基于U模型的非線性控制

1、1234目 錄51. 1. 基于基于U U模型的控制方法模型的控制方法2. U2. U模型描述（模型描述（1 1） 1 ,1 ,y tfy ty tnu tu tne te tn y t u ttn f e t2. U2. U模型描述（模型描述（2 2） f 01Mjjjy tU tt ute tMU1u t jt 2 ,1 ,1 ,jtu tu tny ty tne te tn2. U2. U模型描述（模型描述（3 3）2. U2. U模型描述（模型描述（4 4） 2230.1 0.910.310.410.6121111y tyte ty tu tututy te tee ttU 21302

2、3111u tutU ttttt utUtytet2. U2. U模型描述（模型描述（4 4） 2230.1 0.910.310.410.6121111y tyte ty tu tututy te tee ttU 213023111u tutU ttttt utUtytet 201230.1 0.911 ,0.31 ,0.41 ,0.612tyte tte tty tty te t 01U模型的表達形式比自回歸平均滑動模型和哈密爾頓等模型更實用。02U模型與幾乎所有平滑非線性離散時間輸入-輸出動態(tài)模型兼容，映射是可逆的。03幾乎所有的輸入-輸出非線性系統(tǒng)的采樣數(shù)據(jù)表達方式可以具有式（2）的形式

3、，因此可以輕松地獲得非線性系統(tǒng)的離散時間模型。04控制模型存在一個當(dāng)前的多項式結(jié)構(gòu)，用該結(jié)構(gòu)表示的多項式模型可以將線性系統(tǒng)的設(shè)計方法直接擴展到非線性控制系統(tǒng)，從而簡化了控制器的計算復(fù)雜性。3. 3. 極點配置控制器極點配置控制器 RU tTr tSy t3. 3. 極點配置控制器設(shè)計（極點配置控制器設(shè)計（1 1）11101101nnnmmmlllRqrqrTt qt qtSs qs qs 1cccTTy tr tr tRSARSATA為了使輸出的被控量穩(wěn)態(tài)誤差為零, y t r tcA3.1 3.1 極點配置控制器設(shè)計（極點配置控制器設(shè)計（2 2）cARST U t 0101111111jjk

4、MjjjkkMjjjututt utU tututdt utdu t 3.2 3.2 實例實例21 2ya yauuyay 圖1 參考輸入為三角波時的系統(tǒng)輸出圖2 參考輸入為正弦波時的系統(tǒng)輸出基于U模型的廣義預(yù)測控制以受控自回歸積分滑動平均模型表示的線性動態(tài)系統(tǒng)為被控對象，可描述一類非平穩(wěn)擾動，而且由于將積分作用納入控制律中，可以保證系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差為零。4. 4. 廣義預(yù)測控制廣義預(yù)測控制4. 4. 廣義預(yù)測控制廣義預(yù)測控制4.1 4.1 時刻的預(yù)測輸出（時刻的預(yù)測輸出（1 1）11111jjjzRzzSz111,111,01, deg1, deg0,1,2,jijj ijijjjRzr zR

5、zjSzsSzjPP ，為最大預(yù)測時域kj 111111jjjzRzy kRzU kRzk 1y kU kk4.1 4.1 時刻的預(yù)測輸出（時刻的預(yù)測輸出（1 1）11111jjjzRzzSz111,111,01, deg1, deg0,1,2,jijj ijijjjRzr zRzjSzsSzjPP ，為最大預(yù)測時域kj 111111jjjzRzy kRzU kRzk 11111jjjjzSzy kRzU kRzk 1111jjjy kRzU kRzkSzy kj 1111jjjy kjRzU kjRzkjSzy k 1y kU kk4.1 4.1 時刻的預(yù)測輸出（時刻的預(yù)測輸出（2 2） 1

6、11Pjjykj kRzU kjSzy k1Pjy kjykj kRzkjkj 1111jjjRzU kjy kjRzkSzkjyj步導(dǎo)前最優(yōu)預(yù)測輸出預(yù)測誤差4. 2 Diophantine4. 2 Diophantine方程的遞推解（方程的遞推解（1 1）11111jjjzRzzSz11111111jjjzRzzSz11211,11,21,111,01,jjjjjjjjRzrzrzrzSzs 1111111110jjjjjzRzRzzz SzSz111,011,jijj ijjiRzr zSzs 4. 2 Diophantine4. 2 Diophantine方程的遞推解（方程的遞推解（2

7、2）111111111jjjjjzSzz SzRzRzz112111,11,21,j 11,1jjjjjjjjRzrzrzrzrz 1111111110jjjjjzRzRzzz SzSz1121,1,2,11jjjjj jRzr zr zrz 1,1111,0,1,1jij ijjjjjrrijRzRzrz4. 2 Diophantine4. 2 Diophantine方程的遞推解（方程的遞推解（2 2）111111111jjjjjzSzz SzRzRzz112111,11,21,j 11,1jjjjjjjjRzrzrzrzrz 1111111110jjjjjzRzRzzz SzSz1121,

