chap3.6.1二階線性微分方程

1、二階線性微分方程的一般形式為12( )( )( )( )a x ya x ya x yf x ，其中( )f x稱為自由項(xiàng)。 （1）當(dāng)( )0f x 時(shí)，稱為二二階階線線性性齊齊次次方方程程， 這類方程的特點(diǎn)是：右邊是已知函數(shù)或零，左邊的每一項(xiàng)（2）當(dāng)( )0f x 時(shí)，稱為二二階階線線性性非非齊齊次次方方程程。 6.7 二階線性微分方程二階線性微分方程例 1判定下列方程是否是二階線性微分方程。 （1）560yyy； （2）3sinyyyx； （3）222350d xdxxdtdt； （4）cos0yy。 解： （1） 、 （3）是二階線性微分方程， （2） 、 （4）不是二階線性微分方程。（

2、一）（一）函數(shù)的線性相關(guān)性函數(shù)的線性相關(guān)性定義定義 1 1 設(shè)函數(shù)12( ),( ),( )my xyxyx在區(qū)間 I 上有定義， 若存在不全為零的常數(shù)12,mk kk，使當(dāng)xI時(shí)，有 1122( )( )( )0mmk y xk yxk yx， 則稱函數(shù)12( ),( ),( )my xyxyx在區(qū)間 I 上線性相關(guān)線性相關(guān)。 否則就稱12( ),( ),( )my xyxyx在區(qū)間 I 上線性無(wú)關(guān)線性無(wú)關(guān)。 1 二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu) 定義定義 2 2 稱1212(1)(1)(1)12( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )mmmmmmy xy

3、xyxy xyxyxw xyxyxyx 為函數(shù)12( ),( ),( )my xyxyx的朗斯基行列式朗斯基行列式。 結(jié)結(jié)論論 若12( ),( ),( )ny xyxyx為 n階線性齊次方程 的 n個(gè)解，則12( ),( ),( )ny xyxyx在區(qū)間 I 上線性 相關(guān)的充分必要條件是( )0, w xxI。 由定理 1 可得：若12( )( )yxkyx（或21( )( )yxkyx） ， 則1( )yx 與與2( )yx線性無(wú)關(guān)。 例 2判別下列兩組函數(shù)哪些是線性無(wú)關(guān)的？ （1）logax，2log,(0)axx ； （2）xe，xxe。 解： （1） （方法一方法一） 取2k1，1k

4、2，則 212loglog2log2log0aaaakxkxxx， （方法二方法二） )( 21loglog2常數(shù)xxaa，xalog與2log xa線性相關(guān)。2loglogaaxx故故與與線線性性相相關(guān)關(guān)。 1 xxexex常常數(shù)數(shù) ， xe與xxe線性無(wú)關(guān)。 （2） 3(3) ,xxee與與33 =xxeee常常數(shù)數(shù)3 .xxee與與線線 性性 相相 關(guān)關(guān)3(4) xxee 與 線性無(wú)關(guān)。與 線性無(wú)關(guān)。（2）若12( )( )y xyx和和是二階線性非齊次方程的兩個(gè)解， 則 12( )( )yy xyx 為對(duì)應(yīng)的齊次方程的解。 （二）（二）二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)二階線性微分方程解的結(jié)構(gòu)

5、設(shè)二階線性齊次方程為12( )( )( )0a x ya x yax y 二階線性非齊次方程為12( )( )( )( )a x ya x yax yf x （1）若12( )( )y xyx和和是二階線性齊次方程的兩個(gè)解， 則 1122( )( )yC y xC yx 仍為方程的解，其中21C ,C為兩個(gè)常數(shù)。 證證: :11220120.yC yC ya ya ya y是是齊齊次次方方程程的的通通解解0120.a ya ya y*012( ).ya ya ya yf x又又是是非非齊齊次次方方程程的的特特解解*012( ).a ya ya yf x*012( ):yyya ya ya yf

