有限元原理與應用11-7板殼有限元法

1、1/43有限元原理與應用潘文 教授，工學博士，博士生導師E-mail: 辦公室、傳真明理工大學建筑工程學院土木工程系云南省工程抗震研究所云南省抗震工程技術研究中心2/43課程基本情況 上課地點和時間： 公教345，周四69小節(jié)，19周 教學方式：課堂講授，專題研討 考核方式：三次大作業(yè)（20,30,50） 第1次：第6周提交 第2次：第10周提交 第3次：第15周提交3/43課程資源 教材 課件 網(wǎng)絡4/43課堂教授內容緒論 桿系結構有限元法桿系的若干補充問題 平面問題有限元法 軸對稱問題有限元法 等參數(shù)單元板殼有限元法結構動力分析有限元法 非線性有限元法第一次大作

2、業(yè)有限元軟件簡介 有限元分析要點與技巧第二次大作業(yè)相關技術： 邊界元、有限條、無限元相關領域： CAE、CAM第三次大作業(yè)討論 專題研討內容5/437. 板殼有限元法7.1 板彎曲問題的分類7.2 薄板小撓度彎曲的基本方程7.3 薄板小撓度彎曲的位移模式7.4 十二自由度矩形元(元)7.5 十六自由度矩形單元(元)7.6 常矩三角元(Morley元) 7.7 九自由度三角元(Zienkiewicz三角元)7.8 二十一自由度三角元(Argyris三角元) 7.9 線性曲率協(xié)調三角元族(單元族) 7.10 考慮剪切變形的板單元(Mindlin單元) 6/437. 板殼有限元法7.1 板彎曲問題的

3、分類1at在板的分析中，常取板的中面為xoy平面。平板結構按其厚度t與短邊a的比值大小而分為:厚板（Thick plate）和薄板（Thin plate)兩種。當 時稱為薄板平板上所承受的荷載通常有兩種: 1. 面內拉壓荷載面內拉壓荷載。 由面內拉壓剛度承擔，屬平面應力問題。 2. 垂直于板的法向荷載垂直于板的法向荷載，彎扭變形為主，具有梁的受力特征，即常說的彎曲問題。平板在垂直于板面的荷載作用下產(chǎn)生撓度W。 7/437. 板殼有限元法7.2 薄板小撓度彎曲的基本方程0z0zx0zy1) 略去垂直于中面的法向應力。（ ），即以中面上沿Z方向的撓度W代表板的撓度)2) 變形前垂直中面的任意直線，

4、變形后仍保持為垂直中面的直線。（法向假定 ）3) 板彎曲時，中面不產(chǎn)生應力。(中面中性層假定) 上述假定常稱為薄板小撓度問題假定（or 柯克霍夫Kirchhoff 假定）。 7.2.1 基本假定8/437. 板殼有限元法7.2 薄板小撓度彎曲的基本方程7.2.2 基本方法以上述假定為基礎，板分析中常用撓度w作為基本未知量。 、幾何方程（應變撓度關系）彈性曲面沿x, y 方向的傾角從中面取出一微小矩形ABCD，設其邊長為dx, dy，變形后彎曲成曲面ABCD9/437. 板殼有限元法7.2 薄板小撓度彎曲的基本方程7.2.2 基本方法xwydxxwwywxdyyww設A點撓度w, 則沿x方向傾角

5、(繞y軸) (B點撓度 ) 沿y方向傾角(繞x軸) (D點撓度 ) 10/437. 板殼有限元法7.2 薄板小撓度彎曲的基本方程7.2.2 基本方法xwzuywzv 沿x, y 方向位移作平行于x0z平面，設中面上點A到Ai的距離為z，變形后，A點有撓度w，同時發(fā)生彎曲，曲面沿x方向的傾角為根據(jù)法線假定，則A點沿x方向的位移: (負號為方向與x相反) 同理取y0z平面得： xw11/437. 板殼有限元法7.2 薄板小撓度彎曲的基本方程7.2.2 基本方法 Z平面的應變分量和曲、扭率 由于基本假定，故板內任意點的應變與平面問題相同: 0 xyzxzxvyuyvxuxyyx代入將vu. yxwz

