lecture3 多元正態(tài)分布

1、1第三章第三章 多元正態(tài)分布及參數(shù)估計(jì)多元正態(tài)分布及參數(shù)估計(jì) 北京交通大學(xué)李衛(wèi)東2多元正態(tài)分布及參數(shù)估計(jì)多元正態(tài)分布及參數(shù)估計(jì)n基礎(chǔ)知識(shí)n多元正態(tài)分布n均值向量和協(xié)方差陣的估計(jì)n幾種常用的抽樣分布n實(shí)例分析3基礎(chǔ)知識(shí)n隨機(jī)向量n分布密度函數(shù)n多元變量的獨(dú)立性n隨機(jī)向量的數(shù)字特征n多元正態(tài)分布4一元分布一元分布一、 一元隨機(jī)變量與概率分布函數(shù)二、概率分布函數(shù)的類型三、隨機(jī)變量的數(shù)字特征四、一些重要的一元分布: 二項(xiàng)分布、泊松分布、正態(tài)分布5隨機(jī)向量n隨機(jī)向量: 由多個(gè)隨機(jī)變量組成的向量。nn個(gè)樣品，p個(gè)指標(biāo)n數(shù)據(jù)表：變量為列，樣品為行。),(21pXXXXX1X2Xp1 x11x12x1p2 x

2、21x22x2pn xn1xn2xnp6分布函數(shù)與密度函數(shù)n設(shè)隨機(jī)向量n其多元分布函數(shù)為n記為XF,式中， 分布函數(shù)的性質(zhì): 非降的右連續(xù)函數(shù)； 分布函數(shù)的取值范圍為0，1，即 0=F=0,對(duì)于任意x屬于p維實(shí)數(shù)空間。2.),()(21pxxxFxFXpxpxdtdtdttttfxF,),()(212112 ppRxxxx),(21pRdxxf1)(8多元向量的獨(dú)立性n兩個(gè)隨機(jī)向量X和Y是相互獨(dú)立的，若nP（X=x,Y=y)=P(X=x)P(Y0,則有：a) 的分布為b) 給定 ，),(pNXxx12p),(pNX1)(21pxxP多元正態(tài)分布的性質(zhì)24條件分布和獨(dú)立性若 ,將X， 作如下劃分

3、：(p=2) ),(pNX,)2()1(XXX)2()1(22211211定理1若 , 則 ),(pNX , 0),()(21121)2()1(pNXX其中：)()2()2(12212)1(21X21122121121125條件分布和獨(dú)立性若 , 將X， 作如下劃分： ),(pNX,tsrXXXX)3()2()1(tsr333231232221131211定理2則 , 0)(),(32)2(132231231)3()2()1(XXXXE其中：)()3()(3XXEiikjkkikijkij1tsr)3()2()1(3211322312311)3()2()1(),(XXXD26樣本統(tǒng)計(jì)量的極大似

4、然估計(jì)設(shè) , X1,X2,Xn是來自總體X的樣本，則),(pNXnjjjniiXXXXnSnnXnX11)()(111分別是 的極大似然估計(jì)量。,27 抽樣分布 設(shè) , X1,X2,Xn是來自總體X的樣本，則有(n-1)S的分布為自由度為n-1的維希特隨機(jī)分布； 是獨(dú)立的。 ),(pNXSX,)/1 ( ,(nNXpSX和28 幾種常用的抽樣分布 一、維希特（一、維希特（WishartWishart）分布）分布 1 1、定義、定義隨機(jī)矩陣的分布npnnppxxxxxxxxx212222111211X設(shè)隨機(jī)矩陣 矩陣中的每一個(gè)元素均為隨機(jī)變量，則矩陣X的分布是其列向量拉長，組成一個(gè)長向量的分布。

