大學(xué)物理_剛體的運(yùn)動(dòng)及其習(xí)題答案

1、第五章剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)5-1 剛體的運(yùn)動(dòng)5-2 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律5-3 轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算5-4 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用5-5 轉(zhuǎn)動(dòng)中的功和能5-6 剛體的角動(dòng)量和角動(dòng)量守恒定律6-1SSy = yx = x /g xytg/00/ xytgxy/ g/ xy6-2y = yx = x /g z = zV=xyz= xyz /g =V/g0g gt6-4D t=g Dt=15.8 2.2 10-6=3.5 10-58000/(0.998 3 108)=2.7 10-5實(shí)驗(yàn)室(S)中運(yùn)動(dòng)壽命下落需要時(shí)間小于壽命，能g=15.8從p 介子(S)看靜止時(shí)間2.2 10-6運(yùn)動(dòng)尺子縮短 8000/g8000

2、/g (0.998 3 108)=2.7 10-5/g下落需要時(shí)間能方法一方法二6-5已知:D x=0, Dt =2s, Dt =3s 求: Dx 解:D x=g (Dx-uDt) =1.5(0.75 3 108 2)=6.7 108)(2xcuttDDDg=gDtg =1.5,u=0.75c6-6已知:D x=1m, Dt =0, D x =2m 求: D t 解:DDDxcutt2gc/9 . 02 =1.8 10-8sg =2,u=0.9cD x=g (Dx-uDt)6-8 g =5/3, Dx=120000,Dt=0.0003DDD)102 . 11038 . 00003. 035)(

3、682xcuttg=-3.3 10-5s天津先發(fā)生北京天津u=0.8C6-111、g m0v=2 m0v g =22、g1m0c2 = 2(mv2/2)2211cvg6-12 電子 E0=m0c2Ek =(g - 1)E0求出 g , u 補(bǔ)充題v1=0.1c v2=0.9cg1=g2=Dm=(g2-g1)mDE=Dmc201. 01181. 0115-1 剛體的運(yùn)動(dòng)一、剛體：有大小，形狀不變二、剛體的運(yùn)動(dòng)： 平動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng)三、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)具有相同的角量,1、角速度 （矢量）=d/dt轉(zhuǎn)動(dòng)平面rv 轉(zhuǎn)軸xdtd2、角加速度定軸轉(zhuǎn)動(dòng)=直線運(yùn)動(dòng)（只有兩個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)方向）用標(biāo)量表示v= r例5-1已知：r, a

4、, t (勻加速） 求：, , Na解：v=at= v / r = a / r 2021tt221t5-2 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律dtdLM 力矩=角動(dòng)量對(duì)時(shí)間的變化率對(duì)質(zhì)點(diǎn)(圓周運(yùn)動(dòng)）：L = mvr =m r2imD剛體由無(wú)數(shù)質(zhì)點(diǎn)組成L = S Dmiri2dtdrmdtdLiiD= S Dmiri2定義：S Dmiri2=J 為轉(zhuǎn)動(dòng)慣量M =JJrmiiiD2轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 只與質(zhì)量大小，質(zhì)量分布，轉(zhuǎn)軸位置有關(guān),是剛體轉(zhuǎn)動(dòng)慣性的量度。L : 質(zhì)點(diǎn)作圓周運(yùn)動(dòng) mvr= mr2) =J動(dòng)量矩角動(dòng)量=但剛體只能用角量表示5-3轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的計(jì)算DDilim0連續(xù)分布不連續(xù)分布2iiirmDdVrdmrJ22一

5、維二維三維dsdldVm1m3m2例1 J=m1r12+m2r22+m3r322、計(jì)算質(zhì)量為m、長(zhǎng)為L(zhǎng)，的均勻細(xì)棒對(duì)中心并與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：質(zhì)量沿xdxLmdxdmx為dm到轉(zhuǎn)軸距離dmdx x022/2/2121mLdxxJLL0以棒一端為轉(zhuǎn)軸，情況如何？求：質(zhì)量相同，均為m ,半徑為R的均勻薄 圓環(huán)和圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量。解：dm2202mRdmRJpdm=ds (m/p R2） =2p rdr (m/p R2）r圓盤由無(wú)數(shù)個(gè)半徑從0R的圓環(huán)組成22 22032mRdrrRmJppp圓盤:先取中間任意一圓環(huán)dmdm 面密度圓環(huán)面積5-4 剛體定軸轉(zhuǎn)動(dòng)定律的應(yīng)用一、力矩 FrMsinFr

