【高一數(shù)學】4高一數(shù)學(人教新課標A版)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性教案!模版課件

1、 函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性一、目標認知學習目標： 1.理解函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性定義；2.會判斷函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、證明函數(shù)在給定區(qū)間上的單調(diào)性；3.會利用圖象和定義判斷函數(shù)的奇偶性；4.掌握利用函數(shù)性質在解決有關綜合問題方面的應用.重點、難點： 1.對于函數(shù)單調(diào)性的理解；2.函數(shù)性質的應用.二、知識要點梳理1.函數(shù)的單調(diào)性(1)增函數(shù)、減函數(shù)的概念一般地，設函數(shù)f(x)的定義域為A，區(qū)間如果對于M內(nèi)的任意兩個自變量的值x1、x2，當x1x2時，都有f(x1)f(x2)，那么就說f(x)在區(qū)間M上是增函數(shù)；如果對于M內(nèi)的任意兩個自變量的值x1、x2，當x1x2時，都有f(x1)f(x2)，那么就說f(x

2、)在區(qū)間M上是減函數(shù).如果函數(shù)f(x)在區(qū)間M上是增函數(shù)或減函數(shù)，那么就說函數(shù)f(x)在區(qū)間M上具有單調(diào)性，M稱為函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間.要點詮釋：1“任意和“都；2單調(diào)區(qū)間與定義域的關系-局部性質；3單調(diào)性是通過函數(shù)值變化與自變量的變化方向是否一致來描述函數(shù)性質的；4不能隨意合并兩個單調(diào)區(qū)間.(2)解析式，如何判斷一個函數(shù)在所給區(qū)間上的單調(diào)性？根本方法：觀察圖形或依據(jù)定義.2.函數(shù)的奇偶性偶函數(shù)：假設對于定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(-x)=f(x)，那么f(x)稱為偶函數(shù).奇函數(shù)：假設對于定義域內(nèi)的任意一個x，都有f(-x)=-f(x)，那么f(x)稱為奇函數(shù).要點詮釋：1奇偶性是整體性質

3、；2x在定義域中，那么-x在定義域中嗎？-具有奇偶性的函數(shù)，其定義域必定是關于原點對稱的；3f(-x)=f(x)的等價形式為：， f(-x)=-f(x)的等價形式為：；4由定義不難得出假設一個函數(shù)是奇函數(shù)且在原點有定義，那么必有f(0)=0；5假設f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，那么必有f(x)=0；6， .三、規(guī)律方法指導1.證明函數(shù)單調(diào)性的步驟： (1)取值.設是定義域內(nèi)一個區(qū)間上的任意兩個量，且；(2)變形.作差變形變形方法：因式分解、配方、有理化等或作商變形；(3)定號.判斷差的正負或商與1的大小關系；(4)得出結論.2.函數(shù)單調(diào)性的判斷方法： (1)定義法；(2)圖象法；(3)對于復合

4、函數(shù)，假設在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù)，那么在區(qū)間 或者上是單調(diào)函數(shù)；假設與單調(diào)性相同同時為增或 同時為減，那么為增函數(shù)；假設與單調(diào)性相反，那么為 減函數(shù).3.常見結論: (1)假設是增函數(shù)，那么為減函數(shù)；假設是減函數(shù)，那么為增函數(shù)；(2)假設和均為增或減函數(shù)，那么在和的公共定義域上為增或減) 函數(shù)；(3)假設且為增函數(shù)，那么函數(shù)為增函數(shù)，為減函數(shù)； 假設且為減函數(shù)，那么函數(shù)為減函數(shù)，為增函數(shù).(4)假設奇函數(shù)在上是增函數(shù)，且有最大值，那么在是增函數(shù)，且有最小值 ；假設偶函數(shù)在是減函數(shù)，那么在是增函數(shù).經(jīng)典例題透析類型一、函數(shù)的單調(diào)性的證明1.證明函數(shù)上的單調(diào)性. 證明：在(0，+)上任取x1、x2(x

