工程力學(xué)(II)重修與輔導(dǎo)1

1、1 12一點(diǎn)的正應(yīng)變與切應(yīng)變一點(diǎn)的正應(yīng)變與切應(yīng)變變形體在受力后變形體在受力后, 整個(gè)介質(zhì)區(qū)域內(nèi)每一點(diǎn)都有可能發(fā)生形變和位移整個(gè)介質(zhì)區(qū)域內(nèi)每一點(diǎn)都有可能發(fā)生形變和位移. 現(xiàn)在來(lái)考現(xiàn)在來(lái)考察其中的某一點(diǎn)在平面內(nèi)的相對(duì)變形察其中的某一點(diǎn)在平面內(nèi)的相對(duì)變形, 最方便的描述是將此點(diǎn)在變形前取為長(zhǎng)最方便的描述是將此點(diǎn)在變形前取為長(zhǎng)方形方形. 于是于是, 其變形的描述可如下圖示其變形的描述可如下圖示.MLNx y N M L u v 此介質(zhì)區(qū)域內(nèi)的平均應(yīng)變此介質(zhì)區(qū)域內(nèi)的平均應(yīng)變:縱橫纖維的角度變化縱橫纖維的角度變化(角應(yīng)變角應(yīng)變)水平方向水平方向(x 軸方向軸方向)線應(yīng)變線應(yīng)變xumx 豎直方向豎直方向(y

2、 軸方向軸方向)線應(yīng)變線應(yīng)變yvmy NMLm 2對(duì)對(duì)M點(diǎn)點(diǎn):dxduxuxx 0limdydvyvyy 0lim tgNMLMLMN)2(lim00注意注意: 這里的形變這里的形變相對(duì)于構(gòu)件的原來(lái)相對(duì)于構(gòu)件的原來(lái)的尺寸仍然是很微的尺寸仍然是很微小的小的.3例例1. 兩邊固定的薄板兩邊固定的薄板, 變形后變形后ab, ad 保持為直線保持為直線, a點(diǎn)沿垂直向下移動(dòng)了點(diǎn)沿垂直向下移動(dòng)了0.025mm. 求求: ab邊的平均應(yīng)變邊的平均應(yīng)變, ab, ad 兩邊的夾角的變化兩邊的夾角的變化.200250abda0.025解解:ab邊的平均應(yīng)變?yōu)檫叺钠骄鶓?yīng)變?yōu)?1025. 1200025. 0 a

3、baamab, ad兩邊的交角變化為兩邊的交角變化為4100 . 1250025. 02 tgdab 正應(yīng)變也稱線應(yīng)變或伸長(zhǎng)應(yīng)變正應(yīng)變也稱線應(yīng)變或伸長(zhǎng)應(yīng)變, 切應(yīng)變也稱角應(yīng)變或剪應(yīng)變切應(yīng)變也稱角應(yīng)變或剪應(yīng)變. 應(yīng)變是由應(yīng)力引起的應(yīng)變是由應(yīng)力引起的, 在各向同性材料的小變形力學(xué)效應(yīng)中在各向同性材料的小變形力學(xué)效應(yīng)中,正應(yīng)力引起正應(yīng)力引起正應(yīng)變正應(yīng)變, 切應(yīng)力引起切應(yīng)變切應(yīng)力引起切應(yīng)變.4桿件變形的基本形式桿件變形的基本形式1. 軸向拉伸和壓縮軸向拉伸和壓縮2. 剪切剪切鍵鍵, 銷釘銷釘, 鉚釘鉚釘?shù)冗B接件等連接件(見(jiàn)見(jiàn)p9)53. 扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)(圓軸圓軸)eMeM4.平面彎曲平面彎曲載荷在構(gòu)件載荷在

4、構(gòu)件(梁梁)的縱向的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)對(duì)稱面內(nèi), 且與軸向垂且與軸向垂直直.(見(jiàn)見(jiàn)p10)(見(jiàn)見(jiàn)p10)6 第一章第一章 軸向拉伸與壓縮軸向拉伸與壓縮橫截面上的力或合力過(guò)軸心線橫截面上的力或合力過(guò)軸心線軸的縱向纖維均勻被拉壓軸的縱向纖維均勻被拉壓, 橫截面上只有正應(yīng)力橫截面上只有正應(yīng)力 一一. 軸力和軸力圖軸力和軸力圖 在桿件軸向拉壓的狀態(tài)下在桿件軸向拉壓的狀態(tài)下, 桿件截面上的力桿件截面上的力,稱為軸力稱為軸力,它是由外力引起的桿它是由外力引起的桿件內(nèi)截面之間的相互作用力件內(nèi)截面之間的相互作用力. 求某處軸力求某處軸力, 須在此處用截面法須在此處用截面法, 將此處截開(kāi)將此處截開(kāi), 分析截開(kāi)后的一段

5、桿件的平分析截開(kāi)后的一段桿件的平衡衡,從而求得此處截面內(nèi)的軸力從而求得此處截面內(nèi)的軸力.橫截面橫截面: 與軸線垂直的截面與軸線垂直的截面 . 內(nèi)力內(nèi)力: 截面上應(yīng)力的合成效應(yīng)截面上應(yīng)力的合成效應(yīng) . 軸向拉壓時(shí)軸向拉壓時(shí), 桿中的內(nèi)力稱為軸力桿中的內(nèi)力稱為軸力. 內(nèi)力的計(jì)算內(nèi)力的計(jì)算 截面法截面法 軸力的正負(fù)規(guī)定軸力的正負(fù)規(guī)定: 軸力的正負(fù)與坐標(biāo)軸的取向無(wú)關(guān)軸力的正負(fù)與坐標(biāo)軸的取向無(wú)關(guān), 而是與受力體的變形有關(guān)而是與受力體的變形有關(guān). 使物體受拉的軸力使物體受拉的軸力為正為正, 使物體受壓的軸力為負(fù)使物體受壓的軸力為負(fù). 7例例2 . 求活塞桿上橫截面求活塞桿上橫截面 1 1 , 2 2 上的

