大學(xué)物理第三章

1、1 1 質(zhì)心質(zhì)心 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理2 2 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理及動(dòng)量守恒質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理及動(dòng)量守恒3 3 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理和機(jī)械能守恒質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理和機(jī)械能守恒4 4 質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理和角動(dòng)量守恒5 5* * 有心力作用下的運(yùn)動(dòng)有心力作用下的運(yùn)動(dòng)mrmmmmrmrmrmrin1iii21ii2111C n 個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，其質(zhì)心的位矢：個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，其質(zhì)心的位矢：質(zhì)心的位置：以質(zhì)量為質(zhì)心的位置：以質(zhì)量為權(quán)重的權(quán)重的加權(quán)平均加權(quán)平均。質(zhì)質(zhì)心可心可看作整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的代表看作整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系的代表點(diǎn)，系統(tǒng)的全部質(zhì)量點(diǎn)，系統(tǒng)的全部質(zhì)量 m，動(dòng)量動(dòng)量P都集中在它上

2、面。都集中在它上面。1m2m3mcr1r2r3rCOxyzxCyCzC質(zhì)心：質(zhì)心：特殊的幾何特殊的幾何點(diǎn)點(diǎn)C C, ,運(yùn)動(dòng)與運(yùn)動(dòng)與質(zhì)點(diǎn)間的相互作用力無(wú)關(guān)質(zhì)點(diǎn)間的相互作用力無(wú)關(guān)，其其運(yùn)動(dòng)代表了質(zhì)點(diǎn)系的整體運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng)代表了質(zhì)點(diǎn)系的整體運(yùn)動(dòng)。一一. . 質(zhì)心質(zhì)心質(zhì)點(diǎn)系：具有相互作用的質(zhì)點(diǎn)系：具有相互作用的若干質(zhì)點(diǎn)若干質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)。組成的系統(tǒng)。mxmxin1iiCmymyin1iiCmzm in1iiCzmxmd1Cxmymd1CymzmzCd1對(duì)質(zhì)量連續(xù)分布的物體：對(duì)質(zhì)量連續(xù)分布的物體：對(duì)質(zhì)量離散分布的體系：對(duì)質(zhì)量離散分布的體系：mrmrin1iiC(1)質(zhì)心不是質(zhì)點(diǎn)位矢的平均值，而是質(zhì)心不是質(zhì)點(diǎn)位

3、矢的平均值，而是加權(quán)平均加權(quán)平均值，與值，與m有關(guān)有關(guān).說(shuō)明：說(shuō)明：推論：推論：質(zhì)量均勻分布的物體，其質(zhì)心就在物體的幾何中心質(zhì)量均勻分布的物體，其質(zhì)心就在物體的幾何中心. (2)質(zhì)心的位矢與坐標(biāo)原點(diǎn)的選取有關(guān)，但質(zhì)心的位矢與坐標(biāo)原點(diǎn)的選取有關(guān)，但質(zhì)心與體系各質(zhì)質(zhì)心與體系各質(zhì)點(diǎn)的相對(duì)位置與坐標(biāo)原點(diǎn)的選取無(wú)關(guān)點(diǎn)的相對(duì)位置與坐標(biāo)原點(diǎn)的選取無(wú)關(guān).質(zhì)心質(zhì)心是質(zhì)點(diǎn)系全部質(zhì)量和動(dòng)量的集中點(diǎn)；是質(zhì)點(diǎn)系全部質(zhì)量和動(dòng)量的集中點(diǎn)；重心重心是重力的合力的作用點(diǎn)是重力的合力的作用點(diǎn). 質(zhì)心的意義比重心的意義更廣泛更基本質(zhì)心的意義比重心的意義更廣泛更基本.(3) 質(zhì)心與重心的區(qū)別質(zhì)心與重心的區(qū)別mrmrin1iiC水分子

4、水分子 H2O 的結(jié)構(gòu)如圖的結(jié)構(gòu)如圖. 每每個(gè)氫原子和氧原子之間距離均個(gè)氫原子和氧原子之間距離均為為 d = 1.010 -10 m, 氫原子氫原子 和氧原子和氧原子 兩條連線間的夾角兩條連線間的夾角為為= 104.6.求水分子質(zhì)心求水分子質(zhì)心OHHoxyCdd52.3o52.3o 解解: 由于氫原子對(duì)由于氫原子對(duì) x 軸對(duì)稱，故軸對(duì)稱，故 yC = 0 .代入數(shù)據(jù) xC = 6.810-12 mirCm108 . 612HOHHOHiiniiCmmm.dmm.dmmxmx737sin0737sin1均勻直桿的質(zhì)心均勻直桿的質(zhì)心 一根長(zhǎng)為L(zhǎng)的勻質(zhì)直桿一端放在原點(diǎn)，另一端放在x=L處桿的質(zhì)量線密

5、度為，求質(zhì)心的位置dxOxxL解桿質(zhì)點(diǎn)系中建立如圖坐標(biāo)系取任一質(zhì)元（線元dx）ddmx線元dx坐標(biāo)位置為x質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)心的位置200dd/22ddLcLxxx mLLxLmx進(jìn)一步思考桿的質(zhì)量分布 = aaxx或 桿的質(zhì)心位置？d求半徑為求半徑為 R ,質(zhì)量面密度為質(zhì)量面密度為的勻質(zhì)半薄球殼的質(zhì)心的勻質(zhì)半薄球殼的質(zhì)心.RdRsinRxyRcosO解解選如圖所示的坐標(biāo)系選如圖所示的坐標(biāo)系在半球殼上取一如圖圓環(huán)在半球殼上取一如圖圓環(huán)dRdRsinRxyRcosO 圓環(huán)的面積圓環(huán)的面積dsin2dRRs由于球殼關(guān)于由于球殼關(guān)于y 軸對(duì)稱，故軸對(duì)稱，故xc= 0dsin2d2Rm 圓環(huán)的質(zhì)量圓環(huán)的質(zhì)量my

6、md1CyRycosdRdRsinRxyRcosO2dsincos20RRCy所以所以jRrC2其質(zhì)心位矢：其質(zhì)心位矢：222dsin2RRy3.1.2 質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)心的速度dd1ddciciimtmtrr質(zhì)心的加速度dd1ddciciimtmtaiiicmmiiicmmaa對(duì)質(zhì)點(diǎn)系中各個(gè)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)用牛頓第二定律對(duì)質(zhì)點(diǎn)系中各個(gè)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)用牛頓第二定律.表示系統(tǒng)內(nèi)的質(zhì)點(diǎn)表示系統(tǒng)內(nèi)的質(zhì)點(diǎn)j對(duì)對(duì)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)i的相互作用力的相互作用力intijF且且 iciiimmmFa iiiiiciiimmmFaaa質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理 例題例題 三名質(zhì)量相等的運(yùn)動(dòng)員手拉手脫離飛機(jī)作花樣三名質(zhì)量相等的運(yùn)動(dòng)員

