第二章 有限差分方法基礎(chǔ)

1、The Elements of Computational Fluid Dynamics第二章 有限差分方法基礎(chǔ)2.1 有限差分方法概述2.2 導(dǎo)數(shù)的數(shù)值逼近方法2.3 差分格式的性質(zhì)2.4 發(fā)展方程的穩(wěn)定性分析2.1 有限差分方法概述 以一維非定常熱傳導(dǎo)方程為例，介紹有限差分方法的概念、簡(jiǎn)單構(gòu)造方法和求解過程。2.1.1 基本方程和定解問題22(0)(2.1.1)uutx( ,)0,1 0,x t 求解域：( , 0)( )(2.1.2)(0, )( ),(1, )( )u xf xuta tutb t初始條件：邊界條件：方程(2.1.1)和初邊條件(2.1.2)構(gòu)成了一個(gè)適定的定解問題。有

2、限差分方法：對(duì)于一個(gè)偏微分方程，如果把方程中的所有偏導(dǎo)數(shù)近似地用代數(shù)差商(Algebraic Difference Quotient) 代替，則可以用一組代數(shù)方程近似地替代這個(gè)偏微分方程，進(jìn)而得到數(shù)值解，這種方法稱為有限差分方法(Finite Difference Method)。012.1.2 求解域及偏導(dǎo)數(shù)的離散化 為了用有限差分方法求解式 (2.1.1)，需要把其中的偏導(dǎo)數(shù)表示為代數(shù)形式，為此，首先要把自變量從連續(xù)的分布變?yōu)殡x散形式。這個(gè)過程稱為求解域的離散化。 1. 空間求解域的離散化0 x 1x2x1MxMx把空間求解域分為M段（均勻剖分）0121,MMxxxxx網(wǎng)格點(diǎn)：=kxk x

3、顯然,=1/xM其中,， 為空間步長(zhǎng)。 2. 時(shí)間變量的離散化把感興趣的時(shí)間段(t=T之前)分為N段（均勻剖分），則時(shí)間方向的求解域可以劃分為01211,NNNtt ttt個(gè)離散時(shí)刻：=(/,)ntn ttTN 時(shí)間步長(zhǎng) 求解域被劃分為一系列離散的時(shí)空網(wǎng)格點(diǎn) 圖2.1 求解域的離散化 3. 解的離散表示目標(biāo)：求出所有網(wǎng)格點(diǎn)上物理量u的近似解。(,)= (,)(0,1,;0,1,)knu x tu k x n tkMnN(,)nknku x tu后文中， 把記為。 4. 導(dǎo)數(shù)的數(shù)值逼近把方程中的偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)近似表示為代數(shù)形式。(,)(2.1.1)(,)(,)(2.1.3)( )()(2.1.4)kn

4、txxnntkxxkx tu k x n tuk x n tuu在網(wǎng)格點(diǎn)，方程可以表示為或000Taylor( ,)( , )( , )lim( , )( ,)( , )lim( ,)( ,)( , )lim2tttttttuu x ttu x tu x ttu x tu x ttu x ttu x ttu x ttu x tt 按定義（利用展開式），偏導(dǎo)數(shù)可以寫成下面幾種等價(jià)形式：0limdifference quotienttt 其中，后面的項(xiàng)稱為差商()。當(dāng)足夠小時(shí)，可以用差商來近似導(dǎo)數(shù)。( ,)( , )( , )( , )( ,)( , )( ,)( ,)( , )2tttu x t

5、tu x tu x ttu x tu x ttu x ttu x ttu x ttu x tt即：1-1+1-1(,)( )( )(2.1.5)( )( )(2.1.6)( )( )(2.1.7)2knnnnnkktktknnnnkktktknnnnkktktkx tuuuutuuuutuuuut在網(wǎng)格點(diǎn)，有的向前差商：的向后差商：的中心差商：1111(forward difference)(backward difference)(central difference)nnntkkknnntkkknnntkkkuuuuuuuuuu沿時(shí)間方向的向前差分：向后差分：中心差分：ttt其中， 分別稱