6、軸力上的軸力, 并作其軸力圖并作其軸力圖. ( p 12 14 )解解: 取活塞桿為研究對(duì)象取活塞桿為研究對(duì)象沿沿1 1 截面截開(kāi)截面截開(kāi), 取左段分析取左段分析111F1NFkNF32. 13 kNF62. 21 kNF30. 12 1122ABC:0 xF 壓壓kNFFFFNN62. 201111 沿沿2 2 截面截開(kāi)截面截開(kāi), 取右段分析取右段分析3F2NF22:0 xF 壓壓kNFFFFNN32. 103232 若若沿沿2 2 截面截開(kāi)截面截開(kāi), 取左段分析取左段分析2NF kNF62. 21 kNF30. 12 1122AB所得的結(jié)果仍有所得的結(jié)果仍有: 壓壓kNFN32. 12 8

7、沿沿1 1 截面截開(kāi)截面截開(kāi), 取左段分析取左段分析111F1NFkNF32. 13 kNF62. 21 kNF30. 12 1122ABC:0 xF 壓壓kNFFFFNN62. 201111 沿沿2 2 截面截開(kāi)截面截開(kāi), 取右段分析取右段分析3F2NF22:0 xF 壓壓kNFFFFNN32. 103232 軸力圖軸力圖: kNFNx( )2.621.32(桿件內(nèi)各截面受力情桿件內(nèi)各截面受力情況描述的圖像況描述的圖像)桿件中間有載荷就會(huì)引起軸力的改變桿件中間有載荷就會(huì)引起軸力的改變(內(nèi)力的改變由外力引起內(nèi)力的改變由外力引起)9例例3. 作圖示直桿的軸力和軸力圖作圖示直桿的軸力和軸力圖,已知

8、約束及外載荷如圖示已知約束及外載荷如圖示.kN50NFx501020 軸力是內(nèi)力軸力是內(nèi)力,由外載荷引起由外載荷引起, 軸力是截面應(yīng)力的集成量軸力是截面應(yīng)力的集成量.解解: 由整體平衡求約束力由整體平衡求約束力kN20kN30kN40A kNFA50 由截面法取平衡體分析由截面法取平衡體分析可由載荷圖求得軸力圖可由載荷圖求得軸力圖10二二. 軸向拉壓桿橫截面上的應(yīng)力軸向拉壓桿橫截面上的應(yīng)力mmFFFmmNFFNFmm這里這里, 橫截面上只有正應(yīng)力橫截面上只有正應(yīng)力(正應(yīng)力正應(yīng)力: 垂直于截面的應(yīng)力垂直于截面的應(yīng)力)AFN 11 AW1NF2NF例例 4 圖示一懸臂吊車的計(jì)算簡(jiǎn)圖圖示一懸臂吊車的

9、計(jì)算簡(jiǎn)圖. 斜桿斜桿AB為直徑為直徑d = 20mm的鋼桿的鋼桿, 載荷載荷W = 15kN. 求求AB桿橫截面上的應(yīng)力桿橫截面上的應(yīng)力.解解: 取鉸取鉸A為研究對(duì)象為研究對(duì)象.388. 08 . 09 . 18 . 0sin22 WABC 0.8m1.9m:0 yF0sin1 WFN kNWFN7 .38sin1 MPaAFN18.123204107 .38231 AB桿橫截面受桿橫截面受123.18MPa拉應(yīng)力拉應(yīng)力12adFNABFNBCBF030CAB030F解解: 取取B點(diǎn)為研究對(duì)象點(diǎn)為研究對(duì)象:0 yF030sin0 FFNAB kNFFNAB202 :0 xF030cos0 NB

10、CNABFF kNFNBC310 例例5. 圖示支架圖示支架, AB桿為圓截面桿桿為圓截面桿, d = 30mm, BC桿為正方形截面桿桿為正方形截面桿, 其邊長(zhǎng)其邊長(zhǎng) a = 60 mm , F = 10 kN . 試求試求AB桿和桿和BC 桿橫截面上的應(yīng)力桿橫截面上的應(yīng)力.AB桿橫截面上應(yīng)力桿橫截面上應(yīng)力:BC桿橫截面上應(yīng)力桿橫截面上應(yīng)力:MPaAFABNABAB3 .28304200002 (拉拉)MPaAFBCNBCBC8 . 4603100002 (壓壓)13例例6. 在圖示的簡(jiǎn)易吊車中在圖示的簡(jiǎn)易吊車中, BC為鋼桿為鋼桿, AB為木桿為木桿. 已知鋼桿的橫截面面積已知鋼桿的橫截面

11、面積 A1 = 5cm2 , 其許用應(yīng)力其許用應(yīng)力 =140Mpa;木桿的橫截面面積木桿的橫截面面積A2 = 100cm2 其許其許用應(yīng)力用應(yīng)力 2 =7Mpa. 試確定許可的吊重試確定許可的吊重P = ? AB木桿木桿C鋼桿鋼桿P300解解取取B點(diǎn)分析受力點(diǎn)分析受力P1NF2NFB030:0 yF030sin01 PFNPFN21 :0 xF030cos210 NNFFPFN32 1405002111 PAFNBC NP350001 7100003222 PAFNAB NP5 .404142 吊重的許可載荷為吊重的許可載荷為35000(N).14FFmmkk 三三. 直桿軸向拉伸或壓縮時(shí)斜截

