D1_1函數(shù)的概念

1、第一章函數(shù)函數(shù) 極限極限 連續(xù)連續(xù) 研究對(duì)象 研究方法 研究橋梁極限與連續(xù) 第一章 二、函數(shù)的表示法二、函數(shù)的表示法 三、復(fù)合函數(shù)三、復(fù)合函數(shù) 與反函數(shù)與反函數(shù)一、函數(shù)的定義一、函數(shù)的定義第一節(jié)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 函 數(shù)四、初等函數(shù)四、初等函數(shù)五、函數(shù)的幾種特性五、函數(shù)的幾種特性一一 、函數(shù)的定義、函數(shù)的定義劉徽 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 引例引例1. 在重力作用下，物體從離地面 處自由落下，h 下落路程 與時(shí)間 滿足關(guān)系（不計(jì)空氣阻力）.st212sgt20htgr2. 設(shè)有半徑為 r 的圓 ,nAn如圖所示 , 可知nAn2sincosr nn),5,4,3(n求其內(nèi)接

2、正 n 邊形的面積sin2122nrn定義定義1 1 設(shè)非空數(shù)集設(shè)非空數(shù)集,RD ., )(Dxxfy x 稱(chēng)為稱(chēng)為自變量自變量,y 稱(chēng)為稱(chēng)為因變量因變量 ,D 稱(chēng)為稱(chēng)為定義域定義域 ,y 的全體的全體 變量變量 y 按照一定法則總有唯一確定的數(shù)值和它對(duì)應(yīng)按照一定法則總有唯一確定的數(shù)值和它對(duì)應(yīng),則稱(chēng)則稱(chēng) y 是是 x 的的函數(shù)函數(shù)，記為，記為, )(xfy Dx y稱(chēng)為稱(chēng)為值域值域 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 Dx f DxxfyyDfy ),()(定義域定義域值域值域?qū)?yīng)法則對(duì)應(yīng)法則注注1 函數(shù)的二要素：函數(shù)的二要素：定義域定義域 D，對(duì)應(yīng)法則對(duì)應(yīng)法則 f 定義域定義域使表達(dá)式及實(shí)

3、際問(wèn)題都有意義的自變量集合. 對(duì)應(yīng)法則對(duì)應(yīng)法則的表示方法:解析法、圖象法、列表法 同一函數(shù)同一函數(shù)如果兩函數(shù)定義域相同，對(duì)應(yīng)法則相同，稱(chēng)兩函數(shù)為同一函數(shù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 211arcsin1.22yxx求函數(shù)的定義域例例1 1解解220,x111,2x 解解得得22,x04,x 0,2).D 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1.lg 32yx求函數(shù)的定義域解解320,x lg 320 x 2,3x 321,x 1,x 2,11,3D定義域定義域例例2 2定義域定義域例例3 3下列各組函數(shù)是否相同？下列各組函數(shù)是否相同？(1) 2lg2lgf xxg xx與(2) 22co

4、s2cossinf xxg uuu與(3)00 xxyxyxx與機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 (4)21yx與21.xy機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2 單值函數(shù)與多值函數(shù)單值函數(shù)與多值函數(shù)D，x( )yf x僅有一個(gè)確定的值與之對(duì)應(yīng)，稱(chēng)為單值函數(shù)單值函數(shù)，例 如果2,yxx D，x( )yf x有兩個(gè)及兩個(gè)以上的值與之對(duì)應(yīng)， 如果稱(chēng)為多值函數(shù)多值函數(shù)，例221,1,1xyx 21,1,1yxx 多值函數(shù)的單值分枝單值分枝3 平面點(diǎn)集平面點(diǎn)集 ),(yxC Dx , )(xfy 稱(chēng)為函數(shù)稱(chēng)為函數(shù) f 的圖形的圖形.xy) ,(baD abxy機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 4

