牽連運(yùn)動為平動時(shí)點(diǎn)的

1、9.3 牽連運(yùn)動為平動時(shí)點(diǎn)的 加速度合成定理reaaaa 動坐標(biāo)系固結(jié)于某一運(yùn)動的剛體上動坐標(biāo)系固結(jié)于某一運(yùn)動的剛體上, ,可能作平動，可能作平動，定軸轉(zhuǎn)動或其他的更為復(fù)雜的運(yùn)動，動坐標(biāo)系的運(yùn)動定軸轉(zhuǎn)動或其他的更為復(fù)雜的運(yùn)動，動坐標(biāo)系的運(yùn)動不同，加速度合成定理的表達(dá)形式不同。不同，加速度合成定理的表達(dá)形式不同。 先討論牽連運(yùn)動為平動時(shí)的加速度合成定理。先討論牽連運(yùn)動為平動時(shí)的加速度合成定理。1.牽連運(yùn)動:牽連運(yùn)動為平動2.動點(diǎn)M的速度證明：一、幾何法：t+etAMraB1MM1rrteavvvvvvvAB 設(shè)動點(diǎn)設(shè)動點(diǎn) M 在動坐標(biāo)系上沿曲線在動坐標(biāo)系上沿曲線AB運(yùn)動，運(yùn)動，t+etAMraB

2、B1MAM1rrteavvvvvvv而動坐標(biāo)系又作平動，而動坐標(biāo)系又作平動，曲線曲線AB又跟隨動坐標(biāo)系作平動。又跟隨動坐標(biāo)系作平動。MM AB為相對軌跡；為相對軌跡； 為其絕對軌跡。為其絕對軌跡。eravvv 在瞬時(shí)在瞬時(shí)t，動點(diǎn)位于，動點(diǎn)位于M，其絕對速度，其絕對速度va，相對速度，相對速度vr，牽連速度牽連速度ve，由速度合成定理知，由速度合成定理知:t+etAMraB1MM1rrteavvvvvvvAB 在瞬時(shí)在瞬時(shí)t+t ，動點(diǎn)位于，動點(diǎn)位于M，其絕對速度，其絕對速度va，相對，相對速度速度vr，牽連速度，牽連速度ve。 由速度合成定理知：由速度合成定理知：eravvv0limaaaa

3、tddtt vvva0limererttt vvvv3.加速度：加速度： 絕對加速度以絕對加速度以 aa表示，它等于絕對表示，它等于絕對 速度對時(shí)間的一階變化率，即：速度對時(shí)間的一階變化率，即： 00limlimaaaererattddtttt vvvvvvvat+eAMraBB1MAM1rrteavvvvvvvt00limlimeerrtttt vvvv0limeett vv(1) 將絕對運(yùn)動分解為將絕對運(yùn)動分解為牽連運(yùn)動牽連運(yùn)動和和相對運(yùn)動相對運(yùn)動兩個部分，兩個部分， 假如沒有相對運(yùn)動發(fā)生，假如沒有相對運(yùn)動發(fā)生， 則在瞬時(shí)則在瞬時(shí) t+t，動點(diǎn)將因只有牽連運(yùn)動而位于，動點(diǎn)將因只有牽連運(yùn)動而

4、位于M1處。處。tt+tA,AB,BMM1,Mev1eve,v00limlimeerratttt vvvva下面研究上式右端各項(xiàng)的意義：下面研究上式右端各項(xiàng)的意義：1ev牽連速度為：牽連速度為：又因?yàn)閯酉灯絼樱忠驗(yàn)閯酉灯絼?，有：有?eevv動系平動，有：動系平動，有：1eevv因此有：因此有： ve和和ve1是平動坐標(biāo)系上同一個點(diǎn)在相隔的兩個不同瞬是平動坐標(biāo)系上同一個點(diǎn)在相隔的兩個不同瞬時(shí)的速度，時(shí)的速度， ( ve1 ve )= ve是速度增量。是速度增量。tt+tA,AB,BMM1,Mev1eve,v100limlimeeeetttt vvvv上式是在瞬時(shí)上式是在瞬時(shí)t t的牽連點(diǎn)（動

