章傅里葉變換講解學習教案

1、會計學1第一頁，共202頁。 傅里葉1768年生于法國,1807年提出“任何周期(zhuq)信號都可用正弦函數(shù)級數(shù)表示”, 1822年在“熱的分析理論”一書中再次提出。1829年狄里赫利給出傅里葉變換收斂條件。傅里葉變換得到大規(guī)模的應用，則是到了上世紀60年代之后。3.1 傅里葉變換(binhun)的產(chǎn)生傅里葉的兩個最主要的貢獻(gngxin)：（1）“周期信號都可表示為諧波關系的正弦信號的加權和”;（2）“非周期信號都可用正弦信號的加權積分表示”.第1頁/共202頁第二頁，共202頁。1,cos ,sin ,cos2 ,sin2 ,cos,sin,ttttktkt21*( )( )d1tii

2、tf t ftt 21*( )( )d0tijtf t fttij，三角函數(shù)(snjihnsh)就是一個(y )標準的兩兩正交的函數(shù)空間。它滿足下列完備正交函數(shù)的三個條件：3.2 周期信號(xnho)的傅里葉分析1. 歸一化：2. 歸一正交化：3. 歸一化完備性：可以用其線性組合表示任意信號第2頁/共202頁第三頁，共202頁。周期(zhuq)的終點 1111111,cos,sin,cos2,sin2,cos,sin,ttttktkt12122Ttt 設三角函數(shù)的完備(wnbi)函數(shù)集為：其中(qzhng)三角函數(shù)集也可表示為：11cos(),sin()0,1,2,ntntn3.2.1 傅里葉

3、級數(shù)的三角形式基頻 周期 周期的起點 第3頁/共202頁第四頁，共202頁。2111cos()sin()d0ttntmtt21211111cos()cos()d0,sin()sin()d0ttttntmttmnntmtt2211222111cos ()dsin ()d22ttttttTnttntt21211dtttTtt0n 時，有（2）“單位”常數(shù)性，即當 滿足： （1）正交性：函數(shù)(hnsh)集中的任意函數(shù)(hnsh)兩兩相正交，有 第4頁/共202頁第五頁，共202頁。可以將“任意”周期函數(shù) 在這個正交函數(shù)集中展開為( )f t0111( )(cossin)nnnf taantbnt22

4、112211112121212( )cos()d , 0( )cos()d1cos ()d( )d ,0ttttnttttf tnttnf tnttttanttf ttntt221211112211( )sin()d2( )sin()dsin ()dtttntttf tnttbf tnttttntt系數(shù)稱為(chn wi)傅里葉級數(shù) 第5頁/共202頁第六頁，共202頁。011( )cos()2nnnaf tcnt0111 ( )(cossin)2nnnaf tantbnt或211212( )cos()dtntaf tntttt 同上式 傅里葉級數(shù)(j sh)的三角展開式 另一種形式 t 直流

5、分量(fn ling) n=1n1基波(j b)分量 n次諧波分量 第6頁/共202頁第七頁，共202頁?？烧归_為傅里葉級數(shù)的條件：( )f t（2） 在區(qū)間內(nèi)有有限個間斷點；( )f t（1） 絕對可積，即：( )f t21( ) dttf tt （3） 在區(qū)間內(nèi)有有限個極值點。( )f tDirechlet條件傅里葉級數(shù)存在的充要條件22OppositeHypotenusennncabarctannnnba式中， 為n次諧波振幅。 為n次諧波初始相位。！并非任意周期信號都能進行(jnxng)傅里葉級數(shù)展開！ 第7頁/共202頁第八頁，共202頁。1. 從三角函數(shù)形式(xngsh)的傅里葉級

6、數(shù)推導3.2.2 傅里葉級數(shù)(j sh)的復指數(shù)形式11j()j()1eecos()2nnntntnnt 利用歐拉公式:11j()j()11( )ee22nntntnnnnf tcA式中j22e(cosjsin)nnnnnnnAcab 22nnncabarctan()nnnba幅度 相位 復指數(shù) 幅度 第8頁/共202頁第九頁，共202頁。22112211111j1122j( )cos()dj( )sin()d22 ( )cos()jsin()d( )edttnnnttttntttAabf tnttf tnttTTf tntnttf ttTT nA的具體求法如下：1j()( )entnnf t

7、F2. 直接從復變正交函數(shù)集推導1j()e1,2,ntn中展開，有( )f t在復變正交函數(shù)空間將原函數(shù)第9頁/共202頁第十頁，共202頁。2121121111j*jjj*( )(e) d1( )ed(e)(e) dtntttntnttntnttf ttFf ttTtje2nnnnAFF式中例00( )()TkttkT求 的指數(shù)傅里葉級數(shù)和三角傅里葉級數(shù)。0( )Tt已知沖激(chn j)序列-T0 O T0 2T0 t0( )Tt0()tT( ) t第10頁/共202頁第十一頁，共202頁。00j01( )entTntT0010012( )cosTntntTT0( )Tt的三角傅里葉級數(shù)為

