第09章 正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析

1、RULUCU相量法的三個(gè)基本公式相量法的三個(gè)基本公式 以上公式是在電壓、電流以上公式是在電壓、電流關(guān)聯(lián)關(guān)聯(lián)參考方向的條件參考方向的條件下得到的；下得到的； 如果為如果為非關(guān)聯(lián)非關(guān)聯(lián)參考方向，則以上各式要變號(hào)。參考方向，則以上各式要變號(hào)。 以上公式既包含電壓和電流的以上公式既包含電壓和電流的大小大小關(guān)系，又包關(guān)系，又包含電壓和電流的含電壓和電流的相位相位關(guān)系。關(guān)系。RIRjLLI1jCIC1jCIC 正弦量相應(yīng)符號(hào)的正確表示正弦量相應(yīng)符號(hào)的正確表示瞬時(shí)值表達(dá)式瞬時(shí)值表達(dá)式 i = 10 cos(314 t + 30)A變量，變量，小寫小寫字母字母有效值有效值I = A210常數(shù)，大寫字母常數(shù)，大

2、寫字母最大值最大值常數(shù)，大寫字母常數(shù)，大寫字母最大值相量最大值相量mI有效值相量有效值相量A /3010I30/ 210A 30/ 25常數(shù)，大寫字母加點(diǎn)常數(shù)，大寫字母加點(diǎn)常數(shù)，大寫字母加點(diǎn)常數(shù)，大寫字母加點(diǎn)Im=10AA 259.1 9.1 阻抗和導(dǎo)納阻抗和導(dǎo)納9.2 9.2 電路的相量圖電路的相量圖9.3 9.3 正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析9.4 9.4 正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率9.5 9.5 復(fù)功率復(fù)功率9.6 9.6 最大功率傳輸最大功率傳輸?shù)诰耪碌诰耪?正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析9.1 9.1 阻抗和導(dǎo)納阻抗和導(dǎo)納一、阻抗一、阻抗1、定義、定義N0+-

3、 -UIdefUZI()uiUIZZ阻抗模阻抗模| Z | = U / I阻抗角阻抗角iuZ阻抗阻抗 Z 的代數(shù)形式可寫為的代數(shù)形式可寫為Z= R + jX其實(shí)部為其實(shí)部為電阻電阻，虛部為，虛部為電抗電抗。2、R、L、C 對(duì)應(yīng)的阻抗分別為：對(duì)應(yīng)的阻抗分別為：RZLZCZ3、感抗和容抗、感抗和容抗感抗感抗LXL容抗容抗CXC1反映電感對(duì)電流的阻礙作用反映電感對(duì)電流的阻礙作用反映電容對(duì)電流的阻礙作用反映電容對(duì)電流的阻礙作用)1(CXC或Rj L1jC感抗（感抗（XL =L ）是頻率的函數(shù)是頻率的函數(shù)XL = 0 時(shí)時(shí)XL = 0關(guān)于感抗的討論關(guān)于感抗的討論us+_LR直流直流US+_RUS+-1C

4、XCus+-關(guān)于容抗的討論關(guān)于容抗的討論直流直流是頻率的函數(shù)是頻率的函數(shù)容抗容抗1CXC（）0 時(shí)時(shí) CX 4、RLC串聯(lián)電路串聯(lián)電路如果如果N0內(nèi)部為內(nèi)部為RLC串聯(lián)電路，則阻抗串聯(lián)電路，則阻抗 Z 為為UZI1jjRLC1j()RLCjRXZZ22XRZ)arctan(RXZRX|Z|Z阻抗三角形阻抗三角形N0+- -UI 當(dāng)當(dāng)L 1/C ，X 0，0，電壓電壓 u 超前電流超前電流 i，稱，稱 Z 呈呈感性感性； 當(dāng)當(dāng)L 1/C ，X 0， 0，或，或 X 0 ， 或或X = 01j()jZRLRXC)arctan(RXZ二、導(dǎo)納二、導(dǎo)納1、定義、定義defIYU()iuIUYY導(dǎo)納模導(dǎo)