6、為時(shí)間方向前差、后差和中心差分算子。1-1+1-1()()()()()()2nnnnkkxkxknnnnkkxkxknnnnkkxkxkuxuuuuxuuuuxuuuux空間方向的一階偏導(dǎo)數(shù)可以近似為的向前差商：的向后差商：的中心差商：1111nnnxkkknnnxkkknnntkkkuuuuuuuuu空間方向的向前差分、向后差分和中心差分記為xxx其中，分別稱為空間方向前差、后差和中心差分算子。后文中，將略去差分算子的下標(biāo)，簡(jiǎn)記為， ， 。(,)(,)(2.1.3)(2.1.3)txxu k x n tuk x n t中的二階偏導(dǎo)數(shù)應(yīng)該如何近似呢？2220(, )2 ( , )(, )( ,

7、 )limxuu xx tu x tu xx tx txx 根據(jù)數(shù)學(xué)分析中的知識(shí)，我們知道21222nnnnkkkkuuuuxx所以，二階導(dǎo)數(shù)可以近似為112nnnkkkuuu稱為二階中心差分。112= ()()nnnnnkkkkkuuuuu 容易證明：2.1.3 差分格式同一偏導(dǎo)數(shù)可以有不同的近似方法，不同的導(dǎo)數(shù)近似方法導(dǎo)致方程的不同的有限差分近似。1. FTCS (Forward difference in Time, Central difference in Space) 格式時(shí)間方向用前差近似，空間二階導(dǎo)數(shù)用中心差分近似。11122(2.1.9)nnnnnkkkkkuuuuutx對(duì)初

8、始條件和邊界條件的離散化00()(0,1,)(2.1.10)( )(0,1,)(2.1.11)( )(0,1,)(2.1.12)kknnnMnuf xkMua tnub tn式 (2.1.9) (2.1.12)稱為方程 (2.1.1) 的一個(gè)有限差分方程或有限差分格式( finite difference scheme)。2. BTCS (Backward difference in Time, Central difference in Space) 格式時(shí)間方向用后差近似，空間二階導(dǎo)數(shù)用中心差分近似。11122(2.1.13)nnnnnkkkkkuuuuutx00()(0,1,)( )(0

9、,1,)( )(0,1,)kknnnMnuf xkMua tnub tn在研究數(shù)值方法時(shí)，通常把 tn 時(shí)刻的物理量視為已知量，而把 tn+1 時(shí)刻的物理量作為待求的未知量。因此，式 (2.1.13) 可以改寫成11111122(2.1.14)nnnnnkkkkkuuuuutx2.1.4 差分方程的求解1. FTCS 格式11122(2.1.9)nnnnnkkkkkuuuuutx可以改寫為111(1 2 )(2.1.15)nnnnkkkkuuuu2tx其中，可見，在FTCS格式中，某一點(diǎn)的數(shù)值解只依賴于前一時(shí)間步的三個(gè)點(diǎn)，如圖2.2所示。圖2.2：FTCS格式的模板點(diǎn)1(stencil)nku

10、求解所涉及的典型網(wǎng)格點(diǎn)稱為模板格式的點(diǎn)。1expliciFTCS2.1.15tn1 schemenknknuu格式可以通過簡(jiǎn)單的遞推關(guān)系由某一時(shí)間步 的值計(jì)算出下一個(gè)時(shí)間步的值式，稱為顯示格。FTCS格式的求解過程01.0()() (0,1,)nkkkknuf xuf xkM賦初始值令,由計(jì)算1+1112.(1 2 )(0,1,)nnnnnkkkkkuuuuukM內(nèi)點(diǎn)數(shù)值解計(jì)算由計(jì)算+1+1003.( )( )(0,1,)nnnnnMnMua tub tnuu邊界處理由，計(jì)算，1nn令4.ntT判斷是否成立5. 輸出結(jié)果成立不成立2. BTCS 格式11111122(2.1.14)nnnnnk