12、面上的應(yīng)力直桿軸向拉伸或壓縮時(shí)斜截面上的應(yīng)力應(yīng)力狀態(tài)與所在的截面有關(guān)應(yīng)力狀態(tài)與所在的截面有關(guān), 直桿軸向拉伸和壓縮時(shí)直桿軸向拉伸和壓縮時(shí), 桿的橫截面上只有正桿的橫截面上只有正應(yīng)力應(yīng)力( 即垂直于截面的應(yīng)力即垂直于截面的應(yīng)力 ) . 如果考查與軸線成一角度的斜截面上的應(yīng)力如果考查與軸線成一角度的斜截面上的應(yīng)力, 則情況便有所不同則情況便有所不同. 截面截面m m 上上AF 截面截面k k 上上 AFpFF pkkFkk p : A斜截面面積斜截面面積 coscoscosAFAFAFp將斜截面上的應(yīng)力將斜截面上的應(yīng)力p 分解為正應(yīng)力和切應(yīng)力分解為正應(yīng)力和切應(yīng)力 2cos12coscos2p 2s

13、in2sincossinp15Fkk p 2cos12coscos2p 2sin2sincossinp重要結(jié)論重要結(jié)論: 截面的方位不同截面的方位不同, 其應(yīng)力的表現(xiàn)就不同其應(yīng)力的表現(xiàn)就不同. 當(dāng)當(dāng) = 0, 斜截面斜截面k k 便成了便成了垂直于軸線的橫截面垂直于軸線的橫截面. 此時(shí)此時(shí), = 0 , = max = AF 當(dāng)當(dāng) = 45, 此斜截面上有此斜截面上有220045max45 16例例7 (習(xí)習(xí)2 6 ) 直徑為直徑為10mm的圓桿的圓桿, 在拉力在拉力F = 10kN的作用下的作用下,試求最大的切應(yīng)試求最大的切應(yīng)力力, 并求與橫截面的夾角為并求與橫截面的夾角為 = 300 的斜

14、截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力的斜截面上的正應(yīng)力和切應(yīng)力.FF030F030 030 解解: 由由 2cos12cos2 2sin2sincos 當(dāng)當(dāng) = 45, 此斜截面上有此斜截面上有2max450 MPaAF66.631010104212123max MPa49.9560cos166.63030 MPa13.5560sin66.63030 17四四 . 軸向拉伸或壓縮時(shí)的變形軸向拉伸或壓縮時(shí)的變形F F ll11bb軸向伸長(zhǎng)軸向伸長(zhǎng)lll 1軸向線應(yīng)變軸向線應(yīng)變ll 在線彈性變形階段在線彈性變形階段 E橫向向線應(yīng)變橫向向線應(yīng)變bbbbb 1 實(shí)驗(yàn)可得實(shí)驗(yàn)可得 稱為泊松比稱為泊松比, 是材料的一個(gè)

15、常數(shù)是材料的一個(gè)常數(shù). 軸向拉壓的虎克定律軸向拉壓的虎克定律:EAFll 基本變形公式基本變形公式18例例8. 變截面直桿如圖所示變截面直桿如圖所示. 已知已知: A1 = 8cm2 , A2 = 4cm2 , E = 200GPa . 求求: 桿的總伸長(zhǎng)桿的總伸長(zhǎng) l =? 40kN60kN200200A1A220kN04001020020020000800102002004000033221121 EALFEALFlNN A1截面上的軸力截面上的軸力FN1 = - 40kN, A2 截面上的軸力截面上的軸力FN2 = 20kN . NiiiiiAElFl1 19例例9. 上段由銅下段由鋼做

16、成的直桿上段由銅下段由鋼做成的直桿, 其兩端固定其兩端固定, 在兩端連接的地方受到力在兩端連接的地方受到力 P = 100kN作用作用. 已知已知 E銅銅 = 100GPa, E鋼鋼 = 200GPa. 設(shè)桿的橫截面面積都為設(shè)桿的橫截面面積都為 A =20cm2. 求桿內(nèi)各段橫截面上的應(yīng)力求桿內(nèi)各段橫截面上的應(yīng)力.銅銅鋼鋼40cm20cmP1NF2NF解解: 由靜力平衡方程由靜力平衡方程021 PFFNN 110100321 NNFF由于兩端固定由于兩端固定, 則有則有021 即即AElFAElFNN鋼鋼銅銅2211 32311020020010100400 NNFF 2412NNFF 由由(

17、1)、(2)可得可得: NFN311020 NFN321080 銅桿內(nèi)應(yīng)力銅桿內(nèi)應(yīng)力: 拉拉MPaAFN10200010203111 鋼桿內(nèi)應(yīng)力鋼桿內(nèi)應(yīng)力: 壓壓MPaAFN40200010803222 20第二章第二章 圓軸扭轉(zhuǎn)圓軸扭轉(zhuǎn)扭轉(zhuǎn)實(shí)例扭轉(zhuǎn)實(shí)例對(duì)稱扳對(duì)稱扳手?jǐn)Q緊鏍帽手?jǐn)Q緊鏍帽傳動(dòng)軸傳動(dòng)軸21外加力偶矩與功率和轉(zhuǎn)速的關(guān)系外加力偶矩與功率和轉(zhuǎn)速的關(guān)系tWP tMe eM602 nMe 功率功率功功時(shí)間時(shí)間力偶矩力偶矩角位移角位移角速度角速度每分鐘每分鐘的轉(zhuǎn)數(shù)的轉(zhuǎn)數(shù)min)/(2)(60rnkWPMe mNnPmkNnP.9549)(549. 9 一一. 外力偶矩的計(jì)算外力偶矩的計(jì)算. 扭

18、矩和扭矩圖扭矩和扭矩圖Me1 Me2 Me3 從動(dòng)輪從動(dòng)輪主動(dòng)輪主動(dòng)輪從動(dòng)輪從動(dòng)輪22桿受扭時(shí)的內(nèi)力計(jì)算桿受扭時(shí)的內(nèi)力計(jì)算扭矩和扭矩圖扭矩和扭矩圖 圓軸受扭時(shí)其橫截面上的內(nèi)力偶矩稱為扭矩，用符號(hào)圓軸受扭時(shí)其橫截面上的內(nèi)力偶矩稱為扭矩，用符號(hào)T 表示。表示。扭矩大小可利用扭矩大小可利用截面法截面法來(lái)確定來(lái)確定. .eMT AMe 11xTeMT Me Me ABT11BMe 扭矩矢量與截面外法線方向一致者為正，反之為負(fù)扭矩矢量與截面外法線方向一致者為正，反之為負(fù).扭矩的符號(hào)規(guī)定扭矩的符號(hào)規(guī)定按右手螺旋法則確定按右手螺旋法則確定:T (+)T (-)TTTT23例例 1. 一傳動(dòng)軸如圖，轉(zhuǎn)速一傳動(dòng)