5、坐標(biāo)與動點(diǎn)的重合點(diǎn)）的的牽連點(diǎn)（動坐標(biāo)與動點(diǎn)的重合點(diǎn)）的加速度，稱為動點(diǎn)的牽連加速度。加速度，稱為動點(diǎn)的牽連加速度。100limlimeeeetttt vvva牽連加速度牽連加速度：某瞬時(shí)動坐標(biāo)系上與動點(diǎn)相重合的點(diǎn)的加速度。：某瞬時(shí)動坐標(biāo)系上與動點(diǎn)相重合的點(diǎn)的加速度。0(1) limeett vv0(2) limrrtt vv 動坐標(biāo)系上的人看不到自己隨動坐標(biāo)系一起運(yùn)動，動坐標(biāo)系上的人看不到自己隨動坐標(biāo)系一起運(yùn)動，即看不出相對軌跡隨動坐標(biāo)系的運(yùn)動，分辨不出即看不出相對軌跡隨動坐標(biāo)系的運(yùn)動，分辨不出AB曲線曲線與與AB曲線的不同。曲線的不同。MMBAt+t1M,B,A,trvrvr1v又由于牽連

6、運(yùn)動是平動，又由于牽連運(yùn)動是平動，AB曲線與曲線與AB曲線平行，認(rèn)為：曲線平行，認(rèn)為：rrvv 1又由于牽連運(yùn)動是平動，又由于牽連運(yùn)動是平動，AB曲線與曲線與AB曲線平行，曲線平行，認(rèn)為：認(rèn)為：rrvv 1于是：于是： 100limlimrrrrtttt vvvv vr和和vr1分別是動點(diǎn)沿相對軌跡運(yùn)動時(shí)在兩不同瞬時(shí)的分別是動點(diǎn)沿相對軌跡運(yùn)動時(shí)在兩不同瞬時(shí)的相對速度，相對速度，MMBAt+t1M,B,A,trvrvr1v vrvr1 是單純的由于相對運(yùn)動所引起的，是相對速度在是單純的由于相對運(yùn)動所引起的，是相對速度在t內(nèi)的增量，相對加速度：內(nèi)的增量，相對加速度： 100limlimrrrrrt

7、ttt vvvva牽連運(yùn)動為平動時(shí)的加速度合成定理：reaaaa該式表明：當(dāng)牽連運(yùn)動為平動時(shí)，動點(diǎn)的絕對加該式表明：當(dāng)牽連運(yùn)動為平動時(shí)，動點(diǎn)的絕對加速度等于其牽連加速度與相對加速度的幾何和。速度等于其牽連加速度與相對加速度的幾何和。 100limlimrrrrrtttt vvvva100limlimeeeetttt vvva00limlimeerratttt vvvvat+etAMraBB1MAM1rrteavvvvvvv所以，當(dāng)牽連運(yùn)動不是平動時(shí)，上述定理不成立。tt+tA,AB,BMM1,Mev1eve,vMMBAt+t1M,B,A,trvrvr1vreaaaa注意：牽連加速度也是有瞬時(shí)性

8、的，隨牽連點(diǎn) 的不同而不同。 如果牽連運(yùn)動不是平動，則： rrvv 11eevv 一、動系一、動系Oxyz作平動作平動 （i、j、k均為常矢量）均為常矢量）xozyxyyozzABrrkij,ijk,Mx 設(shè)動點(diǎn)設(shè)動點(diǎn)M在動系在動系Oxyz中中沿相對軌跡沿相對軌跡AB運(yùn)動，運(yùn)動，（解析法）（解析法） 動點(diǎn)動點(diǎn)M在動系中沿相對軌跡在動系中沿相對軌跡AB運(yùn)動，運(yùn)動，而動系而動系Oxyz又相對定系又相對定系 Oxyz作平動，如圖所示，作平動，如圖所示，單位矢量單位矢量i、j、k 均為常矢量。均為常矢量。動點(diǎn)動點(diǎn)M相對動系的相對矢徑為相對動系的相對矢徑為kzjyirr x動點(diǎn)動點(diǎn)M相對動系的相對速度為