7、手拉手脫離飛機(jī)作花樣跳傘跳傘.由于作了某種動(dòng)作，運(yùn)動(dòng)員由于作了某種動(dòng)作，運(yùn)動(dòng)員D 質(zhì)心加速度為質(zhì)心加速度為 鉛直向下；運(yùn)動(dòng)員鉛直向下；運(yùn)動(dòng)員 A 質(zhì)心加速度為質(zhì)心加速度為 ，與鉛直方向，與鉛直方向成成 ，加速度均以地球?yàn)閰⒖枷?，加速度均以地球?yàn)閰⒖枷?求運(yùn)動(dòng)員求運(yùn)動(dòng)員B 的的質(zhì)心加速度質(zhì)心加速度. 運(yùn)動(dòng)員所在高度的重力加速度為運(yùn)動(dòng)員所在高度的重力加速度為g. 不計(jì)空不計(jì)空氣阻力氣阻力.g54g5630 AAaDDaBBa解解 將三運(yùn)動(dòng)員簡(jiǎn)化為質(zhì)點(diǎn)系，受外力只有重力，將三運(yùn)動(dòng)員簡(jiǎn)化為質(zhì)點(diǎn)系，受外力只有重力，W表表示各運(yùn)動(dòng)員所受重力示各運(yùn)動(dòng)員所受重力. 建立直角坐標(biāo)系，建立直角坐標(biāo)系，m表示各運(yùn)動(dòng)

8、表示各運(yùn)動(dòng)員質(zhì)量，根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，員質(zhì)量，根據(jù)質(zhì)心運(yùn)動(dòng)定理，mrmrmrmtmtrmWDBAc3dd3dd332222 gaaaDBA3 表示各運(yùn)動(dòng)員質(zhì)心的加速度表示各運(yùn)動(dòng)員質(zhì)心的加速度.將上式投影將上式投影DBAaaa,gggayB330cos5654 030sin56 gaxBAAaDDaBBaxyOWWWgayB)3311(51 0227arctan ByBxaa 得得gaxB53 gaaayxBBB31. 122 AAaDDaBBaxyOWWW3.2.1 3.2.1 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量iicimmP零動(dòng)量參照系零動(dòng)量參照系（質(zhì)心系）（質(zhì)心系）質(zhì)心作為參照系質(zhì)心作為參照系 其中質(zhì)

9、心的速度始終為零其中質(zhì)心的速度始終為零質(zhì)心系看來(lái)：質(zhì)心系看來(lái)： 質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)量始終為零質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)量始終為零0c0ciiimmP質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量dd1ddciciiiiicmtmtmmrr質(zhì)心的速度質(zhì)心的速度3.2.2 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理 動(dòng)量守恒動(dòng)量守恒質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理1m2m12F21F1F2F)()(d)(20210122112121vvvvmmmmtFFtt20222212d)(21vvmmtFFtt10111121d)(21vvmmtFFtt因?yàn)閮?nèi)力因?yàn)閮?nèi)力02112 FF0ppIniiiiniittmmtF101ex21dvv由質(zhì)心

10、運(yùn)動(dòng)定理ddd()dciciciimmtmtFaFm 常數(shù)()dd()icitmF合外力的沖量合外力的沖量= =質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量變量質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量變量?jī)?nèi)力的作用對(duì)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量無(wú)貢獻(xiàn)內(nèi)力的作用對(duì)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量無(wú)貢獻(xiàn)0()dtiiiiitiiimmtFi()dtdiPF0IPP0()dtiixiixixiiitmmFt0()dtiiyiiyiyiiitmmFt0()dtiiziiziziiitmmFt分量式質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量定理注意注意內(nèi)力不改變質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量?jī)?nèi)力不改變質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)量gbm2m000bgvv初始速度初始速度則則00pbgvv20p推開(kāi)后速度推開(kāi)后速度 且方向相反且方向相反 則則推開(kāi)前后系統(tǒng)動(dòng)

11、量不變推開(kāi)前后系統(tǒng)動(dòng)量不變0pp幾點(diǎn)說(shuō)明幾點(diǎn)說(shuō)明 (1)只有外力對(duì)體系的總動(dòng)量變化有貢獻(xiàn)，內(nèi)力對(duì)只有外力對(duì)體系的總動(dòng)量變化有貢獻(xiàn)，內(nèi)力對(duì)體系的總動(dòng)量變化沒(méi)有貢獻(xiàn)，但內(nèi)力對(duì)動(dòng)量在體體系的總動(dòng)量變化沒(méi)有貢獻(xiàn)，但內(nèi)力對(duì)動(dòng)量在體系內(nèi)部的分配是有作用的系內(nèi)部的分配是有作用的.是過(guò)程量是過(guò)程量,積分效果積分效果 tFId.動(dòng)動(dòng)量量改改變變(2)(3) 動(dòng)量定理既適于質(zhì)點(diǎn)又適于質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理既適于質(zhì)點(diǎn)又適于質(zhì)點(diǎn)系. (4)動(dòng)量定理只適用于慣性系動(dòng)量定理只適用于慣性系, 對(duì)非慣性系，還應(yīng)對(duì)非慣性系，還應(yīng)計(jì)入慣性力的沖量計(jì)入慣性力的沖量.(5)動(dòng)量定理是矢量式動(dòng)量定理是矢量式,應(yīng)用時(shí)可用沿坐標(biāo)軸的應(yīng)用時(shí)可用沿坐

12、標(biāo)軸的分量分量式式求解求解, 如如 x 軸分量式軸分量式tpFixiixd)d( xxiixpptFtt00d)( 質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒質(zhì)點(diǎn)系受合外力為零時(shí)質(zhì)點(diǎn)系受合外力為零時(shí)質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒=iiimP恒矢量質(zhì)點(diǎn)系某方向受外力為零時(shí)質(zhì)點(diǎn)系某方向受外力為零時(shí)0 ixxiixiiFPmC 0 iyyiiyiiFPmC 0 izziiziiFPmC 在外力矢量在外力矢量和為零的方和為零的方向上向上, ,質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量不變動(dòng)量不變. .1）質(zhì)點(diǎn)系總動(dòng)量與內(nèi)力無(wú)關(guān)，內(nèi)力的作用僅改變總動(dòng)量質(zhì)點(diǎn)系總動(dòng)量與內(nèi)力無(wú)關(guān)，內(nèi)力的作用僅改變總動(dòng)量在各質(zhì)點(diǎn)之間的分配，而不能改變系統(tǒng)的總動(dòng)量在各質(zhì)

13、點(diǎn)之間的分配，而不能改變系統(tǒng)的總動(dòng)量.2）在所涉及的時(shí)間內(nèi)，系統(tǒng)內(nèi)力遠(yuǎn)大于外力，則外力的在所涉及的時(shí)間內(nèi)，系統(tǒng)內(nèi)力遠(yuǎn)大于外力，則外力的沖量可以忽略不計(jì)沖量可以忽略不計(jì)3）動(dòng)量定理和動(dòng)量守恒定律動(dòng)量定理和動(dòng)量守恒定律都是都是相對(duì)于同一慣性系相對(duì)于同一慣性系而言的而言的注意注意 一質(zhì)量為一質(zhì)量為m1 1的平板車長(zhǎng)為的平板車長(zhǎng)為L(zhǎng)，可自由地沿光滑水平直軌運(yùn)動(dòng)，可自由地沿光滑水平直軌運(yùn)動(dòng)，車的一端站有一質(zhì)量為車的一端站有一質(zhì)量為m2 2的小孩，如圖所示起始時(shí)，車與小孩的小孩，如圖所示起始時(shí)，車與小孩都靜止不動(dòng)，試求：都靜止不動(dòng)，試求：1 1）當(dāng)小孩以相對(duì)于車的速度當(dāng)小孩以相對(duì)于車的速度v 跑向車的另一