19、軸如圖，轉(zhuǎn)速n = 300r/min； 主動(dòng)輪輸入的功率主動(dòng)輪輸入的功率P1=36kW，三個(gè)，三個(gè)從動(dòng)輪輸出的功率分別為：從動(dòng)輪輸出的功率分別為： P2= 11kW， P3= 11kW， P4= 14kW。 試作軸的扭矩圖。試作軸的扭矩圖。 首先必須計(jì)算作用在各輪上的外力偶矩首先必須計(jì)算作用在各輪上的外力偶矩解：解： mN 1461mN)300369549(1 M m350NmN)300119549(32 MM mN 446mN)300149549(4 MBCAD1M2M3M4M24 m350N21 MT mN 700)(322 MMT mN 44643 MT分別計(jì)算各段分別計(jì)算各段的扭矩的扭

20、矩 :0 ixFm 021 MT :0 ixFm 0)(322 MMT :0 ixFm034 TM mNM.11461 mNM.3502 mNM.3503 mNM.4464 : 對(duì)待求的對(duì)待求的截面上的扭矩截面上的扭矩應(yīng)設(shè)之方向與應(yīng)設(shè)之方向與外法向一致外法向一致(正向假定正向假定)BCAD1M2M3M4M11223311x2M1T2Tx2M3M224M3T33D25BCAD1M2M3M4MTmax = 700Nm 在在CA段內(nèi)段內(nèi)M1 =1146N.mM2 = 350N.mM3=350 N.mM4 =446N.m350700446 m350N1 T mN 7002 T mN 44613 T扭矩

21、圖扭矩圖(內(nèi)力圖內(nèi)力圖)x mNT 11223326扭矩圖的意義扭矩圖的意義:BCAD1M2M3M4M350700446 軸內(nèi)任軸內(nèi)任意截面內(nèi)意截面內(nèi)力的大小力的大小及變化情及變化情況況113M11B2MC1TAD1M4M1T11dx1T1T 27BCD4M112233A1M2M3MTmax = 1146Nm 在在DA段內(nèi)段內(nèi)M1 =1146N.mM2 = 350N.mM3=350 N.mM4 =446N.m1146 m350N1 T mN 7002 T mN 44613 T扭矩圖扭矩圖(內(nèi)力圖內(nèi)力圖)350700 x mNT 如果將輸入力偶如果將輸入力偶M1 與輸出力偶與輸出力偶M4 對(duì)調(diào)對(duì)

22、調(diào),(將主動(dòng)輪移至軸右端將主動(dòng)輪移至軸右端)28TT二二.圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的應(yīng)力1. 變形幾何關(guān)系變形幾何關(guān)系dxdxeMeM實(shí)驗(yàn)觀察實(shí)驗(yàn)觀察橫截面上存在剪應(yīng)力橫截面上存在剪應(yīng)力,不存在正應(yīng)力不存在正應(yīng)力.平面截面假設(shè)平面截面假設(shè): :圓軸的橫截面變形后保持為平面，圓軸的橫截面變形后保持為平面，圓軸右端截面上所繪的徑向線保持圓軸右端截面上所繪的徑向線保持直線。直線。取圓軸上取圓軸上dx一段分析變形與受力的關(guān)系一段分析變形與受力的關(guān)系dx29xdd 相對(duì)扭轉(zhuǎn)角沿桿長(zhǎng)的變化率，對(duì)于給定的橫截面為常量相對(duì)扭轉(zhuǎn)角沿桿長(zhǎng)的變化率，對(duì)于給定的橫截面為常量.即即xdd dDGGETTO1O2aba

23、bdxDAdDGGEO1O2DAdxd RdxdRR)(max顯然有顯然有 一般記一般記dxd (單位扭轉(zhuǎn)角單位扭轉(zhuǎn)角)( ( 單位扭轉(zhuǎn)角單位扭轉(zhuǎn)角, 單位單位:rad/m )( 的范圍為的范圍為0 R )302. 物理關(guān)系物理關(guān)系剪切胡克定律剪切胡克定律 GG3. 靜力學(xué)關(guān)系靜力學(xué)關(guān)系dTdA AAdAGdAT2 dAIAp 2 I Ip p稱為極慣性矩，是截面的幾何性質(zhì)，稱為極慣性矩，是截面的幾何性質(zhì)，僅與截面的幾何形狀、尺寸有關(guān)僅與截面的幾何形狀、尺寸有關(guān)Tdxd pAIGdAGT 2即即pGIT pGITdxd 于是有于是有或或dxdG 其中其中,記記TR31 GIp表示圓軸抵抗變形的

24、能力，稱為圓軸的表示圓軸抵抗變形的能力，稱為圓軸的抗扭剛度抗扭剛度。pITG （橫截面上剪應(yīng)力的計(jì)算公式（橫截面上剪應(yīng)力的計(jì)算公式)tpWTITRR max 時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)RIWpt 式中式中 稱為稱為抗扭截面系數(shù)抗扭截面系數(shù). GGpIT pGITdxd 又由又由pGITdxd dxGITl 0 如果在如果在l 長(zhǎng)內(nèi)長(zhǎng)內(nèi)T是常數(shù)是常數(shù)pGITl pGIT 32極慣矩極慣矩dAIDp 2抗扭截面系數(shù)抗扭截面系數(shù)RIWpt RRrR 空心圓軸空心圓軸薄壁圓筒薄壁圓筒實(shí)心圓軸實(shí)心圓軸4432121DRIp 3316121DRWt 44444444132112132121 DRdDrRIp 434311