6、 x把把代代入入方方程程中中*012(ayya yyayy左左邊邊) ) + +) ) )*012012 0( )a ya yaya yya yfax+ + = =+ +右右邊邊y且且 中中有有兩兩個(gè)個(gè)任任意意常常數(shù)數(shù)故故結(jié)結(jié)論論成成立立求二階線性非齊次方程通解的一般步驟求二階線性非齊次方程通解的一般步驟： 上面結(jié)論也適合于一階線性非齊次方程，還可推廣到二階以上的線性非齊次方程。 若1( )yx是線性非齊次方程 121( )( )( )( )ax yax yax yfx的特解， 2( )yx是線性非齊次方程 122( )( )( )( )a x ya x ya x yfx的特解， 則 1y+2

7、y 是線性非齊次方程 1212( )( )( )( )( )a x ya x yax yf xfx的特解。 例 3設(shè)線性無(wú)關(guān)的函數(shù)123, , yyy都是微分方程 ( )( )( )yp x yq x yf x的解，則此微分方程的 通解為（ ） （21C,C為任意常數(shù)）. （A）11223C yC yy； （B）1122123()C yC yCCy； （C）1122123(1)C yC yCCy； （D）1122123(1)C yC yCCy。 解：123, , yyy都是方程( )( )( )yp x yq x yf x的解， 12yy和23yy是方程( )( )0yp x yq x y的解

8、。 123, , yyy線性無(wú)關(guān)，13yy，23yy也線性無(wú)關(guān)， ( )( )0yp x yq x y的通解。 3yy是方程( )( )( )yp x yq x yf x的一個(gè)特解， 方程( )( )( )yp x yq x yf x的通解為： 即1122123(1)yC yC yCC y。 故應(yīng)選（D） 。2 二階常系數(shù)線性微分方程的解法 若二階線性微分方程為 ( )aybycyf x ，其中 , , abc均為常數(shù)，則稱該方程為二階常系數(shù)線性微分方程。 （一）二階常系數(shù)線性齊次方程的解法（一）二階常系數(shù)線性齊次方程的解法其解法的特點(diǎn)是：不用積分只用代數(shù)方法就能求出方程的通解。 猜想方程具有

9、rxey 形式的解，其中 r為待定常數(shù)， 將rxyre ，2rxyr e ，rxye代入方程， 得2()0rxearbrc，但0rxe，故有 0aybycy， 20arbrc， 方程叫做方程的特征方程特征方程。按特征方程的兩個(gè)根 1r，2r的三種可能情況： 11r2r是兩個(gè)不相等的實(shí)根； 21r=2r是兩個(gè)相等的實(shí)根； 31ri，2ri是一對(duì)共軛復(fù)數(shù)。 我們來(lái)分別討論方程的通解。 1r xe、2r xe是方程的特解， 且1122()r xrrxr xeee不為常數(shù)，它們是線性無(wú)關(guān)的， 1特征方程的根是兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)的情形。特征方程的根是兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)的情形。2特征方程的根是兩個(gè)相等實(shí)數(shù)的情形。

10、特征方程的根是兩個(gè)相等實(shí)數(shù)的情形。1r=2r2bra ，只知一個(gè)特解1r xye， 還需找一個(gè)與1y線性無(wú)關(guān)的特解2y， 方程的通解為 。1212r xr xyC eC e設(shè)2( )yu xrxe，( )u x為待定函數(shù)， 22( )2( )( )rxyeu xru xr u x 代入方程得 2( )(2) ( )() ( )0rxeau xarb u xarbrc u x， ( )0ux， 取( )0ux的一個(gè)解( )u xx，則2rxyxe。 方程的通解為12rxrxyC eC xe， 即 12()rxyeCC x 。 3 3特特征征方方程程的的根根是是一一對(duì)對(duì)共共軛軛復(fù)復(fù)數(shù)數(shù)的的情情形形