9、相對動系的相對速度為 kzjyivxr動點(diǎn)動點(diǎn)M相對動系的相對加速度為相對動系的相對加速度為kzjyia xrxozyxyyozzABrrkij,ijk,Mx牽連速度：牽連速度：由速度合成定理得由速度合成定理得 kzjyivvvvoeaxr oevv 二、牽連運(yùn)動：平動二、牽連運(yùn)動：平動（動系上各點(diǎn)速度、加速度都相等（動系上各點(diǎn)速度、加速度都相等) 牽連加速度牽連加速度： aeaodvo/dt三、絕對運(yùn)動：三、絕對運(yùn)動：1、絕對速度、絕對速度xozyxyyozzABrrkij,ijk,Mx由速度合成定理得由速度合成定理得 kzjyivvvvoeaxr三、絕對運(yùn)動三、絕對運(yùn)動將上式對時(shí)間將上式對

10、時(shí)間t求一階導(dǎo)數(shù)，并注意到求一階導(dǎo)數(shù)，并注意到0kji可得：可得：aaer y z xovvvvijkareroaaaaxozyxyyozzABrrkij,ijk,Mx上式表示牽連運(yùn)動為平動時(shí)上式表示牽連運(yùn)動為平動時(shí)點(diǎn)的加速度合成定理：點(diǎn)的加速度合成定理： 當(dāng)牽連運(yùn)動為平動時(shí)，動點(diǎn)在某瞬時(shí)的絕對加速度等于當(dāng)牽連運(yùn)動為平動時(shí)，動點(diǎn)在某瞬時(shí)的絕對加速度等于該瞬時(shí)它的牽連加速度與相對加速度的矢量和。該瞬時(shí)它的牽連加速度與相對加速度的矢量和。 注意：注意：ve、ae具有瞬時(shí)性。五、牽連運(yùn)動為平動時(shí)點(diǎn)的五、牽連運(yùn)動為平動時(shí)點(diǎn)的 加速度合成定理加速度合成定理 oreraaaaaa（9.7）xxozyxyy

11、ozzABrrkij,ijk, 例例 曲柄曲柄OA繞固定軸繞固定軸O轉(zhuǎn)動，丁字形桿轉(zhuǎn)動，丁字形桿BC沿水平方向往沿水平方向往復(fù)平動，如圖所示。鉸接在曲柄端復(fù)平動，如圖所示。鉸接在曲柄端A的滑塊，可在丁字形桿的的滑塊，可在丁字形桿的鉛直槽鉛直槽DE內(nèi)滑動。設(shè)曲柄以角速度內(nèi)滑動。設(shè)曲柄以角速度w作勻速轉(zhuǎn)動，作勻速轉(zhuǎn)動， OA=r，試，試求求桿桿BC的加速度。的加速度。 解：因丁字形桿解：因丁字形桿BC作平作平動，故動，故桿桿BC以及鉛直槽以及鉛直槽DE上所有各點(diǎn)的加速度完全相上所有各點(diǎn)的加速度完全相同。同。 解：因丁字形桿解：因丁字形桿BC作平動，故作平動，故桿桿BC以及鉛直以及鉛直槽槽DE上所有

12、各點(diǎn)的加速度完全相同。上所有各點(diǎn)的加速度完全相同。 顯然，只要求出鉛顯然，只要求出鉛直槽直槽DE上在這瞬時(shí)與上在這瞬時(shí)與曲柄端曲柄端A相重合的那一相重合的那一點(diǎn)的加速度即可。點(diǎn)的加速度即可。 動點(diǎn)動點(diǎn)曲柄端曲柄端 A， 動系動系固定在固定在丁字形桿丁字形桿BC 上。上。 絕對運(yùn)動絕對運(yùn)動 點(diǎn)點(diǎn)A以點(diǎn)以點(diǎn)O為中心的圓周運(yùn)動為中心的圓周運(yùn)動 aarw w2 2相對運(yùn)動相對運(yùn)動 點(diǎn)點(diǎn)A沿槽沿槽DE的直線運(yùn)動的直線運(yùn)動 ar？ 方向沿方向沿DE 牽連運(yùn)動牽連運(yùn)動 槽槽DE作水平直線平動。作水平直線平動。 ae？ 方向沿方向沿CO 根據(jù)根據(jù) aa=aear ( (其中有四個要素已知），可作出加速其中有四