14、端時(shí)，車的速度？跑向車的另一端時(shí)，車的速度？2 2）當(dāng)小孩跑到車的另一端時(shí)，車子移動(dòng)了多少距離？）當(dāng)小孩跑到車的另一端時(shí)，車子移動(dòng)了多少距離？例例設(shè)車對(duì)地的速度為設(shè)車對(duì)地的速度為v，小孩對(duì)地的速度為，小孩對(duì)地的速度為v + v系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒系統(tǒng)水平方向動(dòng)量守恒解解Lm2m1x12()0mmvvv212mmm vv車的速度為車的速度為20012ddttmttmm vv1）2）0dttLv小孩在車上移動(dòng)距離小孩在車上移動(dòng)距離2012dtmxtLmm v車移動(dòng)距離為車移動(dòng)距離為3.2.3 變質(zhì)量問(wèn)題舉例變質(zhì)量問(wèn)題舉例一、火箭速度和推進(jìn)力一、火箭速度和推進(jìn)力v+dv(對(duì)地面對(duì)地面)時(shí)刻時(shí)刻t+d

15、t主體質(zhì)量主體質(zhì)量u(對(duì)主體對(duì)主體)dm噴出燃料噴出燃料m-dm系統(tǒng)系統(tǒng): :火箭主體火箭主體+ +噴出的燃料噴出的燃料系統(tǒng)在系統(tǒng)在t t時(shí)刻與時(shí)刻與t+dtt+dt時(shí)刻的動(dòng)量守恒時(shí)刻的動(dòng)量守恒(d )(d )d ()mvmm vvm vudd0mu mv略去二階小量ddmvum過(guò)程過(guò)程tt+dt系統(tǒng)系統(tǒng)(主體主體+ +燃料燃料) m主體主體 m-d-dm噴出燃料噴出燃料dm速度（對(duì)地）速度（對(duì)地）vv+dvv-u動(dòng)量動(dòng)量mv(m-d-dm)(v+dv)dm(v-u)ddmm 火箭00dvmvmmdvum 火箭火箭質(zhì)量火箭質(zhì)量m0m火箭速度火箭速度 v0 v水平推進(jìn)過(guò)程中火箭的速度為水平推進(jìn)過(guò)

16、程中火箭的速度為00lnmumvvv: 提高火箭的質(zhì)量比或增大噴氣速度提高火箭的質(zhì)量比或增大噴氣速度u以噴出的燃料以噴出的燃料dm為研究對(duì)象為研究對(duì)象dt 時(shí)間內(nèi)的動(dòng)量變化率時(shí)間內(nèi)的動(dòng)量變化率為燃料受火箭力為燃料受火箭力d ()dddmumFutt dt 時(shí)間內(nèi)的時(shí)間內(nèi)的火箭受噴射燃料的火箭受噴射燃料的推進(jìn)力推進(jìn)力ddmFut推進(jìn)力推進(jìn)力ddmvum 火箭二、落鏈問(wèn)題二、落鏈問(wèn)題研究系統(tǒng)研究系統(tǒng)：t時(shí)刻已落地的時(shí)刻已落地的l-x長(zhǎng)度部分鏈條長(zhǎng)度部分鏈條 +將要落地的將要落地的-dx長(zhǎng)度為部分鏈條長(zhǎng)度為部分鏈條過(guò)程過(guò)程tt+dt系統(tǒng)系統(tǒng)(將要落地將要落地) -dx（已經(jīng)落地）（已經(jīng)落地）- -d

17、 dx速度（對(duì)地）速度（對(duì)地）0動(dòng)量動(dòng)量02 ()g lx dx() d(d )( )dFlx gtp ttp tx 系統(tǒng)受到桌面系統(tǒng)受到桌面向上的支持力向上的支持力 F和重力和重力 ( (l-x)g)g質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理ddxt v2()2 ()Flx glx gv3 ()Flx g求鏈條對(duì)地面的壓力隨下落長(zhǎng)度求鏈條對(duì)地面的壓力隨下落長(zhǎng)度x的變化的變化例例 一長(zhǎng)為一長(zhǎng)為 l、密度均勻的柔軟鏈條，其單位長(zhǎng)度的質(zhì)密度均勻的柔軟鏈條，其單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為量為 將其卷成一堆放在地面上將其卷成一堆放在地面上 若手提鏈條的一若手提鏈條的一端端 ， 以勻速以勻速 v 將其上提當(dāng)一端被提離地面高度為

18、將其上提當(dāng)一端被提離地面高度為 y 時(shí)，時(shí)，求求手的提力手的提力 解解 取地面參考系取地面參考系, 鏈條為系統(tǒng)鏈條為系統(tǒng).在在 t 時(shí)刻鏈條動(dòng)量時(shí)刻鏈條動(dòng)量jytpv)(jjtytp2ddddvvygF2vyyoFyg動(dòng)量定理動(dòng)量定理問(wèn)題舉例問(wèn)題舉例例例 一柔軟鏈條長(zhǎng)為一柔軟鏈條長(zhǎng)為l，單位長(zhǎng)度單位長(zhǎng)度的質(zhì)量為的質(zhì)量為，鏈條放在有一小孔，鏈條放在有一小孔的桌上，鏈條一端由小孔稍伸下，的桌上，鏈條一端由小孔稍伸下，其余部分堆在小孔周圍由于某其余部分堆在小孔周圍由于某種擾動(dòng)，鏈條因自身重量開(kāi)始下種擾動(dòng)，鏈條因自身重量開(kāi)始下落。落。m1m2Oyy求鏈條下落速度求鏈條下落速度v與與y之間的關(guān)系設(shè)各處摩

19、擦均之間的關(guān)系設(shè)各處摩擦均不計(jì)，且認(rèn)為鏈條軟得可以自由伸開(kāi)不計(jì)，且認(rèn)為鏈條軟得可以自由伸開(kāi) 解解 以豎直懸掛的鏈條和以豎直懸掛的鏈條和桌面上的鏈條為一系統(tǒng)，建立桌面上的鏈條為一系統(tǒng)，建立坐標(biāo)系坐標(biāo)系由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理得由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量定理得ddF tp1Fm gyg則則)d(d vytyg)d()d(dvvymptddvyyg m1m2Oyytddvyyg 兩邊同乘以兩邊同乘以 則則 yydvvvyyyyyygyddddd2tvvvyyyyyyg002dd21 32gyv232131vygy m1m2Oyy柯尼希定理：柯尼希定理：質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)質(zhì)點(diǎn)系相對(duì)慣性系慣性系的動(dòng)能的動(dòng)能，等于等于質(zhì)質(zhì)點(diǎn)系的點(diǎn)系的

