第一章矢量分析

1、第一章 矢量分析1電磁場與電磁波電磁場與電磁波第2版第一章 矢量分析2緒論緒論1.1.課程的性質(zhì)和任務(wù)課程的性質(zhì)和任務(wù). .2.2.電磁場與電磁波的概念電磁場與電磁波的概念. . 3.3.課程內(nèi)容和章節(jié)安排課程內(nèi)容和章節(jié)安排. .4.4.電磁場與電磁波的應(yīng)用電磁場與電磁波的應(yīng)用. .第一章 矢量分析31.課程的性質(zhì)和任務(wù)課程的性質(zhì)和任務(wù) “ “電磁場與電磁波電磁場與電磁波”是高等學(xué)校電子信息是高等學(xué)校電子信息類及電氣信息類專業(yè)本科生類及電氣信息類專業(yè)本科生必修的一門技術(shù)基必修的一門技術(shù)基礎(chǔ)課礎(chǔ)課，課程涵蓋的內(nèi)容是合格的電子、電氣信，課程涵蓋的內(nèi)容是合格的電子、電氣信息類專業(yè)本科學(xué)生所應(yīng)具備的知

2、識結(jié)構(gòu)的重要息類專業(yè)本科學(xué)生所應(yīng)具備的知識結(jié)構(gòu)的重要組成部分。組成部分。 本課程將在本課程將在“大學(xué)物理（電磁學(xué)）大學(xué)物理（電磁學(xué)）”的基的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究宏觀電磁現(xiàn)象和電磁過程的礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究宏觀電磁現(xiàn)象和電磁過程的基本規(guī)律及其分析計(jì)算方法。通過課程的學(xué)習(xí)，基本規(guī)律及其分析計(jì)算方法。通過課程的學(xué)習(xí)，掌握基本的宏觀電磁掌握基本的宏觀電磁理論，具備分析和解決基理論，具備分析和解決基本的電磁場工程問題的能力本的電磁場工程問題的能力.第一章 矢量分析41 1、什么是電場？、什么是電場？靜止電荷、變化的磁場周圍空間存在的特殊形態(tài)的物質(zhì)。靜止電荷、變化的磁場周圍空間存在的特殊形態(tài)的物質(zhì)。特性特性：對

3、其他電荷有作用力。：對其他電荷有作用力。2 2、什么是磁場？、什么是磁場？運(yùn)動電荷、磁體以及變化的電場周圍空間存在的特殊形態(tài)運(yùn)動電荷、磁體以及變化的電場周圍空間存在的特殊形態(tài)的物質(zhì)。的物質(zhì)。特性特性：對其他運(yùn)動電荷有作用力。：對其他運(yùn)動電荷有作用力。怎樣描述電磁波？怎樣描述電磁波？第一章 矢量分析5根據(jù)麥克斯韋理論，在自由空間內(nèi)的電場和磁場滿足根據(jù)麥克斯韋理論，在自由空間內(nèi)的電場和磁場滿足 這樣電場和磁場可以相互激發(fā)并以波的形式這樣電場和磁場可以相互激發(fā)并以波的形式由近及由近及遠(yuǎn)遠(yuǎn),以有限的速度在空間以有限的速度在空間傳播開去，就形成了傳播開去，就形成了電磁波電磁波。電磁波電磁波: : Sdt

4、DldHSdtBldE第一章 矢量分析6第一章 矢量分析7 赫茲實(shí)驗(yàn)在人類歷史上赫茲實(shí)驗(yàn)在人類歷史上首次首次發(fā)射和接收了電磁波，且通發(fā)射和接收了電磁波，且通過多次實(shí)驗(yàn)證明了電磁波與光波一樣能夠發(fā)生反射、折射、過多次實(shí)驗(yàn)證明了電磁波與光波一樣能夠發(fā)生反射、折射、干涉、衍射和偏振，驗(yàn)證了麥克斯韋預(yù)言，揭示了光的電磁干涉、衍射和偏振，驗(yàn)證了麥克斯韋預(yù)言，揭示了光的電磁本質(zhì)，從而本質(zhì)，從而將光學(xué)與電磁學(xué)統(tǒng)一起來。將光學(xué)與電磁學(xué)統(tǒng)一起來。 *赫赫茲茲實(shí)實(shí)驗(yàn)驗(yàn)第一章 矢量分析88 電磁波譜電磁波譜: :波長、頻率與傳播速度波長、頻率與傳播速度: :fc第一章 矢量分析9宇宇宙宙射射線線 射射線線 X X射

