演繹歸納、類比

1、演繹、歸納、類比劉偉 邸賀璇什么是推理 推理是從一個(gè)或幾個(gè)已知判斷得到一個(gè)新的判斷的思維形式。每一個(gè)推理都是由前提和結(jié)論兩部分組成，用來(lái)得出新判斷的已知判斷就是推理的前提，得出的新判斷就是推理的結(jié)論。 推理的種類很多，按推理所表現(xiàn)出來(lái)的思維的方向性，可分為演繹推理、歸納推理、類比推理，每一種推理都對(duì)應(yīng)著一種推理方法，他們構(gòu)成了分析、論證數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本工具。什么是數(shù)學(xué)推理 推理有內(nèi)容和形式兩個(gè)方面，內(nèi)容指前提和結(jié)論的真假性問(wèn)題，形式指推理的結(jié)構(gòu)形式問(wèn)題。通常的形式邏輯只研究推理的形式部分，不涉及推理的內(nèi)容。數(shù)學(xué)推理則二者兼顧，不僅要求前提內(nèi)容真實(shí)，而且推理必須合乎邏輯，即推理必須遵循正確的推理形

2、式。 數(shù)學(xué)推理方法按形式可分為演繹法、歸納法和類比法；按推得結(jié)論的可信性，又可分為歸屬必真推理和似真推理兩大類。 關(guān)于推理的詳細(xì)介紹可以參考錢(qián)佩玲編著的中學(xué)數(shù)學(xué)思想方法。什么是演繹 演繹法即推理演繹，是運(yùn)用邏輯推理進(jìn)行求解與論證的思維方法。只要推理是形式是正確有效的，總能由真實(shí)的前提得到真實(shí)的結(jié)論，是一種嚴(yán)格的推理方法，所以演繹推理可為數(shù)學(xué)問(wèn)題提供嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬜C明，也可以用它來(lái)揭示事物間的內(nèi)在聯(lián)系。是從一般到特殊或個(gè)別的推理方式。 演繹法是證明方法，只要前提正確，那么獲得的結(jié)論一定正確. 演繹推理分為直接推理和間接推理。直接推理是只有一個(gè)前提的推理，間接推理是有兩個(gè)或兩個(gè)以上前提的推理。 直接推

3、理主要包括換質(zhì)法、換位法和換質(zhì)位法三種。 間接推理種類很多，有三段論、關(guān)系推理、聯(lián)言推理、選言推理、假言推理。這里只介紹三段論。 所謂三段論推理，就是從某類事物的全稱判斷（大前提）和一個(gè)特稱判斷（小前提）得出一個(gè)新的、較小的全稱或特稱判斷（結(jié)論）的推理。它的結(jié)本結(jié)構(gòu)是： 大前提 M是（或不是）P 小前提 S是（或不是）M 結(jié)論 S是（或不是）P其中，P稱為大項(xiàng)，M稱為中項(xiàng)，S稱為小項(xiàng)，中項(xiàng)是媒介，在結(jié)論中消失。 三段論的依據(jù)是下面這個(gè)不證自明的公理，也稱為三段論公理：一類事物的全部是什么或不是什么，那么這類事物中的部分也是什么或不是什么。演繹的作用 1 判斷一個(gè)數(shù)學(xué)命題的真實(shí)性。一個(gè)命題是否正

4、確，必須經(jīng)過(guò)證明后方能確認(rèn)，而證明是根據(jù)一些命題的真實(shí)性，并有一系列演繹推理構(gòu)成的思維過(guò)程。 在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的活動(dòng)中，提出的猜想是否成立，還必須運(yùn)用演繹的方法來(lái)驗(yàn)證或?qū)ふ曳蠢右苑穸?2 建立數(shù)學(xué)知識(shí)體系。人們要把發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)知識(shí)整理成理論體系，必須運(yùn)用演繹的方法，即從少量的概念（原始概念）、命題（公理）出發(fā)，進(jìn)行推理論證，建立、展開(kāi)整個(gè)理論體系。由此可見(jiàn)，演繹在數(shù)學(xué)思維中占有主導(dǎo)地位，它幾乎滲透于每一個(gè)思維過(guò)程之中，使得數(shù)學(xué)具有了高度的嚴(yán)謹(jǐn)性和結(jié)論的確定性。 例 利用二項(xiàng)式定理證明 NoImage 什么是歸納 歸納法也稱歸納推理，是指由個(gè)別到一般的推理方法，即從兩個(gè)或幾個(gè)單稱判斷或特稱判斷（前題）