11、kkkkuuuuutx可以改寫為11+1+1-1-(1 2 )+=-(2.1.16)nnnnkkkkuuuu跟FTCS格式不同，BTCS格式中同時(shí)涉及到 n+1 時(shí)刻的多個(gè)未知量，不能遞推求解，稱為隱式格式 (implicit scheme)。圖2.3：BTCS格式的模板點(diǎn)1.0nknu賦初始值(令,計(jì)算)12.nku構(gòu)造求解的線性方程組3. 求解線性方程組1nn令4.ntT判斷是否成立5. 輸出結(jié)果成立不成立BTCS格式的求解過程12.1nknu構(gòu)造求解時(shí)刻數(shù)值解的線性方程組11+1-1+1-(1 2 )+=-(2.1.16)nnnnkkkkuuuu0,1,kM列出各點(diǎn)差分格式的具體形式10

12、111+1012111+1123211+1211+110:()()1:-(1 2 )+=-2:-(1 2 )+=-.1:-(1 2 )+=-:=b()()nnnnnnnnnnnnnnMMMMnMnkua tkuuuukuuuukMuuuukMut邊界條件邊界條件寫成方程組的形式1n通過求解這個(gè)線性方程組，可以得到時(shí)刻求解域上各個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)的數(shù)值解。3. 求解線性方程組系數(shù)矩陣只有主對(duì)角線和相鄰的兩條次對(duì)角線上有非零元素，這種形式的方程組稱三對(duì)角線為方程組。可以通三對(duì)角線方程組追過趕法直接求解。：I. 利用一個(gè)邊界條件將三對(duì)角線方程組化為只有主對(duì)角線和相鄰的一條次對(duì)角線上有非零元素的方程組；II.利

13、用另一邊界條件追趕法逐點(diǎn)求解。1M ：是一種高效算法，計(jì)算量與未知量個(gè)數(shù)近似呈線追趕法性關(guān)系。2.1.5 用時(shí)間相關(guān)方法求解定常問題考慮非定常熱傳導(dǎo)方程和定解條件22(0)( , 0)( )(2.1.18)(0, )(1, )uutxu xf xutaconstutbconst (2.1.18)t 當(dāng)時(shí)，的解與時(shí)間無關(guān)，與下面的定解問題等價(jià)。22=0( , 0)( )(2.1.20)(0)(1)uxu xf xuaconstubconst .18顯然，定常問題的解也可以通過數(shù)值求解得到。1-6(2.1.18),110nnkkuuktn在實(shí)際求解過程中，無需計(jì)算無窮多時(shí)間步，只

14、要定解問題的數(shù)值解滿足 即可認(rèn)為時(shí)刻的數(shù)值解為定常解。其中， 是一個(gè)小的正實(shí)數(shù)，根據(jù)對(duì)定常解精度的要求事先指定，定常問如。上題的時(shí)述方法稱為求解間相關(guān)方法。1.nku賦初始值(令n=0,計(jì)算)12.nku構(gòu)造求解的線性方程組3. 求解線性方程組1nn 令-64.10判斷是否成立5. 輸出結(jié)果成立不成立BTCS格式的求解過程FTCS格式的求解過程01.( )( ) (0,1,)nkkkkuf xuf xkM賦初始值令n=0,由計(jì)算1+1112.(1 2 )(0,1, ,)nnnnnkkkkkuuuuukM內(nèi)點(diǎn)數(shù)值解計(jì)算由計(jì)算+1+1003.( )( )(0,1,)nnnnnMnMua tub t

15、nuu邊界處理由，計(jì)算，1nn 令5. 輸出結(jié)果成立不成立-64.10判斷是否成立實(shí)用中，通常采用下面的求解過程2.2 導(dǎo)數(shù)的數(shù)值逼近方法2.2.1 精度分析 在上一節(jié)，我們得到了一階偏導(dǎo)數(shù)的前差、后差和中心差分近似，以及二階導(dǎo)數(shù)的中心差分近似。這些近似方法逼近偏導(dǎo)數(shù)的程度如何呢？可以用Taylor展開式進(jìn)行分析。,( ,)(,)iji ju x yu i x j yu記22331,23( , )( , )( , )22331,23( , )( , )( , )Taylor2!3!2!3!iji ji ji ji jiji ji ji ji juuxuxuuxxxxuuxuxuuxxxx 由展