8、：001aT002000222( )cosdTTnatnt tTT0nb 又解000j200211( )edTntTnFttTT第11頁/共202頁第十二頁，共202頁。100( )()( )()Af tAtu tu tTT100000( )()() ()(1) )nnAf tf t nTAt nTu t nTu tnTT求下圖中三角(snjio)波的三角(snjio)傅里葉級數(shù)。1( )f t( )f t則為的周期延拓，即 將( )f tAC( )ft去除直流分量，則僅剩交流分量( )f t00,tT在內(nèi)的函數(shù)記為（1）將周期函數(shù)例解A( )f t-T0 O T0 2T0 t第12頁/共20

9、2頁第十三頁，共202頁。AC00000000001100000( )( ) ()(1) () ()(1)122()(cos)cosnnnnnAftf tu tnTu tnTTAAtnTtnTtnTTAAAAtnTAntntTTTTT 0AC0110sin2( )cosdtnnntAAftnTn D/ 2fA01sin( )2nntAAf tn 故第13頁/共202頁第十四頁，共202頁。000001d2TAAat tTT0na 000002sindnTAAbtnt tTTn（2）利用(lyng)直接法求解故 01sin( )2nntAAf tn第14頁/共202頁第十五頁，共202頁。111

10、j011( )ecos()sin()NNNntnnnnNnnf tFaantbnt常稱為(chn wi)f(t)的截斷傅里葉級數(shù)表示式。用MATLAB的符號積分函數(shù)int()可表示上式。格式為：（1）intf=int(f,v) ； 給出符號表達式f對指定變量v的（不帶積分常數(shù)(chngsh)）不定積分；（2）intf=int(f,v,a,b) ； 給出符號表達式f對指定變量v的定積分。3.2.3 傅里葉級數(shù)(j sh)的MATLAB仿真實現(xiàn)第15頁/共202頁第十六頁，共202頁。3.3 周期(zhuq)信號的對稱性 1縱軸對稱性 （1）如果原函數(shù)是偶函數(shù)，則其傅里葉級數(shù)中只有直流和余弦分量（

11、即偶函數(shù)之和仍然(rngrn)是偶函數(shù)）。 （2）如果原函數(shù)是奇函數(shù)，則其傅里葉級數(shù)中只有正弦分量（即奇函數(shù)之和仍然(rngrn)是奇函數(shù)）。滿足 的周期為T 的函數(shù)；即平移半個周期后的信號與原信號關于橫軸對稱。(/2)( )f tTf t 定義(dngy)：l 奇諧函數(shù)l 偶諧函數(shù)滿足 的周期為T 的函數(shù)；即平移半個周期后信號與原信號重合。(/2)( )f tTf t第16頁/共202頁第十七頁，共202頁。2橫軸對稱性（2）偶諧函數(shù)的傅里葉級數(shù)中只有偶次諧波(xi b)分量。（1）奇諧函數(shù)的傅里葉級數(shù)中只有(zhyu)奇次諧波分量。 如果原信號既不是奇諧函數(shù)也不是偶諧函數(shù)，那么其傅里葉級數(shù)

12、展開式中就會既包含有奇次諧波(xi b)分量也包含有偶次諧波(xi b)分量。！利用奇諧函數(shù)、偶諧函數(shù)性質的時候，最好將其直流分量去掉，以免發(fā)生誤判。第17頁/共202頁第十八頁，共202頁。已知奇諧函數(shù)：例解t( )f to12T 12T2E 2E1cost 11cos()2Tt t( )f to12T 12T2E 2E1sint 11sin()2Tt t( )f to12T 12T2E 2E( )f t1()2Tf t t( )f to12T 12T2E 2E1sin2t t( )f to12T 12T2E 2E1cos2t 第18頁/共202頁第十九頁，共202頁。3.4.1 頻譜的概念

13、(ginin)頻譜圖表示信號含有的各個頻率分量的幅度值。其橫坐標為頻率 （單位為赫茲），縱坐標對應各頻率分量的幅度值 。nFl 振幅(zhnf)頻譜（幅頻特性圖）表示信號含有的各個頻率分量的相位。其橫坐標為頻率；縱坐標對應各頻率分量的相位 （單位常用度或弧度）。nl 相位頻譜（相頻特性圖）第19頁/共202頁第二十頁，共202頁。1,( )220,kTtkTf t其它例，求頻譜解（1）單邊頻譜： 1114sin(),022Sa()22,0nnnnnTATnT ( )f tT2t2oT1第20頁/共202頁第二十一頁，共202頁。（2）雙邊(shungbin)頻譜： 11111/2j2/2j2/

14、211/2212sin11 e24edj2sin (), 0,1,2,2nntntnnnbbacFtTTnTnanSanTT 包絡線 頻譜圖隨參數(shù)(cnsh)的變化規(guī)律： 1）周期T不變，脈沖寬度(kund)變化第21頁/共202頁第二十二頁，共202頁。2Sa()0 2 2 2T nF 2O 141,()()444nTnnFSaSaTT情況(qngkung)1：第一個過零點為n =4 。在 有值（譜線）nF12/4( )f tT2t2oT1第22頁/共202頁第二十三頁，共202頁。1,()()888nTnnFSaSaTT情況(qngkung)2：( )f tT2t2oT1nF2 o182T

15、 第23頁/共202頁第二十四頁，共202頁。1,()()161616nTnnFSaSaTT情況(qngkung)3：( )f tT2t2oT1示意圖 2T nF1162o第24頁/共202頁第二十五頁，共202頁。結 論2/T 1/f2/第25頁/共202頁第二十六頁，共202頁。第一個過零點情況 1：4T2/(2 )T2/時，譜線間隔2）脈沖寬度不變, 周期T變化 ( )f tT2t2oT1示意圖 22T nF142041)0(0SaTF第26頁/共202頁第二十七頁，共202頁。第一個過零點情況 2：8T24T2時，譜線間隔( )f t2t2oT1示意圖 TnF4120TnF182o第2

