彈性力學(xué)簡(jiǎn)明教程第五章

1、例題例題第一節(jié)第一節(jié) 差分公式的推導(dǎo)差分公式的推導(dǎo)第二節(jié)第二節(jié) 應(yīng)力函數(shù)的差分解應(yīng)力函數(shù)的差分解第三節(jié)第三節(jié) 應(yīng)力函數(shù)差分解的實(shí)例應(yīng)力函數(shù)差分解的實(shí)例第四節(jié)第四節(jié) 彈性體的形變勢(shì)能和外力勢(shì)能彈性體的形變勢(shì)能和外力勢(shì)能第五節(jié)第五節(jié) 位移變分方程位移變分方程第六節(jié)第六節(jié) 位移變分法位移變分法習(xí)題的提示和答案習(xí)題的提示和答案教學(xué)參考資料教學(xué)參考資料第七節(jié)第七節(jié) 位移變分法例題位移變分法例題第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題 彈性力學(xué)的基本解法是，根據(jù)靜力平衡條件、形變與位移之間的幾何條件和形變與應(yīng)力之間的物理?xiàng)l件，建立微分方程和邊界條件。近似解法 因此，因此，彈性力學(xué)

2、問題屬于微分方程的彈性力學(xué)問題屬于微分方程的邊界問題。邊界問題。通過求解，得出函數(shù)表示的精通過求解，得出函數(shù)表示的精確解答。確解答。第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題 對(duì)于工程實(shí)際問題，由于荷載和邊界對(duì)于工程實(shí)際問題，由于荷載和邊界較復(fù)雜，難以求出函數(shù)式的解答。為此，較復(fù)雜，難以求出函數(shù)式的解答。為此，人們探討人們探討彈性力學(xué)的各種近似解法，彈性力學(xué)的各種近似解法，主要主要有有變分法、差分法和有限單元法。變分法、差分法和有限單元法。近似解法第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題)(xf21, fffxo 21 ff3f 1x2x3x)

3、(xf差分法第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題;d ,d1212ffffxxxx;dd1212xxffxfxf差分法將將微分方程微分方程用差分方程（代數(shù)方程）代替，用差分方程（代數(shù)方程）代替，于是，求解微分方程的問題化為求解差分于是，求解微分方程的問題化為求解差分方程的問題。方程的問題。將將導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù)用有限差商來代替，用有限差商來代替，將將微分微分用有限差分來代替，用有限差分來代替，第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題導(dǎo)數(shù)差分公式 在平面彈性體上劃分等間距h 的兩組網(wǎng)格，分別x 、y 軸。網(wǎng)格交點(diǎn)稱為結(jié)點(diǎn)，h稱為步長(zhǎng)。第五章第五章 用

4、差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題應(yīng)用應(yīng)用泰勒級(jí)數(shù)公式泰勒級(jí)數(shù)公式 將將 在在 點(diǎn)展開點(diǎn)展開，)(xfox).()()(! 21)()()()(32oo22oooxoxxxfxxxfxfxf(a)第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題拋物線差分公式拋物線差分公式略去式(a)中 以上項(xiàng)，分別用于結(jié)點(diǎn)1、3，;)(2)(o222oo1xfhxfhff3x,0301hxxhxx。022200)(2)(3xfhxfhff拋物線差分公式結(jié)點(diǎn)3，結(jié)點(diǎn)1，第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題)()2(1)(),(21)(0312022

5、310bfffhxfffhxf。拋物線差分公式式(b)又稱為中心差分公式中心差分公式，并由此可導(dǎo)出高階導(dǎo)數(shù)公式。從上兩式解出o點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)公式，第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題)(3xo 拋物線差分公式第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題線性差分公式線性差分公式在式(a)中僅取一、二項(xiàng)時(shí)，誤差量級(jí)為 。)(2xo,)(001xfhff)( , )(1)(010cffhxf線性差分公式式(c)稱為向前差分公式。向前差分公式。對(duì)結(jié)點(diǎn)1，得：第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題,)(003xfhff)(),(1

6、)(300dffhxf第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題,02 T,)(bsqnT,bsTT 例11S2S第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題 穩(wěn)定溫度場(chǎng)的基本方程(a)是拉普拉斯方程；在上的第一類邊界條件是已知邊界上的溫度值；在 上的第二類邊界條件是已知熱流密度值，其中是導(dǎo)熱系數(shù)。1S2S第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題0)(02 T; 0)(443210TTTTT1T2)(yq,)()(22yqyT(d)第五章第五章 用差分法和變

