第5章測量誤差的基本知識

1、1本本 章章 摘摘 要要 通過前幾章的學(xué)習(xí)，我們掌握了角度、距通過前幾章的學(xué)習(xí)，我們掌握了角度、距離和高差的測量方法，對測量過程和結(jié)果含有離和高差的測量方法，對測量過程和結(jié)果含有誤差也有了一定的感性認(rèn)識。本章集中講述有誤差也有了一定的感性認(rèn)識。本章集中講述有關(guān)測量誤差的基本知識。關(guān)測量誤差的基本知識。第五章第五章 測量誤差的基本知識測量誤差的基本知識2 5 51 1 測量誤差概述測量誤差概述 5 52 2 偶然誤差的統(tǒng)計規(guī)律偶然誤差的統(tǒng)計規(guī)律 5 53 3 衡量觀測值精度的指標(biāo)衡量觀測值精度的指標(biāo)5 54 4 誤差傳播定律誤差傳播定律 5 55 5 等精度觀測值的最或然值和精度評定等精度觀測值

2、的最或然值和精度評定 5 56 6非非等精度觀測值的最或然值和精度評定等精度觀測值的最或然值和精度評定為重點。為重點。本章目錄本章目錄3一、一、 測量誤差測量誤差 測量工作的實踐表明：當(dāng)對某量測量工作的實踐表明：當(dāng)對某量進(jìn)行多次觀測時，無論使用的測量儀進(jìn)行多次觀測時，無論使用的測量儀器多精密、觀測進(jìn)行的多么仔細(xì)，測器多精密、觀測進(jìn)行的多么仔細(xì)，測量結(jié)果總是存在誤差，如：往返測量量結(jié)果總是存在誤差，如：往返測量、對一個量進(jìn)行多次觀測等等。、對一個量進(jìn)行多次觀測等等。5-1 測量誤差概述測量誤差概述4 大量實例說明測量誤差是不可避免的。為此大量實例說明測量誤差是不可避免的。為此，人們需對測量誤差進(jìn)

3、行研究。，人們需對測量誤差進(jìn)行研究。測量誤差定義：測量誤差定義：真誤差真誤差=觀測值觀測值-真值真值XLii即：即： 5二、二、 測量誤差的來源測量誤差的來源 由于任何測量觀測值都是由人在外界條由于任何測量觀測值都是由人在外界條件下用儀器觀測而得到的，因此，盡管產(chǎn)生測件下用儀器觀測而得到的，因此，盡管產(chǎn)生測量誤差的原因很多，但其來源概括起來有以下量誤差的原因很多，但其來源概括起來有以下三個方面：三個方面：1、儀器誤差：測量工作中要使用測量儀器。、儀器誤差：測量工作中要使用測量儀器。任何儀器只具有一定限度的精密度，使觀測值任何儀器只具有一定限度的精密度，使觀測值的精密度受到限制。的精密度受到限制

4、。62、觀測者：觀測者：由于觀測者的視覺、觀測者：觀測者：由于觀測者的視覺、聽覺等感官的鑒別能力有一定的局限，所聽覺等感官的鑒別能力有一定的局限，所以在儀器的安置、使用中會產(chǎn)生誤差，如以在儀器的安置、使用中會產(chǎn)生誤差，如整平誤差、照準(zhǔn)誤差、讀數(shù)誤差等。整平誤差、照準(zhǔn)誤差、讀數(shù)誤差等。 3、外界條件：測量工作都是在一定的外界、外界條件：測量工作都是在一定的外界環(huán)境條件下進(jìn)行的，如溫度、風(fēng)力、大氣環(huán)境條件下進(jìn)行的，如溫度、風(fēng)力、大氣折光等因素，這些因素的差異和變化都會折光等因素，這些因素的差異和變化都會直接對觀測結(jié)果產(chǎn)生影響，必然給觀測結(jié)直接對觀測結(jié)果產(chǎn)生影響，必然給觀測結(jié)果帶來誤差。果帶來誤差。

5、7觀測條件：將上述三個方面的因素統(tǒng)稱為觀測條件：將上述三個方面的因素統(tǒng)稱為觀測條件。觀測條件。觀測條件的好壞與觀測精度有密切關(guān)系。觀測條件的好壞與觀測精度有密切關(guān)系。觀測條件相同的各次觀測，稱為等精度觀觀測條件相同的各次觀測，稱為等精度觀測，而觀測條件不同的各次觀測，稱為不測，而觀測條件不同的各次觀測，稱為不等精度觀測。等精度觀測。8三、測量誤差的分類三、測量誤差的分類 測量誤差按其對觀測結(jié)果影響性質(zhì)的測量誤差按其對觀測結(jié)果影響性質(zhì)的不同，可分為系統(tǒng)誤差和偶然誤差兩類。不同，可分為系統(tǒng)誤差和偶然誤差兩類。 1 1、系統(tǒng)誤差、系統(tǒng)誤差定義：在相同的觀測條件下，對某量進(jìn)行的定義：在相同的觀測條件下