5、得出一個(gè)新的全稱判斷（結(jié)論）的推理。 歸納是指由一類事物的部分對(duì)象具有某一屬性，而作出該類事物都具有這一屬性的一般結(jié)論的推理方法。 歸納法分為完全歸納法和不完全歸納法。 完全歸納法是指通過(guò)考察一類事物的全體對(duì)象，肯定它們具有某一屬性，從而做出這類事物都有這一屬性的一般性結(jié)論的歸納推理方法。 不完全歸納法亦稱部完全歸納推理，是指根據(jù)考察的一類事物的部分對(duì)象具有某一屬性，而做出該類事物都具有這一屬性的一般結(jié)論的歸納推理。 在數(shù)學(xué)中，常進(jìn)行兩種不同內(nèi)容的歸納。例：1、計(jì)算2、3、已知數(shù)列 ，其中 ，數(shù)列 是 中的那些3的倍數(shù)由小到大排列而成的數(shù)列。（1）試用k 表示 ，（2）求 的前 項(xiàng)之和 。nn

6、2221112 ,12xxxf ,求xfff naninia1 nb nakkbb212,nbm2mS2例12 試研究平面上N條直線至多把平面分成多少塊？ 解：“至多”，任意三條直線不交于一點(diǎn)，且任兩條直線不平行。 設(shè)f（n）為n條直線分割平面的最大塊數(shù)，則有f（1）=2，f（2）=4，f（3）=7，觀察可知，f（2）=f（1）+2； f（3）=f（2）+3；猜想有 f（n）=f（n-1）+n =f（n-2）+（n-1）+n= =f（1）+2+3+n=最后可用數(shù)學(xué)歸納法證之。222nn歸納在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用、意義和局限 歸納在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的作用和意義首先在于整理由觀察、實(shí)驗(yàn)得到的經(jīng)驗(yàn)材料，是一種

7、進(jìn)行比較、分析、抽象概括的基礎(chǔ)。 其次，歸納是數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)與創(chuàng)新的一種方法，它從經(jīng)驗(yàn)材料推斷普遍特性，所以，它有發(fā)現(xiàn)新知識(shí)和探索真理的作用。 此外，在解題中，歸納法也是探索發(fā)現(xiàn)解決問(wèn)題的常用方法。 誠(chéng)然，歸納法在中學(xué)學(xué)習(xí)中比較符合學(xué)生的認(rèn)知特點(diǎn)，尤其是有些公式和定理，由于受學(xué)生知識(shí)結(jié)構(gòu)的限制，只能讓學(xué)生暫時(shí)接受其真實(shí)性，用歸納法給出而不加證明，但是，必須防止由此引出的弊端，是學(xué)生誤認(rèn)為歸納出的結(jié)果就可信為真，造成邏輯上的混亂。為此，一方面要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)歸納既有一定的邏輯依據(jù)，又不具有充分的邏輯依據(jù)的特點(diǎn)，因此對(duì)歸納所得的結(jié)論必須證明才可以信以為真；另一方面有要向?qū)W生說(shuō)明，哪些結(jié)論是應(yīng)該證明，也可以證

8、明，知識(shí)目前受知識(shí)結(jié)構(gòu)的限制，暫時(shí)不能證明的。 雖然歸納法有發(fā)現(xiàn)新知識(shí)、探索真理的作用，能概括、解釋新的數(shù)學(xué)事實(shí)，擴(kuò)展認(rèn)識(shí)成果，形成一般新的一般原理，但是發(fā)現(xiàn)過(guò)程并不是通過(guò)純粹的歸納來(lái)實(shí)現(xiàn)的，還必須有相應(yīng)的知識(shí)基礎(chǔ)和聯(lián)想。 我珍視類比勝于任何東西，它是我最可信賴的老師，它能揭示自然界的秘密，在幾何學(xué)中它應(yīng)該是最不容忽視的 -開(kāi)普勒 每當(dāng)理智缺乏可靠論證的思路時(shí)，類比這個(gè)方法往往能指引我們前進(jìn) -康德1、類比法的含義類比法的含義 類比法是根據(jù)兩個(gè)或兩類事物在某些屬性上都相同或相似，而推出在其他屬性上也相同或相似的推理方法，也稱為類比或類比推理。 從某種意義上講，類比是一種相似，兩個(gè)系統(tǒng)可以作類比

9、，如果它們各自的部分之間，在其可以清楚定義的一些關(guān)系上一致的話。也就是說(shuō)，相似對(duì)象彼此在某些方面帶來(lái)一致性。 例：空間四面體與平面上的三角形。 四面體是有空間中最少數(shù)目的平面圍成的有限幾何體，三角形是有平面上最少數(shù)目的直線圍成的有限圖形。四面體在空間的位置與三角形在平面的位置是一致的，或者說(shuō)在這一點(diǎn)上是相似的，它們具有類比關(guān)系。 類比的基礎(chǔ)是事物之間的相似性或某種一致性。只要兩個(gè)對(duì)象有某個(gè)方面的相似性，就可以類比，包括形式上的相似，結(jié)構(gòu)上的相似，內(nèi)容上的相似，地位上的相似等等。2、類比法的推理模式為：類比法的推理模式為： 類比往往應(yīng)用于從一個(gè)對(duì)象（類比物）的“屬性”（類比項(xiàng)）推測(cè)另一個(gè)對(duì)象的“