20、質(zhì)心動(dòng)能和質(zhì)心動(dòng)能和相對(duì)其質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能之和。相對(duì)其質(zhì)心運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能之和。柯尼希定理柯尼希定理221122kCiiEmvmv質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)能質(zhì)點(diǎn)系的總動(dòng)能212kiiiEm各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能之和各個(gè)質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能之和kCkEE,int212kEm質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能為質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能為一、一、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能vi是質(zhì)點(diǎn)是質(zhì)點(diǎn)i相對(duì)相對(duì)于質(zhì)心的速度于質(zhì)心的速度二、二、 質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理BBint22BAAA11dd22iiijiiiiij immFrFrvv對(duì)第對(duì)第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)個(gè)質(zhì)點(diǎn)Bext,extAdFriiiiiAA對(duì)于整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系對(duì)于整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系外力的總功外力的總功Bintint,intAdFriij

21、iiij iAA內(nèi)力的總功內(nèi)力的總功2kAA12iiiEmv2kBB12iiiEmvextintkBkAAAEE系統(tǒng)初動(dòng)能系統(tǒng)初動(dòng)能系統(tǒng)末動(dòng)能系統(tǒng)末動(dòng)能質(zhì)點(diǎn)系：狀態(tài)質(zhì)點(diǎn)系：狀態(tài)A A到到B B質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理定理系統(tǒng)總動(dòng)能的增量系統(tǒng)總動(dòng)能的增量= =所有外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)系所做的功所有外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)系所做的功+ +內(nèi)力對(duì)質(zhì)點(diǎn)系所做的功之和內(nèi)力對(duì)質(zhì)點(diǎn)系所做的功之和內(nèi)力作用：動(dòng)量守恒，動(dòng)能改變內(nèi)力作用：動(dòng)量守恒，動(dòng)能改變每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)都可以寫(xiě)出這樣一個(gè)方程，然后疊加。每一個(gè)質(zhì)點(diǎn)都可以寫(xiě)出這樣一個(gè)方程，然后疊加。質(zhì)點(diǎn)系質(zhì)點(diǎn)系1m2m12F21F1F2F一鏈條總長(zhǎng)為一鏈條總長(zhǎng)為L(zhǎng)，質(zhì)量為，質(zhì)量為m放在桌面

22、上并使其下垂，下垂的長(zhǎng)度放在桌面上并使其下垂，下垂的長(zhǎng)度為為a，設(shè)鏈條與桌面的滑動(dòng)摩擦因數(shù)為，設(shè)鏈條與桌面的滑動(dòng)摩擦因數(shù)為 ，令鏈條從靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，令鏈條從靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，求：（求：（1 1）到鏈條離開(kāi)桌面的過(guò)程中，摩擦力對(duì)鏈條做了多少功？）到鏈條離開(kāi)桌面的過(guò)程中，摩擦力對(duì)鏈條做了多少功？（2 2）鏈條離開(kāi)桌面時(shí)的速率是多少？）鏈條離開(kāi)桌面時(shí)的速率是多少？f()/Fmg lxl解解鏈條與桌面摩擦鏈條與桌面摩擦fd()dFrllFaamgAlxxl摩擦力做功摩擦力做功221()()22lamgmglxxlall 1 1）l - xxOx坐標(biāo)選取如圖坐標(biāo)選取如圖2 2）f2201122GFAAAmm

23、vv整個(gè)鏈條的動(dòng)能定理整個(gè)鏈條的動(dòng)能定理00v212GFAAmvdlGaAWr重力做功重力做功2222()()1222mg lamg lamllv代入功能原理代入功能原理12222()()glalalv212GFAAmvl - xxOx坐標(biāo)選取如圖坐標(biāo)選取如圖22()d2lamgmg lax xll3.3.2 一對(duì)內(nèi)力的功一對(duì)內(nèi)力的功一對(duì)內(nèi)力的功一對(duì)內(nèi)力的功zxyOdr11r1r22dr2int12Fint21Fintint212121ddFrFr一對(duì)內(nèi)力一對(duì)內(nèi)力int12Fint21F位移位移d dr1 1 、d dr2 2 系統(tǒng)內(nèi)任意二質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)內(nèi)任意二質(zhì)點(diǎn)1 1、2 2 intintint

24、2121212121dddFrFrFr2121rrr質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)1 1、2 2相對(duì)位移相對(duì)位移 一對(duì)內(nèi)力的功可寫(xiě)成一對(duì)內(nèi)力的功可寫(xiě)成一對(duì)內(nèi)力的功一對(duì)內(nèi)力的功與與1、2質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)位移有關(guān)相對(duì)位移有關(guān)，與參照系的選擇，與參照系的選擇無(wú)關(guān)無(wú)關(guān)。一對(duì)內(nèi)力的功等于其中一個(gè)質(zhì)點(diǎn)所受的力與該質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于一對(duì)內(nèi)力的功等于其中一個(gè)質(zhì)點(diǎn)所受的力與該質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于另一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的元位移的標(biāo)積另一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的元位移的標(biāo)積。結(jié)論：結(jié)論：內(nèi)力的功之和：內(nèi)力的功之和：int2121d()Frr滑塊滑塊A A置于光滑的水平面上置于光滑的水平面上, ,物體物體B B放在滑塊放在滑塊A A上，假設(shè)滑塊上，假設(shè)滑塊A A足夠長(zhǎng)現(xiàn)用外力足夠長(zhǎng)現(xiàn)用外

25、力F拉動(dòng)拉動(dòng)A A由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng), ,則則B在在A上滑動(dòng)，上滑動(dòng)，A、B間的滑動(dòng)摩擦因數(shù)為間的滑動(dòng)摩擦因數(shù)為. .若若B在在A上向后相對(duì)滑動(dòng)的距離上向后相對(duì)滑動(dòng)的距離為為l設(shè)設(shè)A、B的質(zhì)量分別為的質(zhì)量分別為mma a、mmb b. .求在此過(guò)程中求在此過(guò)程中A、B間間的一對(duì)摩擦力所做的功之和為多少？的一對(duì)摩擦力所做的功之和為多少？AB以地面為參考系以地面為參考系 設(shè)設(shè)A A滑動(dòng)的距離為滑動(dòng)的距離為S解1cosAf SfSfS B滑塊對(duì)地滑塊對(duì)地 移動(dòng)移動(dòng)S-l 摩擦力摩擦力f做功做功 2()()cos0()AfSlf Slf Sl()ff 這對(duì)摩擦力做功這對(duì)摩擦力做功 12()A

26、AfSf Slfl 一對(duì)摩擦力所做的功之和等于其中一個(gè)物體所受的摩擦力乘一對(duì)摩擦力所做的功之和等于其中一個(gè)物體所受的摩擦力乘以兩個(gè)物體之間的相對(duì)位移以兩個(gè)物體之間的相對(duì)位移, ,且且始終為負(fù)值始終為負(fù)值一對(duì)摩擦力所做的功一對(duì)摩擦力所做的功如圖如圖，質(zhì)量為質(zhì)量為m0的卡車載一質(zhì)量為的卡車載一質(zhì)量為m的木箱，以速率的木箱，以速率v 沿水平路面行駛沿水平路面行駛. 因故突然剎車，車輪立即停止轉(zhuǎn)動(dòng)，因故突然剎車，車輪立即停止轉(zhuǎn)動(dòng)，卡車滑行一定距離卡車滑行一定距離L后靜止，木箱在卡車上相對(duì)于卡車后靜止，木箱在卡車上相對(duì)于卡車滑行了滑行了l 距離距離. 求求L和和l. 已知木箱與卡車間的摩擦系數(shù)為已知木箱