5、射線線 紫紫外外線線 可可見見光光紅紅外外線線微波微波毫毫米米波波厘厘米米波波分分米米波波超超短短波波短短波波中中波波長長波波無無 線線 電電 波波12101010410210210410610)c( m221031610314103121034103)Hz(第一章 矢量分析10 無線電波無線電波波長范圍波長范圍特特 性性應(yīng)應(yīng) 用用第一章 矢量分析11微微波波第一章 矢量分析12 紅外線紅外線波長范圍波長范圍特特 性性應(yīng)應(yīng) 用用發(fā)發(fā) 現(xiàn)現(xiàn)第一章 矢量分析13非接觸紅外測溫儀 第一章 矢量分析14 利用紅外線檢測人體的健康狀態(tài)，本圖利用紅外線檢測人體的健康狀態(tài)，本圖片是人體的背部熱圖，透過圖片可

6、以根據(jù)片是人體的背部熱圖，透過圖片可以根據(jù)不同顏色判斷病變區(qū)域不同顏色判斷病變區(qū)域第一章 矢量分析15第一章 矢量分析16紅外線遙感第一章 矢量分析17 可見光可見光波長范圍波長范圍特特 性性應(yīng)應(yīng) 用用問問 題題第一章 矢量分析18由德國物理學(xué)家里特于由德國物理學(xué)家里特于18011801年年首先發(fā)現(xiàn)的首先發(fā)現(xiàn)的 紫外線紫外線波長范圍波長范圍發(fā)發(fā) 現(xiàn)現(xiàn)特特 性性應(yīng)應(yīng) 用用熒光效應(yīng)熒光效應(yīng)殺菌消毒殺菌消毒化學(xué)作用化學(xué)作用感光作用，醫(yī)用消毒感光作用，醫(yī)用消毒第一章 矢量分析19 畫面上可以清晰的看到錢畫面上可以清晰的看到錢幣上的防偽標(biāo)記幣上的防偽標(biāo)記 返回返回紫外線紫外線注意注意: 消毒燈、驗(yàn)鈔機(jī)燈

7、看起消毒燈、驗(yàn)鈔機(jī)燈看起來是淡藍(lán)色的。這不是紫外來是淡藍(lán)色的。這不是紫外線。線。 紫外線看不見。紫外線看不見。 消毒燈、驗(yàn)鈔機(jī)燈除發(fā)消毒燈、驗(yàn)鈔機(jī)燈除發(fā)出紫外線外，還發(fā)出少量紫出紫外線外，還發(fā)出少量紫光和藍(lán)光光和藍(lán)光第一章 矢量分析20防紫外線雨傘防紫外線雨傘第一章 矢量分析21X X射線由德國物理學(xué)家射線由德國物理學(xué)家W.K.W.K.倫琴倫琴于于18951895年發(fā)現(xiàn)年發(fā)現(xiàn) 波長范圍波長范圍發(fā)發(fā) 現(xiàn)現(xiàn)特特 性性應(yīng)應(yīng) 用用穿透力很強(qiáng)穿透力很強(qiáng) x射線和射線和 射線射線醫(yī)學(xué)醫(yī)學(xué)第一章 矢量分析22X射線照射下的魚射線照射下的魚X射線照射下的手射線照射下的手返回返回第一章 矢量分析233.課程內(nèi)容

8、和章節(jié)安排課程內(nèi)容和章節(jié)安排 按教材順序，課程包括按教材順序，課程包括1111章。第一章矢量章。第一章矢量分析，主要介紹矢量場的散度和旋度以及標(biāo)量分析，主要介紹矢量場的散度和旋度以及標(biāo)量場的梯度，介紹亥姆霍茲定理，是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。場的梯度，介紹亥姆霍茲定理，是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)。第二章電場、磁場與麥克斯韋方程，基本理論第二章電場、磁場與麥克斯韋方程，基本理論以及推導(dǎo)出麥克斯韋方程組；第三章介質(zhì)中的以及推導(dǎo)出麥克斯韋方程組；第三章介質(zhì)中的麥克斯韋方程；其次第四章利用矢量位和標(biāo)量麥克斯韋方程；其次第四章利用矢量位和標(biāo)量位求解位函數(shù)；第五章靜態(tài)場的解，如何根據(jù)位求解位函數(shù)；第五章靜態(tài)場的解，如何根據(jù)場量的邊界條件