7、分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題,2)(0102hTTyT.)(22010yqhTT2T10T(e)第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題ab40353025322224222017第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題。0)222030(4,0)223532(4abbaTTTT13.25,53.28baTT（度）.第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題yxf23思考題第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題 對(duì)于單連體，按應(yīng)力函數(shù)單連體，按應(yīng)力函數(shù) 求解時(shí)，求解時(shí)， 應(yīng)滿足:

8、)( )( .)(,)( )2()( )( ; 0 ) 1 (4bSSflmfmlaAysxyyxsyxx按 求解第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題)( . , ,22222cyxxyxyyx按 求解第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題)()(41)()(),2(1)()(),2(1)()(867503104220202022020220dhyxhxhyxyyx。差分法求解1.1.應(yīng)力公式應(yīng)力公式( (c) )的差分表示。的差分表示。對(duì)于o點(diǎn)， 差分法求解：差分法求解：第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問

9、題0)(04 )(2)( 820876543210. 0)(1211109i相容方程(e)化為： 對(duì)每一內(nèi)結(jié)點(diǎn)， 為未知，均應(yīng)列出式(e)的方程 。2.2.相容方程相容方程(a)的差分的差分表示，表示，第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題x相容方程y第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題xy邊界條件第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題 應(yīng)力邊界條件用 表示 取出坐標(biāo) 的正方向作為邊界線s 的正向（圖中為順時(shí)針向），當(dāng)移動(dòng) 時(shí)， 為正，而 為負(fù)，外法線的方向余弦為dsdxdy.sin,cosdsdxmdsdy

10、l邊界條件第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題,)(dd)(dd222xfyxsxysy.)(dd)(dd222yfyxsyxsx,)(ddxfys( f ).)(ddyfxs邊界條件即將上式和式(d)代入式(b)，得第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題)(.)()(,)()(gdsfxxdsfyyBAABBAAByx邊界條件式( f )、(g)分別是應(yīng)力邊界條件的微分、積應(yīng)力邊界條件的微分、積分形式。分形式。再將式(f )對(duì)s 積分，從固定的基點(diǎn)A到邊界任一點(diǎn)B，得第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題

11、通過分部積分從A到B積分，得yyxxddd.B,d)d(duvuvvuAAyyyxxxABABAB)()(.d)(d)(BAyBAxsfxxsfyyBB邊界條件(h)由全微分 求邊界點(diǎn)求邊界點(diǎn)的的 第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題Ax, 0)( ,)( ,AAyxA)(.)(d)(,d)(,d)(idsfxxsfyysfxsfyBAyBAxBAyBBAxBBBB邊界條件AyAAx)(Ay)(第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題邊界條件,BBx)(.)(By和第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題邊界條件

12、BBx)(By)(第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題0)()(AAyxAxyxy求解步驟（2）由邊界結(jié)點(diǎn)的 、 值，求出邊界 外一行虛結(jié)點(diǎn)的 值；（1）在邊界上選定基點(diǎn)A， 令 ， 然后計(jì)算邊界上各結(jié)點(diǎn)的 、 、 ；4.4.應(yīng)力函數(shù)差分解的步驟應(yīng)力函數(shù)差分解的步驟第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題（3）對(duì)邊界內(nèi)所有結(jié)點(diǎn)列式(e)的方程， 聯(lián)立求各結(jié)點(diǎn)的 值；求解步驟（5）按式(d)求各結(jié)點(diǎn)的應(yīng)力。（4）求出邊界外一行虛結(jié)點(diǎn)的 值；第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題第五章第五章 用差分法和變分法解平面

13、問題用差分法和變分法解平面問題q問題 此題無函數(shù)式解答。應(yīng)用差分法求解。 正方形深梁正方形深梁, ,上邊受均布荷載 ，下邊兩角點(diǎn)處有支承反力維持平衡，試求其應(yīng)力。第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題1.本題具有對(duì)稱性對(duì)稱性，取y軸如圖，并取以反映對(duì)稱性。, 0)()(AAyxA取網(wǎng)格如圖。第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題 AB間y向面力主矢量號(hào)， AB間x向面力主矢量， AB間面力對(duì)B點(diǎn)力矩，BAxBBAyBsfysfxd)(d)(BAxsfyyBBd)(BAysf