6、rFMtsinrr是力的作用點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的距離力臂:力的作用線到轉(zhuǎn)軸的垂直距離 Fo思考：什么情況力矩為零？外力矩 =轉(zhuǎn)動(dòng)慣量角加速度M =J 例滑輪轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J，繩子質(zhì)量不計(jì)T1T2amgmTm2222:amTgmm1111:JRTRTJ21:Ra/a平動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng) 一個(gè)飛輪的質(zhì)量為m=60kg, 半徑為R=0.25m,正以每分1000轉(zhuǎn)的轉(zhuǎn)速轉(zhuǎn)動(dòng).現(xiàn)要制動(dòng)飛輪,要求在t=5.0s內(nèi)使它減速而停下來(lái).求閘瓦對(duì)輪的壓力N。假定閘瓦與飛輪之間的摩擦系數(shù)為m=0 .4,而飛輪的質(zhì)量視為全部分布在輪的外周。FNf解：=10002p /60 /ttmRJM/2M=f R= m NRm1T1T3amTgmm1111

7、:amgmTm2232 :1112111:JRTRTJ2211/,/RaRaaT22223222:JRTRTJ已知：重物m1m2 滑輪 M1 M2，R1 R2一根繩子，一個(gè)a,不同m2已知：重物m1m2 滑輪 M1 M2，R1 R2T1T211111:amTgmm22222 :amgmTmJRTRTJ2211:2211/RaRaaT1T2J=J1+J2二根繩子，不個(gè)a,一個(gè)滑輪，相同5-5 轉(zhuǎn)動(dòng)中的功和能FdsFdWcos一、力矩的功2pg單位和量綱：22 TMLJ功率：MdtdMdtdWN力矩的功 動(dòng)能原理rdFcosgMdrdFsin與質(zhì)點(diǎn)相同g二、定軸轉(zhuǎn)動(dòng)中的動(dòng)能定理21222121JM

8、dW力矩作功等于剛體轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能的增量（剛體的內(nèi)力矩為零，作功為零）ddtdJdJ23/23/291mLdxxJLL起動(dòng)時(shí)=9006LmgM力矩sin6LmgM 例 一根質(zhì)量為m，長(zhǎng)為L(zhǎng)的均勻細(xì)棒AB,可繞一水平的光滑轉(zhuǎn)軸O在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)，O軸離A端的距離為l/3,今使棒從靜止開始由水平位置繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)，求：（1）棒起動(dòng)時(shí)的角加速度;角加速度LgJM23(2)棒在豎直位置的角速度和角加速度 豎直位置0力矩0M0JM6sin602/mgLdLmgMdWp重力矩作功與重力作功相同AB2216JLmg兩端速度LgLrvAA33相同（3）棒在豎直位置時(shí)棒的兩端和中點(diǎn) 的速度和加速度LgLrvBB332三、

9、剛體的重力勢(shì)能表示重力重心高度位移LgJmgL3例一質(zhì)量均勻的細(xì)桿，一端連接一個(gè)大小不計(jì)的小球，另一端可繞水平轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動(dòng)。某瞬時(shí)細(xì)桿在豎直面內(nèi)轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為，桿與過(guò)軸的豎直線的夾角為，桿質(zhì)量為m1，球質(zhì)量為m2 ，桿長(zhǎng)l求：(1)系統(tǒng)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量J (2)轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能Ek (3)重力對(duì)軸的力矩M解：（1）J=J1+J2222131lmlm（2）Ek221J（3）M=mgl sin/25-6剛體的角動(dòng)量(動(dòng)量矩)和角動(dòng)量守恒定律dtdJJM沖量矩JdMdt 定義M dt 為沖量矩1221JJMdttt沖量矩等于角動(dòng)量的增量定義J為角動(dòng)量沖量矩和動(dòng)量矩iiiprLsin)(iiivmrD圓周運(yùn)動(dòng)=900J剛