25、61121 DRWt 32022 RRdRIp 22 RWt33r0TT mmnneMeMnnmml 薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力薄壁圓筒扭轉(zhuǎn)時(shí)的切應(yīng)力 薄壁圓筒橫截面上分布的切應(yīng)力薄壁圓筒橫截面上分布的切應(yīng)力, 總體形成一力偶總體形成一力偶 扭矩扭矩T 202rMe 02 AMe 202 rTMe 002rdrdT 橫截面上有與圓周相切的切應(yīng)力且沿圓筒周向大體上均勻分布橫截面上有與圓周相切的切應(yīng)力且沿圓筒周向大體上均勻分布Tr0 對(duì)應(yīng)微元面積應(yīng)力形成的力偶為對(duì)應(yīng)微元面積應(yīng)力形成的力偶為:整個(gè)圓環(huán)截面上力偶整個(gè)圓環(huán)截面上力偶(扭矩扭矩): 2000022rrrT 對(duì)受一對(duì)力偶對(duì)受一對(duì)力偶Me而扭轉(zhuǎn)的

26、薄壁圓筒而扭轉(zhuǎn)的薄壁圓筒, 橫截面切應(yīng)力可表示為橫截面切應(yīng)力可表示為:34 切切(剪剪)應(yīng)力互等定理應(yīng)力互等定理:xyzdxdydz 對(duì)于受力處于平衡狀態(tài)的變形體內(nèi)對(duì)于受力處于平衡狀態(tài)的變形體內(nèi), ,任意點(diǎn)處相互垂直的兩個(gè)平面上，切任意點(diǎn)處相互垂直的兩個(gè)平面上，切應(yīng)力必成對(duì)出現(xiàn)，兩切應(yīng)力的數(shù)值相應(yīng)力必成對(duì)出現(xiàn)，兩切應(yīng)力的數(shù)值相等，方向均垂直于該平面的交線，且等，方向均垂直于該平面的交線，且同時(shí)指向或背離其交線。同時(shí)指向或背離其交線。v切應(yīng)力互等定理是由單元體的平衡條件導(dǎo)切應(yīng)力互等定理是由單元體的平衡條件導(dǎo)出的，與材料的性能無(wú)關(guān)。所以不論材料出的，與材料的性能無(wú)關(guān)。所以不論材料是否處于彈性范圍，

27、切應(yīng)力互等定理總是是否處于彈性范圍，切應(yīng)力互等定理總是成立的。且不論單元體上有無(wú)正應(yīng)力存在成立的。且不論單元體上有無(wú)正應(yīng)力存在, ,切應(yīng)力互等定理總是成立的切應(yīng)力互等定理總是成立的. .單元體單元體: 描述變形體內(nèi)應(yīng)力和形變的微小的力學(xué)模型描述變形體內(nèi)應(yīng)力和形變的微小的力學(xué)模型,常用的單元體是微常用的單元體是微小的長(zhǎng)方體或正方體小的長(zhǎng)方體或正方體.35解：解：由傳動(dòng)軸的尺寸計(jì)算抗扭截面模量：由傳動(dòng)軸的尺寸計(jì)算抗扭截面模量：)1(1643 DWt)2(11643DtDD 361024.29m 軸的最大剪應(yīng)力軸的最大剪應(yīng)力例例2.(書(shū)上例書(shū)上例3.2) 某汽車傳動(dòng)軸用某汽車傳動(dòng)軸用45號(hào)鋼無(wú)縫鋼管

28、制成，其外徑號(hào)鋼無(wú)縫鋼管制成，其外徑D = 90mm, 壁厚壁厚 t=2.5mm，使用時(shí)最大扭矩為，使用時(shí)最大扭矩為 T=1500 N.m,試校核此軸的強(qiáng)度試校核此軸的強(qiáng)度. 已知已知 =60MPa.若此軸改為實(shí)心軸，并要求強(qiáng)度仍與原空心軸相當(dāng)，若此軸改為實(shí)心軸，并要求強(qiáng)度仍與原空心軸相當(dāng)， 則實(shí)心軸的直徑則實(shí)心軸的直徑 D1為多大？為多大？tWTmaxmax MPa3 .511024.2910150033 MPa60 所以此軸安全。所以此軸安全。若此軸改為實(shí)心軸，令若此軸改為實(shí)心軸，令MPaWTt3 .511maxmax 31161DWt 式中式中解得：解得：mD053. 0103 .511

29、50016361 TT)(103 .51161500631PaD 36實(shí)心軸的橫截面面積為實(shí)心軸的橫截面面積為22115344 DA22206mm 空心軸的橫截面面積空心軸的橫截面面積 2222285904)(4 dDA空心軸與實(shí)心軸的重量之比：空心軸與實(shí)心軸的重量之比：%3122066871212 AAGG因此在承載能力相同的條件下，使用空心軸比較節(jié)因此在承載能力相同的條件下，使用空心軸比較節(jié)約材料、比較經(jīng)濟(jì)。約材料、比較經(jīng)濟(jì)。2687mm 37例例3. 直徑直徑D = 50mm的圓軸的圓軸, 受到扭矩受到扭矩T = 3.14 kN . m 的作用的作用. 試求橫截試求橫截面上的軸心面上的軸