5、納模 | Y | = I / U導(dǎo)納角導(dǎo)納角uiY導(dǎo)納導(dǎo)納Y的代數(shù)形式可寫為的代數(shù)形式可寫為Y= G + jB其實(shí)部為其實(shí)部為電導(dǎo)電導(dǎo)，虛部為，虛部為電納電納。例：例： Z=3+j4Y=1/3 + j1/4Y = 3/25 j 4/25N0+- -UI2、單個(gè)元件、單個(gè)元件R、L、C 的導(dǎo)納的導(dǎo)納RGYR111jjLYLL jCYC3、感納和容納、感納和容納感納感納LBL1容納容納CBC三、阻抗的串聯(lián)三、阻抗的串聯(lián)neqZZZZ 21特點(diǎn)：特點(diǎn)：阻抗串聯(lián)時(shí)，通過各阻抗的電流是阻抗串聯(lián)時(shí)，通過各阻抗的電流是同一個(gè)電流同一個(gè)電流。+- -uiZ1Z2Zn對(duì)于對(duì)于 n 個(gè)阻抗串聯(lián)而成的電路，其等效阻

6、抗個(gè)阻抗串聯(lián)而成的電路，其等效阻抗各個(gè)阻抗的電壓分配為各個(gè)阻抗的電壓分配為,UZZUeqkk,個(gè)阻抗的電壓為第kUk.為總電壓Uk = 1,2,n+- -uiZ1Z2Zn四、阻抗四、阻抗(導(dǎo)納導(dǎo)納)的并聯(lián)的并聯(lián)neqYYYY 21特點(diǎn)：特點(diǎn)：導(dǎo)納并聯(lián)時(shí)，各導(dǎo)納上的電壓是導(dǎo)納并聯(lián)時(shí)，各導(dǎo)納上的電壓是同一個(gè)電壓同一個(gè)電壓。對(duì)對(duì) n 個(gè)導(dǎo)納并聯(lián)而成的電路，其等效導(dǎo)納個(gè)導(dǎo)納并聯(lián)而成的電路，其等效導(dǎo)納+- -uiY1Y2Yn各個(gè)導(dǎo)納的電流分配為各個(gè)導(dǎo)納的電流分配為,IYYIeqkkk = 1, 2, , n+- -uiY1Y2Yn.為總電流I為第為第k個(gè)導(dǎo)納的電流個(gè)導(dǎo)納的電流, ,Ik例：例：如圖如圖R

7、LC串聯(lián)電路。串聯(lián)電路。R=15 ，L=12mH，C=5 F，端電壓端電壓 u=141.4 cos ( 5000 t ) V。求：求：i 和各元件的電壓相量。和各元件的電壓相量。解：解：用相量法。用相量法。1000 (V)U 5000(rad/s)1jjZRLC36115j(5000 12 10)50005 10 15j202553.13 ()1000453.13 (A) 2553.13UIZ RURI6053.13 (V) 1553.134j240 36.87 (V)LULI1j160143.13 (V)CUIC ( )4 2 cos(500053.13 )(A)i tt如圖如圖RLC串聯(lián)電

8、路。串聯(lián)電路。R=15 ，L=12mH，C=5 F，端電壓，端電壓 u=141.4 cos ( 5000 t ) V。求：。求：i 和各元件的電壓相量。和各元件的電壓相量。9.2 9.2 電路的相量圖電路的相量圖一、相量圖一、相量圖 相關(guān)的電壓和電流相量在復(fù)平面上組成。相關(guān)的電壓和電流相量在復(fù)平面上組成。在相量圖上，除了按比例反映各相量的模外，在相量圖上，除了按比例反映各相量的模外，最重要的是確定各相量的相位關(guān)系。最重要的是確定各相量的相位關(guān)系。二、相量圖的畫法二、相量圖的畫法 選擇某一相量作為參考相量，而其他有選擇某一相量作為參考相量，而其他有關(guān)相量就根據(jù)它來加以確定。參考相量的初關(guān)相量就根

