第二章第五節(jié)函數(shù)的微分PPT學習教案

1、會計學1第二章第五節(jié)函數(shù)的微分第二章第五節(jié)函數(shù)的微分一、微分的概念一、微分的概念 引例引例: 一塊正方形金屬薄片受溫度變化的影響,問此薄片面積改變了多少? 設薄片邊長為 x , 面積為 A , 則,2xA 0 xx面積的增量為220)(xxxA20)(2xxxxx 020 xA xx 02)( x關于x 的線性主部高階無窮小0 x時為故xxA02稱為函數(shù)在 的微分0 x當 x 在0 x取得增量x時,0 x變到,0 xx邊長由其第1頁/共23頁的微分微分,)(xfy 在點 的增量可表示為0 x)()(00 xfxxfy( A 為不依賴于x 的常數(shù))則稱函數(shù))(xfy 而 稱為xA在)(xf0 x

2、點記作yd,df或即xAyd定理定理: 函數(shù))(xfy 在點 可微的充要條件充要條件是0 x處可導，在點0)(xxfy , )(0 xfA且)( xoxA即xxfy)(d0在點0 x可微可微,第2頁/共23頁定理定理 : 函數(shù)證證: “必要性必要性” 已知)(xfy 在點 可微 ,0 x則)()(00 xfxxfy)(limlim00 xxoAxyxxA故Axf)(0)( xoxA)(xfy 在點 的可導,0 x且)(xfy 在點 可微的充要條件充要條件是0 x)(xfy 在點 處可導,0 x且, )(0 xfA即xxfy)(d0第3頁/共23頁定理定理 : 函數(shù))(xfy 在點 可微的充要條

3、件充要條件是0 x)(xfy 在點 處可導,0 x且, )(0 xfA即xxfy)(d0“充分性充分性”已知)(lim00 xfxyx)(xfy )(0 xfxy)0lim(0 xxxxfy)(0故)()(0 xoxxf 線性主部 即xxfy)(d0在點 的可導,0 x)0)(0時 xf則第4頁/共23頁注注: :0)(0 xf時 ,xxfy)(d0)()(0 xoxxfyyyxdlim0 xxfyx)(lim00 xyxfx00lim)(11所以0 x時yyd很小時, 有近似公式xyyd與是等價無窮小,當故當?shù)?頁/共23頁 例1 求函數(shù)yx2在x1和x3處的微分 dy(x2)|x1x2x

4、函數(shù)yx2在x3處的微分為 dy(x2)|x3x6x 例2 求函數(shù) yx3當x2 x 002時的微分 yf(x)在點x0可微yAxo(x) dy= f (x0)x 解 函數(shù)yx2在x1處的微分為 解 先求函數(shù)在任意點x 的微分 dy(x3)x3x2x 再求函數(shù)當x2 Dx002時的微分 dy|x=2, x=0.02=3220.02=0.24=3x2| x=2, x=0.02第6頁/共23頁 當|x|很小時 |ydy|比|x|小得多 因此 在點M的鄰近 我們可以用切線段來近似代替曲線段 y是曲線上點的縱坐標的增量; dy是過點(x0 f(x0)的切線上點的縱坐標的增量. 當x從x0變到x0+x時

5、二、微分的幾何意義則有xxfyd)(d從而)(ddxfxy導數(shù)也叫作微商自變量的微分自變量的微分,為稱 x記作xdxyxd記第7頁/共23頁d(xm)m xm1dx d(sin x)cos xdx d(cos x)sin xdx d(tan x)sec2xdx d(cot x)csc2xdx d(sec x)sec x tan xdx d(csc x)csc x cot xdx d(a x)ax ln adx d(e x)exdx (xm)m xm1 (sin x)cos x (cos x)sin x(tan x)sec2 x (cot x)csc2x (sec x)sec x tan x (

6、csc x)csc x cot x (a x)ax ln a (e x)ex微分公式: 導數(shù)公式: 1.基本初等函數(shù)的微分公式三、微分的基本公式和運算法則第8頁/共23頁axxaln1)(logxx1)(ln211)(arcsinxx211)(arccosxx211)(arctanxx211)cotarc(xxdxaxxdaln1)(logdxxxd1)(lndxxxd211)(arcsindxxxd211)(arccosdxxxd211)(arctandxxxd211)cotarc(微分公式: 導數(shù)公式: 第9頁/共23頁2、 微分的四則運算法則微分的四則運算法則設 u(x) , v(x)