27、與卡車間的摩擦系數(shù)為 1 ,卡車與地面的動(dòng)摩擦因數(shù)為卡車與地面的動(dòng)摩擦因數(shù)為 2 .lLFNF1NFfFW2NFfF 1W解解 1.用質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理求解用質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理求解受力受力分析如圖，只有力分析如圖，只有力 , 和和 做功做功 fFfF F根據(jù)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理得根據(jù)質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理得 210)(201211vmLWWW211210)(mvlLW卡車卡車木箱木箱lLgmmmvmL)( 2/10220 Lgvl 122/ 2.用質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)定理求解用質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)定理求解 視卡車與木箱為一質(zhì)點(diǎn)系視卡車與木箱為一質(zhì)點(diǎn)系 gLmmA)(02 外外)3( )(21)(20021vmmgLmmmgl mglA1 內(nèi)內(nèi)

28、按質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)定理，有按質(zhì)點(diǎn)系運(yùn)動(dòng)定理，有 (2)(3)聯(lián)立得與上法相同結(jié)果聯(lián)立得與上法相同結(jié)果. )2( 210)(211mvlLW 3.3.3 保守力的功 勢(shì)能rermmGF2( (1) ) 萬(wàn)有引力作功萬(wàn)有引力作功作功的特點(diǎn)作功的特點(diǎn) 對(duì)對(duì) 的萬(wàn)有引力為的萬(wàn)有引力為mmm移動(dòng)移動(dòng) 時(shí)，時(shí)， 作元功為作元功為 FrdddGAFrrermmGrd2rrrdrdmmABArBr2dBArGrmmAGrrrrererrdcosdd11()GBAAGm mrr2ddBGrAmmAFrGerrm從從A到到B的過(guò)程中的過(guò)程中作功：作功： FrrrdrdmmABArBr與路徑無(wú)關(guān)與路徑無(wú)關(guān) j yi xr

29、ddd)(ABmgymgyjmgP2 ） 重力作功重力作功ABAyByPoxyrdDCymgrPWBAyyBAdd A與路徑無(wú)關(guān)與路徑無(wú)關(guān) ikxF( (3) ) 彈性力作功彈性力作功2211ddxxkxxAF xkx x)2121(2122kxkx ddkAkx x 與路徑無(wú)關(guān)與路徑無(wú)關(guān) AxBxFxoF保守力保守力: 力所作的功與路徑無(wú)關(guān)力所作的功與路徑無(wú)關(guān)，僅決定于相互作用質(zhì)點(diǎn)的，僅決定于相互作用質(zhì)點(diǎn)的始末始末相對(duì)相對(duì)位置位置 .ADBACBrFrFd d ABCD物體沿物體沿閉合閉合路徑運(yùn)動(dòng)路徑運(yùn)動(dòng) 一周時(shí)一周時(shí), 保守力對(duì)它所作的功等于零保守力對(duì)它所作的功等于零 .非保守力非保守力:

30、 力所作的功與路徑有關(guān)。（例如力所作的功與路徑有關(guān)。（例如摩擦摩擦力）力）BDAACBlrFrFrFd d d0d lrF在任意點(diǎn)受保守力的作用，在任意點(diǎn)受保守力的作用，質(zhì)點(diǎn)從質(zhì)點(diǎn)從A-BA-B，所做的功所做的功與路與路徑無(wú)關(guān)，而只與這兩點(diǎn)的位徑無(wú)關(guān)，而只與這兩點(diǎn)的位置有關(guān)。可引入一個(gè)置有關(guān)?？梢胍粋€(gè)只與位只與位置有關(guān)置有關(guān)的狀態(tài)函數(shù)，的狀態(tài)函數(shù)，A A點(diǎn)的函點(diǎn)的函數(shù)值減去數(shù)值減去B B點(diǎn)的函數(shù)值，定義點(diǎn)的函數(shù)值，定義為從為從A-BA-B保守力所做的功，保守力所做的功，該狀態(tài)函數(shù)就是該狀態(tài)函數(shù)就是勢(shì)能勢(shì)能。AB三勢(shì)能三勢(shì)能三勢(shì)能三勢(shì)能系統(tǒng)的狀態(tài)系統(tǒng)的狀態(tài),與質(zhì)點(diǎn)位置有關(guān)的能量與質(zhì)點(diǎn)位置有關(guān)的

31、能量.)2121(22ABkxkxW彈力彈力功功)()(ABrmmGrmmGW引力引力功功)(ABmgymgyW重力重力功功彈性彈性勢(shì)能勢(shì)能2p21kxE引力引力勢(shì)能勢(shì)能rmmGEp重力重力勢(shì)能勢(shì)能mgzE pp2p1P()cAEEE 保守力的功保守力的功0),(pp0d),(EzyxrFzyxE00pE令令 勢(shì)能計(jì)算勢(shì)能計(jì)算pp0p()cAEEE 保守力作正功保守力作正功-勢(shì)能減少勢(shì)能減少 2.勢(shì)能具有勢(shì)能具有相對(duì)性相對(duì)性，勢(shì)能勢(shì)能大小大小與勢(shì)能與勢(shì)能零點(diǎn)零點(diǎn)的選的選取取有關(guān)在講到勢(shì)能時(shí)，必須指有關(guān)在講到勢(shì)能時(shí)，必須指 明零位置才明零位置才有意義。有意義。),(ppzyxEE 1.勢(shì)能是勢(shì)能

32、是狀態(tài)的函數(shù)狀態(tài)的函數(shù)4.勢(shì)能是屬于保守力相互作用著的整個(gè)勢(shì)能是屬于保守力相互作用著的整個(gè)系統(tǒng)的系統(tǒng)的，實(shí)質(zhì)就是一種相互作用能。實(shí)質(zhì)就是一種相互作用能。討論討論3.勢(shì)能差與勢(shì)能零點(diǎn)選取無(wú)關(guān)。勢(shì)能差與勢(shì)能零點(diǎn)選取無(wú)關(guān)。只與位置有關(guān)。只與位置有關(guān)。pEyOmgyEp彈性彈性勢(shì)能曲線勢(shì)能曲線0, 0pEx重力重力勢(shì)能曲線勢(shì)能曲線0, 0pEy引力引力勢(shì)能曲線勢(shì)能曲線0,pErxOpE2p21kxExOpErmmGEp勢(shì)能曲線勢(shì)能曲線:由勢(shì)能函數(shù)確定的勢(shì)能隨坐標(biāo)變化的曲線。由勢(shì)能函數(shù)確定的勢(shì)能隨坐標(biāo)變化的曲線。 例例 物體物體A、B，質(zhì)量分別為質(zhì)量分別為 mA、mB，用彈簧相用彈簧相連，放在光滑水平面

33、上。彈簧原長(zhǎng)為連，放在光滑水平面上。彈簧原長(zhǎng)為 l0 ，彈性系數(shù)為，彈性系數(shù)為k?，F(xiàn)將彈簧拉長(zhǎng)到?，F(xiàn)將彈簧拉長(zhǎng)到 l 后無(wú)初速釋放，求當(dāng)彈簧恢復(fù)后無(wú)初速釋放，求當(dāng)彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)物體原長(zhǎng)時(shí)物體 A、B 的速度，彈簧質(zhì)量不計(jì)。的速度，彈簧質(zhì)量不計(jì)。BAAByxmAgFmBgvAvBFNAFNBF 作受力圖。質(zhì)點(diǎn)系包含兩個(gè)質(zhì)點(diǎn)A、B由于質(zhì)點(diǎn)位移在水平方向，外力不作功；但兩質(zhì)點(diǎn)間的距離是可變的，故內(nèi)力F、F所做的功不為零。設(shè)當(dāng)彈簧恢復(fù)原長(zhǎng)時(shí)物體A、B的速度分別為 vA、vB，方向如圖示。由動(dòng)能定理：解：解：2022)(llkvmvmBBAA即由質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)量守恒得0BBAAvmvm2220110()()0