8、1,2,11jjjjj jRzr zr zrz 1,1111,0,1,1jij ijjjjjrrijRzRzrz11111111,111111,111111,111jjjjjjjjjjjjjjjjzSzz SzRzRzrzzrzSzz SzSzz Szrz4. 2 Diophantine4. 2 Diophantine方程的遞推解（方程的遞推解（3 3）11111,1jjjjSzz Szrz111,0jjSzs1,01,1,0,01,1,01,1,1jjjjjjjjjjjjjjz srzszszrrz srr1,01,1,0jjjjjjsrrs1,1111,0,1,1jij ijjjjjrri

9、jRzRzrz1,0,0111,0jjjjjjssRzRzsz4. 2 Diophantine4. 2 Diophantine方程的遞推解（方程的遞推解（4 4）11111111zRzz Sz111111zz Sz 11111jjjzRzzSz111Sz111,1jR z4. 3 4. 3 多步最優(yōu)預(yù)測輸出（多步最優(yōu)預(yù)測輸出（1 1） 1111111PykkRzU kSzy kU kSzy k 1122112,1212,1221111PykkRzU kSzy kr zU kSzy kU krU kSzy k j 111Pjjykj kRzU kjSzy k1P1111,jjjjjRzRzrz

10、11331213,13,2313,13,23321221PykkRzU kSzy kr zr zU kSzy kU krU krU kSzy k 11121M,1,2,11,11,1211*112PMMMMM MMMM MykM kRzU kMSzy krzrzrzU kMSzy kU kMrU kMrU kSzy k 11,1,1,121121PPPPP P MP PykP kRzU kPSzy kU kPrU kPrU kPPMrU kSzy k 4. 3 4. 3 多步最優(yōu)預(yù)測輸出（多步最優(yōu)預(yù)測輸出（2 2） 11,1,1,121121PPPPP P MP PykP kRzU kPSzy

11、 kU kPrU kPrU kPPMrU kSzy k 11PPYkG UkS zy k2,1,1,2,1,2,100101M MM MP PP PP P MP MrGrrrrr 11111211211TPPPPPTPTPYkykkykkykM kykP kUU kU kU kMS zSzSzSz 4. 4 4. 4 最優(yōu)控制律計算（最優(yōu)控制律計算（1 1） 11PPYkG UkS zy k1Pjy kjykj kRzkj1Y k 111PY kG UkS zy kk1112112112TTY ky ky ky kjy kPkRzkRzky kjy kP4. 4 4. 4 最優(yōu)控制律計算（最優(yōu)

12、控制律計算（2 2）1111TPrTrPPJE Y kYkQY kYkUU 111PY kG UkS zy kk 1112121111,TPPrTPrPPjpjMJE G UkS zy kkYkQG UkS zy kkYkUUQdiag q qqqdiag 4. 4 4. 4 最優(yōu)控制律計算（最優(yōu)控制律計算（3 3） 121120TPPrPPJG Q G UkS zy kkYkUkU 111111TPPrTPrPPJE G UkS zy kkYkQG UkS zy kkYkUU 111111PrTirTTUkYkS zy kU kidYkG QGS zyQkG 0101111111jjkMjj

13、jkkMjjjututt utU tututdt utdu t 4. 4 4. 4 最優(yōu)控制律計算（最優(yōu)控制律計算（4 4） 1U kU kU k k U k U k u k圖3 基于U模型的廣義預(yù)測控制輸出4.5 實例 321111y ky kukyk5. 5. 魯棒性研究魯棒性研究魯棒性的重要性在于算法具有擾動的一致估計誤差，小擾動會導(dǎo)致小辨識誤差。U模型看成適應(yīng)的魯棒性分析不涉及關(guān)于信號和噪聲的任何信息，分析的結(jié)果是將獲得學(xué)習(xí)速度。從廣義上講，魯棒性可以被認(rèn)為是辨識誤差能量與噪聲或者擾動能量 的比例，被確保為一個有界的正常數(shù)。IEEPE1IEPEE5.1 5.1 基于魯棒性的最優(yōu)學(xué)習(xí)速度

14、（基于魯棒性的最優(yōu)學(xué)習(xí)速度（1 1）定義一個壓縮映射 到 ， ，表明輸出能量不會超過輸入能量。將 和先驗誤差向量 在 時的歐幾里德范數(shù)與 和擾動誤差的歐幾里德范數(shù)進行比較，等效誤差迭代方程為：其中， 22T xxx1A t y aet1t 1A t 22221aA tt etA tt vt 2,11,av te tettU ttt5.1 5.1 基于魯棒性的最優(yōu)學(xué)習(xí)速度（基于魯棒性的最優(yōu)學(xué)習(xí)速度（2 2）變換得出學(xué)習(xí)速度決定能量界限的公式：， 222211,0aA tt etttA tt vt 22221aA tt etA tt vt 222211,aA tt etttA tt vt 2222