16、開式，,1,( , )23223( , )( , ),( , ). . .()2!3!. .()()xi jiji ji ji ji jxi ji juuuuT ExxxuxuxT EOxxxT ETruncation ErrorOxuuxx：其中，稱為截?cái)嘞蚯安钫`差，是的量級(jí)。 商一階精度的差稱是的分近似。,-1,( , )23223( , )( , ),( , ). . .-()2!3!xi ji jiji ji ji jxi ji juuuuT ExxxuxuxT EOxxxuuxx：也是的向后差商一階精度的差分近似。,1,-1,( , )3223( , ),( , ). .22. .(

17、)3!()2xi jijiji ji jxi ji juuuuT ExxxuxT EOxxTruncation Erroruuxx：中心差商的截?cái)嗾`差比向前差分近似和向后差分中心差商近似小一個(gè)數(shù)量級(jí)。 二階精度的差稱是的分近似。 一般來講，對(duì)偏導(dǎo)數(shù)的近似精度越高，差分格式的精度越高。例：一維非定常熱傳導(dǎo)方程的FTCS格式中涉及的導(dǎo)數(shù)差分近似的精度。22(0)(2.1.1)uutx123223. . .()2!3!nnnntkkkknnkknntkkuuuuT EtttututT EOtttuutt一階精度的 是的差分近似。21-122244624621-1222+. .22. .()4!6!2

18、+nnnnkkkknnkknnnnkkkkuuuuT ExxxxuuT EOxxxuuuuxx 是的二階精度的差分近似。( , )i jux構(gòu)造的某種差分近似，可以采用“待定系數(shù)法”。2.2.2 導(dǎo)數(shù)差分近似的待定系數(shù)法( , ),-1,-2,( , )( , ),(1, ),(2, )i ji jijiji juxuuuukxi jijij首先，確定近似所使用的“模板點(diǎn)”。如：用，構(gòu)造一階導(dǎo)數(shù)的 階近似，則模板點(diǎn)為,-1,-2,( , )()/()(2.2.5)ki jijiji juaubucuxOxx 其次，把近似公式寫成待定系數(shù)的形式,-1,-2,( , )(2.2.5)i jijij

19、uuui jTaylor然后，把，在處做展開，并帶入。, ,ka b c最后，選定 ，得到關(guān)于待定系數(shù)的線性方程組，求解方程組確定系數(shù)。+1,-1,-2,( , )(2.2.5)-()()(2.2.6)ki jijiji juxaubucuOxx式可以改寫成下面的形式1,k 令,( , )(2.2.6)i ji juuxx比較的左右兩側(cè)，得展開式中，項(xiàng)的系數(shù)均為零，0(2.2.7)120(2.2.7)abcbc即：兩個(gè)方程，三個(gè)未知量，式有無窮多解。,-1,-2,( , )i jijiji juuuux用，可以構(gòu)造一階導(dǎo)數(shù)的無窮多種一階差分近似。,-1,-2,( , )=1=-1-21=(1)

20、(12 )()(2.2.8)i jijiji jacbcuc uc ucuOxxx，則0 (2.2.8)c 令，就是向后差分近似。22,2( , )( , )(2.2.6)0120(2.2.7)40i ji ji juuuxxxxabcbcbc比較的左右兩側(cè)，得展開式中，和項(xiàng)的系數(shù)均為零，即：2,k 令2,-1,-2,( , )=3/ 22,1/ 21=34()(2.2.10)2i jijiji jabcuuuuOxxx 解線性方程組得：，即(,-1,-, )2,( , )(2.2.10)( , )i jijiji ji jui juuuuxx式只涉及到左側(cè)的兩個(gè)點(diǎn)，稱為的。二階后差近似用，可

