第五節(jié)函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)PPT學(xué)習(xí)教案

1、會(huì)計(jì)學(xué)1第五節(jié)函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)第五節(jié)函數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)2.2.展開(kāi)式是否唯一展開(kāi)式是否唯一? ?3.3.在什么條件下才能展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)在什么條件下才能展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)? ?1.1.如果能展開(kāi)如果能展開(kāi), , 是什么是什么? ?na上節(jié)例題上節(jié)例題)11()1ln()1(11 xxnxnnnnnnxxaxf)()(00 即得形如即得形如 函數(shù)的展開(kāi)式函數(shù)的展開(kāi)式.需要考慮需要考慮問(wèn)題問(wèn)題 是否存在冪級(jí)數(shù)在其收斂域內(nèi)以是否存在冪級(jí)數(shù)在其收斂域內(nèi)以 為和函數(shù)為和函數(shù)? ?)(xf一 問(wèn)題的提出第1頁(yè)/共24頁(yè))()(!)()(! 2)()()()(00)(200000 xRxxnxfxxxfxxxfxfxf

2、nnn 1.1.Toylor公式：公式：復(fù)習(xí)前面的兩個(gè)公式復(fù)習(xí)前面的兩個(gè)公式,)()!1()()(10)1( nnnxxnfxR 其其中中 在在 與與 之間之間 0 xx第2頁(yè)/共24頁(yè))(!) 0(! 2) 0() 0() 0()()(2xRxnfxfxffxfnnn 2.2.Maclaurin公式公式,)!1()()(1)1( nnnxnfxR 其其中中 在在 與與 之間之間 0 xx第3頁(yè)/共24頁(yè)函數(shù)展開(kāi)冪級(jí)數(shù)的必要條件函數(shù)展開(kāi)冪級(jí)數(shù)的必要條件.定理定理1 1 若若 在在 處能展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)處能展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)則則 在在 內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù)內(nèi)具有任意階導(dǎo)數(shù), ,且且)(xf0 xnnnxxa)

3、(00 )(xf),(0 xx ), 2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann證明證明在在 內(nèi)收斂于內(nèi)收斂于 ,即即nnnxxa)(00 )(0 x)(xf nnxxaxxaaxf)()()(0010第4頁(yè)/共24頁(yè) )(23)1(!)(01)(xxannanxfnnn令令 , ,即得即得0 xx 10021)()(2)(nnxxnaxxaaxf逐項(xiàng)求導(dǎo)任意次逐項(xiàng)求導(dǎo)任意次, ,得得即為泰勒系數(shù)即為泰勒系數(shù)), 2 , 1 , 0()(!10)( nxfnann且泰勒系數(shù)是唯一的且泰勒系數(shù)是唯一的, ,所以所以)(xf的展開(kāi)式是唯一的的展開(kāi)式是唯一的.第5頁(yè)/共24頁(yè)問(wèn)題問(wèn)題nnnx

4、xnxfxf)(!)()(000)(? 泰勒級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間是否收斂于泰勒級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間是否收斂于f(x)? 不一定不一定.定義定義 如果如果f(x)在點(diǎn)在點(diǎn) 處任意階可導(dǎo)處任意階可導(dǎo),則冪級(jí)數(shù)則冪級(jí)數(shù)稱為稱為 在點(diǎn)在點(diǎn) 的泰勒級(jí)數(shù)的泰勒級(jí)數(shù). 稱稱為為在在 點(diǎn)點(diǎn) 的麥克勞林級(jí)數(shù)的麥克勞林級(jí)數(shù).0 xnnnxxnxf)(!)(000)( nnnxnf 0)(!)0()(xf0 x)(xf0 x第6頁(yè)/共24頁(yè)), 2 , 1 , 0( 0)0()( nfn在在x=0點(diǎn)任意可導(dǎo)點(diǎn)任意可導(dǎo), ,且且 0, 00,)(21xxexfx例如例如.00 nnx麥克勞林級(jí)數(shù)麥克勞林級(jí)數(shù)為為)(xf該級(jí)數(shù)在該

5、級(jí)數(shù)在 內(nèi)和函數(shù)內(nèi)和函數(shù) 可見(jiàn)可見(jiàn). 0)( xs),(除除 外外, 的麥?zhǔn)霞?jí)數(shù)處處不收斂于的麥?zhǔn)霞?jí)數(shù)處處不收斂于 .0 s)(xf)(xf第7頁(yè)/共24頁(yè)函數(shù)展開(kāi)冪級(jí)數(shù)的充要條件函數(shù)展開(kāi)冪級(jí)數(shù)的充要條件.)()(!)()(000)(xRxxixfxfninii 證明證明必要性必要性.設(shè)設(shè) 能展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù)能展開(kāi)為泰勒級(jí)數(shù).)(xf),()()(1xsxfxRnn )()(lim1xfxsnn )(limxRnn)()(lim1xsxfnn ;0 定理定理2 2 在點(diǎn)在點(diǎn) 的泰勒級(jí)數(shù)的泰勒級(jí)數(shù), ,在在 內(nèi)內(nèi)收斂于收斂于 在在 內(nèi)內(nèi))(xf)(xf)(0 xU 0 x)(0 xU . 0)(l