34、222AABBkllmm )()(0llmmmkmvBAABA)()(0llmmmkmvBABAB聯(lián)立解之得平臺(tái)的質(zhì)量平臺(tái)的質(zhì)量 m = 30 kg，固連在剛度系數(shù)固連在剛度系數(shù) k = 18 N/mm的彈性支承上?，F(xiàn)在從平衡位置給平臺(tái)以向下的初速的彈性支承上?，F(xiàn)在從平衡位置給平臺(tái)以向下的初速度度v0 = 5 m /s，求平臺(tái)由這位置下沉的最大距離，求平臺(tái)由這位置下沉的最大距離s ，以以及彈性支承中承受的最大力，假設(shè)平臺(tái)作平動(dòng)。及彈性支承中承受的最大力，假設(shè)平臺(tái)作平動(dòng)。例例1= ss2= s+sv0v2=0mgF解：解： 取平臺(tái)為研究對(duì)象。從平衡位置取平臺(tái)為研究對(duì)象。從平衡位置A1(圖圖a)運(yùn)

35、動(dòng)到最運(yùn)動(dòng)到最大下沉位置大下沉位置A2(圖圖b)，平臺(tái)的初動(dòng)能平臺(tái)的初動(dòng)能 Ek1=mv02/2 ，而末動(dòng)能而末動(dòng)能 Ek2=0 。彈簧的初變形彈簧的初變形 1= s=mg/k，末變末變形形 2= s+s ，作用在平臺(tái)上的力有重力作用在平臺(tái)上的力有重力mg 和彈性和彈性力力 F(圖圖c)。1= ss2= s+sv0v2=0mgF根據(jù)動(dòng)能定理的積分形式由此求得平臺(tái)的最大下沉距離彈性支承有最大壓縮量2= s+s ,故承受的最大壓力Fmax = k(s+s ) = mg + ks = 4 kN s = 204 mm它們的總功為1= ss2= s+sv0v2=0mgF22S2S2)(2skskmgsW

36、2202210skmv3.3.4 機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒系統(tǒng)狀態(tài)從系統(tǒng)狀態(tài)從A A到到B BextA外力對(duì)系統(tǒng)做功外力對(duì)系統(tǒng)做功int,cA系統(tǒng)保守內(nèi)力做功系統(tǒng)保守內(nèi)力做功int,ncA系統(tǒng)系統(tǒng)非非保守內(nèi)力做功保守內(nèi)力做功質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理int,int,kBkAextcncAAAEEint,pBpA()cAEE 質(zhì)點(diǎn)系的保守內(nèi)力做正功質(zhì)點(diǎn)系的保守內(nèi)力做正功 系統(tǒng)勢(shì)能減少系統(tǒng)勢(shì)能減少int,kBpBkApA()()extncAAEEEEint,AextncBAAEE系統(tǒng)的總動(dòng)能和勢(shì)能之系統(tǒng)的總動(dòng)能和勢(shì)能之和稱為系統(tǒng)的機(jī)械能和稱為系統(tǒng)的機(jī)械能E E系統(tǒng)所受的外力的功和非保守內(nèi)力的功之

37、和等于系統(tǒng)機(jī)械能的增量系統(tǒng)所受的外力的功和非保守內(nèi)力的功之和等于系統(tǒng)機(jī)械能的增量功能原理功能原理孤立系統(tǒng)孤立系統(tǒng) int,0ncA0extApApBkBkAEEEE能量守恒定律：能量守恒定律：對(duì)一個(gè)與自然界對(duì)一個(gè)與自然界無(wú)無(wú)任何聯(lián)系的系統(tǒng)任何聯(lián)系的系統(tǒng)來(lái)說(shuō)來(lái)說(shuō), , 系統(tǒng)內(nèi)各種形式的能量系統(tǒng)內(nèi)各種形式的能量可以可以相互轉(zhuǎn)換，但是不相互轉(zhuǎn)換，但是不論如何轉(zhuǎn)換，能量既論如何轉(zhuǎn)換，能量既不能產(chǎn)生不能產(chǎn)生，也不能消滅。，也不能消滅。機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒若系統(tǒng)非保守內(nèi)力做功為零若系統(tǒng)非保守內(nèi)力做功為零int,AextncBAAEEABEE機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒定律機(jī)械能守恒定律:只有保守內(nèi)力作功

38、的情況下，質(zhì)點(diǎn)系只有保守內(nèi)力作功的情況下，質(zhì)點(diǎn)系的機(jī)械能保持不變的機(jī)械能保持不變 . 下列各物理量中，與參照系有關(guān)的物下列各物理量中，與參照系有關(guān)的物理量是哪些？理量是哪些？ （不考慮相對(duì)論效應(yīng)）（不考慮相對(duì)論效應(yīng)） 1）質(zhì)量質(zhì)量 2）動(dòng)量動(dòng)量 3）沖量沖量 4）動(dòng)能動(dòng)能 5）勢(shì)能勢(shì)能 6） 功功答：答：動(dòng)量、動(dòng)能、功動(dòng)量、動(dòng)能、功 。討討 論論 守恒定律的守恒定律的意義意義 不究過(guò)程細(xì)節(jié)而能對(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)下結(jié)論，這是各不究過(guò)程細(xì)節(jié)而能對(duì)系統(tǒng)的狀態(tài)下結(jié)論，這是各個(gè)守恒定律的特點(diǎn)和優(yōu)點(diǎn)個(gè)守恒定律的特點(diǎn)和優(yōu)點(diǎn) . 解解: 由牛頓第二定律和萬(wàn)有由牛頓第二定律和萬(wàn)有引力定律引力定律E22EE2)2(Rm

39、RmmGavavbvERER4abo 例例 已知地球的半徑為已知地球的半徑為 RE 6.4103 km, 今有質(zhì)量為今有質(zhì)量為 m = 3.0103 kg 的人造地球衛(wèi)星從半徑為的人造地球衛(wèi)星從半徑為 2 RE 的圓形軌的圓形軌道上道上 , 經(jīng)如圖所示的半橢圓形軌道上的點(diǎn)經(jīng)如圖所示的半橢圓形軌道上的點(diǎn) a 變軌至半徑變軌至半徑為為 4RE 的另一個(gè)圓形軌道點(diǎn)的另一個(gè)圓形軌道點(diǎn) b上上. 點(diǎn)點(diǎn) a 和點(diǎn)和點(diǎn) b 處的橢圓處的橢圓軌道與圓軌道的切線相切軌道與圓軌道的切線相切. 試問(wèn)試問(wèn): 衛(wèi)星完成了變軌過(guò)程后獲衛(wèi)星完成了變軌過(guò)程后獲得了多少能量得了多少能量 ?avbvERER4aboEEE2412