21、以構(gòu)造出的一種二階差分近似。3,k 令( , )1i jukkx一般情況下，用 個(gè)連續(xù)的模板點(diǎn)逼近的精度最高為階。22,2( , )( , )333( , )(2.2.6)i ji ji ji juuuxxxxuxx比較的左右兩側(cè)，得展開式中，和項(xiàng)的系數(shù)均為零。 有三個(gè)待定系數(shù)，四個(gè)方程。,-1,-2,( , )i jijiji juuuux不可能用，構(gòu)造出的三階差因此，分近似。2.2.3 導(dǎo)數(shù)差分近似方法的差分算子法1. 差分算子的定義 算子，一種前置運(yùn)算符。算子和它后面的作用量一起代表一種確定的運(yùn)算過程。, u vvAuAAAuu例如：向量滿足是一個(gè)矩陣，則 可以被視為一個(gè)算子，因?yàn)槎x了

22、一種對(duì) 進(jìn)行操作或運(yùn)算的規(guī)則。在引入差分算子的定義之前，先介紹一種特殊的算子移位算子。移位算子的運(yùn)算規(guī)則為nnxjjnntjjE uuE uu移位算子的下標(biāo)表示移位的方向，上標(biāo)表示移位的步數(shù)。10+1=1xxxEEE當(dāng)移位為時(shí)，上標(biāo)可忽略，如：。規(guī)定差分算子：移位算子和可以表示為移位算子函數(shù)的算子。差分方法中常用的算子：112211221122112212nnnnxjxxjjjxxxuuuEEuEE算術(shù)平均算子+1-(1)1nnnnxjjjxjxxuuuEuE 前差算子1-11-(1)1nnnnxjjjxjxxuu uEuE 后差算子112211+-221122-()nnnnxjxxjjjxx

23、xuuuEEuEE一倍步長(zhǎng)中心差分算子-1+1-11-()nnnnxjjjxxjxxxuuuEEuEE兩倍步長(zhǎng)中心差分算子2. 差分算子之間的關(guān)系11111222211=221212EEEEEE2112122=2EEEE 所有的差分算子均可用Taylor展開式來估算截?cái)嗾`差項(xiàng)的量級(jí)。() )() )kkLLuOxLOx如果差分算子 滿足稱 具有量級(jí)。21122(11()2nnnnxjjjjOuuuuOx11221)(2(nnnxjjjOxuuuOx11()(nnnxjjjuuxOOxu1()()nnnxjjjuuuOxOx1()()nnnxjjjuuuOxOx3. 微分算子與差分算子的關(guān)系4.

24、 導(dǎo)數(shù)的近似 根據(jù)差分算子之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系，可以建立微分算子與其它差分算子之間的聯(lián)系，從而得到導(dǎo)數(shù)的數(shù)值近似公式。11,xxE 后差：利用差分算子之間的轉(zhuǎn)化關(guān)系推導(dǎo)微分算子和后差算子之間近似的關(guān)系。10ln(1)( 1)1nnnxxn注：即：即：與待定系數(shù)法得到的結(jié)果一致。前差近似：中心差分近似：即：5. 緊致格式 從上面的推導(dǎo)可以看出，導(dǎo)數(shù)的有限差分近似精度越高，所需要的模板點(diǎn)越多。對(duì)于一階導(dǎo)數(shù)，一般需要5個(gè)點(diǎn)才能得到四階精度的差分近似。模板點(diǎn)數(shù)太多不僅使數(shù)值方法變得復(fù)雜，也給邊界附近的處理帶來一定困難。緊致格式：用較少的模板點(diǎn)構(gòu)造導(dǎo)數(shù)的高階近似。3535630630DhhD由得35()6hD

25、O h一方面，35()6hDO h351(1)()(2.2.13)6hDO hhD3()hDO h另一方面，23331()1111()1(2.2.14)()()1O hO hhDO hO h325(2.2.14)(2.2.13)111()()6hDO hO h把代入，得2451+ ()()6hDO hO h即42(2.2.1+5)1+6DO hhPadDe由此得到微分算子的有理近似，稱為近似?；赑ade近似的導(dǎo)數(shù)近似方法，稱為緊致格式 (compact scheme)。(2.2.15)在中，和 算子只用到三個(gè)模板點(diǎn)上的函數(shù)值，所以，這里僅用三個(gè)模板點(diǎn)就得到了四階精度格式。4622222242