11、。 ()1ixye、()2ixye是方程的特解， 且()21()2ixixixyeeye不為常數(shù)，它們是線性無(wú)關(guān)的， 方程的通解為()1ixyC e+()2ixC e。 1(cossin)xyexix， 2(cossin)xyexix， 由歐歐拉拉公公式式 可得sinicosei1121()cos2xyyyex取取， 2121()sin2xyyyexi， 方程的通解為1122yC yC y，即 12(cossin)xyeCxCx（1）由微分方程寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的特征方程（代數(shù)方程） ；（2）求解特征方程的根； （3）按特征根的情況（單根、重根、共軛復(fù)根） 寫(xiě)出微分方程的通解： 特征方程 20arbrc

12、， 0aybycy的通解 240bac 兩個(gè)不相等的實(shí)根12, rr 11r xyC e+22r xC e 240bac 相等實(shí)根rrr21 1(rxyeC+2)C x 240bac 一對(duì)共軛復(fù)數(shù) 12, ri 1(cosxyeCx +2sin)Cx 小結(jié)：用特征根法求二階常系數(shù)線性齊次方程通解的步驟：小結(jié)：用特征根法求二階常系數(shù)線性齊次方程通解的步驟：例 4求下列方程的通解 （1）430yyy 方程的通解為1xyC e+32xC e。 （2）41290yyy （3）220yyy 解：其特征方程為2220rr， 特征根為1,r224 1 2iri ， 方程的通解為12(cossin )xyeC

13、xCx。 故方程的通解為312-=+xxyC eC e， xxyC eC e3123-= -， 將初始條件(0)2y，(0)6y代入上面兩式，得 12112226634CCCCCC 故所求特解為:364-=-xxyee。 (0)2y，(0)6y的特解。 5.430yyy例例 求求方方程程滿滿足足初初始始條條件件（二二）高高階階常常系系數(shù)數(shù)線線性性齊齊次次方方程程的的解解法法n階常系數(shù)線性齊次方程為( )(1)110-+=oLnnnna ya yaya y， 其特特征征方方程程為 1110-+=oLnnnna ra rara. 特特征征方方程程的的根根 方方程程通通解解中中的的對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)項(xiàng)項(xiàng) 單實(shí)

14、根r 給出一項(xiàng) rxC e k重實(shí)根r 給出k項(xiàng) 112()rxkkeCC xC x-+L 一對(duì)單復(fù)根 1, 2riab= 給出兩項(xiàng) 12cossi nxeCxCxabb+ 一對(duì)k重復(fù)根 1, 2riab= 給出k2項(xiàng) 112 ()cosxkkeCC xC xxab-+L 112()si nkkDD xD xxb-+L 解：特征方程為54323750-+-=rrrr， 即22(1)(25)0-+=r rrr， 故方程的通解為特征根為1, 20=r（2 重） ；31=r,4 512ri。 12345(cos2sin2 )xxyCC xC eeCxCx。 例 7具有特解形式1xye，22xyxe，

15、33xye的 三階常系數(shù)齊次微分方程是（ ） （A）0yyyy； （B）0yyyy； （C）61160yyyy； （D）220yyyy。 B解：由方程的特解可知齊次方程對(duì)應(yīng)的特征方程 的特征根為1r2, 1，1r3，于是特征方程為0) 1r () 1r (2，即01rrr23，故三階常系數(shù)齊次微分方程為0yyyy。 （三）二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的解法（三）二階常系數(shù)線性非齊次微分方程的解法設(shè)二階常系數(shù)線性齊次方程為0 cyybya 二階常系數(shù)線性非齊次方程為)(xfcyybya 將xexQy)(， )()(xQxQeyx， )()(2)(2xQxQxQeyx ， 代入后并xe 約去，得：

16、 )()()()()2()(2xPxQcbaxQbaxQam 這時(shí)方程為 xmexPcyybya )( xmexPxf )()(. 1) )(次多項(xiàng)式的是其中mxxpm可以設(shè))( )(是多項(xiàng)式其中xQexQyx。 設(shè) mmmmmAxAxAxAxQ111)(。 得到所求特解 xmexQy)(。 （1）當(dāng)02cba，即不是方程的特征根時(shí)， 則)( )(xQmxQm次多項(xiàng)式另一個(gè)必定是， 把代入 )(xQm 式，比較等式兩端同次冪 x的系數(shù)， 就得到以mmAAAA , , ,11作為未知數(shù)的個(gè)方程 1m 的聯(lián)立方程組，從而可以定出這些) , , 1 , 0( miAi， )()()()()2()(2