7、均可微 , 則)(d. 1vu )(d. 2uC(C 為常數(shù))(d. 3vu)0()(d. 4vvu分別可微 ,)(, )(xuufy )(xfy的微分為xyyxddxxufd)()(uduufyd)(d微分形式不變微分形式不變3. 復合函數(shù)的微分則復合函數(shù)vudd uCdvuuvdd 2ddvvuuv第10頁/共23頁 在求復合函數(shù)的導數(shù)時 可以不寫出中間變量 例3 ysin(2x1) 求dy 2cos(2x1)dx cos(2x1)2dxcos(2x1)d(2x1)dyd(sin u)cos udu 若yf(u) uj(x) 則dyf (u)du 解 把2x1看成中間變量u 則 例4 例例

8、 4 )1ln(2xey 求 dy )1 (11)1ln(222xxxedeeddyxdxeexdeexxxx211)(1122222dxexexx2212 解 )1 (11)1ln(222xxxedeeddy xdxeexdeexxxx211)(1122222dxexexx2212xdxeexdeexxxx211)(1122222dxexexx2212 第11頁/共23頁例例5. 設,0)cos(sinyxxy求 .dy解解: 利用一階微分形式不變性 , 有0)d(cos()sin( dyxxyxxyyxdcosdsin)sin(yx0)d(d yxxyd d )sin(cosyxxyxyx

9、sin)sin(例例6. 在下列括號中填入適當?shù)暮瘮?shù)使等式成立:xxd) d() 1 (tt dcos) d()2(221xtsin1說明說明: 上述微分的反問題是不定積分要研究的內(nèi)容.CC注意: 數(shù)學中的反問題往往出現(xiàn)多值性.第12頁/共23頁四、微分在近似計算中的應用1.函數(shù)的近似計算 )()(0 xoxxfy當x很小時,)()(00 xfxxfyxxf)(0 xxfxfxxf)()()(000 xxx0令使用原則使用原則:;)(, )() 100好算xfxf.)20靠近與xx)()()(000 xxxfxfxf得近似等式:第13頁/共23頁特別當xx,00很小時,xffxf)0()0()

10、(常用近似公式常用近似公式:x1)1 () 1 (x很小)x(xxxx1xsin)2(xe)3(xtan)4( )1ln()5(x證明證明:令)1 ()(xxf得, 1)0(f)0(f,很小時當 xxx1)1 (第14頁/共23頁180dx29sin的近似值 .解解: 設,sin)(xxf取300 x,62929180 x則2123)0175. 0(485. 06sin6cos)180(例例7. 求18029sin29sin5245的近似值 .解解:24335524551)2243(51)24321(33)2432511(0048. 3例例8. 計算xx1)1 (第15頁/共23頁例例9. 有

11、一批半徑為1cm 的球 , 為了提高球面的光潔度,解解: 已知球體體積為334RV鍍銅體積為 V 在01. 0, 1RR時體積的增量,VVVd01. 01RRRR 2401. 01RR)(cm13. 03因此每只球需用銅約為16. 113. 09 . 8( g )用銅多少克 . )cmg9 . 8:(3銅的密度估計一下, 每只球需要鍍上一層銅 ,厚度定為 0.01cm , 第16頁/共23頁2.誤差估計 某量的精確值為 A ,其近似值為 a ,aA稱為a 的絕對誤差絕對誤差aaA稱為a 的相對誤差相對誤差若AaAA稱為測量 A 的絕對誤差限絕對誤差限aA稱為測量 A 的相對誤差限相對誤差限第1

12、7頁/共23頁誤差傳遞公式誤差傳遞公式 :已知測量誤差限為,x按公式)(xfy 計算 y 值時的誤差yydxxf)(xxf)(故 y 的絕對誤差限約為xyxf)(相對誤差限約為xyxfxfy)()(若直接測量某量得 x ,第18頁/共23頁例例10. 設測得圓鋼截面的直徑 mm,0 .60D測量D 的 絕對誤差限,mm05. 0D欲利用公式24DA圓鋼截面積 ,解解:計算 A 的絕對誤差限約為DAADD205. 00 .602715. 4 A 的相對誤差限約為242DDADADD20 .6005. 02%17. 0試估計面積的誤差 . 計算(mm)第19頁/共23頁練習練習1.xxeed )d(arctanxe211xd xxee21dtan2.dsinxxx3sec3. d( )sin2 dxxCx2cos21第20頁/共23