16、7頁/共202頁第二十八頁，共202頁。第一個過零點 情況 3：16T28T2時，譜線間隔T( )f t2t2o1T2T2T示意圖 nF8120nF1162 0第28頁/共202頁第二十九頁，共202頁。1f2結 論第29頁/共202頁第三十頁，共202頁。典型周期(zhuq)信號的頻譜分析，可利用傅里葉級數(shù)或傅里葉變換。典型周期(zhuq)信號如下： 1. 周期(zhuq)矩形脈沖信號 2. 周期(zhuq)對稱方波信號 3. 周期(zhuq)鋸齒脈沖信號 4. 周期(zhuq)三角脈沖信號 5. 周期(zhuq)半波余弦信號 6. 周期(zhuq)全波余弦信號3.4.2 常見周期(zhuq

17、)信號的頻譜第30頁/共202頁第三十一頁，共202頁。設周期(zhuq)矩形脈沖：脈寬為，脈沖幅度為E，周期(zhuq)為T111( ) ()(),2222TTf tE u tu tt o/2/2E1Tt( )f t1T第31頁/共202頁第三十二頁，共202頁。110111,()20,0,01()22nnnnnnnnEnEcacSaTccnEFFaSaT 1j1111111( )()cos()()22entnnEnnEEf tSantSaTT三角指數(shù)1101 ( ) ,0,()2nnf tEnEabaSaT是偶函數(shù)第32頁/共202頁第三十三頁，共202頁。1,20 21(,)fnBBB周

18、期矩形脈沖信號的幅度頻譜中收斂規(guī)律為主要能量集中在第一個零點以內(nèi)，即稱為其頻帶寬度相位譜On2411ETnC1nO1224幅度譜第33頁/共202頁第三十四頁，共202頁。復數(shù)(fsh)頻11ETnFO2122 4實數(shù)(shsh)頻譜幅度譜與相位(xingwi)譜合并10cnCO1224第34頁/共202頁第三十五頁，共202頁。 周期對稱(duchn)方波信號是周期矩形信號的一種特殊情況，對稱(duchn)方波信號有兩個特點：(1)是正負交替的信號，其直流分量a0等于零；(2)它的脈寬恰等于周期的一半，即t =T1/2。O2E1/ 4T1/ 4T1Tt( )f t2E1T第35頁/共202頁

19、第三十六頁，共202頁。00 (), 1,3,5.20,01, (),0222nnnnnnnnnccaESancEnFFcSac，111j21( )sin()cos()21sin(),1,3.2enntnEnf tntnEnnn 三角指數(shù)0 002(), 1,3,5.2nnabnEaESann 偶函數(shù)且，奇諧函數(shù)第36頁/共202頁第三十七頁，共202頁。1n周期對稱方波信號的幅度頻譜中 收斂規(guī)律na1O12131415幅度(fd)譜1na15O121314相位譜On1131517第37頁/共202頁第三十八頁，共202頁。3. 周期鋸齒脈沖信號(xnho)的傅里葉級數(shù)求解周期鋸齒脈沖信號，是

20、奇函數(shù)故 ，可求出傅里葉級數(shù)系數(shù)bn。如何求bn留作思考！0na t( )f t2EO12T12T2E第38頁/共202頁第三十九頁，共202頁。11111111( )sin()sin(2)sin(3)231( 1)sin()nnEf ttttEntn其傅里葉級數(shù)(j sh)表達式為：此信號的頻譜只包含(bohn)正弦分量，諧波的幅度以1/n的規(guī)律收斂。第39頁/共202頁第四十頁，共202頁。4. 周期三角脈沖(michng)信號的傅里葉級數(shù)求解t( )f tEO12T12T0nb 周期三角脈沖信號，是偶函數(shù)，故 ，可求出傅里葉級數(shù)系數(shù)a0 、an。如何求bn留作思考！第40頁/共202頁第

21、四十一頁，共202頁。此信號的頻譜只包含直流、基波及奇次諧波(xi b)分量，諧波(xi b)的幅度以1/n2的規(guī)律收斂。111221221411( )cos()cos(3 )cos(5 )292541 sin ()cos( )22nEEf ttttEEnn tn其傅里葉級數(shù)(j sh)表達式為：第41頁/共202頁第四十二頁，共202頁。5. 周期半波余弦信號的傅里葉級數(shù)(j sh)求解0nb 周期半波余弦信號，是偶函數(shù)，故 ，可求出傅里葉級數(shù)系數(shù)a0 、an。如何求bn留作思考！t( )f tEo12T12T1T1T第42頁/共202頁第四十三頁，共202頁。此信號的頻譜只包含直流、基波及

22、偶次諧波分量(fn ling)，諧波的幅度以1/n2的規(guī)律收斂。1111121144( )cos()cos(2)cos(4)2315212cos()cos() (1)2nEEf ttttEEnn tnT，其傅里葉級數(shù)(j sh)表達式為：第43頁/共202頁第四十四頁，共202頁。6. 周期全波余弦信號的傅里葉級數(shù)(j sh)求解周期(zhuq)全波余弦信號，是偶函數(shù)。令余弦信號為10002( )cos(),f tEtTt( )f tEo12T12T1T1T則，全波余弦(yxin)信號為：10( )( )cos()f tf tEt第44頁/共202頁第四十五頁，共202頁。此信號的頻譜只包含直

