不能與一個力等效，也不能用一個力來平力偶沒有合力，因此力偶不能與一個力等效，也不能用一個力來平衡。衡。力偶只能與力偶等效，也只能與力偶平衡力偶只能與力偶等效，也只能與力偶平衡。3，力偶的性質，力偶的性質 （1）力偶中的兩個力在任一軸上投影的代數(shù)和等于零。）力偶中的兩個力在任一軸上投影的代數(shù)和等于零

9、。FFdn(+)(-)（2）力偶中兩力對力偶作用面內任一點的矩恒等于力偶矩）力偶中兩力對力偶作用面內任一點的矩恒等于力偶矩 ，而與，而與所選矩心的位置無關。所選矩心的位置無關。FFdxO)()(FMFMMOOO),()(FFMFddxFFx推論推論1：力偶矩矢保持不變，力偶可以在其作用面內任意轉移，而：力偶矩矢保持不變，力偶可以在其作用面內任意轉移，而不會改變它對剛體的轉動效應。不會改變它對剛體的轉動效應。F1F1d=F1F1d同一平面內兩個力偶等效的必要與充分條件：同一平面內兩個力偶等效的必要與充分條件：兩個力偶矩相等兩個力偶矩相等。 二二, 同一平面內力偶的等效定理同一平面內力偶的等效定理

10、推論推論2：在：在保持力偶矩大小不變保持力偶矩大小不變的條件下，可以同時相應的改變力的條件下，可以同時相應的改變力偶中力的大小和力偶臂的長短，而不改變它對剛體的轉動效應。偶中力的大小和力偶臂的長短，而不改變它對剛體的轉動效應。F1F1d1F2F2d2dFdF2211一，合成一，合成dFM111 dFM222 3-3 平面力偶系的合成與平衡平面力偶系的合成與平衡F1F1d1F2F2d2(1) 兩個力偶的合成兩個力偶的合成dFM111 dFM222 dFM111 dFM222 dF11F11F22F22F1F1d1F2F2d2dFM111 dFM222 dF11F11F22F22dFRFRFFFF

11、FFRR 22112211,MMdFFdFMRR212211)(MMMMMini1力偶系：同時作用于同一物體上的若干力偶。力偶系：同時作用于同一物體上的若干力偶。平面力偶系：力偶系各力偶位于同一平面內。平面力偶系：力偶系各力偶位于同一平面內。平面力偶系實際上與一個力偶等效。平面力偶系實際上與一個力偶等效。平面力偶系可以合成為一個平面力偶系可以合成為一個力偶力偶（原力偶系的合力偶）。（原力偶系的合力偶）。合力偶之矩等于原力偶系中各力偶之矩的代數(shù)和合力偶之矩等于原力偶系中各力偶之矩的代數(shù)和(2) n 個力偶的合成個力偶的合成例例 : 已知已知 M1 = 10N.m , M2 = 20N.m , M

12、3 = 15N.m .求求:合力偶矩合力偶矩 M .M1M2M3mNMMi.25152010M平面平面力偶系平衡的必要、充分條件是：力偶系平衡的必要、充分條件是：力偶系中所有各力偶矩的代力偶系中所有各力偶矩的代數(shù)和等于零。數(shù)和等于零。0M上式為平面力偶系的上式為平面力偶系的平衡方程平衡方程當作用在剛體上的主動力全是力偶時，約束反力一定形成力偶。當作用在剛體上的主動力全是力偶時，約束反力一定形成力偶。三，平衡條件三，平衡條件例例3-3 已知力矩為已知力矩為 Me = 300N.m ，l = 3m. 試求支座的約束反力試求支座的約束反力.MeBAlFBFA0, 0lFMMAeNlMFFeBABAM

13、e例例3-4 已知三個力偶矩的大小分別為已知三個力偶矩的大小分別為 M1=1.0 N.m, M2=1. 4 N.m, M3=2. 0 N.m, 求兩定向螺栓所受的力求兩定向螺栓所受的力.BAlM1M2M3BAM1M2M3解解: 取工件為研究對象取工件為研究對象, 畫受力圖畫受力圖FBFA0321MMMlFA 0MFNFBA 22BAlM1M2M3例題例題: 圖示剛架，其上作用三個力偶，其中圖示剛架，其上作用三個力偶，其中 F1= F1= 5 kN， M2= 20 kN.M , M3 = 9 kN.m , 試求支座試求支座 A、B 處的反力處的反力AB30oF1F1M31m1m1mM230oFA

14、30oFBABM3M1M2解：因為作用在剛架上的主動力全是力偶解：因為作用在剛架上的主動力全是力偶A、B 處的約束反力一定形成力偶。處的約束反力一定形成力偶。mkNFM.5111AB30oF1F1M31m1m1mM230oFA30oFBABM3M1M2根據(jù)平面力偶系的平衡方程根據(jù)平面力偶系的平衡方程解得：解得： 0M0321dFMMMB0920560sin0ABFBkNFFBA.d60o練習題練習題 梁梁 AB 受一力偶作用受一力偶作用, 此力偶矩此力偶矩 M = 20kN.m , 梁的跨度梁的跨度 l= 5m, 傾角傾角 = 600. 試求試求 A, B 處的支座反力處的支座反力. 梁的自重

15、不計梁的自重不計.MBA解解: 取取 AB 為研究對象為研究對象. 畫受力圖畫受力圖 FBFAMBA lMBA FBFAMBA ld 0M平衡方程平衡方程0dFMA060cos0lFMAkNFFBA8思考題思考題3-2 ( P46 ) 在物體上作用有兩個力偶在物體上作用有兩個力偶 ( F1, F1) 和和 ( F2, F2 ), 其力的多邊形封閉其力的多邊形封閉. 問該物體是否平衡問該物體是否平衡? 為什么為什么?F1F1F2F2F1F2F1F2該物體不平衡該物體不平衡, 力的多邊形法則只適用于平面匯交力系力的多邊形法則只適用于平面匯交力系平面力偶系平衡的必要、充分條件是：平面力偶系平衡的必要、充分條件是：力偶系中所有各力偶矩力偶系中所