9、來求解場的分布；第六章自由場量的邊界條件來求解場的分布；第六章自由空間中的電磁波，研究波的方程以及波的極化?？臻g中的電磁波，研究波的方程以及波的極化。第七章非導(dǎo)電介質(zhì)中的電磁波，學(xué)習(xí)電磁波在第七章非導(dǎo)電介質(zhì)中的電磁波，學(xué)習(xí)電磁波在介質(zhì)中傳播特性。介質(zhì)中傳播特性。第一章 矢量分析24 當(dāng)今世界，電子信息系統(tǒng)，不論是通信、雷達(dá)、廣播、電視，還是導(dǎo)航、遙控遙測，都是通過電磁波傳遞信息來進(jìn)行工作的。因此以宏觀電磁理論為基礎(chǔ)，電磁信息的傳輸和轉(zhuǎn)換為核心的電磁場與電磁波工程技術(shù)將充分發(fā)揮其重要作用。下面我們來看一下一些常見的天線和饋線。4.電磁場與電磁波的應(yīng)用電磁場與電磁波的應(yīng)用第一章 矢量分析25中、短

10、波發(fā)射天線中、短波發(fā)射天線微波接力天線微波接力天線第一章 矢量分析26卡塞格侖天線第一章 矢量分析27MMDSA型型微波天線微波天線MMDSC型微波天線型微波天線第一章 矢量分析28對數(shù)周期天線對數(shù)周期天線第一章 矢量分析29DEDE0BABtBEtDJHHB麥克斯韋方程組 第二章第二章電場、磁場電場、磁場第一章第一章矢量分析矢量分析 第三章第三章介質(zhì)中的麥克斯韋方程介質(zhì)中的麥克斯韋方程 第四章第四章矢量位與標(biāo)量位矢量位與標(biāo)量位202唯一性定理唯一性定理 第五章第五章靜態(tài)場的解靜態(tài)場的解 第六章第六章 電磁波電磁波 介質(zhì)中傳播介質(zhì)中傳播 第七章第七章 非導(dǎo)電介質(zhì)中的電磁波非導(dǎo)電介質(zhì)中的電磁波真

11、空中真空中亥姆霍子定理亥姆霍子定理電磁場與電磁波內(nèi)容電磁場與電磁波內(nèi)容第一章 矢量分析30第一章第一章 矢量分析矢量分析介紹矢量分析和場論基礎(chǔ)。介紹矢量分析和場論基礎(chǔ)。三種常用的正交坐標(biāo)系三種常用的正交坐標(biāo)系散度、旋度和梯度的基本概念；散度、旋度和梯度的基本概念； 算符運(yùn)算公式；算符運(yùn)算公式；散度、旋度和梯度在曲線正交坐標(biāo)系中的表示。散度、旋度和梯度在曲線正交坐標(biāo)系中的表示。討論了拉普拉斯運(yùn)算與格林定理，亥母霍茲定理討論了拉普拉斯運(yùn)算與格林定理，亥母霍茲定理 第一章 矢量分析311.1 1.1 矢量代數(shù)運(yùn)算矢量代數(shù)運(yùn)算1.2 1.2 場論場論- - 梯度、散度和旋度梯度、散度和旋度1.3 1.

12、3 散度定理和斯托克斯定理散度定理和斯托克斯定理1.4 1.4 矢量微分算子矢量微分算子1.5 1.5 矢量積分定理矢量積分定理1.6 1.6 亥母霍茲定理亥母霍茲定理主要內(nèi)容主要內(nèi)容第一章 矢量分析32一、矢量與標(biāo)量一、矢量與標(biāo)量3 3、矢量及表示、矢量及表示2 2、三維空間內(nèi)某一點(diǎn)、三維空間內(nèi)某一點(diǎn)P P處存在的一個(gè)既有大小又有處存在的一個(gè)既有大小又有 方向特性的量稱為矢量。方向特性的量稱為矢量。AeAA矢量1 1、實(shí)數(shù)域內(nèi)，任一代數(shù)量、實(shí)數(shù)域內(nèi)，任一代數(shù)量 都可以稱為標(biāo)量。它都可以稱為標(biāo)量。它 只能表示該代數(shù)量的大小。只能表示該代數(shù)量的大小。單位矢量單位矢量第一章 矢量分析33二、二、矢