6、ywzxwzxyyx22222212/437. 板殼有限元法7.2 薄板小撓度彎曲的基本方程7.2.2 基本方法 Z平面的應變分量和曲、扭率 22xw22ywyxw2為曲面在X,Y方向的曲、扭率，記為： yxwywxwxyyx222222 z13/437. 板殼有限元法7.2 薄板小撓度彎曲的基本方程7.2.2 基本方法xyxyxyyyxxEEE121122 022222222222111DyxwEzxwywEzywxwEzxyyx xDz021000101120ED、物理方程（應力撓度關系） 由于忽略z 對變形的影響, 因此z平面的應力應變關系具有與平面問題相同的形式: 14/437. 板殼

7、有限元法7.2 薄板小撓度彎曲的基本方程7.2.2 基本方法、內力方程（內力撓度關系）15/437. 板殼有限元法7.2 薄板小撓度彎曲的基本方程7.2.2 基本方法、內力方程（內力撓度關系） 03222220322220212212DtyxwywxwDtdzDzdzzMMMFttttxyyx16/437. 板殼有限元法7.3 薄板小撓度彎曲的位移模式為了保證有限元解能收斂到真實解，單元假定的位移場應滿足以下條件：(1) 在單元內 連續(xù)；(2) 包括足夠的剛體位移模式。這種模式有三種：沿z方向的剛體平移和x、y軸的兩個剛體型轉動。為了保證這一點，假定的單元位移場中應包含x、y的完全一次多項式：

8、(3) 能夠描述任何一種常曲率狀態(tài)。為實現(xiàn)這一點，假定的單元位移場w中還應包含x、y的三個二次項：從(2)和(3)可知：w應至少包括x、y的完全二次多項式(4) 協(xié)調條件yx32126524yxyx26524321yxyxyxwywxww，17/43(4) 協(xié)調條件四階問題要求穿過單元邊界時連續(xù)。但如果沿邊界的局部坐標系n-s考察，若穿過單元邊界時w連續(xù)，則 一定連續(xù)。故協(xié)調條件更恰當?shù)奶岱☉牵捍┻^單元邊界時w(位移)和(轉角)連續(xù)。7. 板殼有限元法7.3 薄板小撓度彎曲的位移模式y(tǒng)wxww，18/43上述四個條件為有限元解收斂到真實解的充分條件，其中條件(1)(3)為必要條件。不滿足條件

9、(4)的單元，只有能夠通過分片檢驗時才能保證收斂性。為了同時保證位移和轉角的協(xié)調性，一般采用Hermite型插值。這樣至少可以保證節(jié)點處的協(xié)調性。既便如此，實現(xiàn)協(xié)調性仍然是一件困難的事。下面介紹幾種典型的單元。以說明構造平板單元的方法。7. 板殼有限元法7.3 薄板小撓度彎曲的位移模式19/437. 板殼有限元法7.4 十二自由度矩形元(元) 31231131029283726524321xyyxyxyyxxyxyxyxw單元：邊與x、y軸平行的矩形。取矩形的四個角點為節(jié)點。取為節(jié)點參數(shù)。單元位移場取)41()()(iywxwwiii、20/437. 板殼有限元法7.4 十二自由度矩形元(元)

10、 收斂性分析上述位移場為x、y的四次多項式，完全到x、y的三次項，故收斂條件(1)(3)可以滿足。下面分析協(xié)調性，以2-3邊為例。 沿2-3邊： x = 常數(shù)。位移w是y的三次多項式，可以完全被節(jié)點2、3處的四個節(jié)點參數(shù) 所決定，故沿2-3邊位移w是協(xié)調的。沿2、3邊轉角 是y的三次函數(shù)，不能僅由節(jié)點2、3處剩下的兩個節(jié)點參數(shù) 所決定。故沿2-3 不協(xié)調。對其它各邊可得到類似的結論。 3)()(ywywww、xwnwnw3)()(xwxw、21/437. 板殼有限元法7.5 十六自由度矩形單元（元） 實現(xiàn)協(xié)調條件的一個辦法是引入高階導數(shù)做為節(jié)點參數(shù) 單元：邊與x、y軸平行的矩形。取矩形的四個角