5、區(qū)間與鄰域區(qū)間與鄰域開(kāi)區(qū)間 ),(xbabxa閉區(qū)間 ,xbabxa設(shè)a, b是兩實(shí)數(shù)，且a b，則 ),xbabxa ,(xbabxa無(wú)限區(qū)間 ),xaxa ,(xb bx ),(xRx半開(kāi)區(qū)間)(aa ),(UxaaU( ,) axaxa xaxax0其中, a 稱(chēng)為鄰域中心 , 稱(chēng)為鄰域半徑 .左左 鄰域鄰域 :, ),(aa右右 鄰域鄰域 :. ),(aa機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 設(shè) 是兩實(shí)數(shù)，且 ，則,a0a點(diǎn)的 鄰域鄰域 a點(diǎn)的去心去心 鄰域鄰域 二二. . 函數(shù)常用的幾種表示法函數(shù)常用的幾種表示法1 .函數(shù)的分段表示函數(shù)的分段表示機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例

6、2. 絕對(duì)值函數(shù)絕對(duì)值函數(shù),0,0 xxyxxx xyO定義域定義域RD值值 域域),0)(Df2yx可表為可表為分段函數(shù)分段函數(shù)函數(shù)在其定義域的不同范圍內(nèi)函數(shù)在其定義域的不同范圍內(nèi), ,具具有不同的解析表達(dá)式有不同的解析表達(dá)式. .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1 1-1-1xyo例例3.3.符號(hào)函數(shù)符號(hào)函數(shù)sgnyx 010001xxx當(dāng)當(dāng)當(dāng)注注x sgnxx例例4. 取整函數(shù)取整函數(shù) y = x, x Rx表示不超過(guò)表示不超過(guò) x 的最大整數(shù)的最大整數(shù).xy 當(dāng)Znnxn,1,n5 7 2 3.50134xyo134212階梯曲線階梯曲線)10(xxD xy 當(dāng)當(dāng) 是是有有理理數(shù)數(shù)

7、時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 是是無(wú)無(wú)理理數(shù)數(shù)時(shí)時(shí)有理數(shù)點(diǎn)有理數(shù)點(diǎn)無(wú)理數(shù)點(diǎn)無(wú)理數(shù)點(diǎn)1xyo例例5 狄利克雷（狄利克雷（Dirichlet)函數(shù)函數(shù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例6 取最值函數(shù)取最值函數(shù))(),(maxxgxfy )(),(minxgxfy yxo)(xf)(xgyxo)(xf)(xg解解:21212)(f2)(1tf10t,11t1t,2t時(shí)0t函數(shù)無(wú)定義定義域 ),0D值 域 ),0)(Df機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例7.7. 已知函數(shù) 1,110,2)(xxxxxfy求 )(21f及, )(1tf并寫(xiě)出定義域及值域 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2.函數(shù)的隱式表示

8、函數(shù)的隱式表示( )yf x 隱函數(shù)隱函數(shù)由二元方程由二元方程 ,0F x y 確定變量確定變量 與與 的關(guān)系的關(guān)系yx例例222xyRsinyxy 0,1 （Kepler方程）方程）顯函數(shù)顯函數(shù)函數(shù)函數(shù) 由由 的解析表達(dá)式直接表示的解析表達(dá)式直接表示. .yx例如例如. 12 xy).sin(lnyxy 例例8.8.星形線（內(nèi)擺線）星形線（內(nèi)擺線）222333xyaat點(diǎn)擊圖片任意處點(diǎn)擊圖片任意處播放開(kāi)始或暫停播放開(kāi)始或暫停大圓半徑 Ra小圓半徑4ar (當(dāng)小圓在大圓內(nèi)沿圓周滾動(dòng)時(shí)當(dāng)小圓在大圓內(nèi)沿圓周滾動(dòng)時(shí), 小圓上的定點(diǎn)的軌跡小圓上的定點(diǎn)的軌跡)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 機(jī)動(dòng) 目