9、據(jù)它來加以確定。參考相量的初相可取為零，也可取其他值，視不同情況而相可取為零，也可取其他值，視不同情況而定。定。1、串聯(lián)電路、串聯(lián)電路 取電流為參考相量，從而確定各元件的電壓取電流為參考相量，從而確定各元件的電壓相量；表達(dá)相量；表達(dá)KVL的各電壓相量可按向量求和的方的各電壓相量可按向量求和的方法作出。法作出。2、并聯(lián)電路、并聯(lián)電路 取電壓為參考相量，從而確定各元件的電流取電壓為參考相量，從而確定各元件的電流相量；表達(dá)相量；表達(dá)KCL的各電流相量可按向量求和的方的各電流相量可按向量求和的方法作出。法作出。3、串并聯(lián)電路、串并聯(lián)電路 從局部開始從局部開始453.13 (A)I 24036.87 (

10、V)LU160143.13 (V)CURUIUCULUCLUU53.1以上一節(jié)中例題為例以上一節(jié)中例題為例6053.13 (V)RU 1000 (V)U V1V2V1讀數(shù)為讀數(shù)為10V，V2讀數(shù)為讀數(shù)為10V，V0的讀數(shù)為？的讀數(shù)為？V01U+ -2U+ -IV0的讀數(shù)為的讀數(shù)為 14.14 VI1U2U0U+ +- -0U例例下圖中已知：下圖中已知：I1=10A、UAB =100V，求：求： A 、UO 的讀數(shù)的讀數(shù)解題方法有兩種：解題方法有兩種： 1.利用復(fù)數(shù)進(jìn)行相量運(yùn)算利用復(fù)數(shù)進(jìn)行相量運(yùn)算2.利用相量圖求結(jié)果利用相量圖求結(jié)果AAB C25 j5UOC1j101I2II解法解法1:利用復(fù)數(shù)

11、進(jìn)行相量運(yùn)算利用復(fù)數(shù)進(jìn)行相量運(yùn)算已知：已知： I1=10A、 UAB =100V，則：則：210010245 A5j5I 11090j10 AI A01021IIIA讀數(shù)為讀數(shù)為 10安安求：求：A、UO的讀數(shù)的讀數(shù)即：即：AB1000 VU設(shè)：設(shè)：為參考相量，為參考相量，ABUAAB C25 j5UOC1j101I2II1210 0 AIII1(j10)j100 VCUI 1j100100100245 VoCABUUU Uo讀數(shù)為讀數(shù)為141伏伏求：求：A、UO的讀數(shù)的讀數(shù)已知：已知： I1=10A、 UAB =100V，AAB C25 j5UOC1j101I2II解法解法2: 利用相量圖求

12、解利用相量圖求解設(shè)：設(shè)：V0100ABUABU2I45由已知由已知條件得：條件得：10A1I、領(lǐng)先、領(lǐng)先 901I2IA21055100222IABU 45落后于落后于I=10 A、 UO =141V由圖得：由圖得：21IIIABCoUUU1求：求：A、UO的讀數(shù)的讀數(shù)已知已知: I1=10A, UAB=100V，UC1=I10=100VuC1落后于落后于 i 901CUOUIBj5UOAA C25 C1j101I2II9.3 9.3 正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析正弦穩(wěn)態(tài)電路的分析在用相量法分析計(jì)算時(shí)，引入正弦量的相量、在用相量法分析計(jì)算時(shí)，引入正弦量的相量、阻抗、導(dǎo)納和阻抗、導(dǎo)納和KCL、KVL的相量

