平穩(wěn)隨機(jī)過程的概念

1、第一節(jié)第一節(jié) 平穩(wěn)隨機(jī)過程的概念平穩(wěn)隨機(jī)過程的概念 一、平穩(wěn)隨機(jī)過程的概念一、平穩(wěn)隨機(jī)過程的概念 二、應(yīng)用舉例二、應(yīng)用舉例 三、小結(jié)三、小結(jié)一、平穩(wěn)隨機(jī)過程的概念一、平穩(wěn)隨機(jī)過程的概念 在實際中在實際中, 有相當(dāng)多的隨機(jī)過程有相當(dāng)多的隨機(jī)過程, 不僅它現(xiàn)不僅它現(xiàn)在的狀態(tài)在的狀態(tài), 而且它過去的狀態(tài)而且它過去的狀態(tài), 都對未來狀態(tài)的都對未來狀態(tài)的發(fā)生有著很強(qiáng)的影響發(fā)生有著很強(qiáng)的影響.如果過程的統(tǒng)計特性不隨時間的推移而變?nèi)绻^程的統(tǒng)計特性不隨時間的推移而變化化, 則稱之為平穩(wěn)隨機(jī)過程則稱之為平穩(wěn)隨機(jī)過程.1. 定義定義和和如果對于任意的如果對于任意的Ttttnn ,), 2 , 1(21維維隨隨機(jī)

2、機(jī)時時當(dāng)當(dāng)任任意意實實數(shù)數(shù)nThthththn,21 )(,),(),(21ntXtXtX變變量量)(,),(),(21htXhtXhtXn 和和具有相同的分布函數(shù)具有相同的分布函數(shù), 則稱隨機(jī)過程則稱隨機(jī)過程 ),(TttX 具有平穩(wěn)性具有平穩(wěn)性, 并同時稱此過程為并同時稱此過程為平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程,或簡稱或簡稱平穩(wěn)過程平穩(wěn)過程 (嚴(yán)平穩(wěn)過程嚴(yán)平穩(wěn)過程或或狹義平穩(wěn)過程狹義平穩(wěn)過程).平穩(wěn)過程的參數(shù)集平穩(wěn)過程的參數(shù)集T, 一般為一般為:., 2 , 1 , 0, 2, 1, 0), 0),( 或或 為為平平穩(wěn)穩(wěn)隨隨稱稱平平穩(wěn)穩(wěn)過過程程為為離離散散情情況況當(dāng)當(dāng)nXT,機(jī)序列機(jī)序列, 或平穩(wěn)

3、時間序列或平穩(wěn)時間序列.說明說明(1) 將隨機(jī)過程劃分為平穩(wěn)過程和非平穩(wěn)過程有重將隨機(jī)過程劃分為平穩(wěn)過程和非平穩(wěn)過程有重要的實際意義要的實際意義. 過程若是平穩(wěn)的可使問題的分析尤過程若是平穩(wěn)的可使問題的分析尤為簡化為簡化.(2) 平穩(wěn)過程的數(shù)字特征有很好的性質(zhì)平穩(wěn)過程的數(shù)字特征有很好的性質(zhì). 平穩(wěn)過程數(shù)字特征的特點(diǎn)平穩(wěn)過程數(shù)字特征的特點(diǎn):)()(存存在在的的均均值值函函數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)平平穩(wěn)穩(wěn)過過程程tXEtX線線都都在在水水平平直直線線平平穩(wěn)穩(wěn)過過程程的的所所有有樣樣本本曲曲)1(.,X 平平均均偏偏離離度度為為上上下下波波動動Xtx )(的的自自相相關(guān)關(guān)函函數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)平平穩(wěn)穩(wěn)過過程程)()2(tX.

