清華 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)

1、注意注意參照系不一定是靜止的。參照系不一定是靜止的。第一章第一章 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)學(xué)1 1 參照系、質(zhì)點(diǎn)參照系、質(zhì)點(diǎn)一、運(yùn)動(dòng)、參照系：一、運(yùn)動(dòng)、參照系：運(yùn)動(dòng)是絕對(duì)的，而對(duì)運(yùn)動(dòng)的描述是相對(duì)的。運(yùn)動(dòng)是絕對(duì)的，而對(duì)運(yùn)動(dòng)的描述是相對(duì)的。參照系：參照系： 描述運(yùn)動(dòng)時(shí)選擇的一定的基準(zhǔn)。描述運(yùn)動(dòng)時(shí)選擇的一定的基準(zhǔn)。坐標(biāo)系坐標(biāo)系：為了定量地確定質(zhì)點(diǎn)在空間和時(shí)間上的位置而固為了定量地確定質(zhì)點(diǎn)在空間和時(shí)間上的位置而固定在參照系上一個(gè)框架。定在參照系上一個(gè)框架。在已定的參照系中存在兩類物理量：在已定的參照系中存在兩類物理量：時(shí)刻：時(shí)刻：位置：位置：時(shí)間軸上的點(diǎn)時(shí)間軸上的點(diǎn)空間軸上的點(diǎn)空間軸上的點(diǎn)狀態(tài)量狀態(tài)量時(shí)間間

2、隔：時(shí)間間隔：空間間隔：空間間隔：即時(shí)間。即時(shí)間?？臻g軸上的一段線段?？臻g軸上的一段線段。過程量過程量二、質(zhì)點(diǎn)：二、質(zhì)點(diǎn)：沒有大小和形狀，只具有全部質(zhì)量的一點(diǎn)沒有大小和形狀，只具有全部質(zhì)量的一點(diǎn)理想模型理想模型質(zhì)點(diǎn)不存在質(zhì)點(diǎn)不存在物體上各點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)完全一致。物體上各點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)完全一致。物體上任一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)可以代表所有點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)物體上任一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)可以代表所有點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)物體上各點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)雖不一致，但差別不大。物體上各點(diǎn)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)雖不一致，但差別不大。時(shí)間軸上的一段線段。時(shí)間軸上的一段線段。xyzo1 2 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的描述一、位置矢量一、位置矢量 ： r描述質(zhì)點(diǎn)位置的矢量，描述質(zhì)點(diǎn)位置的矢量，

3、簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱“位矢位矢”。prxyz 是自參考點(diǎn)是自參考點(diǎn)O 到到 t 時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)所時(shí)刻質(zhì)點(diǎn)所在位置在位置P 所引出的矢量。所引出的矢量。在直角坐標(biāo)系有：在直角坐標(biāo)系有：kzjyixr 可見：可見：位置矢量與質(zhì)點(diǎn)的位置一一對(duì)應(yīng)。位置矢量與質(zhì)點(diǎn)的位置一一對(duì)應(yīng)。二、運(yùn)動(dòng)方程：二、運(yùn)動(dòng)方程：ktzjtyitxtr)()()()( 運(yùn)動(dòng)方程矢量式運(yùn)動(dòng)方程矢量式ktzjtyitxtr)()()()( 運(yùn)動(dòng)方程矢量式：運(yùn)動(dòng)方程矢量式：分量式：分量式：)();();(tz zty ytxx 表示質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)空間位置的方程。表示質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)空間位置的方程。)();();(tz zty ytxx t消去消去f (x, y,