9、錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例9.9.雙紐線（貝努利雙紐線）雙紐線（貝努利雙紐線） 222222xyaxyayox44機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3.函數(shù)的參數(shù)表示函數(shù)的參數(shù)表示 x ty t tI 例例 圓圓cossinxRtyRt 00cossinxxRtyyRt 橢圓橢圓cossinxatybt 0,2t 星形線星形線33cossinxaya 0,2 a注：注：222333xya例例10. 擺線（旋輪線）擺線（旋輪線）（半徑為（半徑為 a 的圓沿直線無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)時(shí)的圓沿直線無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng)時(shí) ,其上定點(diǎn)其上定點(diǎn) M的軌跡）的軌跡）點(diǎn)擊圖中任意點(diǎn)動(dòng)畫(huà)開(kāi)始或暫停Moyxta)sin(t

10、tax)cos1 (tay參數(shù)的幾何意義機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 三三. . 復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)與反函數(shù)與反函數(shù)定義定義2,自自變變量量x,中間變量中間變量u,因變量因變量y的復(fù)合函數(shù)的復(fù)合函數(shù)為為，則稱(chēng)函數(shù)，則稱(chēng)函數(shù)，若，若值域?yàn)橹涤驗(yàn)榈牡?，而函?shù)，而函數(shù)的定義域的定義域設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)xxfyZDZxuDufyff)()()( ,uy 設(shè)設(shè)例例,12xu 21xy 1.復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 注注fDZ 1 并非任何兩個(gè)并非任何兩個(gè) 函數(shù)都能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)，函數(shù)都能構(gòu)成復(fù)合函數(shù)， ).2arcsin(2)(arcsin)(22xyxxuuufy 構(gòu)構(gòu)成成復(fù)復(fù)合

11、合函函數(shù)數(shù)不不能能與與 條件條件：例例：fDZ Ou-112 函數(shù)的復(fù)合是有條件的函數(shù)的復(fù)合是有條件的!因?yàn)?1,1fD 2,Z 2 多個(gè)函數(shù)復(fù)合及復(fù)合條件多個(gè)函數(shù)復(fù)合及復(fù)合條件例例：,yu cot ,uv 2xv cot2xy 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例1111設(shè)設(shè)( )arctan ,yf uu1( ),utt 2( )1,txx 求求 ( ).fx 解解 ( )arctanfxu 21arctan.1x 1arctant 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3 函數(shù)復(fù)合與分解函數(shù)復(fù)合與分解例例：2sin 2xye uye 2uv sinv

12、z 2zx 例例12. 設(shè)設(shè)1( ),1f xx 求求 .ffx解解: ffx 11fx 1111x 12xx 1, 2x 注意其定義域注意其定義域例例1313解解).(),(,2)(,)(2xfgxffxgxxfx求求設(shè)設(shè) ,)(2uuf )(xff2)(xf22x ,4x ,2)(uug )(xfg)(2xf.22x 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例14. 14. 設(shè)設(shè)解解 )(xgf1)(1 xge, 1exg )(1),(xg 11 xee, 1eex 1,xe , 01 x. 10 x, 1,xe 111( ),1xf xexxe ( ),.xg xefg x 求求 機(jī)動(dòng) 目

13、錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例3 3 將下列函數(shù)分解成基本初等函數(shù)的復(fù)合將下列函數(shù)分解成基本初等函數(shù)的復(fù)合: :2(1)lnsin;yx 2arctan(2);xye 22(3)cos ln(21).yx解解(1)2lnsinyx 是由是由,yu ln ,uv 2,vw sinwx 四個(gè)函數(shù)四個(gè)函數(shù)(2)2arctan xye 是由是由三個(gè)函數(shù)三個(gè)函數(shù)復(fù)合而成復(fù)合而成;復(fù)合而成復(fù)合而成;,uey ,arctanvu 2xv )3(是由是由)12ln(cos22xy 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 六個(gè)函數(shù)復(fù)合在而成六個(gè)函數(shù)復(fù)合在而成. .,2uy ,cosvu ,lnwv ,2tw ,h