23、流、基波及偶次諧波分量(fn ling)，諧波的幅度以1/n2的規(guī)律收斂。111102124111( )cos(2)cos(4)cos(6)31535241( 1)cos(2)41nnEEf ttttEEntn其傅里葉級數(shù)(j sh)表達式為：第45頁/共202頁第四十六頁，共202頁。0111( )(cossin)NNnnnStaatbt3.4.3 吉布斯效應(xioyng)第46頁/共202頁第四十七頁，共202頁。誤差函數(shù)和均方誤差誤差函數(shù)均方誤差( )( )( )NNtf tS t2222201( )( )()2NNnnEtftaab第47頁/共202頁第四十八頁，共202頁。2sin

24、2nEnan21111135( )(coscos3cos5)Ef tttt例-E/2T1/4-T1/4tE/2o第48頁/共202頁第四十九頁，共202頁。210.05EE21121(coscos 3),3EStt220.02EE212(cos),ESt311121(coscos331 cos5),5ESttt230.01EE（1）N=1:（2）N=2:-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81第49頁/共202頁第五十頁，共202頁。911112111(coscos3cos5cos11)3511ES

25、tttt-0.5-0.4-0.3-0.2-0.100.10.20.30.40.5-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81第50頁/共202頁第五十一頁，共202頁。lim( )NNSf t 結論(jiln)第51頁/共202頁第五十二頁，共202頁。以周期(zhuq)矩形脈沖為例：只需修改上面程序(3.2.3節(jié))中函數(shù)CTFShchsym.m的內(nèi)容(nirng)，需注意：因周期信號頻譜是離散的，故在繪制頻譜時采用stem而非plot命令。諧波階數(shù)取還需用到MATLAB的反褶函數(shù)fliplr來實現(xiàn)(shxin)頻譜的反褶。 上機練習！( )(),nf tG tnT(1,

26、5)T60Nf 3.4.4 周期信號的MATLAB仿真實現(xiàn)第52頁/共202頁第五十三頁，共202頁。112Sa()nnEncaTT 對周期(zhuq)矩形脈沖信號，有t( )f t2212T12T1T1TE1T t( )f t22E3.5 非周期性信號(xnho)的頻譜3.5.1 從傅里葉級數(shù)(j sh)到傅里葉變換第53頁/共202頁第五十四頁，共202頁。1T 112T譜線間隔1T 1120T譜線間隔0 從物理概念考慮：信號的能量(nngling)存在，其頻譜分布的規(guī)律就存在。由于1,T 111j2121( )ed0TntTnFf ttT1從周期信號到非周期信號 從傅里葉級數(shù)(j sh)

27、到傅里葉變換第54頁/共202頁第五十五頁，共202頁。信號(xnho)的頻譜分布是不會隨著信號(xnho)的周期的無限增大而消失的。T 時，信號(xnho)的頻譜分布仍然存在。 結論(jiln)無限(wxin)多個無窮小量之和仍可等于一個有限量。11jj1( )ee2ntntnnnnf tFC 從數(shù)學角度來看：第55頁/共202頁第五十六頁，共202頁。所以，傅里葉級數(shù)(j sh)展開為：1j1( )()entnf tF n111j21121()( )edTntTF nf ttT111111111j1211012, , 0, 2 ()lim()limlim( )edTntTTTTTF nT

28、F nf tt 兩兩邊邊同同乘乘以以取取極極限限: :為頻譜密度(md)函數(shù)。11111j12122 ()( )limlim( )edTntTTTF nFf tt 定義(dngy)第56頁/共202頁第五十七頁，共202頁。周期信號：頻譜是離散的，且各頻率分量(fn ling)的復振幅 為有限值。nF非周期信號：頻譜是連續(xù)(linx)的，且各頻率分量的復振幅 為無限小量。()d2F 所以，對非周期信號來說，僅僅去研究那無限小量是沒有(mi yu)意義的，其頻譜不能直接引用復振幅的概念。！第57頁/共202頁第五十八頁，共202頁。(j )F( )f t2傅里葉逆變換怎樣用計算1111jj1jj

29、10(j)( )limelime11lim(j)e(j)ed22ntntnTTnnnttnFnf tFTFnF 第58頁/共202頁第五十九頁，共202頁。第59頁/共202頁第六十頁，共202頁。j( )( )edtFf tt 反變換(binhun)正變換(binhun)j1( )( )ed2tf tF !傅里葉變換對的形式并不唯一傅里葉變換存在的充分條件:( )dftt 用廣義函數(shù)的概念，允許奇異函數(shù)也能滿足上述條件，因而象階躍、沖激一類函數(shù)也存在傅里葉變換。第60頁/共202頁第六十一頁，共202頁。4傅里葉變換的另外幾種(j zhn)形式j2(j2)( )edftFff tt j2j2