13、個要素已知），可作出加速度平行四邊形如圖所示。由圖中三角關(guān)系得度平行四邊形如圖所示。由圖中三角關(guān)系得aBC=ae aacosf=rw w2 2 cosf 因此，因此，C C點(diǎn)相對于點(diǎn)相對于AB桿的運(yùn)動是桿的運(yùn)動是平行于平底的直線運(yùn)動，即平行于平底的直線運(yùn)動，即C C點(diǎn)點(diǎn)相對于相對于AB桿的軌跡是一條與平桿的軌跡是一條與平底平行的直線。底平行的直線。 解：解：在整個運(yùn)動過程中，在整個運(yùn)動過程中，AB桿的平底始終與桿的平底始終與圓輪相切，所以圓輪中心點(diǎn)圓輪相切，所以圓輪中心點(diǎn)C C至平底的距離保至平底的距離保持不變。持不變。 動點(diǎn)選圓心動點(diǎn)選圓心C點(diǎn)，點(diǎn)， 動系固結(jié)在推桿動系固結(jié)在推桿AB上。上。

14、 點(diǎn)點(diǎn)C的絕對運(yùn)動為繞的絕對運(yùn)動為繞O點(diǎn)的點(diǎn)的 圓周運(yùn)動。圓周運(yùn)動。大小為大小為 v va=e=ew w牽連運(yùn)動：牽連運(yùn)動：AB桿的鉛垂直線桿的鉛垂直線平動平動， ve=? =? 鉛垂鉛垂向上向上由圖示速度矢量合成得由圖示速度矢量合成得 ve= =vAB= = vacosf f= =ewcosf f此即平底推桿此即平底推桿AB的速度。的速度。 點(diǎn)點(diǎn)C C的相對運(yùn)動的相對運(yùn)動: : 沿平行于平底的水平直線運(yùn)動，沿平行于平底的水平直線運(yùn)動， vr=? =? 方向方向向左，向左，aa= =aat+ +aan= =ae+ +ar ( (* *) )已知絕對加速度為已知絕對加速度為 aatea a ,

15、aanew w2點(diǎn)的相對加速度沿相對軌跡，設(shè)點(diǎn)的相對加速度沿相對軌跡，設(shè)指向向左。指向向左。點(diǎn)的牽連加速度沿鉛垂線，點(diǎn)的牽連加速度沿鉛垂線，設(shè)指向向上。設(shè)指向向上。aa= =aat+ +aan = =ae+ +ar ( (* *) ) aatea a , aanew w2 在滑塊導(dǎo)桿機(jī)構(gòu)中，由一在滑塊導(dǎo)桿機(jī)構(gòu)中，由一繞固定軸繞固定軸O作順時(shí)針轉(zhuǎn)動的導(dǎo)作順時(shí)針轉(zhuǎn)動的導(dǎo)桿桿OB帶動滑塊帶動滑塊A沿水平直線軌沿水平直線軌道運(yùn)動，道運(yùn)動，O到導(dǎo)軌的距離是到導(dǎo)軌的距離是h，已知在圖示瞬時(shí)導(dǎo)桿的傾角是已知在圖示瞬時(shí)導(dǎo)桿的傾角是j j ，角速度大小是，角速度大小是 ，角加速，角加速度度a a=0，試求該瞬時(shí)

16、滑塊，試求該瞬時(shí)滑塊A的絕的絕對加速度。對加速度。jOAByxyxh例例 題題 8-13jOAByxh1. 選擇動點(diǎn)，動系與定系。相對運(yùn)動沿導(dǎo)桿OB的直線運(yùn)動。牽連運(yùn)動 導(dǎo)桿OB繞軸O的勻速轉(zhuǎn)動。絕對運(yùn)動 沿導(dǎo)軌的水平直線運(yùn)動。動系 Axy固連于導(dǎo)桿。動點(diǎn)取滑塊動點(diǎn)取滑塊A為動點(diǎn)。為動點(diǎn)。 2. 運(yùn)動分析。jjwjjwj2ersincoscotsincothhvvvevrvayxreavvv應(yīng)用速度合成定理速度合成圖如圖所示。求得求得:例 題 解：解： 牽連加速度ae： , 方向沿BO 指向O。3. 加速度分析。Casinaajjjwj32Casincos2sinhaaCreaaaaa投影到O