6、，對某量進(jìn)行的一系列的觀測，若誤差在符號、大小上表現(xiàn)一系列的觀測，若誤差在符號、大小上表現(xiàn)出系統(tǒng)性，即觀測過程中按一定規(guī)律變化或出系統(tǒng)性，即觀測過程中按一定規(guī)律變化或保持為常數(shù)，這種誤差稱為系統(tǒng)誤差。保持為常數(shù)，這種誤差稱為系統(tǒng)誤差。9系統(tǒng)誤差具有累積性，對觀測結(jié)果的系統(tǒng)誤差具有累積性，對觀測結(jié)果的影響很大，但它們的符號和大小有一定的規(guī)影響很大，但它們的符號和大小有一定的規(guī)律。因此，系統(tǒng)誤差可以采用適當(dāng)?shù)拇胧┫?。因此，系統(tǒng)誤差可以采用適當(dāng)?shù)拇胧┫驕p弱其影響。除或減弱其影響。通常可采用以下方法：通?？刹捎靡韵路椒ǎ? 1）測定系統(tǒng)誤差的大小，對觀測值加以）測定系統(tǒng)誤差的大小，對觀測值加以改

7、正改正2 2）采用對稱觀測的方法）采用對稱觀測的方法10定義：在相同的觀測條件下，對某量進(jìn)行一系定義：在相同的觀測條件下，對某量進(jìn)行一系列觀測，若誤差在符號和大小上表現(xiàn)出偶然性，列觀測，若誤差在符號和大小上表現(xiàn)出偶然性，即從單個誤差看，該列誤差的大小和符號沒有即從單個誤差看，該列誤差的大小和符號沒有規(guī)律性，但就大量誤差的總體而言，具有一定規(guī)律性，但就大量誤差的總體而言，具有一定的統(tǒng)計規(guī)律，這種誤差稱為偶然誤差。的統(tǒng)計規(guī)律，這種誤差稱為偶然誤差。2 2、偶然誤差、偶然誤差偶然誤差具有低償性對測量成果的影響較小偶然誤差具有低償性對測量成果的影響較小，但由于沒有規(guī)律性（從單個誤差看），所，但由于沒有

8、規(guī)律性（從單個誤差看），所以不能消除其影響。以不能消除其影響。11 前已述及，在測量工作中，錯誤是不允許存前已述及，在測量工作中，錯誤是不允許存在的，系統(tǒng)誤差是可以消除或減弱其影響的，在的，系統(tǒng)誤差是可以消除或減弱其影響的，因此，觀測結(jié)果即為一系列偶然誤差占主導(dǎo)地因此，觀測結(jié)果即為一系列偶然誤差占主導(dǎo)地位的觀測值。為了對這樣的觀測值進(jìn)行數(shù)據(jù)處位的觀測值。為了對這樣的觀測值進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，就必須進(jìn)一步研究偶然誤差的統(tǒng)計規(guī)律性理，就必須進(jìn)一步研究偶然誤差的統(tǒng)計規(guī)律性。由于從單個偶然誤差來看，其出現(xiàn)的符號和。由于從單個偶然誤差來看，其出現(xiàn)的符號和大小沒有一定的規(guī)律性，只有對大量的偶然誤大小沒有一定的規(guī)

9、律性，只有對大量的偶然誤差進(jìn)行統(tǒng)計分析，才能發(fā)現(xiàn)其規(guī)律性，而且偶差進(jìn)行統(tǒng)計分析，才能發(fā)現(xiàn)其規(guī)律性，而且偶然誤差的個數(shù)越多，其規(guī)律性越明顯。然誤差的個數(shù)越多，其規(guī)律性越明顯。5-2 偶然誤差的統(tǒng)計規(guī)律性偶然誤差的統(tǒng)計規(guī)律性1213由上表可以看出，偶然誤差的特性：由上表可以看出，偶然誤差的特性： 1 1） 在一定的觀測條件下，偶然誤差的在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超過一定的限度，即偶然誤絕對值不會超過一定的限度，即偶然誤差是有界的；差是有界的；2 2） 絕對值小的誤差比絕對值大的誤差絕對值小的誤差比絕對值大的誤差出現(xiàn)的機(jī)會大；出現(xiàn)的機(jī)會大；3 3） 絕對值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會相絕