4、z)=0三、位移、路程：三、位移、路程：x y zor2 r1 r 初位置初位置A 引向引向t 時(shí)間間隔時(shí)間間隔的末位置的末位置B 的矢量。的矢量。12rrr jyyixx)()(1212 可見：位移是某一時(shí)間間隔內(nèi)位置矢量的增量?？梢姡何灰剖悄骋粫r(shí)間間隔內(nèi)位置矢量的增量。以下主要討論二維情況。以下主要討論二維情況。簡(jiǎn)稱簡(jiǎn)稱 “位移位移” B Ax y zor2 r1 r B A 質(zhì)點(diǎn)在一段時(shí)間間隔內(nèi)質(zhì)點(diǎn)在一段時(shí)間間隔內(nèi)走過的路徑。走過的路徑。jyyixxrrr)()(121212 大小：大?。?12212)()(yyxxr 方向：方向： 用位移與用位移與x 軸正向的夾角軸正向的夾角 表示表示

5、1212tanxxyy s 位移：位移： 矢量矢量路程：路程： 標(biāo)量標(biāo)量均為過程量。均為過程量。但一般情況：但一般情況：sr 位移與路徑無關(guān)。位移與路徑無關(guān)。 在相對(duì)靜止的兩坐標(biāo)系中：在相對(duì)靜止的兩坐標(biāo)系中：位移與坐標(biāo)無關(guān)，但位置矢量與坐標(biāo)有關(guān)位移與坐標(biāo)無關(guān)，但位置矢量與坐標(biāo)有關(guān).12rrr 1 3 質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的描述質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的描述 一、速度：一、速度：A 平均速度平均速度 ：)( trr 設(shè)：設(shè)：t 時(shí)間內(nèi)的位移為時(shí)間內(nèi)的位移為r trV 系系Rtjtyitx jViVyx 大?。捍笮。悍较颍悍较颍簍rV r B 平均速率平均速率 ： tsV 一般情況：一般情況：VV 路程為路程為s 其中：其中

6、：A 定義：定義：t 0 時(shí)，平均速度的極限，時(shí)，平均速度的極限，簡(jiǎn)稱速度。簡(jiǎn)稱速度。trVt lim0trdd jViVyx B 分析：分析： 速度是一矢量。速度是一矢量。大小：大?。簍rVdd 稱為稱為“速率速率”方向：方向： 是質(zhì)點(diǎn)是質(zhì)點(diǎn)t 時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)方向時(shí)刻的運(yùn)動(dòng)方向x y zor2r1 A Br jtyitxdddd txVtx lim0txdd tyVty lim0tydd trV 二、加速度：二、加速度：平均加速度：平均加速度：tVVtVa 12大?。捍笮。簍Va 方向：方向：V （瞬時(shí)）加速度：（瞬時(shí)）加速度：tVat lim0tVdd 22ddtr 可見：可見： 加速度、速度

7、與位置矢量一樣具有瞬時(shí)性。加速度、速度與位置矢量一樣具有瞬時(shí)性。22ddtra jtyitx2222dddd jaiayx 大小大小=方向：方向： 22yxaa V t 船的運(yùn)動(dòng)方向?yàn)榇倪\(yùn)動(dòng)方向?yàn)?-x 方向方向例：距水面例：距水面h 的高處有一定滑輪，現(xiàn)通過此定滑輪向岸邊拉船。的高處有一定滑輪，現(xiàn)通過此定滑輪向岸邊拉船。 若繩子一端的速度若繩子一端的速度 一定。一定。求：船距離岸邊為求：船距離岸邊為 x 時(shí)，船的速度、加速度。時(shí)，船的速度、加速度。0V0Vhx解：解：XYO取圖示坐標(biāo)系，取圖示坐標(biāo)系，則船的位矢為：則船的位矢為：rjhixr V (1) 0dddd itxtrV(2) dd