5、1x2)， 令x=x2-x10 那么 x10，x20， 上式0，y=f(x2)-f(x1)0 上遞減.總結升華：1證明函數(shù)單調(diào)性要求使用定義；2如何比擬兩個量的大小？(作差)3如何判斷一個式子的符號？(對差適當變形)舉一反三：【變式1】用定義證明函數(shù)上是減函數(shù).思路點撥：此題考查對單調(diào)性定義的理解，在現(xiàn)階段，定義是證明單調(diào)性的唯一途徑.證明：設x1，x2是區(qū)間上的任意實數(shù)，且x1x2，那么 0 x1x21 x1-x20，0 x1x21 0 x1x21 故，即f(x1)-f(x2)0 x1x2時有f(x1)f(x2) 上是減函數(shù).總結升華：可以用同樣的方法證明此函數(shù)在上是增函數(shù)；在今后的學習中經(jīng)

6、常會碰到這個函數(shù)，在此可以嘗試利用函數(shù)的單調(diào)性大致給出函數(shù)的圖象.類型二、求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間2. 判斷以下函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； (1)y=x2-3|x|+2； (2)解：(1)由圖象對稱性，畫出草圖f(x)在上遞減，在上遞減，在上遞增.(2) 圖象為 f(x)在上遞增.舉一反三：【變式1】求以下函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(1)y=|x+1|； (2)(3).解：(1)畫出函數(shù)圖象， 函數(shù)的減區(qū)間為，函數(shù)的增區(qū)間為(-1，+)；(2)定義域為， 其中u=2x-1為增函數(shù)，在(-，0)與(0，+)為減函數(shù)， 那么上為減函數(shù)；(3)定義域為(-，0)(0，+)，單調(diào)增區(qū)間為：(-，0)，單調(diào)減區(qū)間為(0，+).總結

7、升華：1數(shù)形結合利用圖象判斷函數(shù)單調(diào)區(qū)間；2關于二次函數(shù)單調(diào)區(qū)間問題，單調(diào)性變化的點與對稱軸相關.3復合函數(shù)的單調(diào)性分析：先求函數(shù)的定義域；再將復合函數(shù)分解為內(nèi)、外層函數(shù)；利用函數(shù)的單調(diào)性解決.關注：內(nèi)外層函數(shù)同向變化復合函數(shù)為增函數(shù)；內(nèi)外層函數(shù)反向變化復合函數(shù)為減函數(shù).類型三、單調(diào)性的應用(比擬函數(shù)值的大小，求函數(shù)值域，求函數(shù)的最大值或最小值) 3. 函數(shù)f(x)在(0，+)上是減函數(shù)，比擬f(a2-a+1)與的大小. 解： 又f(x)在(0，+)上是減函數(shù)，那么.4. 求以下函數(shù)值域： (1)； 1)x5，10； 2)x(-3，-2)(-2，1)；(2)y=x2-2x+3； 1)x-1，1

8、； 2)x-2，2.思路點撥：(1)可應用函數(shù)的單調(diào)性；(2)數(shù)形結合.解：(1)2個單位，再上移2個單位得到，如圖 1)f(x)在5，10上單增，； 2)；(2)畫出草圖 1)yf(1)，f(-1)即2，6； 2).舉一反三：【變式1】函數(shù).(1)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)當x1，3時，求函數(shù)f(x)的值域.思路點撥：這個函數(shù)直接觀察恐怕不容易看出它的單調(diào)區(qū)間，但對解析式稍作處理，即可得到我們相對熟悉的形式.，第二問即是利用單調(diào)性求函數(shù)值域.解：(1)上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增； (2)故函數(shù)f(x)在1，3上單調(diào)遞增x=1時f(x)有最小值，f(1)=-2x=3時f(x)有最大值x1

