Hamilton力學(xué)的辛算法

1、1Hamilton力學(xué)的辛算法和分子動力學(xué)模擬 陳敏伯中國科學(xué)院上海有機化學(xué)有機所計算化學(xué)課題組2006年10月2內(nèi)容 馮康對世界科學(xué)的重大貢獻 Euclid空間 辛空間 Hamilton力學(xué)的辛結(jié)構(gòu) 正則變換的辛結(jié)構(gòu) 辛算法應(yīng)用實例3 Schrdinger：“Hamilton原理已經(jīng)成為現(xiàn)代物理學(xué)的基石?！?Hamilton原理將不同的物理規(guī)律納入了統(tǒng)一的數(shù)學(xué)形式。 現(xiàn)在問題就歸結(jié)到：怎樣才能對Hamilton力學(xué)的運動方程作正確的數(shù)值計算。 一切Hamilton體系的動力學(xué)演化都使辛度量保持不變，即都是辛（正則）變換。 一切解Hamilton方程 “正確”的離散算法都應(yīng)當(dāng)是辛變換的。 （馮

2、康，1997年國家自然科學(xué)一等獎“哈密爾頓系統(tǒng)辛幾何算法” ） Lax：“他的聲望是國際性的。” 丘成桐：“中國在數(shù)學(xué)歷史上很出名的有三個：一個是陳省身教授在示性類方面的工作，一個是華羅庚在多復(fù)變函數(shù)方面的工作，一個是馮康在有限元計算方面的工作?！?(1998年3月11日中國科學(xué)報) 4“馮氏大定理” 同一物理定律的不同的數(shù)學(xué)表述，盡管在物理上是等價的；但在計算上是不等價的。 馮康：如果在算法中能夠保持辛幾何的對稱性，將可避免人為耗散性這類算法的缺陷，成為具有高保真性的算法。 在天體力學(xué)的軌道計算，粒子加速器中的軌道計算和分子動力學(xué)計算中得到廣泛的應(yīng)用。5馮康（19201993）的學(xué)術(shù)成就 1

3、965年發(fā)表論文“基于變分原理的差分格式”。國際學(xué)術(shù)界承認馮康獨立發(fā)展了有限元方法。（僅獲1982年國家自然科學(xué)二等獎。馮康得悉非常難過，曾打算將申請撤回。） 前國際數(shù)學(xué)會理事長J. L. Lions教授1981年說：“中國學(xué)者在對外隔絕的環(huán)境下獨立創(chuàng)造了有限元，在世界上是最早之列。今天這一貢獻已為全人類所共享?！?1984年以后創(chuàng)建的“哈密爾頓系統(tǒng)的辛幾何算法”。 （1991年評為國家自然科學(xué)獎二等獎。馮康獲悉后撤回申請。直到1997年底，在馮康去世四年之后，終于授予了國家自然科學(xué)一等獎。 ） 石鐘慈：“國際上最早系統(tǒng)地研究并建立辛幾何算法的?！?6數(shù)學(xué)地位現(xiàn)代微分幾何規(guī)范場理論微分拓撲辛幾

4、何.線性空間線性泛函對偶空間多重線性泛函張量空間張量分析流形理論7外微分 辛幾何 辛幾何的基礎(chǔ)是外微分形式。 外微分形式是如下概念推廣到高維的產(chǎn)物： 1、作功在場中沿某一路徑所作的功； 2、流量單位時間內(nèi)流體穿過某曲面的量 3、面積或體積平行四邊形面積 或平行六面體體積。 外微分形式中有“1-形式”、“2-形式”等 辛構(gòu)造就是非簡并的閉2-形式。8Euclid空間 對稱性： 線性： （ k 為任意實數(shù)） （ c是V中的任意向量） 非簡并性： ，當(dāng)且僅當(dāng) 時才 ,0a aa0,0a a,a bb a ,ac ba bc b,kkaba b符合如下內(nèi)積定義的線性空間V稱為“Euclid空間”。然后

5、就可以給出向量的長度、正交、單位向量等概念。 9辛空間（Simplectic Space） 反對稱性： 雙線性： 非簡并性：若向量a對于W中的任意向量b均有 ，則 具有如下內(nèi)積定義的線性空間W為“辛空間” 。 這種內(nèi)積稱為“辛內(nèi)積”。, a bb a1212,aa ba ba b1212,a bba ba b,0a ba010辛空間 度量：作功、面積（或體積）、流量等 辛內(nèi)積： 2維： a、b平行四邊形面積 2n維：1212,aabba b122.Tna aaa122.Tnb bbb21,nnin in iiiababa ba J b2nnn01J10單位辛矩陣 ：12211121221122

6、,TTTTnnTTTnin in i iinababaa01aabba ba J ba ba b10bb11單位辛矩陣 的性質(zhì) 若 A 為對稱陣，且 ，則 2nJ2 J11T JJJ20TnR a Jaa2nBJ A22TnnB JJ B0222nnnnnnnn 000J0001111111證明：12Euclid空間和辛空間的對應(yīng)關(guān)系 Euclid空間辛空間內(nèi)積 長度內(nèi)積 面積單位矩陣 單位辛矩陣 正交辛正交正交歸一基共軛辛正交歸一基正交矩陣辛正交矩陣對稱變換 Hamilton變換 實對稱矩陣的本征值均為實數(shù)若Hamilton矩陣的本征值為 ，則 也是它的本征值實對稱矩陣的不同本征值的本征向量