8、dd22itxtVa 對(duì)水平方向的繩子有：對(duì)水平方向的繩子有：trVdd0 由幾何關(guān)系：由幾何關(guān)系：222hxr txxtrrdd2dd2 trxrtxdddd 0VhxXYOrV(1) 0dddd itxtrV(2) dddd22itxtVa trVdd0 )(dd0Vxrtx 022Vxhx 320222ddxVhtx 代入代入 ixVhaiVxhxV3202022 自然系：自然系：軌跡軌跡軌跡上的任一點(diǎn)軌跡上的任一點(diǎn)A 可取：可?。貉剀壽E在該點(diǎn)切線方向的切向單位矢量沿軌跡在該點(diǎn)切線方向的切向單位矢量 與切向正交，且指向軌跡曲線與切向正交，且指向軌跡曲線 凹側(cè)的法向單位矢量凹側(cè)的法向單位矢

9、量nn可見：可見：A. 自然系中的方向矢量不是常量。自然系中的方向矢量不是常量。B. VV 自然系中的加速度：自然系中的加速度： anaan tVadd )(dd Vt tVVtdddd比較可得：比較可得：22ddddtrtVa A tVVtadddd anaan 切向加速度切向加速度 ： a tVadd大小：大?。簍Vadd 方向：方向： 沿所討論點(diǎn)的切線方向沿所討論點(diǎn)的切線方向 ： naVtan dd )(t )(tt )()(ttt 時(shí)時(shí) 0 t0 )(t 時(shí)時(shí)即：即： 0 tn 1且：且：軌跡軌跡 nA)(t )(tt Vtan dd n ttt limdd0nt dd ntss dd

10、dd Vts dd（速率）（速率） 1dd s其中其中 為為t 時(shí)刻該點(diǎn)附近曲線的曲率半徑。時(shí)刻該點(diǎn)附近曲線的曲率半徑。nVt ddnVVtan 2dd 大小：大?。?2Van 方向：方向：n沿法線指向曲線的凹側(cè)沿法線指向曲線的凹側(cè) )(lim0ntt 時(shí)時(shí) 0t 綜上可知，在自然坐標(biāo)系中有：綜上可知，在自然坐標(biāo)系中有： aaan大?。捍笮。?22)dd()(tVV 方向：方向： aan tan) (,Va 按照按照an 、a 的情況可以將平面運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分類：的情況可以將平面運(yùn)動(dòng)進(jìn)行分類：a =0a 0an=0an0勻速、直線勻速、直線變速、直線變速、直線勻速、曲線勻速、曲線變速、曲線變速、曲線

11、（an=k，勻速圓周）勻速圓周）（一般曲線運(yùn)動(dòng)）（一般曲線運(yùn)動(dòng)）（改變（改變 大?。┐笮。￢（改變（改變 方向）方向）V14 運(yùn)動(dòng)學(xué)問題分析運(yùn)動(dòng)學(xué)問題分析存在兩類問題：存在兩類問題：)(trr trtVVdd)( 22dddd)(trtVtaa 一、直線運(yùn)動(dòng)：一、直線運(yùn)動(dòng)：微分法：微分法：)(txx txtVVdd)( 22dddd)(txtVtaa 積分法：積分法：)(taa 初始條件初始條件 )(tVV )(txx )(xaa 變量代換變量代換tVadd txxVdddd xVVdd VVxadd )0( na二、拋體運(yùn)動(dòng)：二、拋體運(yùn)動(dòng)：特點(diǎn)：在不考慮空氣阻力的情況下：特點(diǎn)：在不考慮空氣阻

12、力的情況下：a = g 討論直角坐標(biāo)系的情況：討論直角坐標(biāo)系的情況：yxo0V0 以初拋位置為原點(diǎn)建立以初拋位置為原點(diǎn)建立Rt坐標(biāo)系坐標(biāo)系則：則：)1( jga 初始條件：初始條件：0, 000 rVVt，時(shí)時(shí) tVVtaV0dd0)2( 0taVV trtVr00dd tttaV00d)()3( 2120tatVr 將上式投影：將上式投影： 2000021sincosgttVytVx )(trr trtVVdd)( 22dddd)(trtVtaa 2000021sincosgttVytVx yxo0V0 運(yùn)動(dòng)軌跡：運(yùn)動(dòng)軌跡：)(xfy 202200cos2tanxVgx R射程射程R ：令令