9、，3時f(x)的值域為.5. 二次函數(shù)f(x)=x2-(a-1)x+5在區(qū)間上是增函數(shù)，求：(1)實數(shù)a的取值范圍；(2)f(2)的取值范圍. 解：(1)對稱軸是決定f(x)單調(diào)性的關鍵，聯(lián)系圖象可知只需； (2)f(2)=22-2(a-1)+5=-2a+11又a2，-2a-4f(2)=-2a+11-4+11=7.類型四、判斷函數(shù)的奇偶性6. 判斷以下函數(shù)的奇偶性： (1) (2)(3)f(x)=x2-4|x|+3 (4)f(x)=|x+3|-|x-3| (5)(6) (7)思路點撥：根據(jù)函數(shù)的奇偶性的定義進行判斷.解：(1)f(x)的定義域為，不關于原點對稱，因此f(x)為非奇非偶函數(shù)；(2

10、)x-10，f(x)定義域不關于原點對稱，f(x)為非奇非偶函數(shù)；(3)對任意xR，都有-xR，且f(-x)=x2-4|x|+3=f(x)，那么f(x)=x2-4|x|+3為偶函數(shù) ；(4)xR，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，f(x)為奇函數(shù)；(5) ，f(x)為奇函數(shù)；(6)xR，f(x)=-x|x|+x f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，f(x)為奇函數(shù)；(7)，f(x)為奇函數(shù).舉一反三：【變式1】判斷以下函數(shù)的奇偶性：(1)； (2)f(x)=|x+1|-|x-1|； (3)f(x)=x2+x+1；(4).

11、思路點撥：利用函數(shù)奇偶性的定義進行判斷.解：(1)；(2)f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=-(|x+1|-|x-1|)=-f(x) f(x)為奇函數(shù)；(3)f(-x)=(-x)2+(-x)+1=x2-x+1 f(-x)-f(x)且f(-x)f(x) f(x)為非奇非偶函數(shù)；(4)任取x0那么-x0，f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-(-x2+2x+1)=-f(x) 任取x0，那么-x0 f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-(x2+2x-1)=-f(x) x=0時，f(0)=-f(0) xR時，f(-x)=-f(x) f(x)為奇函數(shù).舉

12、一反三：【變式2】f(x)，g(x)均為奇函數(shù)，且定義域相同，求證：f(x)+g(x)為奇函數(shù)，f(x)g(x)為偶函數(shù).證明：設F(x)=f(x)+g(x)，G(x)=f(x)g(x)那么 F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-f(x)+g(x)=-F(x) G(-x)=f(-x)g(-x)=-f(x)-g(x)=f(x)g(x)=G(x) f(x)+g(x)為奇函數(shù)，f(x)g(x)為偶函數(shù).類型五、函數(shù)奇偶性的應用(求值，求解析式，與單調(diào)性結合) 7.f(x)=x5+ax3-bx-8，且f(-2)=10，求f(2). 解：法一：f(-2)=(-2)5+(-2)3a-

13、(-2)b-8=-32-8a+2b-8=-40-8a+2b=108a-2b=-50 f(2)=25+23a-2b-8=8a-2b+24=-50+24=-26法二：令g(x)=f(x)+8易證g(x)為奇函數(shù)g(-2)=-g(2) f(-2)+8=-f(2)-8f(2)=-f(-2)-16=-10-16=-26.8. f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且當x0時，f(x)=x2-x，求當x0時，f(x)的解析式，并畫出函數(shù)圖象. 解：奇函數(shù)圖象關于原點對稱， x0時，-y=(-x)2-(-x)即y=-x2-x又f(0)=0，如圖9. 設定義在-3，3上的偶函數(shù)f(x)在0，3上是單調(diào)遞增，當f(a-

