第二章 矩陣及其運算

1、1矩陣的概念矩陣的概念( () )246矩陣的運算逆矩陣逆矩陣矩陣的應用矩陣的應用357第第2 2章章 矩陣及其應用矩陣及其應用1、矩陣的定義2、矩陣的運算矩陣的應用重重 點點: 難難 點點: 第第2 2章章 矩陣及其應用矩陣及其應用一、學習矩陣的目的一、學習矩陣的目的矩陣是高等代數(shù)學中的常見工具，也常見于統(tǒng)計分析等矩陣是高等代數(shù)學中的常見工具，也常見于統(tǒng)計分析等應用數(shù)學學科中。應用數(shù)學學科中。計算機科學計算機科學中，三維動畫制作也需中，三維動畫制作也需要用到矩陣。要用到矩陣。 矩陣的運算是矩陣的運算是數(shù)值分析數(shù)值分析領(lǐng)域的重要問題。領(lǐng)域的重要問題。將矩陣分解為簡單矩陣的組合可以在理論和實際應

2、用將矩陣分解為簡單矩陣的組合可以在理論和實際應用上簡化矩陣的運算。對一些應用廣泛而形式特殊的矩上簡化矩陣的運算。對一些應用廣泛而形式特殊的矩陣，例如陣，例如稀疏矩陣稀疏矩陣和準和準對角矩陣對角矩陣，有特定的快速運算，有特定的快速運算算法。算法。2 2 矩陣及其應用矩陣及其應用二、矩陣的定義二、矩陣的定義1 1、矩陣的定義、矩陣的定義 由由m mn n個數(shù)排成的個數(shù)排成的m m行行n n列的矩陣表示為：列的矩陣表示為：矩陣一般都是用大寫黑體字母矩陣一般都是用大寫黑體字母A,B, A,B, 等表示，為指明矩陣等表示，為指明矩陣的行列信息，通常帶下標，如：的行列信息，通常帶下標，如：A Am mn

3、n 或或aaijij m mn n 2.1 2.1 矩陣的概念矩陣的概念mnmmnnnmijaaaaaaaaaa212222111211, 2 , 1, 2 , 1njmi其中2.1 2.1 矩陣的概念矩陣的概念【例如例如】某廠家向四個商店發(fā)送四種產(chǎn)品的數(shù)量可用矩陣表示。某廠家向四個商店發(fā)送四種產(chǎn)品的數(shù)量可用矩陣表示。4443424134333231242322211413121144aaaaaaaaaaaaaaaaaij其中其中a aijij表示向第表示向第i i個商店發(fā)送第個商店發(fā)送第j j種產(chǎn)品的數(shù)量。這四種產(chǎn)種產(chǎn)品的數(shù)量。這四種產(chǎn)品的單價和重量設(shè)用矩陣品的單價和重量設(shè)用矩陣(b(bij

4、ij) )4 42 2表示表示。424132312221121124)(bbbbbbbbbij其中其中b bi1i1表示第表示第i i種商品的單價，種商品的單價， b bi2i2表示第表示第i i種商品的重量。種商品的重量。2.1 2.1 矩陣的概念矩陣的概念【例如例如】四個城市間的直接單向可達航線如圖四個城市間的直接單向可達航線如圖2.12.1所示。若城所示。若城市之間的單向航線定義為：市之間的單向航線定義為：直接不可達個城市直接可達個城市和第第01jiaij0101001000011110A【練習練習】 設(shè)小明家第一季度水、電、物業(yè)和煤氣費用如下設(shè)小明家第一季度水、電、物業(yè)和煤氣費用如下表

5、所示。請把該表格用矩陣等價的表示；如果用矩陣表示表所示。請把該表格用矩陣等價的表示；如果用矩陣表示第一季度每個月費用總額如何表示？如果用矩陣表示第一第一季度每個月費用總額如何表示？如果用矩陣表示第一季度水費、電費、物業(yè)費和煤氣費總額如何表示？季度水費、電費、物業(yè)費和煤氣費總額如何表示？2.1 2.1 矩陣的概念矩陣的概念水費水費電費電費物業(yè)費物業(yè)費煤氣費煤氣費一月20元150元200元10元二月22元100元200元15元三月25元80元200元10元三、特殊矩陣三、特殊矩陣1 1、方陣、方陣2 2、零矩陣（、零矩陣（0 0）3 3、行矩陣、行矩陣4 4、列矩陣、列矩陣5 5、對角方陣（對角陣