14、t 21xh 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2. 2. 反函數(shù)的定義及性質(zhì)反函數(shù)的定義及性質(zhì)定義定義3設(shè)設(shè) y =f (x)定義域?yàn)槎x域?yàn)镈，值域?yàn)?，值域?yàn)閒 (D)與之對(duì)應(yīng)，與之對(duì)應(yīng)，的數(shù)的數(shù)中可唯一確定一個(gè)滿足中可唯一確定一個(gè)滿足在集合在集合若對(duì)若對(duì)xxfyDDfy)(),( )(DfDf1 f).(yxxy 為因變量的函數(shù)為因變量的函數(shù)為自變量，為自變量，一個(gè)以一個(gè)以則這一對(duì)應(yīng)關(guān)系確定了則這一對(duì)應(yīng)關(guān)系確定了.)()(的反函數(shù)的反函數(shù)就稱(chēng)為就稱(chēng)為函數(shù)函數(shù)xfyyx ,yfxxD 1,x yfyyf D 記作：記作： 1,yfxxf D 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例21y

15、x定義域 ,D 值 域 (),f D 反函數(shù)12yx定義域 , 可記為：可記為：12 xy21yx12xyxy xyo機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 注注)(xfy 與其反函數(shù)與其反函數(shù))(1xfy 的圖形關(guān)于的圖形關(guān)于直線直線yx對(duì)稱(chēng)對(duì)稱(chēng) .)(1xfy )(xfy xy ),(abQ( , )P a bxyo1 函數(shù)函數(shù)顯然顯然 1( ),ff xx xD 1( ),ffyy yf D 2 單調(diào)函數(shù)單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù)，必有反函數(shù)，且反函數(shù)與原函數(shù)具有相同的單調(diào)性且反函數(shù)與原函數(shù)具有相同的單調(diào)性.3 指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)互為反函數(shù)互為反函數(shù)三角函數(shù)與反三角函數(shù)三角函數(shù)與反

16、三角函數(shù)互為反函數(shù)互為反函數(shù)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例、例、求下列函數(shù)的反函數(shù)（求下列函數(shù)的反函數(shù)（P6,Ex2）101xy 反函數(shù)10log1xy定義域 為1, 記為：記為：10log1 yx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 (1)231yx(2)解解定義域 ,D 值 域 ()1,f D (1)(2)定義域 ,D 值 域 ()1,f D 反函數(shù)31xy 記為：記為：31 yx定義域 為1,例例1414求函數(shù)求函數(shù)114114xyx 的反函數(shù)的反函數(shù). .解解令令14 ,zx則則1,1zyz 故故1,1yzy 即即114,1yxy 解得解得2211()1,4 1(1)yyxyy

17、改變變量的記號(hào)改變變量的記號(hào), ,即得到所求反函數(shù)即得到所求反函數(shù): :2.(1)xyx 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例1515解解.,2,3, 21 , 1,3的反函數(shù)的反函數(shù)求求 xxxxxyx分段函數(shù)的反函數(shù)應(yīng)當(dāng)逐段求：分段函數(shù)的反函數(shù)應(yīng)當(dāng)逐段求：時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)1 x解得解得, yx );1,(, xxy反函數(shù)為反函數(shù)為時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)21 x解得解得,3yx 反函數(shù)為反函數(shù)為,3xy ，xy ，3xy 又對(duì)于直接函數(shù)又對(duì)于直接函數(shù) y = x 3 來(lái)說(shuō)其值域?yàn)閬?lái)說(shuō)其值域?yàn)?1, 8 ，故反函數(shù)故反函數(shù) 的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?1, 8 ; x 1, 8 ;機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)

18、束 時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)2 x解得解得,log3yx 反函數(shù)為反函數(shù)為,log3xy )., 9( x綜上所述，所求反函數(shù)為綜上所述，所求反函數(shù)為 . 9,log, 81 , 1 ,33xxxxxxy，xy3 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例15. 求y的反函數(shù)及其定義域.解解:01x當(dāng)時(shí),2xy 則1,0(,yyx10 x當(dāng)時(shí),xyln則0,(,yexy21 x當(dāng)時(shí),12xey則2,2(,ln12eyxy反函數(shù)y1,0(,xx0,(,xex2,2(,ln12exx定義域?yàn)?,2(1,(e21,210 ,ln01, 12xexxxxx212e21yox1, 1,0(, 0,(, 2,2(e機(jī)動(dòng)