13、 y=0 得：得：02002sin gVxRy 最大高度最大高度h ：0dd ty令令飛行時(shí)間飛行時(shí)間t ：最高點(diǎn)：最高點(diǎn)：0dd ty001sin gVt 001sin22 gVtt 三、圓周運(yùn)動(dòng)：三、圓周運(yùn)動(dòng)： 物理量：物理量：位置：位置： 弧坐標(biāo)弧坐標(biāo) S=S(t)路程：路程： 弧長(zhǎng)的變化量弧長(zhǎng)的變化量 S線速率：線速率：tsVdd 線加速率：線加速率：tVadd 22ddts 2Van RV2 運(yùn)動(dòng)規(guī)律：運(yùn)動(dòng)規(guī)律：勻速圓周運(yùn)動(dòng)：勻速圓周運(yùn)動(dòng)：變速圓周運(yùn)動(dòng)：變速圓周運(yùn)動(dòng)：Vts RVan2 0 a2021tatVs 22 aaan R1V2V )(tP)(ttQ O Xs 物理量：物理量

14、：角位置：角位置：)(t 角位移：角位移：12 角速度：角速度：tdd 大?。捍笮。航羌铀俣龋航羌铀俣龋簍dd 大小：大?。簩?duì)比直線運(yùn)動(dòng)對(duì)比直線運(yùn)動(dòng))(txx 12xxx txVdd tVadd 其中：其中： 、 為矢量，其方向規(guī)定為：為矢量，其方向規(guī)定為： 右手四指沿運(yùn)動(dòng)方向彎曲時(shí)，拇指指向?yàn)橛沂炙闹秆剡\(yùn)動(dòng)方向彎曲時(shí)，拇指指向?yàn)?的方向的方向 V 加速運(yùn)動(dòng)；加速運(yùn)動(dòng)； 減速運(yùn)動(dòng)減速運(yùn)動(dòng)R1V2V )(tP)(ttQ O Xs 運(yùn)動(dòng)規(guī)律：運(yùn)動(dòng)規(guī)律：勻速圓周運(yùn)動(dòng)：勻速圓周運(yùn)動(dòng)：t 00 勻變速圓周運(yùn)動(dòng)：勻變速圓周運(yùn)動(dòng)：2021tt t 0)(20202 k RstsVdd tRdd RtVadd

15、 tRdd RRVan2 221RR R2 Ra 42 R1v2v )(tP)(ttQ O Xs 15 相對(duì)運(yùn)動(dòng)相對(duì)運(yùn)動(dòng)靜系靜系Sxoy，動(dòng)系，動(dòng)系S xo y XYOXYOS 系相對(duì)于系相對(duì)于S系以速度系以速度 運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng) uu 若若S 系原點(diǎn)相對(duì)于系原點(diǎn)相對(duì)于S系原系原點(diǎn)的位置矢量為：點(diǎn)的位置矢量為：0r0rP 則空間的同一點(diǎn)則空間的同一點(diǎn)P ，在兩，在兩個(gè)坐標(biāo)系中的位置矢量個(gè)坐標(biāo)系中的位置矢量 、 r rr r有關(guān)系：有關(guān)系：0 rrr 記為：記為：sspspsrrr sspspsVVV sspspsaaa VVps稱為絕對(duì)速度稱為絕對(duì)速度其中：其中：VVps稱為相對(duì)速度稱為相對(duì)速度uVs