14、1)f(a)時，求a的取值范圍. 解：f(a-1)f(a) f(|a-1|)f(|a|)而|a-1|，|a|0，3.類型六、綜合問題10.定義在R上的奇函數(shù)f(x)為增函數(shù)，偶函數(shù)g(x)在區(qū)間的圖象與f(x)的圖象重合， 設ab0，給出以下不等式，其中成立的是_.f(b)-f(-a)g(a)-g(-b)； f(b)-f(-a)g(a)-g(-b)；f(a)-f(-b)g(b)-g(-a)； f(a)-f(-b)g(b)-g(-a).答案：.11. 求以下函數(shù)的值域： (1) (2) (3)思路點撥：(1)中函數(shù)為二次函數(shù)開方，可先求出二次函數(shù)值域；(2)由單調(diào)性求值域，此題也可換元解決；(3

15、)單調(diào)性無法確定，經(jīng)換元后將之轉化為熟悉二次函數(shù)情形，問題得到解決，需注意此時t范圍.解：(1)；(2)經(jīng)觀察知，；(3)令.12. 函數(shù)f(x)=x2-2ax+a2-1. (1)假設函數(shù)f(x)在區(qū)間0，2上是單調(diào)的，求實數(shù)a的取值范圍；(2)當x-1，1時，求函數(shù)f(x)的最小值g(a)，并畫出最小值函數(shù)y=g(a)的圖象.解：(1)f(x)=(x-a)2-1 a0或a2(2)1當a-1時，如圖1，g(a)=f(-1)=a2+2a 2當-1a1時，如圖2，g(a)=f(a)=-1 3當a1時，如圖3，g(a)=f(1)=a2-2a ，如圖13. 函數(shù)f(x)在定義域(0，+)上為增函數(shù)，f

16、(2)=1，且定義域上任意x、y都滿足f(xy)=f(x)+f(y)，解不等式：f(x)+f(x-2)3. 解：令x=2，y=2，f(22)=f(2)+f(2)=2 f(4)=2再令x=4，y=2，f(42)=f(4)+f(2)=2+1=3 f(8)=3f(x)+f(x-2)3可轉化為：fx(x-2)f(8).14. 判斷函數(shù)上的單調(diào)性，并證明. 證明：任取0 x1x2， 0 x1x2，x1-x20，x1x20 (1)當時 0 x1x21，x1x2-10 f(x1)-f(x2)0即f(x1)f(x2) 上是減函數(shù). (2)當x1，x2(1，+)時， 上是增函數(shù).難點：x1x2-1的符號確實定，

17、如何分段.15. 設a為實數(shù)，函數(shù)f(x)=x2+|x-a|+1，xR，試討論f(x)的奇偶性，并求f(x)的最小值. 解：當a=0時，f(x)=x2+|x|+1，此時函數(shù)為偶函數(shù)；當a0時，f(x)=x2+|x-a|+1，為非奇非偶函數(shù).(1)當xa時， 1 且 2上單調(diào)遞增，上的最小值為f(a)=a2+1.(2)當xa時， 1上單調(diào)遞減，上的最小值為f(a)=a2+1 2上的最小值為綜上：.學習成果測評根底達標一、選擇題1下面說法正確的選項( )A函數(shù)的單調(diào)區(qū)間就是函數(shù)的定義域B函數(shù)的多個單調(diào)增區(qū)間的并集也是其單調(diào)增區(qū)間C具有奇偶性的函數(shù)的定義域定關于原點對稱D關于原點對稱的圖象一定是奇函

18、數(shù)的圖象2在區(qū)間上為增函數(shù)的是( )A B C D3函數(shù)為偶函數(shù)，那么的值是( )A. B. C. D. 4假設偶函數(shù)在上是增函數(shù)，那么以下關系式中成立的是( )ABCD5如果奇函數(shù)在區(qū)間 上是增函數(shù)且最大值為，那么在區(qū)間上是( )A增函數(shù)且最小值是 B增函數(shù)且最大值是C減函數(shù)且最大值是 D減函數(shù)且最小值是6設是定義在上的一個函數(shù)，那么函數(shù)，在上一定是( )A奇函數(shù) B偶函數(shù) C既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D非奇非偶函數(shù).7以下函數(shù)中，在區(qū)間上是增函數(shù)的是( )A B C D8函數(shù)f(x)是定義在-6，6上的偶函數(shù)，且在-6，0上是減函數(shù)，那么( )A. f(3)+f(4)0 B. f(-3)-f(