10、屬性” A具有性質(zhì)F1，F(xiàn)2，.,Fn,P B具有性質(zhì)F1，F(xiàn)2，.,Fn. B具有性質(zhì)P 一般地，兩個(gè)對(duì)象的已知共同相似屬性越多，由此推出結(jié)論的可靠性就越大。3、在數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的類比在數(shù)學(xué)中常見(jiàn)的類比（1）個(gè)別與一般個(gè)別與一般例1： 整數(shù)整數(shù) 加、減、乘帶余除法算術(shù)基本定理 多項(xiàng)式多項(xiàng)式 加、減、乘 帶余除法 代數(shù)基本定理思考:以直角三角形為對(duì)應(yīng)邊，所作出的其他各種相似圖形，是不是也具有（2）低維與高維）低維與高維例1：（維維阿尼定理）正三角形內(nèi)任一點(diǎn)到三邊距離之和為一定值。類比：正四面體內(nèi)任一點(diǎn)到其四個(gè)面的距離之和為一定值。（3）有限與無(wú)限）有限與無(wú)限例1：求和4、類比的危險(xiǎn)類比的危險(xiǎn)有限與

11、無(wú)限的類比，埋伏著許多危險(xiǎn)陷阱。例：5、類比的作用類比的作用（1）類比有助于發(fā)現(xiàn)。盡管類比不能作為嚴(yán)格的推理方法，但是它在數(shù)學(xué)科學(xué)研究中，根據(jù)事物間的相似點(diǎn)提出假設(shè)和猜想，把已知事物的性質(zhì)推廣到類似事物等方面上有重大作用。（2）類比是學(xué)習(xí)知識(shí)、系統(tǒng)地掌握知識(shí)和鞏固知識(shí)的有效方法。類比的客觀基礎(chǔ)是事物系統(tǒng)之間各要素的普遍聯(lián)系以及這些聯(lián)系之間存在的相似性和可比較性。所以利用原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)，借助類比，可以有效的學(xué)習(xí)新知、掌握新知，對(duì)已有知識(shí)進(jìn)一步作恰當(dāng)類比，又可以將這些知識(shí)有機(jī)地系統(tǒng)起來(lái)。（3）類比在解題中具有啟迪思維的作用.6、類比與歸納、演繹的關(guān)系 類比與歸納的關(guān)系十分密切，二者既有聯(lián)系又有區(qū)別。

12、 從邏輯觀點(diǎn)看，它們都是合情推理，都具有創(chuàng)造潛能，而且在探索與發(fā)現(xiàn)的真理過(guò)程中，類比常與歸納綜合運(yùn)用。當(dāng)通過(guò)類比對(duì)已有的結(jié)果加以推廣時(shí)，所從事的常常就是歸納的工作。 類比與歸納在意義上差別很大，是兩種不同的探索式思維。類比法的推理是從特殊到特殊，它是歸納法和演繹法的中間狀態(tài)。演繹法只要前提正確，推出的結(jié)論就一定正確，但是演繹法推出的結(jié)論并沒(méi)有超出前提的范圍，不會(huì)得出新的一般原理；歸納法推出的結(jié)論不一定可靠，但是歸納法可以從許多事實(shí)中概括出新的一般原理，它是富于創(chuàng)造性的方法；而類比法推出的結(jié)論其可靠程度最差，但卻是最富有創(chuàng)造性的方法。小結(jié) 注意：類比法不是證明方法，它是一種似注意：類比法不是證明方法，它是一種似真推理，類比得到的結(jié)論或猜想不一定可真推理，類比得到的結(jié)論或猜想不一定可靠?？?。 類比既是一種邏輯推理方法，又是一種科學(xué)研究方法。它是人們思考和處理問(wèn)題的重要手段，是發(fā)明創(chuàng)造的一把金鑰匙。如飛機(jī)的發(fā)明、潛艇的發(fā)明、叩診法、薄殼建筑等。 在中學(xué)教學(xué)中教師應(yīng)當(dāng)鼓勵(lì)學(xué)生觀察、聯(lián)想。 參考文獻(xiàn)：1 波利亞.數(shù)學(xué)與猜想（第一卷）M. 科技出版社,1984.2錢(qián)珮玲，邵光華. 數(shù)學(xué)思想方法與中學(xué)數(shù)學(xué) M. 北京：北京師范大學(xué)出版社,