11、點為節(jié)點。取為節(jié)點參數(shù)。單元位移場取)41()()()(2iyxwywxwwiiii、 331632152314313221231131029283726524321yxyxyxxyyxyxyxyyxxyxyxyxw22/43沿2-3邊x=常數(shù)，w是y的三次函數(shù)， 也是y的三次函數(shù)。沿2-3邊，w完全由 所決定； 完全由 所決定 ，故沿2-3邊w和 都滿足協(xié)調要求。對其它邊，可得到相同的結論。 7. 板殼有限元法7.5 十六自由度矩形單元（元） 收斂性分析上述位移場是x、y的六次多項式，完全到x、y的三次項。對于x和y每一個變量而言，次數(shù)不超過三，這16項剛好構成x、y的雙三次多項式。顯然，收

12、斂條件所要求的(1)(3)得到滿足。 3)()(ywywww、xwnwnwxw、)()(xwxw、)()(xwyxwy23/437. 板殼有限元法我們看到，適當引入高階導數(shù)為節(jié)點參數(shù)，可以解決協(xié)調性問題，但在節(jié)點處不能保證高階導數(shù)連續(xù)（例如板的材料、厚度有突變）的情況下，這種方法遇到了困難。此外，在強制邊界條件的邊界上與高階導數(shù)有關的節(jié)點參數(shù)如何處理也缺少一般性的方法。這些困難在構造三角元時也會出現(xiàn)。同矩形單元相比，三角形單元要靈活得多，但滿足協(xié)調條件的困難也要大些。對于板單元而言，一味追求協(xié)調未必得到多少好處。 7.5 十六自由度矩形單元（元） 24/437. 板殼有限元法7.6 常矩三角元

13、(Morley元) 在節(jié)點1、2、3取位移wi (i=13)為節(jié)點參數(shù)；在節(jié)點4、5、6取轉角）（6 , 5 , 4)(inwi為節(jié)點參數(shù)。單元位移場取 26524321yxyxyxw在單元內曲率和扭率為常數(shù)，故稱為常矩三角元 25/437. 板殼有限元法7.7 九自由度三角元（Zienkiewicz三角元） 在節(jié)點1、2、3取位移wi (i=13)為節(jié)點參數(shù)；單元位移場取 )31()()(iywxwwiii、392283726524321)(yxyyxxyxyxyxwyyxxyyxxyyxxNNwNNNwNNNwNw33221126/437. 板殼有限元法7.8 二十一自由度三角元(Argy

14、ris三角元) 在節(jié)點1、2、3取為節(jié)點參數(shù)；在節(jié)點4、5、6取轉角）（6 , 5 , 4)(inwi為節(jié)點參數(shù)。單元位移場取 52142032192318417516415314221331241131029283726524321xxyyxyxyxxyxyyxyxxyxyyxxyxyxyxw)31(22222iywyxwxwywxwwiiiiii、27/437. 板殼有限元法7.9 線性曲率協(xié)調三角元族(單元族)在節(jié)點1、2、3取為節(jié)點參數(shù)；在節(jié)點4、5、6取轉角）（6 , 5 , 4)(inwi為節(jié)點參數(shù)。 )31( iywxwwiii、基本單元(LCCT-12) 單元共有12個自由度（

15、外自由度），習慣上稱為LCCT12。28/437. 板殼有限元法7.9 線性曲率協(xié)調三角元族(單元族)基本單元(LCCT-12) 為了構造位移場，在單元內再取一個內節(jié)點0，線段0-1、0-2、0-3將原三角形分成三個子三角形。內點0的節(jié)點參數(shù)取為 29/437. 板殼有限元法7.9 線性曲率協(xié)調三角元族(單元族)基本單元(LCCT-12) 每個三角形共有10個節(jié)點參數(shù)，對于三角形它們是： 0004ywxwwnwywxwwywxww、30/437. 板殼有限元法7.9 線性曲率協(xié)調三角元族(單元族)基本單元(LCCT-12) 在每個子三角形內可以假設位移w是x、y的完全三次多項式?？梢灾苯佑脁、