30、心O點(diǎn)點(diǎn), 外緣外緣A點(diǎn)以及在距離軸心點(diǎn)以及在距離軸心10 mm 處的處的B點(diǎn)的剪應(yīng)力點(diǎn)的剪應(yīng)力. TTOBA10T解解: O點(diǎn)處點(diǎn)處, 0 A點(diǎn)處點(diǎn)處, MPaWTpA12816501014. 336 B點(diǎn)處點(diǎn)處, MPaITpB2 .513250101014. 346 38三三. 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)的變形pGITdxd 又由又由pGITdxd dxGITl 0 如果在如果在l 長(zhǎng)內(nèi)長(zhǎng)內(nèi)T是常數(shù)是常數(shù)pGITl pGIT dxd 稱為單位扭轉(zhuǎn)角稱為單位扭轉(zhuǎn)角如果在如果在l 長(zhǎng)內(nèi)長(zhǎng)內(nèi)T是常數(shù)是常數(shù)l 從數(shù)學(xué)關(guān)系分析從數(shù)學(xué)關(guān)系分析, 的單位是的單位是弧度弧度/米米, 但是工程中習(xí)慣于但是

31、工程中習(xí)慣于/m, 故扭轉(zhuǎn)剛度的條件是故扭轉(zhuǎn)剛度的條件是 180maxmaxpGIT(單位扭轉(zhuǎn)角單位扭轉(zhuǎn)角)TTdx d39例例4. ( 書(shū)上例書(shū)上例3.4) 某組合機(jī)床主傳動(dòng)軸在正常工作時(shí)作用有如圖的三個(gè)力偶某組合機(jī)床主傳動(dòng)軸在正常工作時(shí)作用有如圖的三個(gè)力偶. M1 = 39.3N.m, M2 = 194.3N.m , M3 =155.0N.m . 設(shè)軸勻角速轉(zhuǎn)動(dòng)設(shè)軸勻角速轉(zhuǎn)動(dòng) , 材料為材料為45號(hào)鋼號(hào)鋼 , 剪切模量剪切模量G = 80GPa . = 40MPa . = 1.5(/m) . 試設(shè)計(jì)此軸的直徑試設(shè)計(jì)此軸的直徑.1M2M3M解解: 由已知條件可作其內(nèi)力圖由已知條件可作其內(nèi)力圖

32、 mNT.x39.3155 由強(qiáng)度條件由強(qiáng)度條件 63maxmax104016155 DWTt 63104016155D mD027. 0 由剛度條件由剛度條件 5 . 118032108015549max DGITp8294103 .755 . 1108018032155 D mD0295. 0 取取D = 0.03 (m).40例例5. (書(shū)上習(xí)書(shū)上習(xí)3.25) AB和和CD兩桿的尺寸相同兩桿的尺寸相同. AB為鋼桿為鋼桿, CD為鋁桿為鋁桿.兩種材料兩種材料的切變模量之比為的切變模量之比為3:1. 若不計(jì)若不計(jì)BE和和ED兩桿的變形兩桿的變形, 試問(wèn)試問(wèn)F力將以怎樣的比例力將以怎樣的比例

33、分配于分配于AB和和CD兩桿兩桿?aaFABCDE解解:設(shè)作用在設(shè)作用在EB上的力為上的力為F1 形變協(xié)調(diào)條件是形變協(xié)調(diào)條件是AB和和CD桿的轉(zhuǎn)角相等桿的轉(zhuǎn)角相等 ppIGalFFIGalF鋁鋁鋼鋼11 ppIGalFFIGalF鋁鋁鋁鋁113 113FFF 431FF 顯然顯然, F力分配于力分配于AB、CD桿的力的比為桿的力的比為3:141例例12. 由兩種不同的材料構(gòu)成的圓筒與圓柱組成一等截面圓軸由兩種不同的材料構(gòu)成的圓筒與圓柱組成一等截面圓軸. 里層和外里層和外層材料的切變模量分別為層材料的切變模量分別為G1和和G2 且且G1 =2G2 . 圓軸受扭時(shí)圓軸受扭時(shí), 里層和外層之里層和外

34、層之間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)間無(wú)相對(duì)滑動(dòng). 關(guān)于橫截面上切應(yīng)力分布有關(guān)于橫截面上切應(yīng)力分布有(a) 、(b )、(c) 、(d ) 四種所四種所示的結(jié)論示的結(jié)論. 試判斷哪一種是正確的試判斷哪一種是正確的?T2G1G a b c d解解:如果兩層之間無(wú)相對(duì)滑動(dòng)如果兩層之間無(wú)相對(duì)滑動(dòng), 應(yīng)有變形后應(yīng)有變形后21 21 或或222111ppIGTIGT 2221212ppIGTIGT 22112ppITIT 111pIT 112222ppITIT (c) 的分布是正確的的分布是正確的.42 n n n n 四四. 圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)斜截面上的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時(shí)斜截面上的應(yīng)力TTATTA?43 n n bef0 F0 F

35、0cossindsincosdd AAA 0sinsindcoscosdd AAA設(shè)斜截面設(shè)斜截面ef 的面積為的面積為dA取三角塊為平衡受力體取三角塊為平衡受力體聯(lián)立求解可得斜截面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力分別為聯(lián)立求解可得斜截面上的正應(yīng)力和剪應(yīng)力分別為: :,2sin 2cos 討論：討論：1. 0 當(dāng)當(dāng)0 max454 當(dāng)當(dāng) min0 3.454 當(dāng)當(dāng) max0 4.2.232 當(dāng)當(dāng)0 44x max max min min1. 0 當(dāng)當(dāng)0 max454 當(dāng)當(dāng) min0 3.454 當(dāng)當(dāng) max0 4.2.232 當(dāng)當(dāng)0 TTATT 低碳鋼低碳鋼(a) 、鑄鐵、鑄鐵(b)試件扭轉(zhuǎn)時(shí)的破壞斷面試件