7、必正交Hamilton矩陣的非辛共軛本征值的本征向量必辛正交實對稱矩陣的所有本征向量組成一組正交歸一基Hamilton矩陣的所有本征向量組成一組共軛辛正交歸一基, a b, a bTTC CCC11TS JSJ,0TTa ba bab11J,0Ta ba Jb,abbaAAAA,abbaH HH H13Hamilton力學(xué)的辛結(jié)構(gòu) 12.Tfq qqq12.Tfp ppp112 . .Tfffzz zz pzq12 . TfHHHzzz11 . . Tffpp qq pzq 1HHHHH 01ppqJz10qzqp, iiiiHHqpipq 1HJzz14正則變換的辛結(jié)構(gòu) pzq1HJzzPy

8、Q正則變量從 變換到 記為：yMzydydzMdzzTHHMzy即：yMz1HHHHH01PPQJy10yQQP111TTHHHHH JyMzMJMJMyzyyMJMJMyTMJMJM1HJyy1HJzzM辛變換： 1T JJJyHHHMzzyy15正則變換M的性質(zhì)1TMJMJ、2 det1M2、16無窮小辛陣 定義：若 ， 則該2n階矩陣 稱為“無窮小辛陣” 設(shè) 為對稱陣，當(dāng)且僅當(dāng) 時 ， 為無窮小辛陣。 （證明略） 若 為無窮小辛陣， 則 為辛陣 。 若 為無窮小辛陣，又若 非奇異， 則 為辛陣 22TnnB JJ B0BC2nBJ CBeBBBB 1BB1117辛陣2、當(dāng)且僅當(dāng) 和 ，則

9、 、 都為辛陣 3、 是辛陣 4、當(dāng)且僅當(dāng) ，則 是辛陣 5、當(dāng)且僅當(dāng) 和 ，則 是辛陣 TBBTDDnnB011nn0D111TB00BTTMJMNJN1M N2QQTQQnnQ1Q1QQ1、 是辛陣的充要條件：ABCD,TTTTTTTTTTTTnnABBA0CDDC0A CC A0B DD B0ADBCA DC B1122TnnS J SJ18線性Hamilton體系的辛差分格式 線性Hamilton體系Hamilton函數(shù)是 的二次型 pzq 12THzz CzTCC且11111122TTTdHdt zzJJz CzJCzz CzJzzCddtzzBz其中1BJ C為無窮小辛陣 BeB為

10、辛陣 積分19 100lnln0ttddttzzzzBBzz 0tteBzz20中點Euler法的辛格式1112mmmmhzzB zzddtzzBz111122hmmmhhzBF zBzh 為時間步長111222hhhhFBBB 111 因為 為無窮小辛陣，且非奇異即 ，故步進算符 為辛陣，故為辛格式。 2hBdet02hB111122hhhFBB21可分、線性Hamilton體系的中點Euler公式 “可分、線性Hamilton體系” ,Hq pT pV q111,222TTTTH pqT0qq pp Tpq Vq0VpT0C0V1BJ C1nn 0T00VBJ C00VT011221112

11、222nnmmmmnnhhhh VVppqqTT1111Euler中點法1112mmmmhzzB zz1111112mmmmmmmmhqqqq0VppppT0演繹見后頁23演繹細節(jié)：111122mmmmmmmmhhqqV ppppT qq1111112mmmmmmmmhqqqq0VppppT01111121 2mmmmmmmmhh qqV ppppT qq11112222mmmmmmmmhhhhqVpqVppTqpTq11112222mmmmmmmmhhhhqVpqVppTqpTq112222nnmmmmnnhhhhVVppqqTT11112411112222mmmmmmnnhnnhhhhpp

12、zVVFTTzqq111112222nnhnnhhhh VVFTT1111前面我們已經(jīng)證明了 是辛陣，所以上面算法是辛格式。11122hhhFBB25基于Pad逼近的辛格式 線性Hamilton體系相流 有理Pad逼近： 0lltgtzB z 0tteBzz lmxlmlmnxegxdx 00! ! ! ! ! !mklmklklmklmkmnxxlm kmklmkldxxlm klk稱為“l(fā)+m階對ex的Pad逼近” 00lllltgttgtqB qpB p即2n0VBJ ST0可分體系：26用以下 構(gòu)造的差分格式都是辛格式 llgx, l l0,01,12,23,34,4232312101

13、201210120 xxxxxx2342343122884168031228841680 xxxxxxxx2212121212xxxx1212xx11 llgx*： “(1,1) 逼近” ，就是Euler中點格式。 11gx精度2階4階6階8階27可分線性Hamilton體系的交叉顯式辛格式 11,22TTHq pp Tpq Vq111222TTTH pp Tpq Vqq VqVqqqq111222TTTHqp Tpq Vqp TpTpppp11231122 11 mmmmmmhh pVqqTpppVqqqTp差分11231122 mmmmmmhhppVqqqTp2813122 mmhmmpp