30、1( )(j2 )ed(2 )2 (j2 )edf tf tf tFffFff j2()( )edftFff tt j2( )()edf tf tF ff 第61頁/共202頁第六十二頁，共202頁。j(j)( )2( )edtFF f tf tt 1j( )(j)(j)edtf tFFF j1(j)( )( )ed2tFFf tf tt 1j1( )(j)(j)ed2tf tFFF 第62頁/共202頁第六十三頁，共202頁。 本節(jié)主要介紹以下幾種典型的非周期信號的頻譜。1.單邊指數(shù)(zhsh)信號 6. 符號函數(shù)2. 雙邊指數(shù)(zhsh)信號 7. 沖激函數(shù)傅里葉變換對 3. 奇雙邊指數(shù)(

31、zhsh)信號 8. 沖激偶的傅里葉變換 4. 矩形脈沖信號 9. 階躍信號的傅里葉變換5. 鐘形脈沖信號 10. 復正弦信號 3.5.2 常見信號(xnho)的傅里葉變換第63頁/共202頁第六十四頁，共202頁。( )( ) (0)eatf tu ta單邊指數(shù)：（復函數(shù)）221()1(),j()arctanFaFaa （）其傅里葉變換(binhun)為：第64頁/共202頁第六十五頁，共202頁。利用傅里葉變換(binhun)定義公式jj0(j)(j)00()( )ed (0)eed11ede(j)jtattatatFf ttattaa 第65頁/共202頁第六十六頁，共202頁。( )(

32、 )(0)eatf tu taO1t時域波形221( )FaO1a12a3a單邊指數(shù)(zhsh)信號的頻譜如下：O2( )arctan()a 2頻域頻譜第66頁/共202頁第六十七頁，共202頁。( ) (0)ea tf ta偶雙邊指數(shù)：22222( )2( )( )0aFaaFa 其傅里葉變換(binhun)為：（正實函數(shù)(hnsh)）第67頁/共202頁第六十八頁，共202頁。利用(lyng)傅里葉變換定義公式求解(qi ji)過程jj0jj00(j)(j)022( )( )edeed e edeed11 ee(j )(j )112 , (0)jjatttattattatatFf tttt

33、taaaaaaa 第68頁/共202頁第六十九頁，共202頁。( ) (0)ea tf taO1t時域波形雙邊指數(shù)信號(xnho)的頻譜如下：頻域頻譜222( )aFaO2a1a3a相位( )0 第69頁/共202頁第七十頁，共202頁。( )(0)e,0e,0atf taattt奇雙邊指數(shù)：22222()2j(), ,02(),02FaFa （純虛函數(shù)）3. 奇雙邊指數(shù)信號(xnho)的傅里葉變換第70頁/共202頁第七十一頁，共202頁。頻域頻譜O202( )02 2O1aa222( )FaaO1t時域波形( )(0)e0e0atf tatatt，頻譜如下(rxi)：第71頁/共202頁第

34、七十二頁，共202頁。( ) ()()22f tE u tu t矩形脈沖：( )2( ), 20,( )0( ),( )0FE SaFE SaFF 4. 矩形脈沖信號的傅里葉變換實函數(shù)第72頁/共202頁第七十三頁，共202頁。21, 21fBf 時域有限(yuxin)的矩形脈沖信號，在頻域上是無限分布。常認為信號占有頻率范圍（頻帶B）為( ) ()()22f tE u tu tOt( )2FE Sa（）O226E-第73頁/共202頁第七十四頁，共202頁。2( )etf tE（ ）鐘形脈沖：5. 鐘形脈沖(michng)信號的傅里葉變換 （高斯脈沖(michng)）22( )eFE（）其傅

35、里葉變換(binhun)為：（正實函數(shù)(hnsh)）22( )( )0eFE （）第74頁/共202頁第七十五頁，共202頁。22( )eFE（）OE2eE因為鐘形脈沖信號(xnho)是一正實函數(shù)，所以其相位頻譜為零。2( )etf tE（ ）OtEeE時域波形頻域頻譜第75頁/共202頁第七十六頁，共202頁。010e,0sgn( )00lime,010atatattf ttttt，( )=，6. 符號(fho)函數(shù)的傅里葉變換2()jF；其傅里葉變換(binhun)為：2( ),02( ),02F （純虛數(shù)(xsh)函數(shù)）第76頁/共202頁第七十七頁，共202頁。sgn( ) tOt11

36、O( ) 22 符號函數(shù)不滿足絕對可積條件，但它卻存在傅里葉變換。 采用符號函數(shù)與雙邊指數(shù)(zhsh)衰減函數(shù)相乘，求出奇雙邊指數(shù)(zhsh)的頻譜，再取極限，從而求得符號函數(shù)的頻譜。O( )F第77頁/共202頁第七十八頁，共202頁。7. 沖激函數(shù)傅里葉變換(binhun)對直流信號(xnho)的傅里葉變換是沖激函數(shù))(21F)(2EEF1de)()()(jtttFFt21de)(21)(j1Ft！( )( )f tt第78頁/共202頁第七十九頁，共202頁。均勻譜或白色譜1O)(Ft)(to1)(tf1Ot)(2O第79頁/共202頁第八十頁，共202頁。8. 沖激(chn j)偶的傅