19、目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 統(tǒng)稱(chēng)為統(tǒng)稱(chēng)為 基本初等函數(shù)基本初等函數(shù).冪函數(shù)、冪函數(shù)、 指數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、 對(duì)數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、 三角函數(shù)、三角函數(shù)、反三角函數(shù)反三角函數(shù)四、初等函數(shù)四、初等函數(shù)2 2、冪函數(shù)、冪函數(shù))( 是是常常數(shù)數(shù)xy 3 3、指數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)),(10 aaayxxey 4 4、對(duì)數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)),(log10 aaxyaxyln 5 5、三角函數(shù)、三角函數(shù),sin xy ,cosxy ,tan xy xycot 常數(shù)函數(shù)、常數(shù)函數(shù)、1 1、常數(shù)函數(shù)、常數(shù)函數(shù)yC6 6、反三角函數(shù)、反三角函數(shù)sin ,yarcxcos ,yarcxtan ,yarcxcotyarc

20、x機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 2 2、冪函數(shù)、冪函數(shù))( 是常數(shù)是常數(shù) xyoxy2xy xy xy 11)1 , 1(xy1 1 1、常數(shù)函數(shù)、常數(shù)函數(shù)yCC Cxyo機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2.2.指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù))1, 0( aaayxxey xay xay)1( )1( a)1 , 0(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 3.3.對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù))1, 0(log aaxyaxyln xyalog xya1log )1( a)0 , 1(機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 4.4.三角函數(shù)三角函數(shù)正弦函數(shù)正弦函數(shù)xysin xysin 余弦函

21、數(shù)余弦函數(shù)xycos xycos 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 正切函數(shù)正切函數(shù)xytan xytan 余切函數(shù)余切函數(shù)xycot xycot 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 正割函數(shù)正割函數(shù)1seccosyxxxysec 余割函數(shù)余割函數(shù)1cscsinyxxxycsc 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 5.5.反三角函數(shù)反三角函數(shù)xyarcsin 反反正正弦弦函函數(shù)數(shù)xyarcsin xyarccos 反反余余弦弦函函數(shù)數(shù)xyarccos 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xyarctan 反正切函數(shù)反正切函數(shù)xyarctan xycot 反余切函數(shù)反余切函數(shù)arcxycot

22、arc機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 由基本初等函數(shù)由基本初等函數(shù)稱(chēng)為稱(chēng)為初等函數(shù)初等函數(shù) . 否則稱(chēng)為否則稱(chēng)為非初等函數(shù)非初等函數(shù) . 2,xy0,xx0,xx并可用并可用一個(gè)式子一個(gè)式子表示的函數(shù)表示的函數(shù) ,經(jīng)過(guò)經(jīng)過(guò)有限次有限次四則運(yùn)算和四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成復(fù)合步驟所構(gòu)成 ,為初等函數(shù)為初等函數(shù).機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 注：注：一般情況下，分段函數(shù)不是初等函數(shù)，但一般情況下，分段函數(shù)不是初等函數(shù)，但. )1ln( , arccossin21 2都是初等函數(shù)例如：xxxxxsgnyx yx 為為非初等函數(shù)非初等函數(shù).xsh2xxeeyx為奇函數(shù)為

23、奇函數(shù)(1) 雙曲正弦雙曲正弦 xyoxexe xysh 1.1. 雙曲函數(shù)雙曲函數(shù)反雙曲正弦反雙曲正弦 2arshln1yxxx工程中常用的一類(lèi)初等函數(shù)工程中常用的一類(lèi)初等函數(shù):機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 (2) 雙曲余弦雙曲余弦 ch2xxeeyx2archln1yx =xx 為偶函數(shù)為偶函數(shù)xyoxexe xych 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束 反雙曲余弦反雙曲余弦 xxychsh xxxxeeee 為奇函數(shù)為奇函數(shù)oyx11xth (3) 雙曲正切雙曲正切 xyth 機(jī)動(dòng)機(jī)動(dòng) 目錄目錄 上頁(yè)上頁(yè) 下頁(yè)下頁(yè) 返回返回 結(jié)束結(jié)束