16、s稱為牽連速度稱為牽連速度uVV 則：則：uVV 特特別別指指出出討論問題一定要選取坐標(biāo)系討論問題一定要選取坐標(biāo)系注意矢量的書寫注意矢量的書寫tvsrd,d,d,d與與的物理含義的物理含義 tvsr ,要區(qū)分清楚要區(qū)分清楚 2002 tataV tVxtxdd00 tttata0200d)2( 623020tatax txVdd tVxdd 例例1.1.一質(zhì)點(diǎn)由靜止開始作直線運(yùn)動(dòng)，初始加速度為一質(zhì)點(diǎn)由靜止開始作直線運(yùn)動(dòng)，初始加速度為a0，以后加，以后加 速度均勻增加，每經(jīng)過速度均勻增加，每經(jīng)過秒增加秒增加a0 。 求：經(jīng)過求：經(jīng)過t 秒后質(zhì)點(diǎn)的速度和運(yùn)動(dòng)的距離。秒后質(zhì)點(diǎn)的速度和運(yùn)動(dòng)的距離。解：

17、解：據(jù)題意知，加速度和時(shí)間的關(guān)系為：據(jù)題意知，加速度和時(shí)間的關(guān)系為：taaa 00 taVdd tVtaV00ddttaatd)(000 tVadd 例例2. .一質(zhì)點(diǎn)沿一質(zhì)點(diǎn)沿x軸作直線運(yùn)動(dòng)，其位置軸作直線運(yùn)動(dòng)，其位置坐標(biāo)與時(shí)間的關(guān)系為坐標(biāo)與時(shí)間的關(guān)系為 x=10+8t-4t2 。 求：求：（1）質(zhì)點(diǎn)在第一秒、第二秒內(nèi)的平均速度。質(zhì)點(diǎn)在第一秒、第二秒內(nèi)的平均速度。 （2）質(zhì)點(diǎn)在質(zhì)點(diǎn)在 t=0、1、2 秒時(shí)的速度。秒時(shí)的速度。解：解：t時(shí)刻有：時(shí)刻有：x = 10 + 8t4t2t+t 時(shí)刻有時(shí)刻有: (x+ x) = 10 + 8(t +t )4(t+ t )2則在則在t 時(shí)間間隔內(nèi)的位移為

18、：時(shí)間間隔內(nèi)的位移為：x = 8t 8tt 4t 2txVttt ,tt 488第一秒內(nèi)的平均速度：第一秒內(nèi)的平均速度：)m/s(4)01(40881 , 0 V與與x 正向相同正向相同（2）質(zhì)點(diǎn)在質(zhì)點(diǎn)在 t=0、1、2 秒時(shí)的速度。秒時(shí)的速度。 x=10+8t-4t2txVdd t 88 m/s80 V軸軸正正向向相相同同與與 x01 V軸軸正正向向相相反反與與 x此此時(shí)時(shí)轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)向向第二秒內(nèi)的平均速度：第二秒內(nèi)的平均速度：)m/s(4)12(41882 , 1 V與與x正向相反正向相反ttVttt 488,m/s82 V解：解：例例3 設(shè)質(zhì)點(diǎn)做設(shè)質(zhì)點(diǎn)做二維運(yùn)動(dòng)：二維運(yùn)動(dòng)： jti tr)2(2

19、2 求：求：t=0 0 秒及秒及 t=2 秒時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度，并求后者的大小和方向。秒時(shí)質(zhì)點(diǎn)的速度，并求后者的大小和方向。 iVt2 , 00 jiVt42 , 22 大?。捍笮。悍较颍悍较颍?26324arctan 軸軸的的夾夾角角與與為為xV2 trVdd s/m47. 442222 Vj ti22 例例4.4.一質(zhì)點(diǎn)沿一質(zhì)點(diǎn)沿x 軸作直線運(yùn)動(dòng)，其軸作直線運(yùn)動(dòng)，其 Vt 曲線如圖所示，如曲線如圖所示，如 t=0 時(shí)，時(shí)， 質(zhì)點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)。質(zhì)點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)。 求：求：t=4.5 秒時(shí)，質(zhì)點(diǎn)在秒時(shí)，質(zhì)點(diǎn)在x 軸上的位置。軸上的位置。解：解：tVxdd tVxdd用求面積的方法：用求面積的方法：m