17、y軸上，得絕對加速度aa：大小待求，方向水平。wj sinhea相對加速度ar：大小未知，方向沿BO。 科氏加速度aC： , 方向OB 偏上方。r0C2vaw根據(jù)加速度合成定理求得滑塊A的加速度jOAByxhyxaearacaavr例例 題題 圖示一往復(fù)式送料機(jī)，曲柄圖示一往復(fù)式送料機(jī)，曲柄OA長長l，它，它帶動帶動導(dǎo)桿導(dǎo)桿BC和和送料槽送料槽D作往復(fù)運(yùn)動，借以運(yùn)作往復(fù)運(yùn)動，借以運(yùn)送物料。送物料。 設(shè)某瞬時(shí)曲柄與鉛垂線成設(shè)某瞬時(shí)曲柄與鉛垂線成q q角。曲柄的角。曲柄的角速度為角速度為w w0，角加速度為，角加速度為a a0，方向如圖所示，方向如圖所示，試求此瞬時(shí)送料槽試求此瞬時(shí)送料槽D的速度和

18、加速度的速度和加速度。 例例 題題 8-12DBCAOw 0a 0DBCAOw 0a 0解：解：1. 選擇動點(diǎn)，動系與選擇動點(diǎn)，動系與定系定系。動系O xy，固連于導(dǎo)桿BC。2. 運(yùn)動分析。運(yùn)動分析。 絕對運(yùn)動以O(shè)為圓心的圓周運(yùn)動。 相對運(yùn)動沿導(dǎo)桿滑槽的鉛垂直線運(yùn)動。 牽連運(yùn)動導(dǎo)桿BC 沿水平直線的平動。動點(diǎn)滑塊滑塊A 。Oxy例例 題題 8-12求送料槽D的速度和加速度。DBCAOw 0a 0Oxy3. 速度分析。 絕對速度va：va= l 0 ，方向與OA垂直。 相對速度vr：大小未知，方向 沿導(dǎo)桿滑槽向上。 牽連速度ve：所求的送料槽的速度，方向 水平向右。vevavrreavvv應(yīng)用速

19、度合成定理應(yīng)用速度合成定理evvD求得：例例 題題 8-12qwqcoscos0alv求送料槽D的速度和加速度。4. 加速度分析。加速度分析。絕對加速度法向分量aan： aan = l 02 ，沿著AO。相對加速度ar：大小未知，方向沿O y 軸牽連加速度ae：大小未知，為所要求的量， 方向水平，假設(shè)向右。絕對加速度切向分量aat： aa t= l0，方向與 OA 垂直，指向左下方。DBCAOw 0a 0Oxyaeaataanar例例 題題 8-12求送料槽D的速度和加速度。應(yīng)用加速度合成定理retanaaaaa投影到O x軸，得到 enatasincosaaaqq于是，求得 )sincos(

20、200eqwqala即為導(dǎo)桿和送料槽D的加速度aD，例例 題題 8-12DBCAOw 0a 0Oxyaeaataanar求送料槽D的速度和加速度。其中負(fù)號表示在此瞬時(shí)ae的指向與圖中所假設(shè)的相反。 作業(yè)910, 12、13、14例例9.109.10動畫動畫例例3.3.圖示曲柄滑桿機(jī)構(gòu)圖示曲柄滑桿機(jī)構(gòu)(1)求滑桿求滑桿BC的速度的速度vBC運(yùn)動分析運(yùn)動分析已知：已知：OA=R， =300求：圖示瞬時(shí)滑桿求：圖示瞬時(shí)滑桿BC的的速度速度vBC和加速度和加速度aBC。動點(diǎn)：曲柄動點(diǎn)：曲柄OA上的銷釘上的銷釘A動系：滑桿動系：滑桿BC，作直線平動，作直線平動靜系：地面靜系：地面avevrv600600avRw解：解：(1)求滑桿BC的速度vBC運(yùn)動分析動點(diǎn)：曲柄OA上的銷釘A動系：滑桿BC，作直線平動