13、形式，它們?cè)谛蔚南嗔啃问?，它們?cè)谛问缴吓c線性電阻電路相似。式上與線性電阻電路相似。0i0u0I0URiu Gui IZUUYI對(duì)于電阻電路有：對(duì)于電阻電路有：對(duì)于正弦電流電路有：對(duì)于正弦電流電路有： 用相量法分析時(shí)，線性電阻電路的各種分析用相量法分析時(shí)，線性電阻電路的各種分析方法和電路定理可推廣用于線性電路的正弦穩(wěn)態(tài)方法和電路定理可推廣用于線性電路的正弦穩(wěn)態(tài)分析。分析。 差別差別僅在于所得電路方程為以僅在于所得電路方程為以相量形式相量形式表示表示的代數(shù)方程以及用相量形式描述的電路定理，而的代數(shù)方程以及用相量形式描述的電路定理，而計(jì)算則為計(jì)算則為復(fù)數(shù)運(yùn)算復(fù)數(shù)運(yùn)算。例：電路中的獨(dú)立電源全都是同頻正

14、弦量。試列例：電路中的獨(dú)立電源全都是同頻正弦量。試列出該電路的出該電路的結(jié)點(diǎn)電壓結(jié)點(diǎn)電壓方程和方程和回路電流回路電流方程。方程。1Z2Z3Z4Z5Z1SU3SU5SI12解：電路的結(jié)點(diǎn)電壓方程為解：電路的結(jié)點(diǎn)電壓方程為1nU2nU1nU2nU)(321YYY3Y- -11SUY33SUY+3Y- -)(543YYY+)(43YY 33SUY5SI- -+1Z2Z3Z4Z5Z1SU3SU5SI網(wǎng)孔電流方程網(wǎng)孔電流方程1 lI2lI3lI1lI1lI2lI2lI3lI3lI)(21ZZ 2Z- -+ 01SU+2Z- - - - -)(432ZZZ+4Z3SU3lI5SI9.4 9.4 正弦穩(wěn)態(tài)電

15、路的功率正弦穩(wěn)態(tài)電路的功率一、瞬時(shí)功率一、瞬時(shí)功率N+u- -i一端口內(nèi)部不含獨(dú)立電一端口內(nèi)部不含獨(dú)立電源，僅含電阻、電感和源，僅含電阻、電感和電容等無源元件。電容等無源元件。它吸收的瞬時(shí)功率它吸收的瞬時(shí)功率 p 等于電壓等于電壓 u 和電流和電流 i 的乘積的乘積p =u i在正弦穩(wěn)態(tài)情況下，設(shè)在正弦穩(wěn)態(tài)情況下，設(shè))cos(2utUu)cos(2itIi瞬時(shí)功率瞬時(shí)功率p = )cos(2utU)cos(2itI)2cos()cos(iuiutUIUIiu令令為電壓和電流之間的相位差為電壓和電流之間的相位差)2cos(cosiutUIUIp瞬時(shí)功率有兩個(gè)分量：瞬時(shí)功率有兩個(gè)分量：第一個(gè)為第一

16、個(gè)為恒定恒定分量，第二個(gè)為分量，第二個(gè)為正弦正弦分量。分量。coscos(2)coscos(22)coscos(22)cossin(22)sincos 1cos(22)sin(22)sinuiuuuuupUIUItUIUItUIUIttUItUItcos 1cos2()sinsin2()uupUItUIt第一項(xiàng)是第一項(xiàng)是不可逆不可逆部分部分(0)；第二項(xiàng)是第二項(xiàng)是可逆可逆部分，說明能量在外施電源與一端部分，說明能量在外施電源與一端口之間來回交換。口之間來回交換。二、平均功率二、平均功率又稱又稱有功功率有功功率，是指瞬時(shí)功率在一個(gè)周期內(nèi)的平均值。，是指瞬時(shí)功率在一個(gè)周期內(nèi)的平均值。01dTPp