14、xxBd)(注意符號(hào)為正.第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題0)(04 i5. 求出應(yīng)力求出應(yīng)力，如AM線上各點(diǎn)應(yīng)力，并繪 出分布圖。4. 求出邊界外一行虛結(jié)點(diǎn)的 值值。3. 對(duì)每一內(nèi)點(diǎn)列差分方程 ，求求 出出 。2. 由邊界點(diǎn) 的導(dǎo)數(shù)值，求出邊界外一行 虛結(jié)點(diǎn)的虛結(jié)點(diǎn)的 值值。第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題;75. 0 ,75. 0qminqmaxxx.24. 0 ,84. 1qminqmaxxx比較xx第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題 差分法優(yōu)點(diǎn)差分法優(yōu)點(diǎn)：差分法評(píng)價(jià)第五章第五章 用差分法

15、和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題)(3xo )( xo 缺點(diǎn)缺點(diǎn)：差分法評(píng)價(jià)第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題0)(02 Ta（Z向厚度 ）1AyB2FFFxaaa2.用差分法計(jì)算 圖中A點(diǎn)的應(yīng) 力分量。第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題彈性力學(xué)變分法彈性力學(xué)變分法，又稱為能量法能量法。因其中的泛函就是彈性體的能量。泛函泛函是以函數(shù)為自變量（宗量）的一種 函數(shù)。變分法，變分法，是研究泛函及其極值的求解方法是研究泛函及其極值的求解方法。第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題應(yīng)力變分法應(yīng)力變分法

16、取應(yīng)力函數(shù)為自變量，并以 余能極小值條件導(dǎo)出變分方程。 本章只介紹位移變分法。位移變分法位移變分法取位移函數(shù)為自變量，并以勢(shì) 能極小值條件導(dǎo)出變分方程。 彈性力學(xué)變分法，是區(qū)別于微分方程邊值問題的另一種獨(dú)立解法。其中分為：第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題外力勢(shì)能外力勢(shì)能外力做了功，必然消耗了相同 值的勢(shì)能。當(dāng)取 時(shí)的外力功和能為零，則：)( . d)(dd)(asvfufyxvfufWsyxAyx0 vuWV.d)(dd)(syxAyxsvfufyxvfuf(b)外力功和外力勢(shì)能1.1.彈性體上的外力功和外力勢(shì)能彈性體上的外力功和外力勢(shì)能外力功：外力功：第五章

17、第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題形變勢(shì)能（2）應(yīng)力和應(yīng)變均從0增長(zhǎng)到 ， 故單位體積上，應(yīng)力所做的功是單位體積上，應(yīng)力所做的功是 非線性 關(guān)系 線 性 關(guān)系、,d01U.211U （1）作用于微小單元上的應(yīng)力，是鄰近 部分物體對(duì)它的作用力，可看成是 作用于微小單元上的“外力”。2.2.應(yīng)力的功和形變勢(shì)能（內(nèi)力勢(shì)能）應(yīng)力的功和形變勢(shì)能（內(nèi)力勢(shì)能）第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題 線性的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系非線性的應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題)0(zyzxz),0(zyzxz).(211xy

18、xyyyxxU(c) 形變勢(shì)能第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題1U形變勢(shì)能第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題.dd)(21dd1AxyxyyyxxAyxyxUU(d)形變勢(shì)能第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題).(212()1 ( 222221eEUxyyxyx21EE11U1U形變勢(shì)能).()(212)()(1222221fyuxvyvxuyvxuEU 對(duì)于平面應(yīng)變問題， 將 ， 。再將幾何方程代入， 可用位移位移表示為（6）將物理方程代入，平面應(yīng)力問題的形平面應(yīng)力問題的形 變勢(shì)能密度變勢(shì)能密度

19、 ，可用形變形變表示為第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題. 0U. , ,111xyxyyyxxUUUUUU1U(g)形變勢(shì)能的性質(zhì)第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題.pVUE(h)第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題211U思考題思考題第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題u vpE第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題 用位移表示的平衡微分方程（在A中） 用位移表示的應(yīng)力邊界條件（在 上） 位移邊界條件（在上） 。uss實(shí)際位移u v(a)

20、其中、屬于靜力平衡條件，屬于約束條件。對(duì)于實(shí)際位移，可將看成是必要條件，而、是充分條件。1.1.實(shí)際平衡狀態(tài)的位移實(shí)際平衡狀態(tài)的位移 、 ，必須滿足，必須滿足第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題,v, 0 vu虛位移(b)us（在 上）。usu第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題,*vvvuuu(c)虛位移第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題.dddyyuxxuu(d) 變分與微分的比較變分與微分的比較變分與微分第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題UVpE. vvUuuUU變