13、量的代數(shù)運(yùn)算矢量的代數(shù)運(yùn)算 l矢量的加法和減法矢量的加法和減法 （平行四邊形法則）（平行四邊形法則）()()()xxxyyyzzzABABeABeABerrrrr()()()xxxyyyzzzABABeABeABerrrrrArBrABrrABrr第一章 矢量分析34設(shè)設(shè)兩矢量進(jìn)行標(biāo)積后的結(jié)果變成了無方向性的兩矢量進(jìn)行標(biāo)積后的結(jié)果變成了無方向性的l矢量的標(biāo)積矢量的標(biāo)積 （Scalar Product）cosxxyyzzA BABA BA BA Br rxxyyzzAe Ae Ae ArrrrxxyyzzBe Be Be Brrrr則則數(shù)量值數(shù)量值 !為矢量為矢量 與矢量與矢量 之間的夾角之間的

14、夾角 ArBr第一章 矢量分析35設(shè)設(shè)兩矢量進(jìn)行矢積后的結(jié)果仍為矢量兩矢量進(jìn)行矢積后的結(jié)果仍為矢量l矢量的矢積矢量的矢積 （Vector Product）sinnA Be ABrrrxxyyzzAe Ae Ae ArrrrxxyyzzBe Be Be Brrrr則則為矢量為矢量 與矢量與矢量 之間的夾角之間的夾角 ArBrnerrr為矢量A與矢量B所形成平面的法向單位矢量第一章 矢量分析36()()()yzzyxzxxzyxyyxzABA BA BeA BA BeA BA Be上式可上式可記為記為xyzxyzxyzeeeABAAABBB注注第一章 矢量分析374、矢量代數(shù)公式)()()(BAC

15、ACBCB)()(CBACBACBACBA)()(CBCC)()()(（1）（2）（3）（4）第一章 矢量分析38三、三、 標(biāo)量場與矢量場標(biāo)量場與矢量場 在電磁場中，若描述場的物理量隨時(shí)間變化，在電磁場中，若描述場的物理量隨時(shí)間變化，則將場稱為時(shí)變場。而當(dāng)描述場的物理量與時(shí)間無則將場稱為時(shí)變場。而當(dāng)描述場的物理量與時(shí)間無關(guān)時(shí)，就將場稱為靜態(tài)場。關(guān)時(shí)，就將場稱為靜態(tài)場。 “場場”是指某種物理量在空間的分是指某種物理量在空間的分布布場場標(biāo)量場標(biāo)量場矢量場矢量場具有標(biāo)量特征的物理量在空間的分布具有標(biāo)量特征的物理量在空間的分布具有矢量特征的物理量在空間的分布具有矢量特征的物理量在空間的分布第一章 矢量

16、分析391、直角坐標(biāo)系（、直角坐標(biāo)系（x,y,z） x y z O P(x0,y0,z0) x0 y0 z0 Axeyeze,xyzeee方向單位矢量方向單位矢量：矢量表示矢量表示：xxyyzzA eA eA eA位置矢量位置矢量：000 xyzrx ey ez e1.2 三種常用坐標(biāo)系第一章 矢量分析40 任意一點(diǎn)的單位矢量亦即三個(gè)坐標(biāo)軸的單位矢任意一點(diǎn)的單位矢量亦即三個(gè)坐標(biāo)軸的單位矢量，因?yàn)樗鼈兲幱谡蛔鴺?biāo)系中，因此，它們相互量，因?yàn)樗鼈兲幱谡蛔鴺?biāo)系中，因此，它們相互垂直并遵循右手螺旋法則，即垂直并遵循右手螺旋法則，即 0 xyyzzxeeeeee00 xyzyzxzxyeeeeeeee

17、e第一章 矢量分析41 x y z O P(p0,0,z0) 0 P0 z0 eeze,zeee方向單位矢量方向單位矢量：矢量表示矢量表示：( )( )( )rzzA r eA r eA r e位置矢量：位置矢量：zezer2、圓柱坐標(biāo)系 ( )z,第一章 矢量分析42方向單位矢量方向單位矢量：矢量表示矢量表示： y O z x P(r0,0,0) 0 0 r0 reee,reee( )( )( )rrA r eA r eA r e位置矢量：位置矢量：rrer3、球面坐標(biāo)系 ( ), r第一章 矢量分析43圓柱坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系間單位矢量變換關(guān)系圓柱坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系間單位矢量變換關(guān)系coss

18、insincosxyxyzzeeeeeeee 球面坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系間單位矢量變換關(guān)系球面坐標(biāo)系與直角坐標(biāo)系間單位矢量變換關(guān)系sincossinsincossincoscoscoscossinsinrxyzxyxyzeeeeeeeeeee 4、坐標(biāo)變換第一章 矢量分析441 1、矢量線（力線）、矢量線（力線） 2 2、矢量場的通量、矢量場的通量 矢量線的疏密表征矢量場的大小；矢量線的疏密表征矢量場的大??； 矢量線上每點(diǎn)的切向代表該處矢量場矢量線上每點(diǎn)的切向代表該處矢量場的方向；的方向；( )SrdAS若若矢量場矢量場 分布于空間中，在空間中存在任意曲面分布于空間中，在空間中存在任意曲面S S，