37、里葉變換 ( )( )f ttj1( )ed2ttjd( )1(j )edd2tttd( )( )jdFFTtt記為d ( )jdFTtt d( )(j )dnnnFTttd( )2(j)( )dnnnnFT t 同理，有第80頁/共202頁第八十一頁，共202頁。9. 階躍信號的傅里葉變換 11( )( )sgn( )22f tu tt11( ) sgn( )221 ( )jFFTFTt 2221( )( )F幅頻特性 0,0( )/2,0/2,0 相頻特性 u(t)Ot1)(FO第81頁/共202頁第八十二頁，共202頁。10復正弦(zhngxin)信號 j( )ectf tj1(1)ed

38、( )2 tIF Tt jjjedededtxttxjed2 ( )ttjj()(e)ed2 ()ccttcFTt tctje2 ()ctc jectc2的傅里葉變換為一位于且強度為的沖激函數(shù)。 結論(jiln)( )F 2Oc第82頁/共202頁第八十三頁，共202頁。升余弦脈沖信號的傅里葉變換 補充升余弦(yxin)脈沖信號：( )1 cos(), (0)2Etf tt其傅里葉變換(binhun)為：22sin()Sa()( )1 () 1 ()EEF（實數(shù)(shsh)）其頻譜由三項構成，均為矩形脈沖頻譜，只是有兩項沿頻率軸左、右平移了/( )f tOtE/2E222( )FO2EE34第

39、83頁/共202頁第八十四頁，共202頁。利用傅里葉變換定義(dngy)公式jjjj0jjj00( )( )ed1cos()ed2edeedeed244Sa()Sa() Sa() 22tttttttEtFf tttEEEtttEEE化簡得：求解(qi ji)過程22sin()Sa()( )1 () 1 ()EEF第84頁/共202頁第八十五頁，共202頁。3.5.3 MATLAB仿真(fn zhn)實現(xiàn)MATLAB數(shù)學工具箱Symbolic Math Toolbox提供了能直接求解傅氏變換(binhun)及逆變換(binhun)的函數(shù)fourier()和ifourier()。（1）傅里葉變換(

40、binhun)調用格式1）F=fourier(f) 2）F=fourier(f,v) 3）F=fourier(f,u,v) j(j )( )edvtFvf ttj(j )( )edvtFvf ut)(ff 第85頁/共202頁第八十六頁，共202頁。（2）傅里葉逆變換調用(dioyng)格式1）f=ifourier(F) 2）f=ifourier(F,u) 3）f=ifourier(F,v,u) 在調用fourier()和ifourier()之前，要用syms命令對所用到的變量進行說明，即將(jjing)這些變量說明成符號變量。對fourier()中的函數(shù)f及ifourier()中的函數(shù)F也要

41、用符號定義符syms將f或F說明為符號表達式；若f或F是MATLAB中的通用函數(shù)表達式，則不必用syms加以說明。 ！書中例題(lt)可上機練習第86頁/共202頁第八十七頁，共202頁。j1j( )( )( ) ( )( )ed1( ) ( )( )ed2Fttf tFFF f tf ttf tFF tF時間函數(shù) 頻譜某種運算 變化 變 化 運算關系建立對應借助基本性質 3.6 傅里葉變換(binhun)的性質1. 傅里葉變換(binhun)的唯一性傅里葉變換的唯一性表明(biomng)了信號的時域和頻域是一一對應的關系。 ！第87頁/共202頁第八十八頁，共202頁。2.對稱性（頻域、時域

42、呈現(xiàn)(chngxin)的對應關系）若 ，則( )( )Ff tF( )2 ()FF tfj() ( )( )( ) ( )( )ed12( )ed2 ()21()( ) ( )2 ()2FtjtFF tffF F tF ttF ttfffF tf 即證明證畢第88頁/共202頁第八十九頁，共202頁。如沖激(chn j)和直流函數(shù)的頻譜的對稱性就是一例子：！( )f t( )2 ( )F tf1( )()2F tf若 為偶函數(shù)，則 或 即f(t)為偶函數(shù)，則時域和頻域完全對稱。F()OOOOF(t)tt2 ( ) ( ) t（1）沖激函數(shù)第89頁/共202頁第九十頁，共202頁。（2）直流函數(shù)

43、(hnsh)( )f t/2t1O/2( )F2 2 O()2Sa( )F2c2c1O( )f t2 ct2cO()22cctSa2 c第90頁/共202頁第九十一頁，共202頁。attf e)(FTj1)(aF?j1)(1taFTF對稱性a fFe2)(2)(1t 換成f 換成F1換成t第91頁/共202頁第九十二頁，共202頁。21:1Ft求222ea taa2211e21112ee12tt例解第92頁/共202頁第九十三頁，共202頁。1 122j1 122jj1122( ) ( )( )( )( )( )ed( )ed( )edtttFF f tF a f ta f ta f ta f

44、 ttaf ttaf tt111 12211221 122112211111221122( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )a f ta f ta FFa FFF a f ta f ta F f ta F f tFa Fa Fa FFa FF證明(zhngmng)推論(tuln)第93頁/共202頁第九十四頁，共202頁。( ) ()() ()()22f tu tu tu tu t ()(/ 2)2()FSaSa 求 f(t) 的傅里葉變換(binhun)例( )f t/212t/2解第94頁/共202頁第九十五頁，共202頁。4. 奇偶虛實性無論 f (t

45、) 是實函數(shù)還是復函數(shù)，下面四式均成立:*( )()FT ftF*()( )FT ftF ( )( )FT f tF ()()FT ftF時域反摺頻域也反摺時域共軛頻域共軛并且反摺更廣泛地講，函數(shù)f(t)是t的復數(shù)；令12( )( )j( )ftftft虛部實部第95頁/共202頁第九十六頁，共202頁。()()j()FjRXj12j(j)( )( )edecosjsinttFf tftttt整理(zhngl)上式得出：12()( ) cos( ) sindRfttfttt21()( )sin( ) cosdXfttfttt 第96頁/共202頁第九十七頁，共202頁。 jecosjsin.

