函數(shù)的極值及其求法(5)課件

1、第六節(jié)第六節(jié) 二元函數(shù)的極值及其求法二元函數(shù)的極值及其求法一、問題的提出一、問題的提出二、二元函數(shù)的極值和最值二、二元函數(shù)的極值和最值三、條件極值拉格朗日乘數(shù)法三、條件極值拉格朗日乘數(shù)法四、小結(jié)實例：某商店賣兩種牌子的果汁，本地牌子每實例：某商店賣兩種牌子的果汁，本地牌子每瓶進價瓶進價1元，外地牌子每瓶進價元，外地牌子每瓶進價1.2元，店主估元，店主估計，如果本地牌子的每瓶賣計，如果本地牌子的每瓶賣 元，外地牌子的元，外地牌子的每瓶賣每瓶賣 元，則每天可賣出元，則每天可賣出 瓶本瓶本地牌子的果汁，地牌子的果汁， 瓶外地牌子的果汁瓶外地牌子的果汁問：店主每天以什么價格賣兩種牌子的果汁可問：店主每

2、天以什么價格賣兩種牌子的果汁可取得最大收益？取得最大收益？xyyx4570 yx7680 每天的收益為每天的收益為 ),(yxf)7680)(2 . 1()4570)(1(yxyyxx 求最大收益即為求二元函數(shù)的最大值求最大收益即為求二元函數(shù)的最大值.一、問題的提出一、問題的提出二、二元函數(shù)的極值和最值二、二元函數(shù)的極值和最值的的圖圖形形觀觀察察二二元元函函數(shù)數(shù)22yxexyz 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在點在點),(00yx的某鄰域內(nèi)的某鄰域內(nèi)有定義，對于該鄰域內(nèi)異于有定義，對于該鄰域內(nèi)異于),(00yx的點的點),(yx：若滿足不等式若滿足不等式),(),(00yxfyxf ，則稱函數(shù)，

3、則稱函數(shù)在在),(00yx有 極 大 值 ； 若 滿 足 不 等 式有 極 大 值 ； 若 滿 足 不 等 式),(),(00yxfyxf ，則稱函數(shù)在，則稱函數(shù)在),(00yx有極有極小值；小值；1 1、二元函數(shù)極值的定義、二元函數(shù)極值的定義極大值、極小值統(tǒng)稱為極值極大值、極小值統(tǒng)稱為極值. .使函數(shù)取得極值的點稱為極值點使函數(shù)取得極值的點稱為極值點. .(1)(2)(3)例例1 1處有極小值處有極小值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(4322yxz 例例處有極大值處有極大值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(22yxz 例例處無極值處無極值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(xyz 定理定理 1 1（必要條件）（必要

4、條件）設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz 在點在點),(00yx具有偏導數(shù)，且具有偏導數(shù)，且在點在點),(00yx處有極值，則它在該點的偏導數(shù)必處有極值，則它在該點的偏導數(shù)必然為零：然為零： 0),(00 yxfx， 0),(00 yxfy. .2 2、二元函數(shù)取得極值的條件、二元函數(shù)取得極值的條件不不妨妨設(shè)設(shè)),(yxfz 在在點點),(00yx處處有有極極大大值值,則則對對于于),(00yx的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)任任意意 ),(yx),(00yx都都有有 ),(yxf),(00yxf,證證故故當當0yy ，0 xx 時時， 有有 ),(0yxf),(00yxf,說明一元函數(shù)說明一元函數(shù)),(0yxf

5、在在0 xx 處有極大值處有極大值,必必有有 0),(00 yxfx;類類似似地地可可證證 0),(00 yxfy. 仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導數(shù)同時為零仿照一元函數(shù)，凡能使一階偏導數(shù)同時為零的點，均稱為函數(shù)的的點，均稱為函數(shù)的駐點駐點.注意：注意：駐點駐點極值點極值點例例如如, 點點)0 , 0(是是函函數(shù)數(shù)xyz 的的駐駐點點，但但不不是是極極值值點點.問題：如何判定一個駐點是否為極值點？問題：如何判定一個駐點是否為極值點？又又 0),(00 yxfx, , 0),(00 yxfy， 令令 Ayxfxx ),(00， Byxfxy ),(00， Cyxfyy ),(00，則則),(yxf

6、在點在點),(00yx處是否取得極值的條件如下：處是否取得極值的條件如下： （1 1）02 BAC時具有極值，時具有極值， 當當0 A時有極大值，時有極大值， 當當0 A時有極小值；時有極小值； （2 2）02 BAC時沒有極值；時沒有極值； （3 3）02 BAC時可能有極值時可能有極值, ,也可能沒有極值，也可能沒有極值，還需另作討論還需另作討論 定定理理 2 2（充充分分條條件件）設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)),(yxfz 在在點點),(00yx的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù)，有有一一階階及及二二階階連連續(xù)續(xù)偏偏導導數(shù)數(shù)，例例4、 求求由由方方程程yxzyx22222 0104 z 確確定定的的函函數(shù)數(shù))