17、xPxQcbaxQbaxQam 次多項(xiàng)式一個(gè)是 )(mxpm，要使式的兩端恒等， )()()()()2()(2xPxQcbaxQbaxQam )()()2()(xPxQbaxQam （2）當(dāng)02cba，而02ba時(shí)， 即是方程的單特征根時(shí)，式成為 故可設(shè) )( )(xQxxQm， , 1 )( , )(次多項(xiàng)式應(yīng)為次多項(xiàng)式應(yīng)為mxQmxQ并用同樣的方法來(lái)確定中的系數(shù) )(xQm) , , 1 , 0( miAi。 （3）當(dāng)02cba且02ba時(shí)， 即是方程的二重特征根時(shí)，式成為 故可設(shè) )()(2xQxxQm， )()(xPxQam 并用同樣的方法來(lái)確定中的系數(shù) )(xQm。 )()()()(

18、)2()(2xPxQcbaxQbaxQam , 2 )( , )(次多項(xiàng)式應(yīng)為次多項(xiàng)式應(yīng)為 mxQmxQ綜上所述，方程xmexPqyypy )(具有如下形式的特解：xmkexQxy)(。 其中)( )(xPxQmm是與同次但系數(shù)待定的多項(xiàng)式， 按k不是特征方程的根、是單根或二重根依次 取 0，1 或 2。 應(yīng)用歐拉公式 ， 2cosixixeexieexixix2sin把三角函數(shù)表示為復(fù)變量指數(shù)函數(shù)的形式，有sincos)(xPxPexfnmx22ieePeePexixinxiximxxinmxinmeiPPeiPP)()()22()22(.)()()()(xixiexPexPsin)(cos

19、)()( . 2xxPxxPexfnmx 對(duì)于中的)(xf第一項(xiàng)xiexP)()(，可求出一個(gè)次多 L )(xQL項(xiàng)式，使得 xiLkeQxy)(1 為方程xiexPcyybya)()( 的特解，而ik 按 不是特征方程的根、或是特征方程的單根依次取 0 或 1。 ,)()()()()(xixiexPexPxf其中iPPiPPxPnmnm2222)(，iPPiPPxPnmnm2222)(， 是互成共軛的次多項(xiàng)式 L（即它們的對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)是共軛 復(fù)數(shù)） ，而,maxnmL。 由于中的)(xf第二項(xiàng)xiexP)()(與第一項(xiàng)成共軛， 所以與成共軛 1y的函數(shù)xiLkeQxy)(2必然是方程 xiex

20、Pcyybya)()( 的特解，這里L(fēng)LQQ 表示與 成共軛的次多項(xiàng)式L， 故方程sin)(cos)(xxPxxPecyybyanmx 具有如下形式的特解：.)()(21xiLkxiLkeQxeQxyyyxiLkxiLkeQxeQxy)()()sin(cos)sin(cosxixQxixQexLLxk 由于括號(hào)內(nèi)的兩項(xiàng)是互成共軛的，相加后即無(wú)虛部，所以可以寫(xiě)成實(shí)函數(shù)形式：)sin)(cos)()2() 1 (xxRxxRexyLLxk綜上所述，有如下結(jié)論：方程sin)(cos)(xxPxxPecyybyanmx 其中(1)(2)( ),( ) LLQx QxL是是次次多多項(xiàng)項(xiàng)式式，,maxnm

21、L， 按而k i不不是是特征方程的根、或是特征方程的 單根依次取 0 或 1。 時(shí)時(shí)sin)(cos)()( 當(dāng)當(dāng)xxPxxPexfnmx *(1)(2): ( )cos( )sin .kxLLyx eQxxQxx具具有有形形如如的的特特解解二階常系數(shù)非齊次線性方程特解的解法二階常系數(shù)非齊次線性方程特解的解法 )(xpemxsin)( cos)(xxPxxPenmx不是特征方程的根 ) 1 ()( xf自由項(xiàng) yxfcyybya )( 的特解方程是特征方程的單根 )2(是特征方程的重根 )3(xmexQy)(xmexQxy)( xmexQxy)( 2不是特征方程的根 ) 1 (i是特征方程的根