21、分與微分(e)第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題由于微分和變分都是微量，所以 a.它們的運(yùn)算方式相同運(yùn)算方式相同，如式(d)，(e)； b.變分和微分可以交換次序變分和微分可以交換次序，如 ).()(uxxu變分與微分( f )第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題當(dāng)發(fā)生虛位移虛位移（位移變分） 時(shí)，)( . d)(dd)(gsvfufyxvfufWyxsAyx)( .hWV)( . , ,iuyvxvyuxxyyxvu,虛位移上功和能 由于虛位移引起虛應(yīng)變虛應(yīng)變，外力勢(shì)能的變分外力勢(shì)能的變分：外力的虛功外力的虛功（外力功的變分）：3

22、.3.在虛位移上彈性體的功和能在虛位移上彈性體的功和能 第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題.dd)(AxyxyyyxxyxU21虛位移上功和能 ( j )第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題（1）在封閉系統(tǒng)中，假設(shè)沒有非機(jī)械能的改變，也沒有動(dòng)能的改變，則按照能量守恒定律，在虛位移過程中形變勢(shì)能的增加在虛位移過程中形變勢(shì)能的增加 應(yīng)等于外力勢(shì)能的減少應(yīng)等于外力勢(shì)能的減少（即等于外力所做的虛功 ）。)( UW)( . kWU位移變分方程4.4.彈性力學(xué)中位移變分方程的導(dǎo)出彈性力學(xué)中位移變分方程的導(dǎo)出第五章第五章 用差分法和變分法解平面問

23、題用差分法和變分法解平面問題（2）位移變分方程位移變分方程 將式(g)的 代入上式,得它表示，在實(shí)際平衡狀態(tài)發(fā)生位移的變?cè)趯?shí)際平衡狀態(tài)發(fā)生位移的變 分分 時(shí)，所引起的形變勢(shì)能的變時(shí)，所引起的形變勢(shì)能的變 分分 ，等于外力功的變分，等于外力功的變分 。)( . d)(dd)(lsvfufyxvfufUyxsAyxW),(vu)( U)( W位移變分方程第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題U)( . d)(dd)(dd)(msvfufyxvfufyxyxsAyxAxyxyyyxx位移變分方程它表示，在實(shí)際平衡狀態(tài)發(fā)生虛位移時(shí)，在實(shí)際平衡狀態(tài)發(fā)生虛位移時(shí)，外力在虛位移上

24、所做的虛功等于應(yīng)力在外力在虛位移上所做的虛功等于應(yīng)力在 虛應(yīng)變上所做的虛功。虛應(yīng)變上所做的虛功。（3）虛功方程虛功方程 將式(j)的 代入上 式，得第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題其中 形變勢(shì)能的變分，如式( j )所示， 外力功的變分，如式(g)所示。)( , 0nWU)( , 0oWUWU位移變分方程（4）最小勢(shì)能原理最小勢(shì)能原理式(k)可寫成其中U彈性體的形變勢(shì)能，如5-4式(d),W彈性體的外力功， 如5-4式(a)。可以證明，式(n)可以寫成為第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題位移變分方程 .d)(dd)( d)(dd

25、)(;dd)( dd dd1111WsvfufyxvfufsvfufyxvfufWUyxyxUUUyxUUysxyAxAysxyxxyxyyyxAxAxyxyyyxxA第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題由于彈性體的總勢(shì)能為故式(o)可以表示為 再將總勢(shì)能 對(duì)其變量（位移或應(yīng)變）作二次變分運(yùn)算，可得 綜合式(p)，(q)，即得,pWUVUE. 0pE. 0p2E.pminE (p)(q)(r)位移變分方程pE第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題位移變分方程 這就是最小勢(shì)能原理。它表示在給這就是最小勢(shì)能原理。它表示在給定的外力作用下，在

26、滿足位移邊界條件定的外力作用下，在滿足位移邊界條件的所有各組位移狀態(tài)中，實(shí)際存在的一的所有各組位移狀態(tài)中，實(shí)際存在的一組位移對(duì)應(yīng)于總勢(shì)能為極小值。組位移對(duì)應(yīng)于總勢(shì)能為極小值。第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題pEuuuminE p0pE0p2Eu（實(shí)際位移）pE(a)(b)第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題.dd)( dd)(yxuyvxvyuxyxUAxyyxAxyxyyyxx又一形式U第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題應(yīng)用分部積分公式 和格林公式 （其中s為平面域A的邊界，l，m為邊界外法線的方