5、npnppxxxxxx1221111x29 特別當(dāng) 是 階對(duì)稱陣，則 的分布為的下三角部分組成的長向量XpXppppppppxxxxxxx,1,1, 1222111x30 在一元正態(tài)隨機(jī)變量中，我們?cè)?jīng)討論了 分布，在多元正態(tài)隨機(jī)變量也有類似的樣本分布。維希特分布（Wishart）相當(dāng)于一元統(tǒng)計(jì)中的 分布。 1928年由Wishart推導(dǎo)出來的。 22維希特（Wishart）分布31 定義定義 維希特（維希特（WishartWishart）分布的統(tǒng)計(jì)量）分布的統(tǒng)計(jì)量 設(shè) 個(gè)隨機(jī)向量 n), 3 , 2 , 1(),(21niXXXipiii X)()2()1(212222111211npnnp

6、nnppXXXXXXXXXXXXX 獨(dú)立同分布于 ，則),( pN 服從自由度為 的非中心維斯特分布，記為 。n),( nWpniiiXX1)()(當(dāng)i=0時(shí)，稱為中心維希特分布，記為Wp(n,)32 定理1：若 ，且 ， ，則 的分布密度為特別，當(dāng) 和 時(shí)， 服從 分布。),(nWppn 0 0,)21(|2)21exp(|)(1221) 1(212)1(ainAtraaFpinnppnpp1 p1 2維希特（ Wishart）分布的密度函數(shù)當(dāng)p=1時(shí)，退化為 ，此時(shí)中心維希特分布退化為 ，維希特分布是卡方分布的推廣。2)(22n33二、維斯特(Wishart)分布有如下的性質(zhì)： （1）若A

7、1和A2獨(dú)立，其分布分別 和 ，則 的分布為 ，即維斯特(Wishart)分布有可加性。),(1nWp),(2nWp21 ),(21nnWp （2） ，C為mp階的矩陣，則 的分布為 分布。),(nWpCC),(CC nWm34定義： 則相互獨(dú)立和設(shè),),(),( ppNunW),(212uunpTn 稱T2服從參數(shù)為P和n的非中心霍特林（Hotelling)分布，當(dāng)。定理定理：),()()(212npTxxn 則相互獨(dú)立和設(shè),),(),(ppNxnW 當(dāng) 時(shí)， 服從自由度為n的中心霍特林分布，記為 。0uu12 nuu12 n),(2npT) 1,(12pnpFTnppn35 ),(1121

8、1 pxxx1x),(222212 pxxxx),(21 npnnnxxxx樣本均值令 niin11樣本叉積矩陣n1iXXXX)(iiS) 1,()()() 1(212npTxSxnn 則) 1,(1),(2 pnpFpnnpnpT且 定理定理：設(shè) 是來自多元正態(tài)總體 的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，有n21xxx,),(pN36霍特林Hotelling 分布n霍特林Hotelling 分布是t分布在多維情況下的推廣。n定義 設(shè)n且X與S相互獨(dú)立，np，則稱統(tǒng)計(jì)量的分布為非中心霍特林 分布，記為。2T2T( ,)pNX( ,)pSWn 21TnX SX22( , ,)TTp n37維爾克斯分布n若 ，則稱協(xié)差陣的行列式 為X的廣義方差，稱 為樣本廣義方差。其中 。n定義 若 且A1和A2相互獨(dú)立，則稱 (0,)pNX1Sn()()1()()nSXXXX11( ,)pAWn 1np22(,)pAWn 0 112AAA 為維爾克斯（wilks）統(tǒng)計(jì)量， 的分布稱為維爾克斯分布，簡(jiǎn)記為 12( ,)p n n38實(shí)例分析n例3-1 以我國主要城市空氣質(zhì)量狀況指標(biāo)（2003年）為例進(jìn)行說明。反映空氣質(zhì)量的指標(biāo)主要有可吸入顆粒物(PM10) （單位：毫克/立方米）、二氧化硫(SO2) （單位：毫克/立方米）、二氧化氮(NO2) （單位：毫克/立方米）、空氣質(zhì)量達(dá)到及好于二級(jí)的天數(shù)(天)等。我們對(duì)上述四