19、則定義則定義：( )A r為矢量為矢量 沿有向曲面沿有向曲面S S 的通量。的通量。( )A r1.3 1.3 矢量場的通量矢量場的通量 散度散度第一章 矢量分析45 矢量場的通量矢量場的通量 物理意義：表示穿入和穿出閉合物理意義：表示穿入和穿出閉合面面S S的矢量通量的代數(shù)和。的矢量通量的代數(shù)和。 討論：討論：1 1）面元）面元 定義；定義；dS3) 3) 通過閉合面通過閉合面S S的通量的物理意義：的通量的物理意義：a) a) 若若 ，閉合面內(nèi)有產(chǎn)生矢量線的正源；，閉合面內(nèi)有產(chǎn)生矢量線的正源；0 b) b) 若若 ，閉合面內(nèi)有吸收矢量線的負(fù)源；，閉合面內(nèi)有吸收矢量線的負(fù)源；0 c) c)

20、若若 ，閉合面無源。，閉合面無源。0 若若S S為閉合曲面為閉合曲面sdSrA)( 2 2） sdsrrA)(cos)( 第一章 矢量分析46 在場在場 空間中任意點(diǎn)空間中任意點(diǎn)M M 處作一個(gè)閉合曲處作一個(gè)閉合曲面，所圍的體積為面，所圍的體積為 ，則定義場矢量在，則定義場矢量在M M點(diǎn)處點(diǎn)處的散度為：的散度為： ( )A rV3 3、矢量場的散度的定義、矢量場的散度的定義vddivsvSrArA0)(lim)(計(jì)算公式計(jì)算公式zAyAxAzyxAAdivxyzeeexyz 第一章 矢量分析474 4、散度的物理意義、散度的物理意義 散度代表矢量場的通量源的分布特性散度代表矢量場的通量源的分布

21、特性 A A = = 0 0 ( (無源無源） A A = = 0 0 ( (負(fù)負(fù)源源) ) A A = = 0 0 ( (正源正源) ) 在矢量場中，若在矢量場中，若 A A= = 0 0，稱之為有源場，稱之為有源場， 稱為稱為( (通通量量) )源密度；若矢量場中處處源密度；若矢量場中處處 A=0 A=0，稱之為無源場。，稱之為無源場。 矢量的散度是一個(gè)標(biāo)量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)；矢量的散度是一個(gè)標(biāo)量，是空間坐標(biāo)點(diǎn)的函數(shù)；第一章 矢量分析48 在直角坐標(biāo)系下：在直角坐標(biāo)系下：( )yxzFFFdivF rxyz5 5、散度的計(jì)算、散度的計(jì)算)()(zzyyxxzyxeFeFeFezeyex第

22、一章 矢量分析496 6、高斯公式、高斯公式( (散度定理散度定理) )n1=-n2n1n2 對于有限大體積對于有限大體積v，可將其按可將其按如圖方式進(jìn)行分割，對每一小體如圖方式進(jìn)行分割，對每一小體積元有積元有式中式中s s為為v v的外表面的外表面 該公式表明了區(qū)域該公式表明了區(qū)域V V 中場中場A A與邊界與邊界S S上的場上的場A A之間的關(guān)系。之間的關(guān)系。svdvdivSFF1lim0svdvdivSFF0lim)11sdvdiv1SFF22sdvdiv2SFFsvddvdivSFF高斯公式高斯公式VVsdvdvdivdFFSF第一章 矢量分析50在由在由 圍成的圓柱形區(qū)域，對圍成的圓

23、柱形區(qū)域，對矢量矢量 驗(yàn)證散度定理。驗(yàn)證散度定理。【例題【例題1.3.1】40, 5zz和zeeAz22第一章 矢量分析511 1、矢量的環(huán)流、矢量的環(huán)流SSn 環(huán)流的計(jì)算ACP3 3）環(huán)流意義：若矢量場環(huán)流為零，矢量場無渦漩流動；反）環(huán)流意義：若矢量場環(huán)流為零，矢量場無渦漩流動；反之，則矢量場存在渦漩運(yùn)動之，則矢量場存在渦漩運(yùn)動反映矢量場漩渦源分布情況。反映矢量場漩渦源分布情況。1.4 1.4 矢量場的矢量場的環(huán)流環(huán)流 旋度旋度環(huán)流的定義：環(huán)流的定義：在場矢量在場矢量 空間中，取一有向閉合空間中，取一有向閉合路徑路徑 ，則稱，則稱 沿沿 積分的結(jié)果稱積分的結(jié)果稱為矢量為矢量 沿沿 的環(huán)流。即