10、對值相等的正、負(fù)誤差出現(xiàn)的機(jī)會相等；等；144） 在相同的條件下，對同一量進(jìn)行重復(fù)觀在相同的條件下，對同一量進(jìn)行重復(fù)觀測，偶然誤差的算術(shù)平均值隨著觀測次數(shù)測，偶然誤差的算術(shù)平均值隨著觀測次數(shù)的無限增加而趨于零，即的無限增加而趨于零，即0limlim21 nnnnn式中式中 表示求和表示求和1516一、精度的含義一、精度的含義精度：指在同一觀測條件下，用同一觀測方精度：指在同一觀測條件下，用同一觀測方法對某量多次觀測時，其誤差分布的密集法對某量多次觀測時，其誤差分布的密集或離散程度。或離散程度。二、幾種常用的精度指標(biāo)二、幾種常用的精度指標(biāo)5-3 衡量觀測值的精度指標(biāo)衡量觀測值的精度指標(biāo)171 1

11、、 中誤差中誤差定義：定義：中誤差的幾何意義：中誤差的幾何意義：偶然誤差分布曲線兩個拐點的橫坐標(biāo)。偶然誤差分布曲線兩個拐點的橫坐標(biāo)。nm 182 2、相對誤差、相對誤差對于衡量精度來說，有時單靠中誤差還對于衡量精度來說，有時單靠中誤差還不能完全表達(dá)觀測結(jié)果的質(zhì)量。不能完全表達(dá)觀測結(jié)果的質(zhì)量。例如，測得某兩段距離，一段長例如，測得某兩段距離，一段長100m100m，另一段，另一段長長400m400m，觀測值的中誤差均為，觀測值的中誤差均為0.02m0.02m 。從。從 ，即相對誤差。即相對誤差。19定義：相對誤差定義：相對誤差K是中誤差是中誤差m的絕對值與相應(yīng)的絕對值與相應(yīng)觀測值觀測值D的比值，

12、即用的比值，即用 K=的形式來表示。的形式來表示。相對誤差相對誤差K是個無量綱的量，在測量上通常將是個無量綱的量，在測量上通常將其分子化為其分子化為1。M120如：上例中前者的相對中誤差為：如：上例中前者的相對中誤差為：0.02/100=1/5000，后者為，后者為0.02/400=1/20000。顯然，相對中誤差愈?。ǚ帜赣螅?，說明觀測顯然，相對中誤差愈小（分母愈大），說明觀測結(jié)果的精度愈高，反之愈低。結(jié)果的精度愈高，反之愈低。213 3、極限誤差與容許誤差、極限誤差與容許誤差 由偶然誤差的第一個特性可知，在一定的觀由偶然誤差的第一個特性可知，在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對值不會超出一

13、定的限測條件下，偶然誤差的絕對值不會超出一定的限值。這個限值就是極限誤差。值。這個限值就是極限誤差。mmmmmdemdfmmP683. 021)(222mmmmmdemdfmmP22222954. 021)(2222mmmmmdemdfmmP33332997. 021)(3322由概率論的原理可知，由概率論的原理可知，偶然偶然誤差出現(xiàn)在區(qū)間（誤差出現(xiàn)在區(qū)間（-m-m，m m）、）、 （-2m，2m）及（）及（-3m，3m）內(nèi)的概率值為：內(nèi)的概率值為：22在實際測量工作中，以三倍中誤差作為極限在實際測量工作中，以三倍中誤差作為極限誤差，即誤差，即3 m極限在測量規(guī)范中，要求觀測值不允許存在較大在

14、測量規(guī)范中，要求觀測值不允許存在較大的誤差，并以二倍或三倍中誤差作為偶然誤的誤差，并以二倍或三倍中誤差作為偶然誤差的容許值，稱為差的容許值，稱為容許容許誤差，即誤差，即2 m容3 m容或或23誤差傳播定律：表述觀測值函數(shù)的中誤差與觀誤差傳播定律：表述觀測值函數(shù)的中誤差與觀測值中誤差之間關(guān)系的定律稱為誤差傳播定測值中誤差之間關(guān)系的定律稱為誤差傳播定律。律。1、 倍數(shù)函數(shù)倍數(shù)函數(shù)倍數(shù)函數(shù)：倍數(shù)函數(shù)： Z=KXXZKmm 則：則：5-4 誤差傳播定律誤差傳播定律24例例1 1：在：在1 1：500500地形圖上量得某兩點間的距地形圖上量得某兩點間的距離離d=31.4mm,d=31.4mm,其中誤差其