6、）、對角方陣（對角陣）6 6、單位矩陣（、單位矩陣（I I）: :主對角線元素全為主對角線元素全為1 1的對角陣。的對角陣。7 7、矩陣相等、矩陣相等8 8、對稱矩陣：、對稱矩陣：a aijij= = a ajiji元素以主對角線為對稱軸對應相等。元素以主對角線為對稱軸對應相等。9 9、負矩陣（、負矩陣（-A-A）2.1 2.1 矩陣的概念矩陣的概念44332211000000000000aaaaannij【例如例如】設(shè)有矩陣相等如下，求設(shè)有矩陣相等如下，求x,y,zx,y,z。2.1 2.1 矩陣的概念矩陣的概念420134081zyx【例如例如】設(shè)矩陣設(shè)矩陣A A如下，求其負矩陣如下，求其

7、負矩陣-A-A。054612312A054612312A一、矩陣的加法一、矩陣的加法1 1、定義、定義 設(shè)設(shè)A=A=a aijij m mn n ,B=a ,B=aijij m mn n , ,以以A A與與B B對應元素之和為元素構(gòu)成對應元素之和為元素構(gòu)成的的m mn n 矩陣，稱為矩陣矩陣，稱為矩陣A A與與B B的和，記作的和，記作A+BA+B，公式如下：，公式如下： 2.2 2.2 矩陣的運算矩陣的運算nmijijbaBA2323,4132BA225124312332BA【練習練習】A+(-A)=?A+(-A)=?【例如例如】【考慮】矩陣的減法2 2、矩陣加法運算性質(zhì)、矩陣加法運算性質(zhì)

8、設(shè)矩陣設(shè)矩陣ABCABC都是都是m mn n同類型矩陣，則：同類型矩陣，則：(1)(1)A+B=B+AA+B=B+A(2)(2)A+(B+C)=(A+B)+CA+(B+C)=(A+B)+C(3)(3)A+O=AA+O=A(4)(4)A+(-A)=0A+(-A)=0【練習練習】驗證結(jié)合律。驗證結(jié)合律。2.2 2.2 矩陣的運算矩陣的運算6540,2323,4132CBA二、矩陣的數(shù)乘二、矩陣的數(shù)乘1 1、定義、定義 設(shè)設(shè)A=aA=aijij m mn n ，k k為數(shù)，數(shù)為數(shù)，數(shù)k k與矩陣與矩陣A A的乘積定義為：的乘積定義為： kA= kA= kakaijij m mn n ，或者記為，或者

9、記為AkAk?！纠缋纭吭O(shè)設(shè)k=5k=5矩陣矩陣A A如下所示，則如下所示，則5A=5A=？2.2 2.2 矩陣的運算矩陣的運算4132A2 2、矩陣數(shù)乘的運算性質(zhì)、矩陣數(shù)乘的運算性質(zhì) (1)(1)1A=A1A=A(2)(2)( (kuku)A=k()A=k(uAuA) )(3)(3)( (k+uk+u)A=)A=kA+UakA+Ua(4)(4)k(A+B)=k(A+B)=ka+kBka+kB三、矩陣的線性運算三、矩陣的線性運算矩陣的加法和數(shù)乘稱為矩陣的線性運算。矩陣的加法和數(shù)乘稱為矩陣的線性運算。四、矩陣的乘法四、矩陣的乘法1 1、定義、定義 設(shè)設(shè)A=aA=ailil m mk k ,B=

10、,B=b bljlj k kn n , ,設(shè)其乘法矩陣設(shè)其乘法矩陣ABAB用用C=C=c cijij m mn n 表示如下：表示如下：2.2 2.2 矩陣的運算矩陣的運算,2,1,2,112211njmibabababacklljilkjikjijiij【例如例如】設(shè)已知矩陣設(shè)已知矩陣A A和和B B如下，求矩陣如下，求矩陣ABAB和和BA.BA.2.2 2.2 矩陣的運算矩陣的運算202,301142BA86230021210422202301142AB【思考思考】BA=? IA=? AI=?BA=? IA=? AI=?【練習練習】已知矩陣已知矩陣A A、B B如下所示，求如下所示，求AB

11、=AB=？ BA=?BA=?361245132A331234021B【練習練習】設(shè)某廠家向設(shè)某廠家向3 3個商店分別銷售了個商店分別銷售了4 4種產(chǎn)品，如矩陣種產(chǎn)品，如矩陣(a(aijij) )3 34 4所示，每種商品的價錢和重量如矩陣所示，每種商品的價錢和重量如矩陣( (b bijij) )4 42 2所示。所示。試用矩陣運算求某廠家對每個商店銷售商品的總價錢和總重試用矩陣運算求某廠家對每個商店銷售商品的總價錢和總重量。量。2.2 2.2 矩陣的運算矩陣的運算50504050010702050203043ija201830223016403024ijb2 2、矩陣乘法運算性質(zhì)、矩陣乘法運算