6、im xRnn第8頁(yè)/共24頁(yè)充分性充分性),()()(1xRxsxfnn )()(lim1xsxfnn )(limxRnn , 0 ),()(lim1xfxsnn 即即).(xf的泰勒級(jí)數(shù)收斂于的泰勒級(jí)數(shù)收斂于)(xf定理定理3 3 設(shè)設(shè) 在在 上有定義上有定義, , 對(duì)對(duì) 恒有恒有則則 在在 內(nèi)可展開(kāi)成點(diǎn)內(nèi)可展開(kāi)成點(diǎn) 的泰的泰勒級(jí)數(shù)勒級(jí)數(shù). .)(xf),(00RxRxx , 0 M)(0 xU, 1 , 0,| )(|)( nMxfn)(xf),(00RxRx 0 x第9頁(yè)/共24頁(yè)證明證明10)1()()!1()()( nnnxxnfxR ,)!1(10 nxxMn),(00RxRxx

7、 , 0)!1(lim10 nxxnn 010)!1(nnnxx在在 收斂收斂),(, 0)(lim xRnn),(00RxRxx 故故可展成點(diǎn)可展成點(diǎn) 的泰勒級(jí)數(shù)的泰勒級(jí)數(shù). .0 x第10頁(yè)/共24頁(yè)1.1.直接法直接法( (泰勒級(jí)數(shù)法泰勒級(jí)數(shù)法) )步驟步驟: :;!)()1(0)(nxfann 求求 nxnfxffn!)0()0( )0()(寫(xiě)出寫(xiě)出 級(jí)數(shù)級(jí)數(shù): :Maclaurin)2(討論討論 或或,)()(Mxfn 0lim nnR)3().(xf則級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)收斂于則級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間內(nèi)收斂于第11頁(yè)/共24頁(yè)解解,)()(xnexf ), 2 , 1 , 0(. 1)0()(

8、 nfn nxxnxxe!1! 2112), 2 , 1 , 0( n nxxnxxe!1! 2112由于由于M的任意性的任意性, 即得即得),(!1! 2112 xxnxxenx例例1 1xexf )(將將 展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)展開(kāi)成冪級(jí)數(shù)., 0 Mxnexf )()(Me ,MM 在在 上上第12頁(yè)/共24頁(yè)解解),2sin()()( nxxfn,2sin)0()( nfn, 0)0()2( nf,)1()0()12(nnf ), 2 , 1 , 0( n )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn),( x )()(xfn)2sin( nx1 ),( x且且例例2 2將將

9、展開(kāi)成展開(kāi)成 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù).xxfsin)( x第13頁(yè)/共24頁(yè)解解,)1)(1()1()()(nnxnxf ),1()1()0()( nfn), 2 , 1 , 0( n nxnnxx!)1()1(! 2)1(12nnnaa1lim 1 nn, 1 , 1 R例例3 3 將將 展開(kāi)成展開(kāi)成 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù).x)()1()(Rxxf 第14頁(yè)/共24頁(yè)在在 內(nèi)內(nèi), ,若若)1 , 1( nxnnxxs!)1()1(1)( 1)!1()1()1()1()(nxnnxxs nxnnxxxsx)!1()1()1()1()(2 !) 1() 1(!)() 1()!1() 1() 1(nnmmmnnmm

10、nnmm 利利用用第15頁(yè)/共24頁(yè))()1(xsx 1222!)1()1(! 2)1(nxnnxx)(xs ,1)()(xxsxs . 1)0( s且且兩邊積分兩邊積分,1)()(00dxxdxxsxsxx )1 , 1( x得得),1ln()0(ln)(lnxsxs 第16頁(yè)/共24頁(yè)即即,)1ln()(ln xxs,)1()( xxs )1 , 1( x nxnnxxx!)1()1(! 2)1(1)1(2 )1 , 1( x牛頓二項(xiàng)式展開(kāi)式牛頓二項(xiàng)式展開(kāi)式注意在注意在 處收斂性與處收斂性與 的取值有關(guān)的取值有關(guān). .1 x 第17頁(yè)/共24頁(yè))1 , 1()1(11132 nnxxxxx

11、1 , 1!)!2(!)!32()1(64231421211132 nnxnnxxxx1 , 1!)!2(!)!12()1(64253142312111132 nnxnnxxxx雙階乘雙階乘21, 1 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),有有第18頁(yè)/共24頁(yè)2.2.間接法間接法根據(jù)唯一性根據(jù)唯一性, , 利用常見(jiàn)展開(kāi)式利用常見(jiàn)展開(kāi)式, , 通過(guò)變量代換通過(guò)變量代換, ,四四則運(yùn)算則運(yùn)算, , 恒等變形恒等變形, , 逐項(xiàng)求導(dǎo)逐項(xiàng)求導(dǎo), , 逐項(xiàng)積分等方法逐項(xiàng)積分等方法, ,求展開(kāi)式求展開(kāi)式. .從而可以得到以下幾個(gè)常見(jiàn)的展開(kāi)式從而可以得到以下幾個(gè)常見(jiàn)的展開(kāi)式: : )!2()1(! 41! 211cos242nxx

12、xxnn),( x )!12()1(! 51! 31sin1253nxxxxxnn)(sincos xx由由第19頁(yè)/共24頁(yè)例例4 4 將將 展開(kāi)成展開(kāi)成 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù).x211)(xxf 解解)11(,1112 xxxxxn把把 換成換成 得得x2x ,)1(1112422 nnxxxx)11( x第20頁(yè)/共24頁(yè)例例5 5 將將 展開(kāi)成展開(kāi)成 冪級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù). .x)1ln()(xxf 解解,)1(1112 nnxxxx)11( x將上式從將上式從 到到 逐項(xiàng)積分逐項(xiàng)積分, ,得得0 x nxxxxnn 132)1(3121 xxdxx01)1ln()11( x第21頁(yè)/共24頁(yè)例例6 6 將將 展開(kāi)成展