40、21mgRRmmGmEaavgRmGE2E 2/1E)2/(gmav已知已知：RE 6.4103 km , m = 3.0103 kg E22EE2)2(RmRmmGavEEE281421mgRRmmGmEbbvE81mgRE J 1035. 210解：解：本題分為三個(gè)過(guò)程本題分為三個(gè)過(guò)程2 .泥球與盤(pán)碰撞（動(dòng)量守恒）泥球與盤(pán)碰撞（動(dòng)量守恒）Vmmm)(v2/2ghVvgh2v1 . 泥球下落（機(jī)械能守恒）泥球下落（機(jī)械能守恒）221vmmgh 例例 一輕彈簧懸掛一金屬盤(pán)，彈簧伸一輕彈簧懸掛一金屬盤(pán)，彈簧伸長(zhǎng)長(zhǎng) ,一個(gè)質(zhì)量和盤(pán)相同的泥球，從高于一個(gè)質(zhì)量和盤(pán)相同的泥球，從高于盤(pán)盤(pán) 處?kù)o止下落盤(pán)上

41、，處?kù)o止下落盤(pán)上，求求盤(pán)向下運(yùn)動(dòng)的盤(pán)向下運(yùn)動(dòng)的最大距離最大距離 .cm101lcm30hL1lmmyhL21212)(2121)2()2(21lLkklgLmVm0300202LL1/lmgk 10,30Lcm30L3 . 泥球與盤(pán)一快下落泥球與盤(pán)一快下落（機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒）ghV2122/2ghVv1lmmyhL0pE3.3.5 兩體碰撞兩體碰撞1 102201 122mmmmvvvv22221 1221 1022011112222kEmmmmvvvv動(dòng)量守恒動(dòng)量守恒機(jī)械能損失機(jī)械能損失一般碰撞一般碰撞CpFFiiinex 碰撞碰撞 兩物體互相接觸時(shí)間極短而互作用力較大兩物體互相接觸時(shí)間

42、極短而互作用力較大的相互作用的相互作用 .CEEE2k1kk 完全彈性碰撞完全彈性碰撞 兩物體碰撞之后，兩物體碰撞之后， 它們的動(dòng)能之它們的動(dòng)能之和不變和不變 .211020evvvv牛頓碰撞定律牛頓碰撞定律01e一般非彈性碰撞0e 完全非彈性碰撞1e 完全彈性碰撞e：分離速度與接近速度比值碰撞碰撞恢復(fù)系數(shù)恢復(fù)系數(shù)例例 當(dāng)小球從一定高度當(dāng)小球從一定高度h自由下落自由下落，測(cè)得其反跳高度為測(cè)得其反跳高度為h ，如圖如圖（a）所示根據(jù)測(cè)量值計(jì)算小球與地面的恢復(fù)系數(shù)所示根據(jù)測(cè)量值計(jì)算小球與地面的恢復(fù)系數(shù)hhv10v1（a）（b）以向下為正以向下為正v10為小球落到地面的速度為小球落到地面的速度（碰撞

43、前與地面的接近速度）（碰撞前與地面的接近速度）v1為小球彈起的速度為小球彈起的速度（碰后與地面的分離速度）（碰后與地面的分離速度）11101000evvvv1012,2ghghvv110hehvv解解1m2m1m2m1020121 102201 122mmmm動(dòng)量守恒動(dòng)量守恒1 102201 122xxxxmmmm1 102201 122yyyymmmm完全彈性完全彈性碰撞碰撞22221 102201 12211112222mmmm一般的非彈性碰撞，只要給定碰后質(zhì)點(diǎn)速度的方位，一般的非彈性碰撞，只要給定碰后質(zhì)點(diǎn)速度的方位，問(wèn)題也可以求解問(wèn)題也可以求解二維碰撞二維碰撞分量形式分量形式解：設(shè)碰撞后

44、兩球速度解：設(shè)碰撞后兩球速度21vvv 由動(dòng)量守恒由動(dòng)量守恒21vv,兩邊平方兩邊平方22212122vvvvv由機(jī)械能守恒（勢(shì)能無(wú)變化）由機(jī)械能守恒（勢(shì)能無(wú)變化）22212vvv 021 vv兩球速度總互相垂直兩球速度總互相垂直 在平面兩相同的球做二維完全彈性碰撞，其中一球開(kāi)始時(shí)在平面兩相同的球做二維完全彈性碰撞，其中一球開(kāi)始時(shí) 處于靜止?fàn)顟B(tài)，另一球速度處于靜止?fàn)顟B(tài)，另一球速度 。 求證：碰撞后兩球速度總互相垂直。求證：碰撞后兩球速度總互相垂直。vm11vm2h 例例1 沖擊擺是一種測(cè)定子彈速率的裝置沖擊擺是一種測(cè)定子彈速率的裝置. 木塊的質(zhì)木塊的質(zhì)量為量為 m2 , 被懸掛在細(xì)繩的下端被懸

45、掛在細(xì)繩的下端. 有一質(zhì)量為有一質(zhì)量為 m1 的子彈的子彈以速率以速率 v1 沿水平方向射入木塊中后沿水平方向射入木塊中后 , 子彈與木塊將一子彈與木塊將一起擺至高度為起擺至高度為 h 處處. 試求此子彈射入木塊前的速率試求此子彈射入木塊前的速率. 解解 第第一一過(guò)程子彈與木過(guò)程子彈與木快碰撞動(dòng)量守恒快碰撞動(dòng)量守恒22111)(vvmmmghmmmm)()(21212221v2/ 11211)2( ghmmm v 第第二二過(guò)程子彈、木塊過(guò)程子彈、木塊一塊運(yùn)動(dòng)機(jī)械能守恒一塊運(yùn)動(dòng)機(jī)械能守恒 例例 2 設(shè)有兩個(gè)質(zhì)量分別為設(shè)有兩個(gè)質(zhì)量分別為 和和 , 速度分別速度分別為為 和和 的彈性小球作對(duì)心碰撞的

46、彈性小球作對(duì)心碰撞 , 兩球的速度方兩球的速度方向相同向相同. 若碰撞是完全彈性的若碰撞是完全彈性的, 求碰撞后的速度求碰撞后的速度 和和 . 20v2m1m10v1v2v2211202101vvvvmmmm 解解 取速度方向?yàn)檎颍蓜?dòng)取速度方向?yàn)檎颍蓜?dòng)量守恒定律得量守恒定律得由機(jī)械能守恒定律得由機(jī)械能守恒定律得2222112202210121212121vvvvmmmmA1m2m10v20vB1v2vAB碰前碰前碰后碰后)()(20221101vvvvmm（1）若）若21mm 則則102201 , vvvv（2）若）若且且0 20v12mm 則則0 , 2101vvv討討 論論2120