27、向余弦），可將 進(jìn)行轉(zhuǎn)換。, d)d(dAAuvuvvu,d)(dd)(sAsmQlPyxyQxPU又一形式第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題在 上，虛位移 ， 對(duì) 其余幾項(xiàng)進(jìn)行同樣的轉(zhuǎn)換，并代入式( ) ,可得又一形式的位移變分方程又一形式的位移變分方程：yxuxuxyxuxAxxAxdd )()(dd )(,dd)(dyxuxsulsAxxus0u)(.ddtsulsulsxsx又一形式U例如，對(duì)第一項(xiàng)計(jì)算，(s)l第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題Ayxyyxyxxyxvfxyufyxdd )()()(. 0d)()(usv

28、flmufmlsyxyyxyxx因 ， 都是任意的獨(dú)立的變分，為了滿足上式, 必須uv. 0 , 0, 0 , 0yxyyxyxxyxyyxyxxflm fmlfxyfyx（在A中）(v)（在 上）(w)s又一形式第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題 由此可見，從位移變分方程可以由此可見，從位移變分方程可以導(dǎo)出平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件，導(dǎo)出平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件，或者說，位移變分方程等價(jià)于平衡微或者說，位移變分方程等價(jià)于平衡微分方程和應(yīng)力邊界條件。分方程和應(yīng)力邊界條件。第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題 實(shí)際平衡狀態(tài)的位移必須

29、滿足 a. 上的約束(位移)邊界條件； b. 上的應(yīng)力邊界條件； c.域A中的平衡微分方程。5.5.結(jié)論結(jié)論sus結(jié)論 位移變分方程可以等價(jià)地代替靜力條 件b,c。 第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題結(jié)論 由此得出一種變分解法變分解法，即預(yù)先使位，即預(yù)先使位 移函數(shù)滿足移函數(shù)滿足 上的位移邊界條件，再上的位移邊界條件，再 滿足位移變分方程，必然也可以找出滿足位移變分方程，必然也可以找出 對(duì)應(yīng)于實(shí)際平衡狀態(tài)的位移解答。對(duì)應(yīng)于實(shí)際平衡狀態(tài)的位移解答。us第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題0p2E 1.微分和變分各是由什么原因引起的？

30、2.試導(dǎo)出式(u)。 3.試比較4.中變分方程 (1)-(5)的不同的 物理解釋。 4.試證明二階變分 。 思考題第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題 位移變分法是取位移為基本未知函數(shù)位移變分法是取位移為基本未知函數(shù)的。的。 位移函數(shù)應(yīng)預(yù)先滿足位移函數(shù)應(yīng)預(yù)先滿足 上的位移邊界上的位移邊界條件，然后再滿足位移變分方程。條件，然后再滿足位移變分方程。us第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題mmmmmmyxvByxvvyxuAyxuu).,(),(),(),(00(a)瑞利-里茨法 （1）因位移函數(shù)是未知的，在變分法中采用設(shè)定位移試函數(shù)的方

31、法設(shè)定位移試函數(shù)的方法，令 1.1.瑞利瑞利- -里茨法里茨法 第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題其中 和 均為設(shè)定的x，y的函數(shù)，并在邊界 上，令 mmvuvu, ,00. 0)( , 0)(,)( ,)(00smsmssvuvvuu（在 上）（在 上）(c)(b)瑞利-里茨法ususus第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題mAmB.,mmmmmmBvvAuu瑞利-里茨法(d)us第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題)( . d)(dd)(esvfufyxvfufUyxsAyx)( . )(fBBUA

32、AUUmmmmm瑞利-里茨法mAmB 位移的變分通過 ， 的變分來反映，故形變勢(shì)能的變分為（2）位移(a)還必須滿足位移變分方程第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題將式(d)，( f )代入(e)得.0ddddddAsmmmAsmmmBsvfyxvfBUAsufyxufAUmymymxmx因虛位移（位移變分）中的 ， 是完全任意的、獨(dú)立的，為了滿足上式，必須:mAmB第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題)( )2 , 1(.ddd,dddgmsvfyxvfBUsufyxufAUAsymymAsxxmmmm瑞利-里茨法mAmBmAmB式