7、,(yxfz 的的極極值值 將方程兩邊分別對將方程兩邊分別對yx,求偏導求偏導 0422204222yyxxzzzyzzzx由由函函數(shù)數(shù)取取極極值值的的必必要要條條件件知知,駐駐點點為為)1, 1( P,將將上上方方程程組組再再分分別別對對yx,求求偏偏導導數(shù)數(shù),解解,21|, 0|,21|zzzzzPyyPxyPxx 故故 )2(0)2(1B22 zzAC, 函函數(shù)數(shù)在在P有有極極值值. 將將)1, 1( P代代入入原原方方程程,有有6, 221 zz, 當當21 z時，時，041 A, 所所以以2)1, 1( fz為為極極小小值值；當當62 z時時，041 A, 所所以以6)1, 1( f

8、z為為極極大大值值. 求求函函數(shù)數(shù)),(yxfz 極極值值的的一一般般步步驟驟：第一步第一步 解方程組解方程組, 0),( yxfx0),( yxfy求出實數(shù)解，得駐點求出實數(shù)解，得駐點.第第二二步步 對對于于每每一一個個駐駐點點),(00yx，求求出出二二階階偏偏導導數(shù)數(shù)的的值值 A、B、C. 第第三三步步 定定出出2BAC 的的符符號號，再再判判定定是是否否是是極極值值.求最值的一般方法求最值的一般方法： 將函數(shù)在將函數(shù)在D D內(nèi)的所有駐點處的函數(shù)值及在內(nèi)的所有駐點處的函數(shù)值及在D D的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最的邊界上的最大值和最小值相互比較，其中最大者即為最大值，最小者即為

9、最小值大者即為最大值，最小者即為最小值. . 與一元函數(shù)相類似，我們可以利用函數(shù)的與一元函數(shù)相類似，我們可以利用函數(shù)的極值來求函數(shù)的最大值和最小值極值來求函數(shù)的最大值和最小值.3 3、多元函數(shù)的最值、多元函數(shù)的最值例例 5 5 求二元函數(shù)求二元函數(shù))4(),(2yxyxyxfz 在直線在直線6 yx，x軸和軸和y軸所圍成的閉區(qū)域軸所圍成的閉區(qū)域D上的最大值與最小值上的最大值與最小值.解解先先求求函函數(shù)數(shù)在在D內(nèi)內(nèi)的的駐駐點點，xyo6 yxDD如圖如圖,解解方方程程組組 0)4(),(0)4(2),(222yxyxxyxfyxyxxyyxfyx得得區(qū)區(qū)域域D內(nèi)內(nèi)唯唯一一駐駐點點)1 , 2(,

10、 且且4)1 , 2( f, 再再求求),(yxf在在D邊邊界界上上的的最最值值， 在在邊邊界界0 x和和0 y上上0),( yxf, 在在邊邊界界6 yx上上，即即xy 6于于是是)2)(6(),(2 xxyxf,由由 02)6(42 xxxfx,得得4, 021 xx, 2|64 xxy,64)2 , 4( f 比比較較后后可可知知4)1 , 2( f為為最最大大值值,64)2 , 4( f為為最最小小值值.xyo6 yxD實例：實例： 小王有小王有200元錢，他決定用來購買兩元錢，他決定用來購買兩種急需物品：計算機磁盤和錄音磁帶，設(shè)他種急需物品：計算機磁盤和錄音磁帶，設(shè)他購買購買 張磁盤

11、，張磁盤， 盒錄音磁帶達到最佳效果，盒錄音磁帶達到最佳效果，效果函數(shù)為效果函數(shù)為 設(shè)每張磁設(shè)每張磁盤盤8元，每盒磁帶元，每盒磁帶10元，問他如何分配這元，問他如何分配這200元以達到最佳效果元以達到最佳效果xyyxyxUlnln),( 問題的實質(zhì)：求問題的實質(zhì)：求 在條在條件件 下的極值點下的極值點yxyxUlnln),( 200108 yx三、條件極值拉格朗日乘數(shù)法三、條件極值拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法 要找函數(shù)要找函數(shù)),(yxfz 在條件在條件0),( yx 下的下的可能極值點，可能極值點，先構(gòu)造函數(shù)先構(gòu)造函數(shù)),(),(),(yxyxfyxF ，其中其中 為某一常數(shù)，可

12、由為某一常數(shù)，可由 . 0),(, 0),(),(, 0),(),(yxyxyxfyxyxfyyxx 解出解出 , yx，其中，其中yx,就是可能的極值點的坐標就是可能的極值點的坐標.條件極值條件極值：對自變量有附加條件的極值對自變量有附加條件的極值拉格朗日乘數(shù)法可推廣到自變量多于兩個的情況：拉格朗日乘數(shù)法可推廣到自變量多于兩個的情況：要找函數(shù)要找函數(shù)),(tzyxfu 在條件在條件 0),( tzyx ，0),( tzyx 下的極值，下的極值， 先構(gòu)造函數(shù)先構(gòu)造函數(shù) ),(),(tzyxftzyxF ),(),(21tzyxtzyx 其中其中21, 均為常數(shù)，可由均為常數(shù)，可由 偏導數(shù)為零及