15、11,aA tt etttA tt vt5.1 5.1 基于魯棒性的最優(yōu)學(xué)習(xí)速度（基于魯棒性的最優(yōu)學(xué)習(xí)速度（3 3）式(28-a)和式(28-b)表明，若學(xué)習(xí)速度為 ，則從 到 的映射為壓縮映射，由局部能量有限可推得迭代更新過程的魯棒性。這個能量界限指出，無論 和參數(shù)誤差向量的值是多少，能量值 總是小于或等于能量值 ，從而算法表現(xiàn)為存在噪聲擾動和負(fù)載變化時的魯棒性，當(dāng)式為（28-c）的情況時，自適應(yīng)算法損耗了它的魯棒性。 tt ,pA tt et 1 ,aA tt et v t 221aA tt et 22A tt vt5.2 5.2 反饋結(jié)構(gòu)（反饋結(jié)構(gòu)（1 1）式（28）給出的界限說明了一種

16、建立反饋結(jié)構(gòu)的方式。對式（29）求平方范數(shù)，整理得：即式（31）給出的能量比適用于所有可能的學(xué)習(xí)速率，即從信號 到信號 的映射 是無損的。 11TapA tA ttetetUt 22221apA tt etA tt et ,pA tt et 222211apA tt etA tt et 1 ,aA tt etiT5.2 5.2 反饋結(jié)構(gòu)（反饋結(jié)構(gòu)（2 2）對U模型的輸出 應(yīng)用均值定理得：對于點 ，在辨識步驟中順著連接部分 和得到：式（33）顯示了一個反饋結(jié)構(gòu)。利用小增益定理分析反饋結(jié)構(gòu)的穩(wěn)定性，即一個有限能量輸出噪聲序列 被映射為無限能量的先驗誤差序列 。 y t 11aA t U tA t

17、U tyet 1pattt ettyt ettt 1A t U t 1A t U t tt at et5.2 5.2 反饋結(jié)構(gòu)（反饋結(jié)構(gòu)（3 3）使用小增益定理獲得最優(yōu)的學(xué)習(xí)速度，定義在反饋環(huán)的增益為：其中， 為在 之間最大反饋環(huán)的絕對增益。假定為無損的情況，則前饋映射的范數(shù)等于1，反饋映射的范數(shù)定義為 。所以如果保持范數(shù)乘積小于1，至少要求 。學(xué)習(xí)速度設(shè)置為 ，并保證界限：即保證U模型參數(shù)迭代序列的穩(wěn)定性，也保證了快速收斂性。 0max 1t ntNyt NN 2022t ytu t0tN 1N1N5.3 5.3 總結(jié)與展望（總結(jié)與展望（1 1） 基于U模型的控制系統(tǒng)設(shè)計應(yīng)首先確定非線性對象

18、模型，包括SISO和MIMO非線性系統(tǒng)。 在非線性模型結(jié)構(gòu)和參數(shù)已知的情況下，非線性對象U模型的多項式表達式可以通過迭代方法實時獲得，并在此基礎(chǔ)上進行控制器的設(shè)計。 參數(shù)已知的非線性對象是針對可以精確建模的非線性系統(tǒng)，因而其應(yīng)用具有一定的局限性。當(dāng)非線性模型的結(jié)構(gòu)和參數(shù)為隨機函數(shù)時，可采用辨識獲得隨機U模型的參數(shù)。5.3 5.3 總結(jié)與展望（總結(jié)與展望（2 2） U模型為傳統(tǒng)的非線性系統(tǒng)構(gòu)造了一個通用的模型結(jié)構(gòu)，該模型結(jié)構(gòu)能夠表示大范圍的平滑非線性系統(tǒng)。 U模型結(jié)構(gòu)在線性控制系統(tǒng)的設(shè)計方法與非線性動態(tài)系統(tǒng)之間搭建了一座橋梁，從而可以方便地用線性控制系統(tǒng)設(shè)計方法對非線性控制系統(tǒng)進行控制。 U模型可以將非線性動態(tài)模型轉(zhuǎn)換為一類僅有偽輸入的參數(shù)時變非線性多項式模型，它的提出將為非線性對象控制系統(tǒng)設(shè)計提供一個良好的發(fā)展方向。 5.4 5.4 下一步工作下一步工作（1）在U模型的辨識方法上，可以考慮采用更多的方法進行非線性U模型的辨識研究。（2）分析系統(tǒng)魯棒性。（3）可以考慮新的控制器迭代方法。（4）加強基于U模型的非線性控制系統(tǒng)的理論分析。 Fast!參考文獻1 徐鳳霞, 朱全民, 趙東亞, 李少遠, 基于 U 模型的非線性控制系統(tǒng)設(shè)計方法十年發(fā)展綜述,“ 控制與決策, vol. 28, pp. 961-971, 2013.2 Q. Zhu and