36、扭轉(zhuǎn)時(shí)的破壞斷面:45 彎曲內(nèi)力彎曲內(nèi)力 剪力和彎矩剪力和彎矩 剪力和彎矩是由外載荷引起的梁內(nèi)截面上的力和力偶剪力和彎矩是由外載荷引起的梁內(nèi)截面上的力和力偶. 它們是梁內(nèi)截面之間它們是梁內(nèi)截面之間互相作用的內(nèi)力互相作用的內(nèi)力, 是截面上應(yīng)力的合成效應(yīng)是截面上應(yīng)力的合成效應(yīng), 要求得梁內(nèi)彎曲應(yīng)力要求得梁內(nèi)彎曲應(yīng)力, 必須先知梁必須先知梁內(nèi)的剪力和彎矩內(nèi)的剪力和彎矩.剪力和彎矩正負(fù)號(hào)的規(guī)定剪力和彎矩正負(fù)號(hào)的規(guī)定:( p117)FFmnFFmnFsFsF F(+)(+)FsFsF F(-)(-)mnMMmnMMMM(-)(-)(+)(+) 材料力學(xué)中內(nèi)力的正負(fù)規(guī)定取決于其內(nèi)力所引起的材料的變形形狀材

37、料力學(xué)中內(nèi)力的正負(fù)規(guī)定取決于其內(nèi)力所引起的材料的變形形狀, 不取決于力系方程計(jì)算結(jié)果的正負(fù)不取決于力系方程計(jì)算結(jié)果的正負(fù). 而由力系方程計(jì)算結(jié)果的正負(fù)而由力系方程計(jì)算結(jié)果的正負(fù),表示的意義是與求解前假設(shè)的方向一表示的意義是與求解前假設(shè)的方向一致或相反致或相反.46 剪力和彎矩方程剪力和彎矩方程 剪力圖和彎矩圖剪力圖和彎矩圖 梁內(nèi)剪力和彎矩是由載荷引起的梁內(nèi)剪力和彎矩是由載荷引起的, 并隨載荷的變化而變化并隨載荷的變化而變化. 但不管多復(fù)雜但不管多復(fù)雜, 它它們都是梁長(zhǎng)的函數(shù)們都是梁長(zhǎng)的函數(shù). xFFss 剪力方程剪力方程: xMM 彎矩方程彎矩方程:對(duì)距梁端任意長(zhǎng)對(duì)距梁端任意長(zhǎng) x 處求其剪力

38、與彎矩便得該梁的剪力與彎矩方程處求其剪力與彎矩便得該梁的剪力與彎矩方程例例1 求圖示均布載荷下懸臂梁的剪力彎矩方程并作其剪力求圖示均布載荷下懸臂梁的剪力彎矩方程并作其剪力 彎矩圖彎矩圖. AFAMBqAlAAFAMqMsFCxxy解解:建立坐標(biāo)軸如圖建立坐標(biāo)軸如圖47AFAMBqAlxy在距端點(diǎn)在距端點(diǎn) x 處將梁截開(kāi)處將梁截開(kāi),取右段分析取右段分析(如圖如圖) BxqMsFCxl :0 yF 0 xlqFs xlqFs 221xlqM :0 Cm 022 xlqM根據(jù)剪力和彎矩的方程可根據(jù)剪力和彎矩的方程可作出剪力和彎矩圖作出剪力和彎矩圖:sFxMxql22ql 又解又解:48例例2: 求圖

39、示右端作用外力偶的簡(jiǎn)支梁的剪力彎矩方程并作其剪力求圖示右端作用外力偶的簡(jiǎn)支梁的剪力彎矩方程并作其剪力 彎彎矩圖矩圖. 解解: 求支反力求支反力eMABl由平衡方程式可求得由平衡方程式可求得:lMFFeBA 方向如圖示方向如圖示AFBFMsFAAFCx截梁任意長(zhǎng)截梁任意長(zhǎng)x, 取左段分析取左段分析 0 yFlMFFeAS 0 Cm0 xFMAxFMA 49例例3. 簡(jiǎn)支梁受集中力簡(jiǎn)支梁受集中力F如圖示如圖示, 試列出其剪力彎矩方程并作剪力和彎矩圖試列出其剪力彎矩方程并作剪力和彎矩圖.BFlabACAFBF解解:求支反力求支反力:0 Am0 lFFaBFlaFB :0 yFFFFBA FlbFA

40、在距端點(diǎn)在距端點(diǎn) x 處將梁截開(kāi)處將梁截開(kāi),取左段分析取左段分析 在在AC段內(nèi)段內(nèi)xMAFsFA xllFaM FxlbM :0 yFFlbFs :0 Am ax 0 ax 0在在AC段外段外CB段內(nèi)段內(nèi)CxM:0 yF0 sAFFFFlaFs :0 Am0 FaxFMs lxa lxa 50BACFlabAFBF求支反力求支反力:0 Am0 lFFaBFlaFB :0 yFFFFBA FlbFA 在距端點(diǎn)在距端點(diǎn) x 處將梁截開(kāi)處將梁截開(kāi),取左段分析取左段分析 在在AC段內(nèi)段內(nèi)xMAFsFAFxlbM :0 yFFlbFs :0 Am ax 0 ax 0在在AC段外段外CB段內(nèi)段內(nèi)Axxl

41、xllFaM :0 Bm 0 xlFMs lxa :0 yF0 BsFFFlaFs lxa 又解又解:51BFlabAC在在AC段內(nèi)段內(nèi) xllFaM FxlbM FlbFs ax 0 ax 0在在AC段外段外CB段內(nèi)段內(nèi)FlaFs lxa lxa MxsFx lFalFblFab剪力彎矩圖剪力彎矩圖:52利用微積關(guān)系作剪力利用微積關(guān)系作剪力 彎矩彎矩 圖圖1. 在剪力圖中某點(diǎn)處切線的斜率在剪力圖中某點(diǎn)處切線的斜率, 等于相應(yīng)截面處的載荷集度等于相應(yīng)截面處的載荷集度, 彎矩圖中某點(diǎn)彎矩圖中某點(diǎn)處切線的斜率處切線的斜率, 等于相應(yīng)截面處的剪力等于相應(yīng)截面處的剪力.2. 一段梁中一段梁中, 若載荷