46、3ttt j1( )( j)ed. 12tftF ( j)( j)j(). 2FRX把式（2）、（3）代入式（1）整理(zhngl)得：11( )() co s() sin ()d2 ftRtXt 21( )() sin() cosd2 ftRtXt 第97頁/共202頁第九十八頁，共202頁。()( )cosd ,Rf tt t( )( )sindXf tt t 性質1 實數(shù)函數(shù) 設f(t)是t的實函數(shù),則 的實部與虛部將分別等于 f2(t)=0，f(t)=f1(t)，則有 ( )F特殊情況(qngkung)討論：從上式可以(ky)得出結論: *()( ) , ()( )( )( )j (

47、), ()( )j ( )()( )RRXXFRXFRXFF第98頁/共202頁第九十九頁，共202頁。)()()()(*FtfFTFtfFT實信號(xnho)的頻譜具有很重要的特點，正負頻率部分的頻譜是相互共軛的.特點(tdin)( )( )cosdj( )sindFf tt tf tt t( )()RR*()( )FF( )()XX偶函數(shù)奇函數(shù)第99頁/共202頁第一百頁，共202頁。性質(xngzh)2 虛函數(shù)設f(t)是純虛函數(shù)21( )j ( ),( )0f tf tf t則22()( ) sind()( ) cosdRftt tXftt t*()( )FF反之(fnzh)也正確.因

48、而 是 的奇函數(shù),而 是 的偶函數(shù)。( )R( )X第100頁/共202頁第一百零一頁，共202頁。j( )( )ed( )cosdj( )sindtFf ttf tt tf tt t0()( )cosd2( )cosd ()0Rf tt tf tt tX性質(xngzh)3 實偶函數(shù)實偶函數(shù)的傅里葉變換(binhun)仍為實偶函數(shù)結論(jiln)反之，若一實函數(shù)f(t)的傅里葉積分也是實函數(shù)，則f(t)必是偶函數(shù)。推論( )()f tft設f(t)是t的實偶函數(shù)，則第101頁/共202頁第一百零二頁，共202頁。( )e()tf tt 例222()F()0 解tOf(t)F()tO第102頁

49、/共202頁第一百零三頁，共202頁。性質(xngzh)4 奇實函數(shù) 設f(-t)=-f(t) ，則：(j )0R0()( )sind2( )sindXf tt tf tt t 01( )()sindf tXt 反之，若一實函數(shù)(hnsh)f(t)付里葉積分是一純虛函數(shù)(hnsh)，則f(t)必是奇函數(shù)(hnsh)。實奇函數(shù)的傅里葉變換(binhun)則為虛奇函數(shù)結論推論()( ) cosd0Rf tt t()( )sindXf tt t 第103頁/共202頁第一百零四頁，共202頁。(0)2( )(0)2 222()Fe(0)( )e(0)atattf tt222 j()F例解tOf(t)

50、O|F()|OF()O()/2-/2第104頁/共202頁第一百零五頁，共202頁。同理可以(ky)推出：若 是虛函數(shù)且還是(hi shi)偶函數(shù)，則 的傅里葉變換為虛偶函數(shù)。性質(xngzh)5：性質6：若 是虛函數(shù)且還是奇函數(shù)，則 的傅里葉變換為實奇函數(shù)。( )f t( )f t( )f t( )f t讀者可以仿照性質3、性質4給予簡單證明第105頁/共202頁第一百零六頁，共202頁。eoeeoo00eo00 ( )( )( ) ( )(), f ( )()()2( )cosd , ()2( )sind11( )()cosd, ( )()sindf tftftftRtXRftt tXft

51、t tftRtftXt eojeo()( )( )ed( ) cosdj( )sindtFftfttftt tftt t如果將 按照奇偶來劃分( )f t第106頁/共202頁第一百零七頁，共202頁。( )Re ( )jIm ( )FFF而eo ( )Re ( ), ( )jIm ( )f tFf tF12()( )cos( )sindRf ttfttt21()( )sin( ) cosdXfttfttt 11( )()cos()sind2f tRtXt21( )()sin() cosd2ftRtXt第107頁/共202頁第一百零八頁，共202頁。f(t)F( () )實實一般一般實部偶、虛

52、部奇、幅頻偶、相頻奇實部偶、虛部奇、幅頻偶、相頻奇偶偶實部偶實部偶奇奇虛部奇虛部奇虛虛偶偶虛部偶虛部偶奇奇實部奇實部奇第108頁/共202頁第一百零九頁，共202頁。5. 尺度(chd)變換特性時間(shjin)波形的擴展和壓縮,將影響頻譜的波形對于一個(y )實常數(shù)a ，其關系為1( )()()()ftFfa tFaa-j ()()edtF f atf att令x=at，則dx=adt ，代入上式可得則證明時域壓縮則頻域展寬；展寬時域則頻域壓縮。結論j11()( )ed( j)xaFTf atfxxFaaa第109頁/共202頁第一百一十頁，共202頁。時域中的壓縮(y su)（擴展）等于頻