10、體角動(dòng)量imD 對(duì)于一個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)慣量可以改變的剛體，在外力矩為零時(shí)，J11 = J2 2例一根長(zhǎng)l,質(zhì)量為m的均勻細(xì)棒靜止在一光滑的水平面上，一質(zhì)量為m的小球以水平速度v0垂直沖擊其一端并粘上。求碰撞后球的速度v和棒的角速度以及由此損失的機(jī)械能。OV系統(tǒng)角動(dòng)量守恒（沒有外力矩）轉(zhuǎn)軸處有外力（動(dòng)量不守恒）初角動(dòng)量02vlmOV0末角動(dòng)量棒Jvlm2球和棒粘在一起2lv 棒Jvlmvlm220求出)3(3,)3(600mmvmlmmvmv122lmJ棒前能量2021mv2221221棒Jlm222121棒Jmv 后能量22221221棒Jlm22221棒Jlm2l細(xì)棒在水平位置，一質(zhì)量為m 的小球，以

11、速度u垂直落到棒的端點(diǎn)。設(shè)小球與棒作完全彈性碰撞。求碰撞后，小球回跳速度及棒的角速度。分析：動(dòng)量矩守恒 +能量守恒uf向下為正lvmJmul222212121mvJmu例質(zhì)量為M，半徑為R的轉(zhuǎn)臺(tái)，可繞通過(guò)中心的豎直軸轉(zhuǎn)動(dòng)，設(shè)阻力不計(jì)。質(zhì)量為m 的一人，站在臺(tái)的邊緣，人和臺(tái)原來(lái)都靜止，如果人沿臺(tái)邊緣跑一圈，人和臺(tái)各對(duì)地轉(zhuǎn)了多少角度？分析：動(dòng)量矩守恒+相對(duì)運(yùn)動(dòng)以地為參照 JJ人對(duì)地臺(tái)對(duì)地人對(duì)臺(tái)人對(duì)地臺(tái)對(duì)地 mM2臺(tái)對(duì)地mmM22 人對(duì)臺(tái)臺(tái)對(duì)地臺(tái)對(duì)地J人對(duì)地0 J221MRJ 2mRJ 二、角量和線量的對(duì)應(yīng)關(guān)系MF svaJm maF JM Jmv 222121Jmv (p)(=L=mvr)(Ek)

12、(Ek)注意單位dtdpdtdLD2iirmdmr2（ ）(Frsin1、什么是剛體？2、為什么研究剛體的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)？3、轉(zhuǎn)動(dòng)中的代表量4、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量6、轉(zhuǎn)動(dòng)定律有大小形狀一般運(yùn)動(dòng)平動(dòng)定軸轉(zhuǎn)動(dòng),不連續(xù)2iirmJ連續(xù)dmrJ2與質(zhì)量大小、分布轉(zhuǎn)軸位置有關(guān)5、力矩JM sinFrM when力矩為零dtdLM 質(zhì)點(diǎn)組 動(dòng)量守恒能量守恒動(dòng)量矩守恒質(zhì)點(diǎn)組、剛體合外力為零合外力做功+非保守內(nèi)力做功為零合外力矩為零(內(nèi)力矩總是0）JMmaFCJCmv20220221212121JJMdmvmvfds牛頓定律轉(zhuǎn)動(dòng)定律動(dòng)量守恒定理動(dòng)量矩守恒定理功能定理動(dòng)能定理5-11amTgmm1111:amgmTm2222

13、:mT1T2JRTTJ21:Ra/22121/ RJmmgmgmam222/ RJaTTT1T2a平動(dòng)用牛頓定律轉(zhuǎn)動(dòng)用轉(zhuǎn)動(dòng)定律5-12T1T211111:amTgmm22222 :amgmTmJRTRTJ2211:2211/RaRaaT1T25-16 系統(tǒng)能量守恒物重力勢(shì)能=物動(dòng)能+滑輪動(dòng)能+彈性勢(shì)能222212121khJmvmgh221MrJ rv 5-14221iikvmEEDD2222121JrmiiD5-15圓盤上 取一小元其的摩擦力都沿切線其力矩方向都相同的df dM= r df圓環(huán) dM= r df=rdrRmgrppm22RmgM32m在唱片達(dá)到w之前，摩擦力矩不變J=mR2/2=M/J=mR2/2=4mg/3Rt= / =3R /4mg 2/2=32R/8mgW= M= 2mR2/4RmgM32m驅(qū)動(dòng)力作功2W= 2mR2/25-17 系統(tǒng)（人、椅和啞鈴）動(dòng)量矩守恒