24、：的環(huán)流。即：FCFCCFl dCF討論：討論：1 1）線元矢量）線元矢量 的定義；的定義；dldlrrFl drFCC)(cos)()( 2 2）第一章 矢量分析52SSnACM2. 2. 環(huán)流面密度環(huán)流面密度在場矢量在場矢量 空間中，圍繞空間某點(diǎn)空間中，圍繞空間某點(diǎn)M M取取一面元一面元S S，其邊界曲線為，其邊界曲線為C C，面元法線方，面元法線方向?yàn)橄驗(yàn)?，當(dāng)面元面積無限縮小時(shí)，可定，當(dāng)面元面積無限縮小時(shí)，可定義義 在點(diǎn)在點(diǎn)M M處沿處沿 方向的環(huán)量面密度方向的環(huán)量面密度 n nFFsrotCsnl dFF0lim 表示矢量場表示矢量場 在點(diǎn)在點(diǎn)M M處沿處沿 方向的漩渦源密度；方向的

25、漩渦源密度； nFnrotF第一章 矢量分析53式中：表示矢量場旋度的方向；式中：表示矢量場旋度的方向； n3. 3. 矢量場的矢量場的旋度旋度 旋度是一個(gè)矢量，模值等于環(huán)量密度的最大值；方向旋度是一個(gè)矢量，模值等于環(huán)量密度的最大值；方向?yàn)樽畲蟓h(huán)量密度的方向。用為最大環(huán)量密度的方向。用 表示，即：表示，即：Fnrotmax0limsnrotCsldFF在直角坐標(biāo)系下在直角坐標(biāo)系下FFFFFzyxzyxzyxeeerot第一章 矢量分析541 1）矢量的旋度為矢量，是空間坐標(biāo)的函數(shù)；）矢量的旋度為矢量，是空間坐標(biāo)的函數(shù)；2 2）矢量在空間某點(diǎn)處的旋度表征矢量場在該）矢量在空間某點(diǎn)處的旋度表征矢量

26、場在該點(diǎn)處的漩渦源密度；點(diǎn)處的漩渦源密度；4. 4. 旋度的物理意義旋度的物理意義 3) 3) 點(diǎn)點(diǎn)P P 的旋度的大小是該點(diǎn)環(huán)流密度的最大值。的旋度的大小是該點(diǎn)環(huán)流密度的最大值。4) 4) 點(diǎn)點(diǎn)P P 的旋度的方向是該點(diǎn)最大環(huán)流密度的方向。的旋度的方向是該點(diǎn)最大環(huán)流密度的方向。第一章 矢量分析551) 1) 在直角坐標(biāo)系下：在直角坐標(biāo)系下：xxyyzzrotFe rot Fe rot Fe rot F()()()yyxxzzxyzFFFFFFeeeyzzxxy()xyzxxyyzzeeee Fe Fe Fxyz5. 5. 旋度的計(jì)算旋度的計(jì)算第一章 矢量分析561()zeeerrz ()11

27、zFFFFz2、圓柱坐標(biāo)系zzyxFFFzeeeF1第一章 矢量分析5711sinreeerrr 22111( )()(sin)sinsinrFF rr FFrrrr3、在球坐標(biāo)系2sin1sinsinrrerererrArArAA第一章 矢量分析58【例題【例題1.4.1】 求矢量場求矢量場 沿沿xyxy平面內(nèi)一閉合回路平面內(nèi)一閉合回路C C的線積分，此閉的線積分，此閉合回路由（合回路由（0 0，0 0）和（）和（ ）之間的一）之間的一段拋物線段拋物線 和兩段平行于坐標(biāo)軸的直和兩段平行于坐標(biāo)軸的直線段組成。再計(jì)算線段組成。再計(jì)算 的旋度。的旋度。zyxezeyexrA)(2222, 2xy