42、為零若載荷為零, 則剪力圖為水平直線則剪力圖為水平直線, 而彎矩圖為梁長(zhǎng)的一次函數(shù)而彎矩圖為梁長(zhǎng)的一次函數(shù). 若載荷為均勻分布若載荷為均勻分布, 則剪力圖為梁長(zhǎng)的一次函數(shù)則剪力圖為梁長(zhǎng)的一次函數(shù),而彎矩圖為梁長(zhǎng)的二次數(shù)而彎矩圖為梁長(zhǎng)的二次數(shù). 若載荷為線性分布若載荷為線性分布, 則剪力圖為梁長(zhǎng)的二次函數(shù)則剪力圖為梁長(zhǎng)的二次函數(shù), 而彎矩圖為梁長(zhǎng)的三次函而彎矩圖為梁長(zhǎng)的三次函數(shù)數(shù) , 依次類推依次類推3. 一段梁中一段梁中, 集中力引起剪力的突變集中力引起剪力的突變; 集中力偶引起彎矩的突變集中力偶引起彎矩的突變, 但對(duì)梁內(nèi)的但對(duì)梁內(nèi)的剪力沒(méi)有影響剪力沒(méi)有影響.4. 剪力圖中剪力圖中, 距原點(diǎn)某

43、處的剪力等于該段梁上的載荷集度面積和集中外力的距原點(diǎn)某處的剪力等于該段梁上的載荷集度面積和集中外力的代數(shù)和代數(shù)和.5. 彎矩圖中彎矩圖中, 距原點(diǎn)某處的彎矩等于該段梁上的剪力面積和集中外力偶矩的距原點(diǎn)某處的彎矩等于該段梁上的剪力面積和集中外力偶矩的代數(shù)和代數(shù)和.53ABFClablFblFa sFxM54PaMA PFA qqaP ABa2a aABaPaM CPxsFxM55( )FS 圖圖3Pa( + )Pa2PaM 圖圖Pa3ABaa( a ) Pam P56習(xí)習(xí). 4.4 ( c ) aqa2ACB2qaMe 先求約束力先求約束力剪力圖剪力圖qa2 彎矩圖彎矩圖2qa2qa 習(xí)習(xí). 4

44、.4 ( g ) qACB2a2a83qa8qa剪力圖剪力圖83qa8qa 彎矩圖彎矩圖83a8a12892qa162qa 57 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力中性軸中性軸zMzMxzy縱向?qū)ΨQ面縱向?qū)ΨQ面橫截面對(duì)稱軸橫截面對(duì)稱軸中性層中性層梁軸線梁軸線中性軸中性軸582. 物理方程物理方程(胡克定律胡克定律) yEE y 3. 靜力學(xué)關(guān)系靜力學(xué)關(guān)系z(mì)AMydA 平面彎曲中橫截面上彎曲正應(yīng)力的公式平面彎曲中橫截面上彎曲正應(yīng)力的公式1. 幾何變形幾何變形zzEIM 1zzIyM : : 平面純彎曲梁上的橫截面只存在正應(yīng)力平面純彎曲梁上的橫截面只存在正應(yīng)力, , 以中性軸為界分為拉力以中性軸為界分為拉力區(qū)和壓力

45、區(qū)區(qū)和壓力區(qū). .中性軸過(guò)截面的形心中性軸過(guò)截面的形心. .min MMmax 59 常用截面的軸慣矩常用截面的軸慣矩:矩形截面矩形截面zybh1232bhdAyIAz 62bhWz 1232hbdAzIAz 62hbWy yzd64444dRIIyz 32433dRWWyz 44444444164114164141 DRdDrRIIyz 43431321141 DRWWyzRrzy圓及圓環(huán)圓及圓環(huán)形截面形截面平移軸定理平移軸定理: 截面對(duì)某一軸的慣性矩截面對(duì)某一軸的慣性矩, 等于該截面對(duì)平行此軸等于該截面對(duì)平行此軸且過(guò)質(zhì)心的軸的慣性矩加上該截面面積乘以兩軸距離的平方且過(guò)質(zhì)心的軸的慣性矩加上該

46、截面面積乘以兩軸距離的平方.2dAIIZcZ 60例例2. 長(zhǎng)為長(zhǎng)為l的矩形截面懸臂梁的矩形截面懸臂梁, 在自由端作用一集中力在自由端作用一集中力F,已知矩形截面上已知矩形截面上 b120mm，h180mm、l2m，F(xiàn)1.6kN， 試求試求B截面上截面上 a、b、c 各點(diǎn)各點(diǎn)的正應(yīng)力的正應(yīng)力. 2lFABC2lbh6h2habc123bhIZ ZaBaIyM 123213bhhFL MPa65. 1 6162 例例4. 圖示外伸梁，受均布載荷作用，圖示外伸梁，受均布載荷作用， 材料的許用應(yīng)力材料的許用應(yīng)力 =160MPa，試校，試校核該梁的強(qiáng)度。核該梁的強(qiáng)度。 解解: 先求出危險(xiǎn)截面的彎矩值先

47、求出危險(xiǎn)截面的彎矩值 202515Fs (kN)圖圖m5 . 2m5 . 1M(kN.m)圖圖2025.11 由彎矩圖可見(jiàn)由彎矩圖可見(jiàn)mkN20max MzWMmaxmax 62 . 01 . 0102023 MPa30 max 該梁滿足強(qiáng)度條件，安全該梁滿足強(qiáng)度條件，安全.kN45kN1510kN / m2m4m10020063 例例5. 圖示圖示T形截面簡(jiǎn)支梁在中點(diǎn)承受集中力形截面簡(jiǎn)支梁在中點(diǎn)承受集中力F32kN，梁的長(zhǎng)度，梁的長(zhǎng)度L2m。橫截面對(duì)于中性軸橫截面對(duì)于中性軸z軸的慣性矩軸的慣性矩Iz1.02108mm4。截面有關(guān)尺寸如圖示。截面有關(guān)尺寸如圖示. 求危求危險(xiǎn)截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力。險(xiǎn)截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力。AB4 .9650200max ymm