33、(g)是瑞利瑞利- -里茨變分方程里茨變分方程。它是關(guān)于 ，的線性代數(shù)方程組，由上式可解出 ， ,從而得到位移的解答。第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題sus伽遼金法第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題 將位移的變分 ， （式(d )）代入，同樣由于 ， 為完全任意的和獨(dú)立的變分，得到)( . 0dd)()(hyxvfxyufyxAyxyyxyxxu伽遼金法smAmB（2）于是，由5-5中式(u)可見，由于 上的應(yīng)力邊界條件已滿足，設(shè)定的位移只需滿足下列變分方程v第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題)(

34、 )2 , 1(. 0dd)(, 0dd)(imyxvfxyyxufyxmyxyAymxyxAx將上式括號(hào)內(nèi)的應(yīng)力用位移來表示，得伽遼伽遼金變分方程金變分方程: :伽遼金法)( . 0dd)2121(1, 0dd)2121(1222222222222jyxvfyxuxvyvEyxufyxvyuxuEmymxAA)2 , 1(m第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題伽遼金法mAmBmAmB第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題思考題第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題1q2q第五章第五章 用差分法和變分法解平面

35、問題用差分法和變分法解平面問題.,111111yBvBvxAuAu. 0)( , 0)(00yxvu例題例題 (a)(b)第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題其余的應(yīng)力邊界條件及平衡微分方程由下列變分方程變分方程代替（其中 ）：0yxffssxsvfBUsufAUy.d,d1111(c)對(duì)式(c)右邊的積分，應(yīng)包含所有的應(yīng)力邊界條件（當(dāng) 或 處積分為0），0 yxff例題例題 第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題且其中的 ， 應(yīng)代入相應(yīng)的邊界方程。將式(a)代入 U ，計(jì)算式(c)的左邊項(xiàng)。 共建立兩個(gè)方程，求出 和 ，得位位移解答：

36、移解答：1v1u11 BA例題例題 .)(1,)(11221yqqEvxqqEu(d) 對(duì)于圖示的簡(jiǎn)單問題，式(d)正好是其精確解。第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題).1()( ,0)(,0),( ,0),(2202/bxvuvuvubybyyx例題例題 (e)例例2 2本題全部為位移邊界條件：全部為位移邊界條件：第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題本題以y軸為對(duì)稱軸，u應(yīng)為x的奇函數(shù),v應(yīng)為x的偶函數(shù)。例題例題 (f)設(shè)定位移試函數(shù)設(shè)定位移試函數(shù)為)().1 ()1 ()1 (),1 ()1 (2222221110111gbyb

37、yaxBbyaxvBvvbyabxyaxAuAu第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題 位移(g)已滿足對(duì)稱性條件已滿足對(duì)稱性條件(f)(f)和全部邊和全部邊界條件界條件(e)(e)。 因 全部為位移邊界條件且均已滿足，從55 式(u)可見，也可應(yīng)用伽遼金變分法。, 0,usss例題例題 第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題 將位移(g)代入上式，求出 得出的位移解答與書中用瑞利-里茨法 給出的結(jié)果相同。 因 ，故伽遼金變分方程伽遼金變分方程為 . 0dd)2121(2, 0dd)2121(21122200222220022yxvyxu

38、xvyvyxuyxvyuxuabab0yxff,11BA例題例題 (h)第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題例題1例題2例題3例題4例題5例題7例題6例題例題第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題例題例題1 1設(shè)圖中的矩形域?yàn)?，取網(wǎng)格間距為h=2m,布置網(wǎng)格如圖，各邊界點(diǎn)的已知溫度值（度）如圖所示，試求內(nèi)結(jié)點(diǎn)a,b的穩(wěn)定溫度值。mm 46 ab40353025322224222017第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題解：對(duì)a,b列出方程如下：. 02220304, 02235324abbaTTTT解出.

39、(13.25 ,53.28度）baTT第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題FaBxy3aaaA.71（Z向厚度 ）1F65第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題. 0)()(AAyxA. 0432B.)( , 0)(3FyxB0)(Ay.1516172Fa,第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題.0)()(;611)( ,6)(ByAyBxAxaFaF)22(2)28(204231BA0.)(7652Fa1211第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題ll14lh1098HGEDIJ