22、 )2(i(1)(2)( )cos ( )sinxLLyeQxxQxx(1)(2)( )cos ( )sinxLLyxeQxxQxx,max nmL其中xxexf)(，屬xmexPxf)()(型(1 , 1m)， 而1不是特征方程的根， 00122:20AAA則則有有0111,2AA 解：xexxxf0)32(32)(， 屬xmexPxf)()(型（0 , 1m） ， 特征方程為0652 rr， 21r，32r， 0 不是特征根，1623.65379aabab 故原方程的特解為9731xy。 例 2求方程xeyy24 的通解。 xexf2)(，屬xmexPxf)()(型(2 , 0m)， 而2

23、是特征根， 設(shè) xAxey2 ，代入原方程解得41A， 故原方程的通解為解：特征方程為0122 rr， 12 , 1r。 xxexf)(，屬xmexPxf)()(型(1 , 1m)， 而1是特征方程的重根， 設(shè) xeAxAxy)(12 ， xxexAxAexAxAy)()23()(21312， 代入原方程，有xxxeeAxA)26(1，解之得 61A，01A。 xexy361， 故原方程的通解為)(21xCCeyx+xex361。 xxxexAxAexAxAeAxAy)( )46()26()(213121 ， xexfx2cos)(，屬于(cossin)xmnePxPx型的函數(shù)， 121,2r

24、r故所求特解11(cos2sin2 )510 xyexx。 比較兩端xx2sin2cos與的系數(shù)，得 1(2cos2sin2 )10 xexx 例 5求方程xyysin 的通解。 解：先寫(xiě)出特征方程：012r，ir 。 設(shè)特解 ( cossin )yx axbx， 則有 ()2 cos2 sin( cossin )ybxaxx axbx ， 自由項(xiàng)xxfsin)(屬于sin)(cos)(xxPxxPenmx 型的函數(shù)，且ii0是特征方程的根， 原方程的特解為xxycos21， 代入原方程有 2 sin2 cossinaxbxx， 比較兩端xxcossin 與的系數(shù)，得12a ，0b 。 例 6

25、求方程xxyysin14 的通解。 解：其特征方程為042r，ir2， 自由項(xiàng)xxxfxfxfsin) 1()()()(21， 令方程為：14 xyy， 方程為：xyysin4 ， 分別求方程與的特解21yy 與。 41411xy。 2()cossinyCxDx ，代入原方程得 xxDxCsinsin3cos3，0C，31D， xysin312， 從而原方程的特解為12111sin443yyyxx， 2cossinyCxDx設(shè) ，解：xxxdttftdttfxexf0 0 2)( )()(， )()()(2)(0 2xxfxxfdttfexfxx， 即xxdttfexf0 2)(2)(， 由和

26、知1)0(f，2)0( f， 例 7設(shè)為連續(xù)函數(shù))(xf，且滿足方程 xxdttftxexf0 2)()()(， )( xf求。 故所求函數(shù))(xfy 滿足下列初值問(wèn)題： 由初值條件2 0 xy，得522C， 從而所求函數(shù)xexxxf254sin52cos51)(。 20041, 2xxxyyeyy（四）（四）常數(shù)變易法常數(shù)變易法 在解一階線性非齊次方程)()(xQyxPy時(shí)，我們 用了常常數(shù)變易法數(shù)變易法，將對(duì)應(yīng)的線性齊次方程0)(yxPy 的通解dxxPCey)(中的 C任意常數(shù)變易為待定函數(shù) )( xC ，再通過(guò))( xC確定來(lái)求得線性非齊次方程通解。 這種方法也適用于高階線性微分方程。