4、)()(),(2121存存在在tXtXEttRx 的單的單函數(shù)僅是函數(shù)僅是那么平穩(wěn)過程的自相關(guān)那么平穩(wěn)過程的自相關(guān) 12tt.變函數(shù)變函數(shù)(即不隨時間的推移而變化即不隨時間的推移而變化).協(xié)方差函數(shù)可以表示為協(xié)方差函數(shù)可以表示為 )()()(XXXtXtXEC .)(2XXR ,0 若若令令.)0()0(22XXXXRC 則則說明說明 要確定一個隨機(jī)過程的分布函數(shù)要確定一個隨機(jī)過程的分布函數(shù), 并進(jìn)而判定并進(jìn)而判定其平穩(wěn)性在實際中不易辦到其平穩(wěn)性在實際中不易辦到.2. 廣義平穩(wěn)過程廣義平穩(wěn)過程定義定義1如果對任意如果對任意給定二階矩過程給定二階矩過程,),(TttX :,Ttt )()(常常數(shù)

5、數(shù)XtXE )()()( XRtXtXE .,),(或或廣廣義義平平穩(wěn)穩(wěn)過過程程為為寬寬平平穩(wěn)穩(wěn)過過程程則則稱稱TttX 說明說明 (1) 嚴(yán)平穩(wěn)過程只要二階矩存在嚴(yán)平穩(wěn)過程只要二階矩存在, 則它必定也則它必定也是寬平穩(wěn)的是寬平穩(wěn)的. 反之不成立反之不成立. (2) 寬平穩(wěn)的正態(tài)過程必定也是嚴(yán)平穩(wěn)的寬平穩(wěn)的正態(tài)過程必定也是嚴(yán)平穩(wěn)的. 定義定義2同時考慮兩個平穩(wěn)過程同時考慮兩個平穩(wěn)過程: )()(tYtX和和如果它們的互相關(guān)函數(shù)也只是時間差的單如果它們的互相關(guān)函數(shù)也只是時間差的單變量函數(shù)變量函數(shù), 即即),()()(),( XYXYRtYtXEttR 或或兩兩過過程程是是是是平平穩(wěn)穩(wěn)相相關(guān)關(guān)的的

6、和和稱稱那那么么,)()(,tYtX聯(lián)合寬平穩(wěn)的聯(lián)合寬平穩(wěn)的.二、應(yīng)用舉例二、應(yīng)用舉例 例例1是是互互不不相相關(guān)關(guān)的的隨隨機(jī)機(jī)變變量量設(shè)設(shè), 2 , 1, kXk則則有有且且序序列列, 0,22 kkXEXE , 0,),(2lklkXXElkRlkx ,有關(guān)有關(guān)即相關(guān)函數(shù)只與即相關(guān)函數(shù)只與lk 所以它是寬平穩(wěn)的隨機(jī)序列所以它是寬平穩(wěn)的隨機(jī)序列. 則序列是則序列是是獨(dú)立同分布的是獨(dú)立同分布的如果如果,21kXXX嚴(yán)平穩(wěn)的嚴(yán)平穩(wěn)的.例例2上上服服是是在在的的函函數(shù)數(shù)是是一一周周期期為為設(shè)設(shè)), 0(,)(tTts 為隨機(jī)為隨機(jī)稱稱從均勻分布的隨機(jī)變量從均勻分布的隨機(jī)變量)()(, tstX.試討

7、論它的平穩(wěn)性試討論它的平穩(wěn)性相位周期過程相位周期過程解解的概率密度為的概率密度為 ., 0,0,/1)(其他其他TTf X(t) 的均值函數(shù)為的均值函數(shù)為 )()( tsEtXE TTiisTTts0.d)(1d1)( 的周期性的周期性利用利用)( s.d)(1)(0常常數(shù)數(shù)知知 TsTtXE 而自相關(guān)函數(shù)而自相關(guān)函數(shù))()(),( tstsEttRX d1)()(0TtstsT 具有周期性具有周期性有有關(guān)關(guān)僅僅與與 )( XR 所以所以隨機(jī)相位周期過程是平穩(wěn)的隨機(jī)相位周期過程是平穩(wěn)的. 特別特別, 隨機(jī)相位隨機(jī)相位正弦波是平穩(wěn)的正弦波是平穩(wěn)的. d)()(1 ssTTii例例3考慮隨機(jī)電報信