17、tT01coscos(2)dTuiUIttTcosUI功率因數(shù)功率因數(shù)cos單位：瓦（單位：瓦（W）電阻電阻R0=122GURIUIPR電感電感L 90=00LP電容電容C 90=00CP定義：定義：電路中消耗平均功率的電路中消耗平均功率的只是電阻元件。只是電阻元件。Z=3+j4 UU10 /30 V計(jì)算負(fù)載計(jì)算負(fù)載Z所消耗的有功功率所消耗的有功功率P = 102/5P = 102/3I = 10 / |Z| = 2AP = UIcos =222520WPIR222312WPIR 10 2 cos53.112W 三、無功功率三、無功功率defsinQU I反映了內(nèi)部與外部往返交換能量的情況。反

18、映了內(nèi)部與外部往返交換能量的情況。單位：乏（單位：乏（Var)電阻電阻R00RQ電感電感L 90LULIUIQL22電容電容C 90221CUICUIQC四、視在功率四、視在功率defSU I電機(jī)和變壓器的容量是由視在功率來表示的。電機(jī)和變壓器的容量是由視在功率來表示的。單位：伏安（單位：伏安（VA）有功功率有功功率P、無功功率、無功功率Q和視在功率和視在功率S存在下列關(guān)系：存在下列關(guān)系：cosSP sinQS22QPS)arctan(PQ例：如圖所示為例：如圖所示為測(cè)量電感線圈測(cè)量電感線圈R、L的實(shí)驗(yàn)電路的實(shí)驗(yàn)電路,已已知電壓表的讀數(shù)為知電壓表的讀數(shù)為50V,電流表的讀數(shù)為電流表的讀數(shù)為1A

19、,功率表功率表讀數(shù)為讀數(shù)為30W,電源的頻率電源的頻率f =50Hz,試求試求R、L之值。之值。解：可先求得線圈的阻抗解：可先求得線圈的阻抗/jZZRLIUZ =5030cosUI13.53解得：解得： 13.53/50Z=30 + j40R = 30 40L= 127 mH另一種解法另一種解法302RIR = 30 223050 L22)( LRZ而而故可求得：故可求得：= 40 = 2f = 314 rad/s9.5 9.5 復(fù)功率復(fù)功率一、復(fù)功率一、復(fù)功率設(shè)一個(gè)一端口的電壓相量為設(shè)一個(gè)一端口的電壓相量為 ，電流相量為，電流相量為 ，UIdef*SU I iuUI/cosjsinUIUI=

20、 P + jQ復(fù)功率定義為復(fù)功率定義為*I的共軛復(fù)數(shù)是式中I二、有功分量和無功分量二、有功分量和無功分量一個(gè)不含獨(dú)立電源的一端口可以用等效阻抗一個(gè)不含獨(dú)立電源的一端口可以用等效阻抗Z表示。表示。UaUrUIeRjeXUaUrUI相量圖相量圖的有功分量同相稱為與電流UIUacosUUaIUUIPacos而有功功率UaUrUI的無功分量稱為正交與UIUr,sinUUr復(fù)功率可寫為復(fù)功率可寫為* SU I * I Z IZI2 jeeZRX其中其中UaUrUIIUUIQrsin而無功功率可以證明可以證明正弦電流電路中總的有功功率正弦電流電路中總的有功功率是電路各部分有功功率之和，是電路各部分有功功率

21、之和，總的無功功率是電路各部分無功功率之和，總的無功功率是電路各部分無功功率之和，即有功功率和無功功率分別守恒。即有功功率和無功功率分別守恒。電路中的復(fù)功率也守恒，電路中的復(fù)功率也守恒，但視在功率不守恒。但視在功率不守恒。三、功率因數(shù)的提高三、功率因數(shù)的提高cosUIP cos是電路的功率因數(shù)。是電路的功率因數(shù)。 電壓與電流間的相位差或電路的功率因數(shù)電壓與電流間的相位差或電路的功率因數(shù)決定于電路（負(fù)載）決定于電路（負(fù)載）的參數(shù)。的參數(shù)。 只有在電阻負(fù)載的情況下，電壓和電流才只有在電阻負(fù)載的情況下，電壓和電流才同相，其功率因數(shù)為同相，其功率因數(shù)為1。 對(duì)于其它負(fù)載來說，其功率因數(shù)均介于對(duì)于其它負(fù)