27、下面就二階線性 方程來(lái)作討論。 設(shè)非齊次方程為 )(xfcyybya 齊次方程為 0 cyybya )( ),(21xyxy為方程的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)的解， 則方程的通解為)()(2211xyCxyCy， 將任意常數(shù)21 , CC換成待定函數(shù))( ),(21xCxC，使 對(duì)式求導(dǎo)，得11221122( )( )( )( )( )( )( )( )yC x y xCx yxC x y xCx yx為方程的解。 )()()()(2211xyxCxyxCy11221122( )( )( )( )( )( )( )( )yC x y xCx yxC x y xCx yx0)()()()(2211xyxCxy

28、xC ， 11221122( )( )( )( )( )( )( )( )yC x y xCx yxC x y xCx yx將yyy , ,代入方程)(xfcyybya ，得 )()()()()()()()(11112211xcyxybxyaxCxyxCxyxCa )()()()()(2222xfxcyxybxyaxC 0)()()(111 xcyxybxya， 0)()()(222 xcyxybxya， )(1)()()()(2211xfaxyxCxyxC， )( ),(21xyxy為齊次方程0 cyybya的解， 把式和式聯(lián)立得方程組 ).(1)()()()( , 0)()()()(221

29、12211xfaxyxCxyxCxyxCxyxC )( ),(21xyxy線性無(wú)關(guān)， 0)()()()()(2121xyxyxyxyxW， )()()()()()(1)()()()()()(1)(0)(212122121221xyxyxyxyxyxfaxyxyxyxyxyxfaxyxC， ,)()()()()()(1)()()()()(1)(0)()(212112121112xyxyxyxyxyxfaxyxyxyxyxfaxyxyxC將上面兩式分別積分即得)( ),(21xCxC，（),( 1xC取 )( 2xC中的任意常數(shù)為 0） ，再將)( ),(21xCxC代入 )()()()(2211

30、xyxCxyxCy，得)(xfcyybya 的特解。 例 8求微分方程xeyyyx 2的一個(gè)特解。 （習(xí)題課教程 P168 第 4(5)題.） 解：特征方程為0122 rr，121rr， 設(shè)非齊次方程的特解為 xxxexCexCy)()(21 。 1)1 ()1 (0)(221xxxxxxxxxeeexexeeexxexexC， xexeexexeexeeexCxxxxxxxxx1)1 (0)(222。 所求特解為xxexy) 1(ln。 31)(CxxC， 42ln)(CxxC， 并令043CC， 歐拉歐拉( (Euler, 1707-17831707-1783，瑞士，瑞士) )形如 )(1

31、) 1(11)(xfyayxayxayxnnnnnn 的方程稱為 n 階歐歐拉拉方方程程，其中) , , 2 , 1( niai為常數(shù)。 dtdyxdxdtdtdydxdy1， )(11)(1222222dtdydtydxdtdyxdxdtdtdydtdxdxyd， )11(1)(22233222333dtydxdtydxxdtdydtydxdxyd)23(122333dtdydtyddtydx作變換xtextln 或，將自變量tx 換成，有 ,dyxydt 222d ydyx ydtdt3233232d yd ydyx ydtdtdt 222d ydyx ydtdt ,dyxydt 便得到一

32、個(gè)以為自變量 t的常系數(shù)線性微分方程。 在求出這個(gè)常系數(shù)線性微分方程的解后， 把xtln 換成，即得原方程的解。 2:( ),Eulerx yaxybyf x對(duì)對(duì)于于二二階階方方程程作變換xtextln 或，將自變量tx 換成，有 :則則方方程程可可變變?yōu)闉?2( )td ydydyabyf edtdtdt:(1)( )tyaybyf e即即解：作變換xtextln 或， 代入方程得:tydtdydtyd2222， （） 1:dydyydxx dt 則則有有， 222221()d yd ydyydxxdtdt ， 29.2lnx yxyyx例 求歐拉方程的通解。12) , *24tyCC t eyt求得（12)24tyCC t et故通解為（6.8 6.8 一階常系數(shù)線性微分方程組解法舉例一階常系數(shù)線性微分方程組解法舉