8、號考慮隨機(jī)電報信號 t)(txIoI 2/1)()( ItXPItXP這這里里),(),( ttNtt內(nèi)內(nèi)變變化化的的次次數(shù)數(shù)而而正正負(fù)負(fù)號號在在區(qū)區(qū)間間由只由只信號信號)(tXII 或或取取.的電流給出的電流給出是隨機(jī)的是隨機(jī)的, .),(服服從從泊泊松松分分布布假假設(shè)設(shè) ttN即事件即事件),(kttNAk 的概率為的概率為, 2 , 1 , 0,!)()( kekAPkk .0的數(shù)學(xué)期望的數(shù)學(xué)期望是單位時間內(nèi)變號次數(shù)是單位時間內(nèi)變號次數(shù)其中其中 .)(的平穩(wěn)性的平穩(wěn)性試討論試討論tX解解0)( tXE)()( tXtXE下下面面計計算算內(nèi)變號偶數(shù)次內(nèi)變號偶數(shù)次如果電流在如果電流在), t

9、t,)()(2ItXtX必必同同號號且且乘乘積積為為和和 內(nèi)變號奇數(shù)次內(nèi)變號奇數(shù)次如果電流在如果電流在), tt,)()(2ItXtX 乘乘積積為為和和 的的概概率率為為事事件件)()(2ItXtX .)()()(420 APAPAP的概率為的概率為事件事件)()(2ItXtX )()(31APAP 0012222)()()()(kkkkAPIAPItXtXE .!)(2202 eIkeIkk結(jié)果與結(jié)果與t 無關(guān)無關(guān),0 tt令令時時而而 22)()( eItXtXE有有關(guān)關(guān)只只與與 則自相關(guān)函數(shù)則自相關(guān)函數(shù):.)(是是一一平平穩(wěn)穩(wěn)過過程程所所以以隨隨機(jī)機(jī)電電報報信信號號tX其圖形為其圖形為:

10、2I o)( XR其其概概率率密密度度為為變變量量是是服服從從瑞瑞利利分分布布的的隨隨機(jī)機(jī)其其中中設(shè)設(shè)隨隨機(jī)機(jī)過過程程, )cos()(AttAtX 0, 00,)(2222aaeaafa ?)(,)2 , 0(是是不不是是平平穩(wěn)穩(wěn)過過程程問問是是一一常常數(shù)數(shù)隨隨機(jī)機(jī)變變量量相相互互獨(dú)獨(dú)立立的的上上服服從從均均勻勻分分布布且且與與是是在在tXAn 解解2d)(022222 aeaAEa因因例例4202022322d2d)(2222 aaeaeaAEaa故故 )cos( tAE )cos()cos(),(2121 tAtAEttRX.)(是是平平穩(wěn)穩(wěn)過過程程所所以以tX )cos( tEEA00

11、 EA )cos()cos(212 ttEEA)(cos212122tt cos2 ?),0()(:.,),(是是否否仍仍為為平平穩(wěn)穩(wěn)過過程程問問變變量量而而且且不不恒恒等等于于一一個個隨隨機(jī)機(jī)過過程程是是一一個個零零均均值值的的平平穩(wěn)穩(wěn)設(shè)設(shè) tXtXttX解解 是是一一個個零零均均值值的的平平穩(wěn)穩(wěn)因因 ttX),(,過程過程0)( tXE)(),( XXRttR 故有故有例例5),0()()(XtXtY 令令.)0()()(不不是是平平穩(wěn)穩(wěn)過過程程可可見見XtXtY )0()()(XEtXEtYE 則則)0(X )0()()0()(),(XtXXtXEttR )0()()()0()(2XtXEtXEXRX 三、小結(jié)三、小結(jié)