40、BAChhhh323414323111276xy1h=l/4FF第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題0)()(AAyxA第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題 計(jì)算各邊界結(jié)點(diǎn)處的 、 、 值。 在A點(diǎn)及J點(diǎn)，各取 布置于兩側(cè)，以 反映荷載的對(duì)稱性，按公式（其中 即AB之間面力對(duì)B點(diǎn)的力矩，圖中以順時(shí)針方向?yàn)檎?F,d)(d)(,d)( ,d)(BAyBAxBBAyBBAxBsfxxsfyysfxsfyBBxyB第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題yxF/2F/2F/2-Fh/2-Fh/2-Fh第五章第五

41、章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題 計(jì)算邊界外一行結(jié)點(diǎn)的 值。, 0)(,JIBAy,)()(2,3,3,212,11,7,6,2)(,FxGED.)()(3,4,310,9,8Fh第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題. 0282012,11,10, 98 ,7, 6, 54, 3 , 2, 10,4416228,2168162043214321FhFh對(duì)結(jié)點(diǎn)1，對(duì)結(jié)點(diǎn)2，第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題對(duì)結(jié)點(diǎn)3，對(duì)結(jié)點(diǎn)4，.2221648,78248243214213FhFh.5206. 0 ,5056.

42、0,1873. 0 ,2640. 03321FhFhFhFh解出第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題),2(1)(),2(1)(03,104,22020hhyx4lh .0528.2)( ,8912.0)(,1648.0)(;6136.0)( ,4424.0)(,4984.1)(1412lFlFlFlFlFlFyyEyxxJx第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題例題例題 xxyy第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題對(duì)于平面應(yīng)變情況，只需將上式中 ， 變換為AyxyxEU2(12222,12EE).( b1

43、E.)212dxdyxy解：平面應(yīng)力情況下，單位厚度的形變 勢(shì)能是：例題例題 (a)第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題11)1()1(22222EE,211)1(22E.12112AyxEU)(21)1 ()1 ( 22222.21)211(22dxdyxyyx例題例題 E(c)第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題2xy21U例題例題 U第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題例題例題 lCDEFAB第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題00U例題例題 第五章第五章 用差分法和變

44、分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題例題例題 (a) AB切開后，仍然處于閉合狀態(tài)，不發(fā)生 張開。這是不穩(wěn)定的平衡狀態(tài)；第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題) 1(2 . 0ba例題例題 qyxbuvbaaoq第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題解：在圖示荷載作用下，深梁的位移應(yīng)對(duì)稱于y軸，而反對(duì)稱于x軸。 因此，位移分量u應(yīng)為 、 的奇函數(shù)，而v為 x 、y 的偶函數(shù)，x y如圖所示?？梢栽O(shè)定位移試函數(shù)如下：,)1 (2322122yAxAAabxyaxu.)1 (2322122yBxBBaxv第五章第五章 用差分法和變分法解平

45、面問題用差分法和變分法解平面問題, ax, 0),(vu例題例題 第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題,)1 (22111abxyaxAuAu).1 (22111axBvBv)961 ()1 ( 244222222121axaxbayAEU)1 (4421223114221axbaxBAaxB).21 (442222221axaxbaxA例題例題 第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題在本題中體力 ，在 邊界上只有 的均布荷載， 。由此，瑞利-里茨方程成為 abdxdyUU001421212342115412BabAabE.157815

46、82111AbaBA0yxffbyqfy0 xf, 01AU.11sydsvfBU例題例題 再積分求U，第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題 邊界是 ，且 ，從 到 積分。再將U代入上式，得到兩個(gè)求 的方程：bydxds aa11,BAs, 01581571621158121112BAbaAabE.38158382112112qaABabE第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題2 . 0ba , 0353911BA.565111EqaBAEqaA3125. 11.4625. 11EqaB,)1 (3125. 1222axyaxEqau)

47、.1 (4625. 122axEqav例題例題 第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題例題例題7 7 圖中所示的薄板，厚度 ，三邊固定，一邊受到均布?jí)毫的作用。試用瑞利-里茨的位移變分法求解，其中取 ， 。10ba 例題例題 第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題aa b xyq第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題解：在瑞利-里茨法中， 設(shè)定位移試函數(shù)應(yīng)滿 足位移邊界條件，并 應(yīng)反映圖示問題的對(duì)稱性。取,)(232122xAyAAxyaxu.)(232122xByBByaxv第五章第五章 用差分法和變分法解

48、平面問題用差分法和變分法解平面問題,)(22111xyaxAuAu.)(22111yaxBvBv0yxffby 例題例題 11,BA第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題,01AU .11ABbyydxvfBU.)(21)()(22221xvyuyvxuEU例題例題 （a）（b）0ba . 221692224422122442211xaaxxAxaaxyAEU.222211yaxxBA222122442122yxBxaaxB第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題 aadxdyUU00121533415732212216BaAEa.1521