24、 反雙曲正切反雙曲正切 11+arthln21xyx =x 五、函數(shù)的幾種特性五、函數(shù)的幾種特性設(shè)函數(shù), )(Dxxfy且有區(qū)間.DI ,xI, 0M使( ),f xM稱(chēng) )(xf在在 I 上有界上有界； 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定義定義1或稱(chēng)或稱(chēng) 為為 I 上有界函數(shù)上有界函數(shù). )(xfM（ 不唯一）不唯一）注注1 幾何意義！幾何意義！M-MyxOy = f (x)I2 有上界（下界）有上界（下界）, Ix,0M使( ),f xM( ) f xM3 無(wú)界無(wú)界 0,M0 xI使0(),f xM1 1、有界函數(shù)、有界函數(shù)例例1. sinf xx在在, 內(nèi)是有界的內(nèi)是有界的. .si

25、n1x例例2. 1f xx在在, 0 1內(nèi)無(wú)界，內(nèi)無(wú)界，, 1 內(nèi)是有界的內(nèi)是有界的. .證證 0,M取取0,10 11,xM 則則001f xx 1= M M故故 1f xx在在, 0 1內(nèi)無(wú)界內(nèi)無(wú)界. .例例3. 21xf xx 在在, 內(nèi)是有界的內(nèi)是有界的. . 12f x機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2、單調(diào)函數(shù)、單調(diào)函數(shù),21Ixx21xx 時(shí), )()(21xfxf若稱(chēng) )(xf為 I 上的 單調(diào)增函數(shù)單調(diào)增函數(shù) ;, )()(21xfxf若稱(chēng) )(xf為 I 上的 單調(diào)減函數(shù)單調(diào)減函數(shù) .xy1x2x機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 設(shè)函數(shù), )(Dxxfy且有區(qū)間.DI

26、 定義定義2注注1 幾何意義！幾何意義！2 單調(diào)遞增、遞減函數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為單調(diào)遞增、遞減函數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為單調(diào)函數(shù)！單調(diào)函數(shù)！3 單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù)，且單調(diào)性一致！單調(diào)函數(shù)必有反函數(shù)，且單調(diào)性一致！xyoxx3 3、 奇偶函數(shù)奇偶函數(shù),Dx且有,Dx若, )()(xfxf則稱(chēng) f (x) 為偶函數(shù)偶函數(shù);若, )()(xfxf則稱(chēng) f (x) 為奇函數(shù)奇函數(shù). )(xf在 x = 0 有定義 ,. 0)0(f)(xf為奇函數(shù)奇函數(shù)時(shí),則當(dāng)必有機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定義定義3注注12 幾何意義！幾何意義！yx)( xf )(xfy Ox-x)(xf偶函數(shù)的圖形關(guān)偶函數(shù)的圖形關(guān)于于y 軸對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)

27、奇函數(shù)的圖形關(guān)奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)例如例如，函數(shù)函數(shù) 是奇函數(shù)是奇函數(shù)；xysin 函數(shù)函數(shù) 是偶函數(shù)是偶函數(shù).xycos 例例6 6判斷函數(shù)判斷函數(shù)2( )ln(1)f xxx的奇偶性的奇偶性. .解解2()ln(1() )fxxx 2ln(1)xx222(1)(1)ln1xxxxxx 21ln1xx 2ln(1)xx ( ).f x 由定義知由定義知( )f x為奇函數(shù)為奇函數(shù). .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例5 5證證設(shè)設(shè)f(x)是定義在是定義在(-a,a)內(nèi)的任意函數(shù)，證明內(nèi)的任意函數(shù)，證明（1）f(x)+f(-x)是偶函數(shù)；是偶函數(shù)；（2）f(x)-f(-x)是奇函數(shù)；是奇函數(shù)；（3）f(x)總可以表示為一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)總可以表示為一個(gè)偶函數(shù)與一個(gè)奇函數(shù)之和奇函數(shù)之和.(1) 令令(2)令令有有，對(duì)對(duì)于于任任一一),(aax 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 （P6,Ex4） ( ) fxFfxx有有，對(duì)對(duì)于于任任一一),(aax () fFxxfx( ) F