13、條件解出偏導數(shù)為零及條件解出tzyx,，即得極值點的坐標，即得極值點的坐標.例例 6 6 將將正正數(shù)數(shù) 12 分分成成三三個個正正數(shù)數(shù)zyx,之之和和 使使得得zyxu23 為為最最大大. 解解令令 )12(),(23 zyxzyxzyxF , 120020323322zyxyxFyzxFzyxFzyx 解解得得唯唯一一駐駐點點)2 , 4 , 6(，.691224623max u則則故故最最大大值值為為例例 7 7 在在第第一一卦卦限限內(nèi)內(nèi)作作橢橢球球面面 1222222 czbyax的的切切平平面面，使使切切平平面面與與三三個個坐坐標標面面所所圍圍成成的的四四面面體體體體積積最最小小，求求

14、切切點點坐坐標標. 解解設(shè)設(shè)),(000zyxP為為橢橢球球面面上上一一點點,令令1),(222222 czbyaxzyxF,則則202|axFPx ， 202|byFPy ， 202|czFPz 過過),(000zyxP的的切切平平面面方方程程為為 )(020 xxax )(020yyby0)(020 zzcz,化化簡簡為為 1202020 czzbyyaxx,該該切切平平面面在在三三個個軸軸上上的的截截距距各各為為 02xax ，02yby ，02zcz ,所所圍圍四四面面體體的的體體積積 000222661zyxcbaxyzV ,在條件在條件1220220220 czbyax下求下求 V

15、 的最小值的最小值,令令 ,lnlnln000zyxu ),(000zyxG 000lnlnlnzyx)1(220220220 czbyax ,由由,010, 0, 0220220220000 cybyaxGGGzyx當當切切點點坐坐標標為為(3a，3b，3c)時時,四四面面體體的的體體積積最最小小abcV23min . 01021021021220220220200200200czbyaxczzbyyaxx 可得可得即即30ax 30by ，30cz 多元函數(shù)的極值多元函數(shù)的極值拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法（取得極值的必要條件、充分條件）（取得極值的必要條件、充分條件）多元函數(shù)的最值多元函數(shù)

16、的最值四、小結(jié)四、小結(jié)思考題思考題 若若),(0yxf及及),(0yxf在在),(00yx點均取得點均取得極值， 則極值， 則),(yxf在點在點),(00yx是否也取得極值？是否也取得極值？思考題解答思考題解答不不是是.例如例如 22),(yxyxf ,當當0 x時時，2), 0(yyf 在在)0 , 0(取取極極大大值值;當當0 y時，時，2)0 ,(xxf 在在)0 , 0(取極小值取極小值;但但22),(yxyxf 在在)0 , 0(不不取取極極值值.一、一、 填空題填空題: :1 1、 函數(shù)函數(shù))4)(6(),(22yyxxyxf 在在_點取點取得極得極_值為值為_._.2 2、 函

17、數(shù)函數(shù)xyz 在附加條件在附加條件1 yx下的極下的極_值值為為_._.3 3、 方程方程02642222 zyxzyx所確定的所確定的函數(shù)函數(shù)),(yxfz 的極大值是的極大值是_,_,極小值極小值是是_._.二二、 在在 平平 面面xoy上上 求求 一一 點點 , , 使使 它它 到到0, 0 yx及及0162 yx三三直直線線的的距距離離平平方方之之和和為為最最小小. .三三、 求求內(nèi)內(nèi)接接于于半半徑徑為為a的的球球且且有有最最大大體體積積的的長長方方體體. .練練 習習 題題四、四、 在第一卦限內(nèi)作球面在第一卦限內(nèi)作球面1222 zyx的切平面的切平面, ,使使得切平面與三坐標面所圍的

18、四面體的體積最小得切平面與三坐標面所圍的四面體的體積最小, ,求求切點的坐標切點的坐標. .一一、1 1、( (3 3, ,2 2) ), ,大大, ,3 36 6； 2 2、大大, ,41； 3 3、7 7, ,- -1 1. .二二、)516,58(. .三三、當當長長, ,寬寬, ,高高都都是是32a時時, ,可可得得最最大大的的體體積積. .四四、).31,31,31(練習題答案練習題答案的的圖圖形形觀觀察察二二元元函函數(shù)數(shù)22yxexyz 二、多元函數(shù)的極值和最值二、多元函數(shù)的極值和最值的的圖圖形形觀觀察察二二元元函函數(shù)數(shù)22yxexyz 二、多元函數(shù)的極值和最值二、多元函數(shù)的極值和最值的的圖圖形形觀觀察察二二元元函函數(shù)數(shù)22yxexyz 二、多元函數(shù)的極值和最值二、多元函數(shù)的極值和最值的的圖圖形形觀觀察察二二元元函函數(shù)數(shù)2