22、載來說，其功率因數(shù)均介于0與與1之間。之間。40W白熾燈白熾燈 cos140W日光燈日光燈 cos0.5A364. 05 . 022040cosUPI發(fā)電與供電發(fā)電與供電設(shè)備的容量設(shè)備的容量要求較大要求較大A182.022040UPIcosUIP 例：例：如果電源的額定電流是如果電源的額定電流是36.4A，白熾燈可以接白熾燈可以接200個(gè)；個(gè)；日光燈只能接日光燈只能接100個(gè)。個(gè)。 功率因數(shù)不等于功率因數(shù)不等于1時(shí)，電路中發(fā)生時(shí)，電路中發(fā)生能量互換能量互換，出現(xiàn)無功功率。這樣引起下面兩個(gè)問題：出現(xiàn)無功功率。這樣引起下面兩個(gè)問題：1、發(fā)電設(shè)備的容量不能充分利用、發(fā)電設(shè)備的容量不能充分利用2、增加

23、線路和發(fā)電機(jī)繞組的功率、增加線路和發(fā)電機(jī)繞組的功率損耗損耗提高功率因數(shù)的意義提高功率因數(shù)的意義RjLU電感性負(fù)載并聯(lián)電容器。電感性負(fù)載并聯(lián)電容器。1j CI1I2IU1I2II1)(2I)(IO2jICU提高功率因數(shù)的常用方法：提高功率因數(shù)的常用方法：補(bǔ)償容補(bǔ)償容量不同量不同全全不要求不要求(電容設(shè)備投資增加電容設(shè)備投資增加, 經(jīng)濟(jì)效果不明顯經(jīng)濟(jì)效果不明顯)欠欠過過使功率因數(shù)又由高變低使功率因數(shù)又由高變低(性質(zhì)不同性質(zhì)不同)U1I2II1O2I2jIC UCUI2UIC2并聯(lián)電容并聯(lián)電容C的計(jì)算的計(jì)算11sinIsinI 提高功率因數(shù)，是指提高提高功率因數(shù)，是指提高電源或電網(wǎng)電源或電網(wǎng)的功的功

24、率因數(shù)，而率因數(shù)，而不是不是指提高某個(gè)指提高某個(gè)電感性負(fù)載電感性負(fù)載的功率的功率因數(shù)。因數(shù)。 并聯(lián)電容后并并聯(lián)電容后并不改變不改變?cè)?fù)載的工作狀況，原負(fù)載的工作狀況， 所以電路的有功功率并沒有改變，只是所以電路的有功功率并沒有改變，只是改改變變了電路的了電路的無功無功功率，從而使功率因數(shù)得到提功率，從而使功率因數(shù)得到提高。高。提高功率因數(shù)的含義提高功率因數(shù)的含義例：正弦電壓為例：正弦電壓為50Hz，380V，感性負(fù)載吸收的功率，感性負(fù)載吸收的功率為為20kW，功率因數(shù)，功率因數(shù)0.6。若使電路的功率因數(shù)提高。若使電路的功率因數(shù)提高到到0.9，求在負(fù)載的兩端并接的電容值。，求在負(fù)載的兩端并接的電容值。11cosUIP A72.871I6 . 0cos113.531cosUIP I = 58.48 A9 . 0cos84.25U1I2II1ORjLU1jCI1I2I例：正弦電壓為例：正弦電壓為50Hz，380V，感性負(fù)載吸收的功率為，感性負(fù)載吸收的功率為20kW，功率因數(shù)功率因數(shù)0.6。若使電