20、2 21)21(22)15 . 2(d5 . 40 tVxV(m/s)t(s)-1 2 1 0 1 2 3 4 2.54.5例例5. 由樓窗口以水平初速度由樓窗口以水平初速度V0 射出一發(fā)子彈，取槍口為原點(diǎn)，沿射出一發(fā)子彈，取槍口為原點(diǎn)，沿 V0 為為x 軸，豎直向下為軸，豎直向下為y 軸，并取發(fā)射時(shí)軸，并取發(fā)射時(shí)t=0 . .試求：試求：(1)(1)子彈在任一時(shí)刻子彈在任一時(shí)刻t t的位置坐標(biāo)及軌道方程；的位置坐標(biāo)及軌道方程； (2)(2)子彈在子彈在t t時(shí)刻的速度，切向加速度和法向加速度。時(shí)刻的速度，切向加速度和法向加速度。解：解：(1)(1) tVx0221gty 20221Vgxy

21、ana gyxo oV0 0 (2)(2)子彈在子彈在t t時(shí)刻的速度，切向加速度和法向加速度。時(shí)刻的速度，切向加速度和法向加速度。gtVVVyx , 0任意時(shí)刻任意時(shí)刻t的速度：的速度：大?。捍笮。?22022tgVVVVyx 方向：方向： 01tanVgt 任意時(shí)刻任意時(shí)刻t的加速度：的加速度：22202ddtgVtgtVa 與速度同向與速度同向2220022tgVgVagan 與切向加速度垂直且與切向加速度垂直且指向軌跡凹側(cè)指向軌跡凹側(cè)ana gyxo oV0 0 例例6. . 一質(zhì)點(diǎn)在一質(zhì)點(diǎn)在oxy 平面內(nèi)作曲線運(yùn)動(dòng)，其加速度是時(shí)間的函數(shù)。平面內(nèi)作曲線運(yùn)動(dòng)，其加速度是時(shí)間的函數(shù)。 已知

22、已知 ax=2 ， ay=36t2。設(shè)質(zhì)點(diǎn)設(shè)質(zhì)點(diǎn) t0 ，r0=0，V0=0 。 求：求：(1) 此質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程；此質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程； (2) 此質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程；此質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程； (3) 此質(zhì)點(diǎn)的切向加速度。此質(zhì)點(diǎn)的切向加速度。解：解： (1) dd ; ddtVatVayyxx tttaVyyd36dd2 及及jti tV3122 tVx2 312tVy ttaVxxd2dd tVyttVy020d36d tVxtVx00d2d)12;2(3tVtVyx tyVtxVyxdd ; dd ttyttxd12d ; d2d3 tytxttyttx03000d12d ; d2d423 ; tyt

23、x 所以質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為：所以質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程為： 423tytxjtitr423 (2) 此質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程：此質(zhì)點(diǎn)的軌跡方程：上式中消去上式中消去t, 得：得：y=3x2軌跡是拋物線軌跡是拋物線。(3) 此質(zhì)點(diǎn)的切向加速度此質(zhì)點(diǎn)的切向加速度tVadd 312 ; 2 tVtVyx 62221444 ttVVVyx 4262636121621444864821ddtttttttVa 例例7. 河水自西向東流動(dòng)，速度為河水自西向東流動(dòng)，速度為10 km/h, ,一輪船在水中航行，一輪船在水中航行， 船相對(duì)于河水的航向?yàn)楸逼鞔鄬?duì)于河水的航向?yàn)楸逼?30o , ,航速為航速為20km/h 。此。此 時(shí)風(fēng)向?yàn)檎?，風(fēng)速為時(shí)風(fēng)向?yàn)檎?，風(fēng)速為10km/h 。求：求： 在船上觀察到的煙囪冒出的煙縷的飄向。（設(shè)煙離開煙囪在船上觀察到的煙囪冒出的煙縷的飄向。（設(shè)煙離開煙囪 后即獲得與風(fēng)相同的速度）后即獲得與風(fēng)相同