28、2A第一章 矢量分析596. 6. 斯托克斯定理斯托克斯定理對于有限大對于有限大面面積積s s，可將其按如圖方式可將其按如圖方式進(jìn)行分割，對每一小面積元有進(jìn)行分割，對每一小面積元有c證明：證明： 意義：矢量場的旋度在曲面上的積意義：矢量場的旋度在曲面上的積分等于該矢量場在限定該曲面的閉合分等于該矢量場在限定該曲面的閉合曲線上的線積分。曲線上的線積分。由旋度的定義由旋度的定義nCSerotSld)(lim0FFSFFdldC)()得證！得證！1SFFdldC)(12SFFdldC)(2SFFdldC)(第一章 矢量分析601.5 標(biāo)量場的梯度標(biāo)量場標(biāo)量場 空間某一區(qū)域定義一個(gè)空間某一區(qū)域定義一個(gè)

29、標(biāo)量函數(shù)標(biāo)量函數(shù), ,其值隨空間其值隨空間坐標(biāo)的變化而變化，有時(shí)還可隨時(shí)間變化。則稱坐標(biāo)的變化而變化，有時(shí)還可隨時(shí)間變化。則稱該區(qū)域存在一標(biāo)量場。如溫度場該區(qū)域存在一標(biāo)量場。如溫度場, ,電位場電位場, ,高度場高度場等等例如，在直角坐標(biāo)下，例如，在直角坐標(biāo)下，222) 1()2(3),(zyxxyzzyxu第一章 矢量分析611. 1. 等值面（線）等值面（線） 由所有場值相等的點(diǎn)所構(gòu)成的面，即為等值面。即若由所有場值相等的點(diǎn)所構(gòu)成的面，即為等值面。即若標(biāo)量函數(shù)為標(biāo)量函數(shù)為 ，則等值面方程為：，則等值面方程為：( , , )uu x y zuPNleMuu ne,uxyzc2. 2. 方向性

30、導(dǎo)數(shù)方向性導(dǎo)數(shù) 考慮標(biāo)量場中兩個(gè)等值面考慮標(biāo)量場中兩個(gè)等值面,uuu 定義標(biāo)量函數(shù)定義標(biāo)量函數(shù) 沿給定方向沿給定方向 的方向的變化率的方向的變化率le, , ,u x y z00limlimuuuuuuuPMPMl 為標(biāo)量場為標(biāo)量場 在在P P點(diǎn)點(diǎn)沿沿 方向的方向的方向性導(dǎo)數(shù)。方向性導(dǎo)數(shù)。其其大小與方向大小與方向 有關(guān)。有關(guān)。le,uxyzle第一章 矢量分析623 3、梯度、梯度 由方向性導(dǎo)數(shù)的定義可知：沿等由方向性導(dǎo)數(shù)的定義可知：沿等值面法線值面法線 的方向性導(dǎo)數(shù)最大。的方向性導(dǎo)數(shù)最大。ne故故nugradune標(biāo)量場標(biāo)量場 在在P P點(diǎn)的梯度是一個(gè)矢量點(diǎn)的梯度是一個(gè)矢量大小：最大方向性導(dǎo)

31、數(shù)大小：最大方向性導(dǎo)數(shù)方向：最大方向性導(dǎo)數(shù)方向：最大方向性導(dǎo)數(shù)所在的方向所在的方向, , ,u x y z可得可得lugrad ulexyzugrad uxugrad uyugrad uzeee在直角坐標(biāo)系中梯度的計(jì)算公式在直角坐標(biāo)系中梯度的計(jì)算公式xyzuuugraduxyz eee第一章 矢量分析634 4、梯度的物理意義、梯度的物理意義1)1)、標(biāo)量場的梯度為一矢量，且是坐標(biāo)位置的函、標(biāo)量場的梯度為一矢量，且是坐標(biāo)位置的函數(shù)；數(shù)；2)2)、標(biāo)量場的梯度表征標(biāo)量場變化規(guī)律：其方向?yàn)椤?biāo)量場的梯度表征標(biāo)量場變化規(guī)律：其方向?yàn)闃?biāo)量場增加最快的方向，其幅度表示標(biāo)量場的最大標(biāo)量場增加最快的方向，其

32、幅度表示標(biāo)量場的最大增加率。增加率。第一章 矢量分析641 1）在直角坐標(biāo)系中：）在直角坐標(biāo)系中：xyzuuugradueeexyz2 2）在柱面坐標(biāo)系中：）在柱面坐標(biāo)系中：1rzuuugradueeerrz3 3）在球面坐標(biāo)系中：）在球面坐標(biāo)系中：11sinruuugradueeerrr5 5、直角、圓柱和球坐標(biāo)系中梯度的表達(dá)式、直角、圓柱和球坐標(biāo)系中梯度的表達(dá)式第一章 矢量分析65【例題【例題1.5.1】 求求 在點(diǎn)在點(diǎn)M M（2,-1,1)2,-1,1)處的梯處的梯 度，以及在矢量度，以及在矢量 方向?qū)?shù)。方向?qū)?shù)。32),(yzxyzyxuzyxeeel22第一章 矢量分析666 6、