14、Fqq1nnhnnhh0VFT01111當(dāng)且僅當(dāng) 和 時, 和 都為辛陣。 TTTTVVnnh1V01nnh10T1當(dāng)且僅當(dāng) ，則 是辛陣?，F(xiàn)在是 ，所以也是辛陣。故為辛格式。 TTMJMNJN1M NTTMJMNJNJ1nnnnhh101VT10129演繹細節(jié)：11231122 mmmmmmhhppVqqqTp11213122mmmmmmhhpVqpTpqq13122 mmnnmmnnhhpp0VqqT0111111121232 mmnnmmnnmhmhhpp0qqqV0pFT111130可分線性Hamilton體系的交叉顯式辛格式 3112211211 mmmmmmhh qqTpppVq

15、qTppVq差分31122112mmmmmmhhqqTpppVq13122mmhmmppFqq1nnhnnhh101VFT101h：時間步長31驗證：113122mmnnmmnnhhpp101VqqT10113122mmnnmmnnhhpp101VqqT10111213122mmmmmmhhpVqpTpqq11231122mmmmmmhhppVqqqTp驗證完畢32實例1 諧振子的相空間軌跡 (a) Runge-Kutta法 3000步 ，步長0.4。人為耗散，軌道收縮 (b) Adams法 步長0.2 。人為反耗散，軌道發(fā)散 (c)蛙跳法 * 步，步長0.1 。初、中、末各取三段1000步的

16、結(jié)果完全吻合 71033實例2 非諧振子的相空間軌跡（a）與（b）為同一個蛙跳法模擬的分段取樣結(jié)果 (c) 二階辛算法1000步 .初、中、末三段結(jié)果完全吻合 最初1000步 軌道失真 第900010000步 軌道繼續(xù)失真 *：蛙跳法即二步中心差分法，它對于非線性方程不是辛算法 34實例3 Huygens振子 (a) Runge-Kutta法 步長0.10000005 ；9x105步 。趨于左吸引子 (b) Runge-Kutta法 步長0.10000004 ；9x105步 。趨于右吸引子 (c) 二階辛算法4條軌道，每條各108步；步長0.1 每條軌道的初、中、末各取三段500步的結(jié)果完全吻

17、合。具有超長期跟蹤能力 位于雙紐線之外的任意初始相點趨于左右兩個假吸引子的幾率相同。 35實例4 橢球面上的測地線 5 4(a) Runge-Kutta法軌道不趨稠密步長0.05658 ，104步頻率比：(b)辛算法軌道趨于趨稠密無理數(shù)36實例5橢球面上的測地線步長0.033427 ，105步周期：25頻率比：11/16有理數(shù)(a) Runge-Kutta法軌道不封閉(b)辛算法軌道封閉37實例6Kepler軌道 當(dāng)頻率比為有理數(shù)時，應(yīng)當(dāng)形成封閉軌道 步長0.01605 ，2.5x105步頻率比：11/20有理數(shù)(a) Runge-Kutta法軌道不封閉(b)辛算法軌道封閉38實例7Li2 分

18、子的經(jīng)典軌跡法 設(shè)原子位置 折合質(zhì)量 廣義位置 廣義動量 動能 勢能取Morse勢 Hamiltian量12xx、1212m mmm12qxxdqpdt 22pT p 22eea q qa q qV qD ee ,H q pT pV q39Li2分子的經(jīng)典軌跡的正則方程 dpdVf qdtdqdqdTg pdtp Li2分子 態(tài)的參數(shù)： ， ， -1。設(shè)初態(tài)為：步長0.005。1gX18541 cmD2.67328 eq 0.867a 0eqq 020.0001pD401. 振幅、周期(a) 辛算法：長達106步時還保持振幅恒定，周期性恒定。(b) Runge-Kutta法：5000步之后振幅

19、變小、周期變短 412.相空間軌跡(a) 辛算法：長達106步時還保持總能量恒定、相空間軌跡穩(wěn)定、。(b) Runge-Kutta法：104步之后總能量急劇下降 ；相空間軌跡沿q方向收縮，5104步時已經(jīng)面目全非。 42實例說明： 8種實例：簡諧振子、Duffing振子（非線性振子）Huygens振子、Cassini振子、二維多晶格與準(zhǔn)晶格定常流、Lissajous圖形、橢球面測地線流、Kepler運動。 說明了在整體性、結(jié)構(gòu)性和長期跟蹤能力上辛算法的優(yōu)越性。一切傳統(tǒng)非辛算法，無論精度高低均無例外地全然失效。一切辛算法無論精度高低均無例外地過關(guān)，均具有長期穩(wěn)健的跟蹤能力。顯示了壓倒性的優(yōu)越性。43Hamilton體系的守恒律辛算法保持了Hamilton體系具有的兩個守恒律 ： 1