53、域中的擴展（壓縮(y su)）f(t/2)縮tO縮f(2t)/4縮/4tO縮11(/2)2F/24 4 展展O)2(2F2展展O第110頁/共202頁第一百一十一頁，共202頁。尺度變換(binhun)變換(binhun)后語音信號的變化 f (t) f (1.5t) f (0.5t)0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 一段語音(yyn)信號(“對了”) 。抽樣頻率 =22050Hzf(t)f(t/2)f(2t)例第111頁/共202頁第一百一十二頁，共202頁

54、。j1( )( )ed2( )d(0)tf tFF fff定義若高度為 的矩形與 的面積相等，則稱矩形寬度為等效頻帶寬度 。 (0)F( )F f等效頻帶寬度若高度為 的矩形與 的面積相等，則稱矩形寬度為等效脈沖寬度 。 (0)f( )f t等效脈沖寬度j()( )ed( )d(0)tFf ttf ttF第112頁/共202頁第一百一十三頁，共202頁。(0 )(0 )(0 )(0 )ffFFBf1fB信號的等效(dn xio)脈沖寬度和占有的等效(dn xio)頻帶寬度成反比。 結論(jiln)第113頁/共202頁第一百一十四頁，共202頁。(2) 脈寬頻寬常數(shù)(1) 函數(shù) f(at) 表

55、示函數(shù) f(t) 在時間刻度上壓縮a倍，同樣 表示函數(shù)在頻率刻度上擴展a倍，因此比例性表明，在時間域的壓縮等于在頻率域中的擴展反之亦然(/ )Fa上述反比(fnb)特性的物理意義：第114頁/共202頁第一百一十五頁，共202頁。6. 時移特性(txng)若 則( )()F TftF0j0()()etFTf ttF證明(zhngmng)000j()jjj( )( )ede( )ede( )x tttxFT f xf xxf xxF0 xtt 令則0j0()e( )tFTf ttF第115頁/共202頁第一百一十六頁，共202頁。同理可推得：帶有尺度變換(binhun)的時移特性j00()()e

56、d(0)tFTf attf attta0j01()()etaFTf attFaa000j()0jjj1 ()( )ed11e( )ede()x tattxaaaFT f attf xxaf xxFaaa0 xatt令0()/txtaa 0時加絕對值第116頁/共202頁第一百一十七頁，共202頁。單矩形脈沖 的頻譜為有如下(rxi)三脈沖信號：其頻譜為0()f t0( )()2FE Sa000( )( )()()f tftftTftTjj00()()(1ee)()(12 cos)()(12 cos)2TTFFFTESaT求三脈沖信號的頻譜例解第117頁/共202頁第一百一十八頁，共202頁。7

57、. 頻移特性(txng)( )( )FT f tF0j0 ( )e()tFT f tF0j0 ( )e()tFT f tF000jjjj()0 ( )e( )eed( )ed()ttttFT f tf ttf ttF 證明(zhngmng)第118頁/共202頁第一百一十九頁，共202頁。0001( ) cos()()2fttFF000j( ) sin()()2fttFF( )()f tF1()()()cos2f tTf tTFT若則同理可得第119頁/共202頁第一百二十頁，共202頁。矩形脈沖信號f(t)與余弦信號cos0 t 相乘后信號的頻譜函數(shù)。(j )()4FASa000)0011

58、( )cosj()j()22(1222F f ttFFASaASa 利用頻移特性可得寬度為 的矩形脈沖信號對應的頻譜函數(shù)為例解第120頁/共202頁第一百二十一頁，共202頁。0A2/ tt2/ t -)(tfoF()F()o0 02/ tAt2/t -t tfcos)(0第121頁/共202頁第一百二十二頁，共202頁。（1）時域（2）頻域，則 ( )( )FT f tF若d ( )j( )df tFTFtd( )(j )( )dnnnf tFTFt( )( )FTf tF d ( )j( )dFTFtf t d( j )( )( )dnFTnntf tF 若 ，則證明(zhngmng)（略

59、）第122頁/共202頁第一百二十三頁，共202頁。122( )( )( )( )/ j( )( )/(j ) ( )( )/(j )nnf tFftFftFftF 9. 積分(jfn)特性 ( )( )FT f tF若（1）時域積分(jfn)則( )( )d (0) ( )jtFFTfF , 則(0)0F若第123頁/共202頁第一百二十四頁，共202頁。(2) 頻域積分(jfn) ( )( )FT f tF若則( ) (0) ( )( )djf tftFt第124頁/共202頁第一百二十五頁，共202頁。11( )( )FT f tF若22,( )( )FT ftF則1212( )*( )

60、( )( )FT f tf tFF可簡記為11221212( )( )( )( )( )( )( )( )LLLf tFf tFf tf tFF第125頁/共202頁第一百二十六頁，共202頁。j1212j2121( )( )( )( )ed( )( )ed( )( )ttF f tf tfFtFftFF證明(zhngmng)j1212j12( )( )( )()d ed( )()ed dttF f tf tff ttff ttjj22()ed( )etf ttF式中第126頁/共202頁第一百二十七頁，共202頁。（2）頻域卷積定理11( )( )FT f tF若22,( )( )FT ft