33、微分算子的定義、微分算子的定義 gradxyzffffeeefxyz FzAyAxAFzyxdivzyxzyxeee微分算子微分算子 是一個(gè)是一個(gè)“符號符號”矢量，矢量，梯度散度1、直角坐標(biāo)系第一章 矢量分析67旋度注意注意：算子在上述的定義與規(guī)定下可以將它看成一矢：算子在上述的定義與規(guī)定下可以將它看成一矢量來按照矢量代數(shù)規(guī)則進(jìn)行運(yùn)算，但又不能完全將它量來按照矢量代數(shù)規(guī)則進(jìn)行運(yùn)算，但又不能完全將它與一普通矢量等同，因?yàn)樗姆至渴俏⒎炙惴皇桥c一普通矢量等同，因?yàn)樗姆至渴俏⒎炙惴皇钦鎸?shí)矢量的分量。這樣，兩個(gè)普通矢量代數(shù)運(yùn)算的某真實(shí)矢量的分量。這樣，兩個(gè)普通矢量代數(shù)運(yùn)算的某些性質(zhì)對就不成立

34、。些性質(zhì)對就不成立。從以上的過程中可以清楚地看出，算子確實(shí)把對矢量從以上的過程中可以清楚地看出，算子確實(shí)把對矢量函數(shù)的微分運(yùn)算轉(zhuǎn)變?yōu)槭噶克阕优c矢量的代數(shù)運(yùn)算。函數(shù)的微分運(yùn)算轉(zhuǎn)變?yōu)槭噶克阕优c矢量的代數(shù)運(yùn)算。例如例如：普通矢量有：普通矢量有 ，但是，但是， ， 即算子進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，除了上面的定義與規(guī)定外，還必須對包含即算子進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，除了上面的定義與規(guī)定外，還必須對包含有算子的算式做進(jìn)一步的補(bǔ)充定義。有算子的算式做進(jìn)一步的補(bǔ)充定義。ABBAAAFFFFzyxeeeFrotzyxzyx第一章 矢量分析68（1 1）矢量場除有散和有旋特性外，是否存在）矢量場除有散和有旋特性外，是否存在 別的特性？別的特

35、性？（2 2）是否存在不同于通量源和旋渦源的其它）是否存在不同于通量源和旋渦源的其它 矢量場的激勵(lì)源？矢量場的激勵(lì)源？（3 3）如何唯一的確定一個(gè)矢量場？）如何唯一的確定一個(gè)矢量場？ 現(xiàn)在我們考慮如下問題現(xiàn)在我們考慮如下問題第一章 矢量分析691 1 、定理內(nèi)容：、定理內(nèi)容： 空間區(qū)域空間區(qū)域V V上的任意矢量場，如果它的散度、上的任意矢量場，如果它的散度、旋度和邊界條件為已知，則該矢量場唯一旋度和邊界條件為已知，則該矢量場唯一確定，并且可以表示為一無旋矢量場和一確定，并且可以表示為一無旋矢量場和一無散矢量場的疊加，即：無散矢量場的疊加，即： 其中其中 為無散場，為無散場， 為無旋場。為無旋場

36、。 rFrFrFle rFe rFl 1.7 亥姆霍茲定理第一章 矢量分析70HelmholtzHelmholtz定理明確回答了上述三個(gè)問題。即定理明確回答了上述三個(gè)問題。即任一矢量場由兩個(gè)部分構(gòu)成，其中一部分是無任一矢量場由兩個(gè)部分構(gòu)成，其中一部分是無散場，由旋渦源激發(fā)；并且滿足：散場，由旋渦源激發(fā)；并且滿足：另一部分是無旋場，由通量源激發(fā)，滿足：另一部分是無旋場，由通量源激發(fā)，滿足： 0rFe 0rFl第一章 矢量分析71已知已知矢量矢量F F 的通量源密度的通量源密度矢量矢量F F 的旋度源密度的旋度源密度場域邊界條件場域邊界條件電荷密度電荷密度 電流密度電流密度J J場域邊界條件場域邊界條件研究電磁場的一條主線。研究電磁場的一條主線。亥姆霍茲定理在電磁場理論中的意義亥姆霍茲定理在電磁場理論中的意