12、性質(zhì)(1)(1)不滿足交換律不滿足交換律(2)(2)左分配律左分配律A(B+C)=AB+ACA(B+C)=AB+AC右分配律右分配律 (B+C)A=BA+CA(B+C)A=BA+CA(3)(3)結(jié)合律結(jié)合律A(BC)=(AB)CA(BC)=(AB)C(4)(4)數(shù)與矩陣的結(jié)合律數(shù)與矩陣的結(jié)合律(kA)B=A(Kb)=k(AB)(kA)B=A(Kb)=k(AB)【練習練習】驗證矩陣乘法的結(jié)合律驗證矩陣乘法的結(jié)合律2.2 2.2 矩陣的運算矩陣的運算34,202,301142CBA五、矩陣轉(zhuǎn)置五、矩陣轉(zhuǎn)置1 1、定義把矩陣、定義把矩陣A=A=a aijij m mn n的行列互換得到一個新的的行列

13、互換得到一個新的矩陣，稱為矩陣矩陣，稱為矩陣A A的轉(zhuǎn)置，記作的轉(zhuǎn)置，記作A AT T。2.2 2.2 矩陣的運算矩陣的運算mnnnmmTmnmmnnaaaaaaaaaAaaaaaaaaaA212221212111212222111211例如例如542260232132A562401223232TA【考慮】若矩陣是對稱的，則AT與A的關(guān)系？【練習練習】對角矩陣和對角矩陣和I I的轉(zhuǎn)置矩陣與原矩陣什么關(guān)系？的轉(zhuǎn)置矩陣與原矩陣什么關(guān)系？2 2、矩陣轉(zhuǎn)置的運算性質(zhì)、矩陣轉(zhuǎn)置的運算性質(zhì)(1)(1)(A(AT T) )T T=A=A(2)(kA)(2)(kA)T T= =kAkAT T(3)(A+B)(

14、3)(A+B)T T=A=AT T+B+BT T(4)(AB)(4)(AB)T T=B=BT TA AT T【練習練習】 驗證驗證(AB)(AB)T T=B=BT TA AT T2.2 2.2 矩陣的運算矩陣的運算054612312A364430421B【練習練習】求求A+2B,AB-BA.A+2B,AB-BA.【練習練習】求求A AT TB,BAB,BAT T. .2.2 2.2 矩陣的運算矩陣的運算22032132BA102023143125BA一、逆矩陣一、逆矩陣1 1、定義、定義 設(shè)設(shè)A A是一個是一個n n階方陣，如果存在一個階方陣，如果存在一個n n階方陣階方陣B B，使得，使得A

15、B=BA=IAB=BA=In n, ,則稱則稱B B是是A A的一個逆矩陣，并稱的一個逆矩陣，并稱A A是一個可逆矩陣。是一個可逆矩陣。2 2、逆矩陣性質(zhì)、逆矩陣性質(zhì)逆矩陣是唯一的。并記作逆矩陣是唯一的。并記作A A-1-1。(1)(A(1)(A-1-1) )-1-1=A=A(2)(2)如果矩陣如果矩陣A A可逆，常數(shù)可逆，常數(shù)k0,k0,則矩陣則矩陣kAkA可逆，且可逆，且(kA)(kA)-1-1=(1/k)A=(1/k)A-1-1(3)(3)如果如果A A、B B都是都是n n階可逆矩陣，則階可逆矩陣，則ABAB是一個是一個n n階可逆階可逆矩陣，且矩陣，且(AB(AB) )-1-1=B=

16、B-1-1A A-1-12.3 2.3 逆矩陣逆矩陣矩陣分析在計算機中的應用非常多，是一種方便的計算工具，可以以簡矩陣分析在計算機中的應用非常多，是一種方便的計算工具，可以以簡單的形式表達復雜的公式，比如：數(shù)字圖像處理、計算機圖形學、計單的形式表達復雜的公式，比如：數(shù)字圖像處理、計算機圖形學、計算機幾何學、人工智能、網(wǎng)絡通信、以及一般的算法設(shè)計和分析等。算機幾何學、人工智能、網(wǎng)絡通信、以及一般的算法設(shè)計和分析等。矩陣分析與應用將矩陣的分析分為梯度分析、奇異值分析、特征分析矩陣分析與應用將矩陣的分析分為梯度分析、奇異值分析、特征分析、子空間分析與投影分析五大部分。、子空間分析與投影分析五大部分。一、關(guān)系的矩陣表示，圖形的矩陣表示一、關(guān)系的矩陣表示，圖形的矩陣表示關(guān)系是純數(shù)學理論，是研究關(guān)系數(shù)據(jù)庫的重要方法。關(guān)系的矩陣表示，關(guān)系是純數(shù)學理論，是研究關(guān)系數(shù)據(jù)庫的重要方法。關(guān)系的矩陣表示，利用利用warshallwarshall算法構(gòu)造關(guān)系的傳遞閉包。算法構(gòu)造關(guān)系的傳遞閉包