47、2102112)(mmmmmvvv21101201222)(mmmmmvvvA1m2m10v20vB1v2vAB碰前碰前碰后碰后3.4.1 質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)系對(duì)定點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)系對(duì)定點(diǎn)O的角動(dòng)量的角動(dòng)量L= =各質(zhì)點(diǎn)對(duì)定點(diǎn)各質(zhì)點(diǎn)對(duì)定點(diǎn)O的角動(dòng)量之的角動(dòng)量之矢量矢量和和dddiiLLL質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量的變化質(zhì)點(diǎn)系角動(dòng)量的變化ddtiiLMd(d )()diiiittLMMiiMM質(zhì)點(diǎn)系所受的對(duì)質(zhì)點(diǎn)系所受的對(duì)O O點(diǎn)的總力矩點(diǎn)的總力矩ddtLM質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理iiiiiiiiivmrprLL 質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)i對(duì)定點(diǎn)對(duì)定點(diǎn)O的角動(dòng)量的角動(dòng)量iimiripiriLvzxyO1r1r22dr12

48、int21Fint12Fintintintint11222112121212()0rFrFrrFrF任一對(duì)內(nèi)力對(duì)定點(diǎn)任一對(duì)內(nèi)力對(duì)定點(diǎn)OO的力矩為零的力矩為零intint1221 FF質(zhì)點(diǎn)系中質(zhì)點(diǎn)系中，一對(duì)內(nèi)力矩之和總是為零一對(duì)內(nèi)力矩之和總是為零總力矩就只是總力矩就只是外力矩的矢量和外力矩的矢量和-合外力矩合外力矩iiMrF2121dtttLLM一段有限過(guò)程一段有限過(guò)程對(duì)同一個(gè)固定點(diǎn)對(duì)同一個(gè)固定點(diǎn)O O，質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量的增量，質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量的增量= =合外力矩的沖量合外力矩的沖量ddtLM即質(zhì)點(diǎn)系對(duì)給定點(diǎn)即質(zhì)點(diǎn)系對(duì)給定點(diǎn)(參考點(diǎn)參考點(diǎn))的角動(dòng)量的時(shí)間變化率的角動(dòng)量的時(shí)間變化率等于作用在體等于作用

49、在體系上系上所有外力所有外力對(duì)該點(diǎn)對(duì)該點(diǎn)力矩矢量和力矩矢量和.tLMdd內(nèi)力對(duì)定點(diǎn)內(nèi)力對(duì)定點(diǎn)O的力矩的力矩質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量定理3.4.2 質(zhì)點(diǎn)系的角動(dòng)量守恒對(duì)定點(diǎn)對(duì)定點(diǎn)OO：作用于質(zhì)點(diǎn)系的合外力矩為零作用于質(zhì)點(diǎn)系的合外力矩為零 質(zhì)點(diǎn)系對(duì)質(zhì)點(diǎn)系對(duì)OO點(diǎn)的角動(dòng)量守恒點(diǎn)的角動(dòng)量守恒0MiiLL恒矢量角動(dòng)量矢量的方向角動(dòng)量矢量的方向固定和數(shù)值不變固定和數(shù)值不變對(duì)對(duì)z軸軸：作用于質(zhì)點(diǎn)系：作用于質(zhì)點(diǎn)系對(duì)對(duì)z z軸的外力矩代數(shù)和為零軸的外力矩代數(shù)和為零 質(zhì)點(diǎn)系對(duì)質(zhì)點(diǎn)系對(duì)z軸軸的角動(dòng)量守恒的角動(dòng)量守恒0zM zziiLL常量角動(dòng)量角動(dòng)量沿沿z z軸的軸的值值不變不變ddtLM角動(dòng)量守恒是自然界

50、的普遍規(guī)律角動(dòng)量守恒是自然界的普遍規(guī)律從天體運(yùn)動(dòng)到亞原子粒子的運(yùn)動(dòng)，都未發(fā)現(xiàn)反例。從天體運(yùn)動(dòng)到亞原子粒子的運(yùn)動(dòng)，都未發(fā)現(xiàn)反例。角動(dòng)量守恒角動(dòng)量守恒與與動(dòng)量守恒動(dòng)量守恒及及機(jī)械能轉(zhuǎn)換與守恒定律機(jī)械能轉(zhuǎn)換與守恒定律并并稱為稱為三大守恒定律三大守恒定律，這三大守恒定律的成立有著深，這三大守恒定律的成立有著深刻的內(nèi)在原因：由運(yùn)動(dòng)的時(shí)空屬性決定的?？痰膬?nèi)在原因：由運(yùn)動(dòng)的時(shí)空屬性決定的。 如圖所示，兩個(gè)質(zhì)量均為m的質(zhì)點(diǎn)，用一根長(zhǎng)為2a的質(zhì)量可忽略不計(jì)的輕桿相連，構(gòu)成一個(gè)簡(jiǎn)單的質(zhì)點(diǎn)系兩質(zhì)點(diǎn)繞固定軸 Oz 以勻角速度轉(zhuǎn)動(dòng)，軸線通過(guò)桿的中點(diǎn)O并與桿的夾角為，求質(zhì)點(diǎn)系對(duì)O點(diǎn)的角動(dòng)量例例1 1OOzaamABL兩質(zhì)

51、點(diǎn)兩質(zhì)點(diǎn)A A、B B對(duì)對(duì)OO點(diǎn)的角動(dòng)量點(diǎn)的角動(dòng)量方向相同，大小相等方向相同，大小相等解122LLma22sinma2( sin )am a 例例2 2如圖所示，在光滑水平面上，一勁度系數(shù)為如圖所示，在光滑水平面上，一勁度系數(shù)為k的輕質(zhì)彈簧一端固定，的輕質(zhì)彈簧一端固定，另一端連接一質(zhì)量為另一端連接一質(zhì)量為m1的小球的小球1 1，最初小球，最初小球1 1靜止，彈簧為自然長(zhǎng)度靜止，彈簧為自然長(zhǎng)度l0另一質(zhì)量為另一質(zhì)量為m2的小球的小球2 2沿垂直于靜止彈簧軸線的方向與小球沿垂直于靜止彈簧軸線的方向與小球1 1發(fā)生發(fā)生碰撞，碰后二小球粘在一起運(yùn)動(dòng)求當(dāng)彈簧長(zhǎng)度為碰撞，碰后二小球粘在一起運(yùn)動(dòng)求當(dāng)彈簧長(zhǎng)度

52、為l時(shí)，二小球一起時(shí)，二小球一起運(yùn)動(dòng)的速度大小以及運(yùn)動(dòng)方向與彈簧軸線方向的夾角運(yùn)動(dòng)的速度大小以及運(yùn)動(dòng)方向與彈簧軸線方向的夾角 O 021解解1 1、2 2兩小球和彈簧組成系統(tǒng)兩小球和彈簧組成系統(tǒng)a a）碰撞過(guò)程中，系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒碰撞過(guò)程中，系統(tǒng)的角動(dòng)量守恒碰撞前后小球的速度均垂直于彈簧的軸線方向碰撞前后小球的速度均垂直于彈簧的軸線方向20 0120sin90()sin90mlmml設(shè)設(shè)碰撞后碰撞后兩兩小球的速度小球的速度為為v b)b)碰后二小球共同運(yùn)動(dòng)，始終受到彈力總是指向碰后二小球共同運(yùn)動(dòng)，始終受到彈力總是指向O，二小球?qū)Γ∏驅(qū)的角動(dòng)量守恒的角動(dòng)量守恒(1)12012()sin90()sinmmlmml(2)c)c)彈簧力為保守內(nèi)力彈簧力為保守內(nèi)力 過(guò)程中系統(tǒng)的機(jī)械能守恒過(guò)程中系統(tǒng)的機(jī)械能守恒2