16、y描述，也可以用每個子三角形的面積坐標描述。這樣的位移場可以描述每個子三角形的任何一種剛體位移和常曲率狀態(tài),因而整個單元的剛體位移和常曲率條件也可以得到滿足。 31/43設點7、8、9分別為1-0、2-0、3-0的中點。沿1-0邊 是s的二次函數(shù)，子三角形與在1和0兩點處轉角已經(jīng)協(xié)調，若再強制在點7處 協(xié)調，則沿1-0將完全滿足協(xié)調條件。對于2-0和3-0邊可做類似的處理，可得到三個約束方程 7. 板殼有限元法7.9 線性曲率協(xié)調三角元族(單元族)基本單元(LCCT-12) 約束條件和內自由度凝聚 nw0009)3(9)2(8)2(8)1(7)3(7)1(nwnwnwnwnwnwnwnw32/

17、437. 板殼有限元法7.9 線性曲率協(xié)調三角元族(單元族)基本單元(LCCT-12) 我們可以對LCCT12單元的位移場的特行征歸納如下：（i）在每個子三角形內w是x、y的三次多項式；（ii）單元之間以及子單元之間滿足w和的協(xié)調條件；（iii）可以描述任何一種剛體位移和常曲率狀態(tài)。從而保證了有限元解的收斂性。 nw33/437. 板殼有限元法7.9 線性曲率協(xié)調三角元族(單元族)可以人為地限定沿LCCT12單元的一邊（例如1-3邊） 按線性變化。要做到這一點只需在LCCT12的單元位移場中將 以 代替即可實現(xiàn)。這時的單元僅包括11個節(jié)點參數(shù)，稱為LCCT11單元。 nw 6nw 3121nw

18、nw34/437. 板殼有限元法7.9 線性曲率協(xié)調三角元族(單元族)Q-19(4個LCCT11) 4個LCCT9 35/431. 基本假設將中厚板板視為三維彈性體，但附加以下假定：變形前垂直于中面的直線（即中面法線），變形后仍然保持為直線，長度不變，但不一定與變形后的中面垂直。因而，在假設中考慮了橫向剪切變形。7. 板殼有限元法7.10 考慮剪切變形的板單元(Mindlin單元)36/431. 基本假設設中面上 點的橫向位移為w，過這一點的中面法線繞x、y軸的轉角為 則中面外一點 處的位移為 7. 板殼有限元法7.10 考慮剪切變形的板單元(Mindlin單元)、),(yxx),(yxy),

19、(zyxM),(),(),(),(),(),(11yxwzyxwyxzzyxvyxzzyxuxy37/431. 基本假設7. 板殼有限元法7.10 考慮剪切變形的板單元(Mindlin單元)xwxwzuywywzvxyzxvyuyzxvxzxuyxzxyzxyxyxyyxz)(0111 )()1 (2)()1 (2)()1 (2)(1)(1011212xwEywExyzExyzEyxzEyxzxyzxyyxxyyxyxyxz應變 應力 38/431. 基本假設7. 板殼有限元法7.10 考慮剪切變形的板單元(Mindlin單元)彎矩 DxyyxEtMMMMxyxyxyyx2)1 (000101)1 (1223可見，只要知道了中面上各點的 即可定出板的曲率、彎矩、橫向剪切變形和剪切力。而這三個基本參數(shù)是相互而這三個基本參數(shù)是相互獨立的。獨立的。在曲率和應變表達式中只出現(xiàn)它們的一階導數(shù)，與二階問題相同，因而可以利用等參數(shù)單元。 yxw、39/432. 母體單元和形函數(shù) 7. 板殼有限元法7.10 考慮剪切變形的板單元(Mindlin單元)母體單元：邊長為2的正方形。節(jié)點個數(shù)：四九