15、中誤差m md d= =0.2mm0.2mm ，求該，求該兩點的地面水平距離兩點的地面水平距離D D的值及其中誤差的值及其中誤差m mD D。解：解：50050031.415700mm=15.7mDdmmmdD10. 00002. 0500500252 2、和差函數(shù)：、和差函數(shù)：和差函數(shù)和差函數(shù) Z=XZ=X1 1+X+X2 2 或或 Z=X1-X2 ，且，且X X1 1、X X2 2獨立獨立12222ZXXmmm則：則：26例例2 2：用：用DJDJ6 6型光學(xué)經(jīng)緯儀觀測角度一測回的型光學(xué)經(jīng)緯儀觀測角度一測回的測角中誤差。測角中誤差。解：解： 已知已知DJDJ6 6型光學(xué)經(jīng)緯儀一個測回一個方

16、型光學(xué)經(jīng)緯儀一個測回一個方向的中誤差向的中誤差m m= =66 由由12得：得：22222mmmm26 28.5mm273 3、線性函數(shù)、線性函數(shù)線性函數(shù)：線性函數(shù)： Z=KZ=K1 1X X1 1+K+K2 2X X2 2+ +.+K.+Kn nX Xn n+K+K0 022222221221XnnXXZmKmKmKm 例例3 3（P113P113例例6-46-4）：設(shè)對某一個三角形觀測了其）：設(shè)對某一個三角形觀測了其中中A A、B B兩個角，測角中誤差分別為兩個角，測角中誤差分別為m mA A= =22，m m B B = =33，試求試求 C角的中誤差角的中誤差mC 。解：解：2222(

17、2)(3)3.6CABmmm 284、一般函數(shù)、一般函數(shù)),(21nxxxfZ 22222221212)()()(nnZmxfmxfmxfm 295-5 等精度觀測值的最或然值和精度評定等精度觀測值的最或然值和精度評定一、等精度觀測值的最或然值一、等精度觀測值的最或然值設(shè)對某量進(jìn)行了設(shè)對某量進(jìn)行了n n次同精度觀測，其真值次同精度觀測，其真值為為X X，觀測值為：，觀測值為：n，21，相應(yīng)的真誤差為：，相應(yīng)的真誤差為：n ，21則有：則有：XX2211. . . . Xnn30等號兩邊求和：等號兩邊求和：nX等號兩邊同除以等號兩邊同除以n：XxXnn式中：式中： x為算術(shù)平均值，則有：為算術(shù)平

18、均值，則有：nnxn2131根據(jù)偶然誤差第四個特征，根據(jù)偶然誤差第四個特征，n0 xXn當(dāng)當(dāng) 時時， ，于于是是 即當(dāng)觀測次數(shù)即當(dāng)觀測次數(shù)n無限多時，算術(shù)平均值就無限多時，算術(shù)平均值就趨向于未知量的真值。當(dāng)觀測次數(shù)有限時，可趨向于未知量的真值。當(dāng)觀測次數(shù)有限時，可以認(rèn)為算術(shù)平均值是根據(jù)已有的觀測數(shù)據(jù)所能以認(rèn)為算術(shù)平均值是根據(jù)已有的觀測數(shù)據(jù)所能求得的最接近真值的近似值，稱為最或是值或求得的最接近真值的近似值，稱為最或是值或最或然值，用最或是值作為未知量真值的估值最或然值，用最或是值作為未知量真值的估值。321 1、觀測值中誤差、觀測值中誤差由由6-2知：同精度觀測值中誤差為：知：同精度觀測值中誤差為：nm由于未知量的真值由于未知量的真值X X無法確知，真誤差無法確知，真誤差 也是未知數(shù)，故不能直接用上式求出中誤差。也是未知數(shù)，故不能直接用上式求出中誤差。實際工作中，多利用觀測值的改正數(shù)實際工作中，多利用觀測值的改正數(shù) 來計算來計算觀測值的中誤差。觀測值的中誤差。ivi331nvvm由改正數(shù)可以計算同精度觀測值中誤差：由改正數(shù)可以計算同精度觀測值中誤差：改正數(shù)：改正數(shù)：iixv342 2、最或然值的中誤