19、2)0 C. f(-2)+f(-5)0 D. f(4)-f(-1)0二、填空題1設奇函數(shù)的定義域為，假設當時， 的圖象 如右圖，那么不等式的解是_.2函數(shù)的值域是_.3，那么函數(shù)的值域是_.4假設函數(shù)是偶函數(shù)，那么的遞減區(qū)間是_.5函數(shù)在R上為奇函數(shù)，且，那么當，_.三、解答題1判斷一次函數(shù)反比例函數(shù)，二次函數(shù)的單調(diào)性.2函數(shù)的定義域為，且同時滿足以下條件：(1)是奇函數(shù)；(2)在定義域上 單調(diào)遞減；(3)求的取值范圍.3利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域；4函數(shù). 當時，求函數(shù)的最大值和最小值； 求實數(shù)的取值范圍，使在區(qū)間上是單調(diào)函數(shù).能力提升一、選擇題1以下判斷正確的選項是( )A函數(shù)是奇函數(shù)

20、B函數(shù)是偶函數(shù)C函數(shù)是非奇非偶函數(shù) D函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)2假設函數(shù)在上是單調(diào)函數(shù)，那么的取值范圍是( ) A B CD3函數(shù)的值域為( )A B CD4函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，那么實數(shù)的取值范圍是( )A B C D5以下四個命題：(1)函數(shù)在時是增函數(shù)，也是增函數(shù)，所以是增函數(shù)；(2)假設 函數(shù)與軸沒有交點，那么且；(3) 的遞增區(qū)間 為；(4) 和表示相等函數(shù).其中正確命題的個數(shù)是( )A B C D6定義在R上的偶函數(shù)，滿足，且在區(qū)間上為遞增，那么( )A B C D二、填空題1函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間是_.2定義在上的奇函數(shù)，當時，那么時，_.3假設函數(shù)在上是奇函數(shù)，那么的解析式為_.4

21、奇函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，在區(qū)間上的最大值為8，最小值為-1， 那么_.5假設函數(shù)在上是減函數(shù)，那么的取值范圍為_.三、解答題1判斷以下函數(shù)的奇偶性(1) (2)2函數(shù)的定義域為，且對任意，都有，且當時，恒成立，證明：(1)函數(shù)是上的減函數(shù)；(2)函數(shù)是奇函數(shù). 3設函數(shù)與的定義域是且，是偶函數(shù)， 是奇函數(shù)，且，求和的解析式.4設為實數(shù)，函數(shù)，.(1)討論的奇偶性；(2)求的最小值.綜合探究1函數(shù)，那么的奇偶性依次 為( )A偶函數(shù)，奇函數(shù) B奇函數(shù)，偶函數(shù)C偶函數(shù)，偶函數(shù) D奇函數(shù)，奇函數(shù)2假設是偶函數(shù)，其定義域為，且在上是減函數(shù)，那么的 大小關系是( )A B C D3，那么_.4假設在區(qū)間上是增函數(shù)，那么的取值范圍是_.5函數(shù)的定義域是，且滿足，如果對于，都有，(1)求；(2)解不等式.6當時，求函數(shù)的最小值.7在區(qū)間內(nèi)有一最大值，求的值.8函數(shù)的最大值不大于，又當，求的值.答案與解析根底達標一、選擇題 1.C.2.B.3.B. 奇次項系數(shù)為4.D. 5.A. 奇函數(shù)關于原點對稱，左右兩邊有相同的單調(diào)性6.A. 7.A. 在上遞減，在上遞減，在上遞減8.D.二、填空題1. 奇函數(shù)關于原點對稱，補足左邊的圖象2. 是的增函數(shù)，當時，3. 該函數(shù)為增函數(shù)，自變量最小時，函數(shù)值最?。蛔宰兞孔畲髸r，函數(shù)值最大4. 5.三、解答題1解：當，在