49、1aBA形變勢(shì)能U為將U及 代入式(a)，(b)，得)(byqfy, 073211BaA.10334211EaqBaA(c)(d)第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題,106721031EaqA .106796021EaqB ),1 (106721022axEaqxyu).1 (106796022axEqyv例題例題 于是得到位移分量，再求應(yīng)力分量，取 ，得：0第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題).1 (106710522axaxqyxayqx1067210.0 xy),1 (106796022axqy0y例題例題 在對(duì)稱軸上，x=

50、0， ,在 邊界， ,),31 (106721022axayqxuEx),1 (106796022axqyvEy.960)1 (10510671)(222ayaxaxqxvyuExy第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題 本題中，由于u，v中各只取一項(xiàng)，且取 ，因此，求出的位移解的精度較低；而由近似解的位移求應(yīng)力時(shí)，其應(yīng)力精度要降低一階，其精度更差些。對(duì)于實(shí)際問題，應(yīng)取更多的項(xiàng)數(shù)進(jìn)行計(jì)算。0第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題習(xí)題提示和答案5-1 參見書中由低階導(dǎo)數(shù)推出高階導(dǎo)數(shù)的方 法。5-2 參見書中的方程。5-3 注意對(duì)稱性的利用，

51、取基點(diǎn)A如圖。答 案見書中。5-4 注意對(duì)稱性的利用,并相應(yīng)選取基點(diǎn) A。 答案見書中。 第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題5-7 按位移求微分方程的解法中，位移應(yīng)滿 足: (1) 上的位移邊界條件， (2) 上的應(yīng)力邊界條件， (3)區(qū)域A中的平衡微分方程。 uss習(xí)題提示和答案5-5 注意對(duì)稱性的利用，本題有一個(gè)對(duì)稱 軸。5-6 注意對(duì)稱性的利用，本題有二個(gè)對(duì)稱 軸。第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題5-8 在拉伸和彎曲情況下，引用 的表達(dá)式，再代入書中的公式。在 扭轉(zhuǎn)和彎曲情況下，引用 的表達(dá)式，再代入書中的公式。Axxyx

52、Udd21AxyxyyxUdd21習(xí)題提示和答案用瑞利-里茨變分法求解時(shí)，設(shè)定的位移試函數(shù)應(yīng)預(yù)先滿足(1) 上的位移邊界條件，而(2)和(3)的靜力條件由瑞利-里茨變分法來代替。us第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題.)()(,)()(321321yBxBBbyyaxxvyAxAAbyyaxxu習(xí)題提示和答案第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題為滿足全部約束邊界條件，應(yīng)包含公共因子 。此外，其余的乘積項(xiàng)中，應(yīng)考慮：u應(yīng)為x和y的奇函數(shù)，v應(yīng)為 x和y的偶函數(shù)。)(2222byax第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分

53、法解平面問題5-10 答案見書中。第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題0.dd , 0111AyyxvfBUAUyfU和.25651 , 071821111EgaBABA.533225,53321752121EgaB EgaA習(xí)題提示和答案第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題.)31)(1 (5334175)1 (533225,)1 (533450,)1)(31 (5332175222222222222gxayaxaygyaxgyayaxxyyx習(xí)題提示和答案位移分量的解答為).1)(1 (533225),)(533217522222

54、33332ayaxEgavayayaxaxEgau應(yīng)力分量為第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題教學(xué)參考資料教學(xué)參考資料第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題教學(xué)參考資料教學(xué)參考資料第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題 2.2.差分法差分法是微分方程的一種近似數(shù)值解是微分方程的一種近似數(shù)值解 法法。在差分法中，將連續(xù)函數(shù)用一些 結(jié)點(diǎn)上的函數(shù)值來代替，并從而將微 分方程及其邊界條件變換為差分(代數(shù)) 方程，使問題易于求解。在這種方法 中，采用了將函數(shù)離散的手段。教學(xué)參考資料教學(xué)參考資料第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題教學(xué)參考資料教學(xué)參考資料第五章第五章 用差分法和變分法解平面問題用差分法和變分法解平面問題 4.有限單元法有限單元法是20世紀(jì)中期發(fā)展起來的彈性力學(xué)近似解法。在有限單元法中在有限單元法中, ,首先將區(qū)域離