26、1+112120+19DO hDhh類似地， 由可以導(dǎo)出二階偏導(dǎo)數(shù)的緊致格式：22(0)( , 0)( )(0, )( )(1, )( )uutxu xf xuta tutb t例：考慮熱傳導(dǎo)方程及定解條件1()ttDOtt 時(shí)間方向，采用前差近似224221+,()1+12xDO hhxh 空間導(dǎo)數(shù)，用緊致格式211111111=2110111012121212121212xnnnnnnjjjjjjEEuuuuuu 將關(guān)系式代入上式得：222212111+1211+12nntjjnnxjjxuuthuu代入微分方程，有即1nku上式為隱式差分格式，聯(lián)合邊界條件，組成一個(gè)三對(duì)角線方程組，求解線

27、性方程組，可得。2.3 差分格式的性質(zhì)2.3.1 范數(shù)的定義及性質(zhì)1. 向量范數(shù)2. 算子范數(shù)AxxA由于是一個(gè)向量，所以上面實(shí)際上是通過向量范數(shù)來定義算子范數(shù)。給定一種向量范數(shù)， 稱為與該向量范數(shù)相容的算子范數(shù)。, i jAann矩陣是一個(gè)線性算子，設(shè)是矩陣，則：2.3.2 差分格式的精度差分格式是微分方程的近似，通常用局部截?cái)嗾`差(local truncation error)衡量差分格式逼近微分方程的程度。( )0eL uu設(shè)微分方程為，精確解為 。()0nnkkL uu對(duì)應(yīng)的差分格式為，差分格式的數(shù)值解為 。(,)0. . .()eknnekL u x tLT EL u注意到，則差分格

28、式相對(duì)于微局部截?cái)嗾`差分方程的為()0( )0. . .() )() )nkpqL uL uLT EOtOxpq：差分格式的精度局。如果差分格式相對(duì)于微分方程的為則稱差部截?cái)嗾`差時(shí)間方向是階精度空間方向分是格式在，。階精度定定義義1112FTCS2()nnnnnkkkkkuuuuutx例：考慮一維非定常熱傳導(dǎo)方程的格式11122224224234636( , )2()2()24!()2()3!6!nnnnnnkkkkkknnnnkkkknnkkk nTayloruuuuuLutxuutuxutxtxtuxutx各個(gè)物理量在處做展開，有！eu把精確解代入上式，得11122242224362436

29、()()()2()()()2()24!()2()3!6!nnnnnnekekekekekeknnnneeeekkkknneekkuuuuuLutxuuuutxtxtxuutxtx！220nneekkuutx2432224364622()()2!4!3!2()6!()() )nnnneeeekkkknekuuutxtLutxtuxxOtOx 2. . .()() )nekLT ELuOtOx即如果時(shí)間步長(zhǎng)和空間步長(zhǎng)之間滿足一定的關(guān)系，F(xiàn)TCS格式時(shí)間方向可達(dá)到二階精度，空間方向可達(dá)到四階精度。2220()() () ()nneeettexx tetxxexxxxkkuuuuuutx2() ()n

30、nettkexxxx kuu即243622424364362244362()()2(). .2!4!3!6!2()()2()24!3!6!nnnneeeekkkknnneeekkkuuuutxtxLT Etxtxuuutxtxxtx 2242()0. . .() )() )24!txLT EOtOx當(dāng)時(shí)，。根據(jù)差分格式精度的定義，按照上面的分析，F(xiàn)TCS格式時(shí)間方向是一階精度，空間方向是二階精度。2.3.3 差分格式的相容性截?cái)嗾`差是在網(wǎng)格點(diǎn)上逐點(diǎn)定義的。定義中每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)上的數(shù)值解構(gòu)成一個(gè)解向量，每一個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)上的截?cái)嗾`差也構(gòu)成一個(gè)向量。因此，可以用向量范數(shù)來刻畫差分格式的局部截?cái)嗾`差。()0(

31、)0. . .()neneneuuL uL uLT EL u：設(shè)每個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)上的數(shù)值解構(gòu)成的解向量為，相應(yīng)各點(diǎn)上的精確解構(gòu)成的向量為 ，與微分方程對(duì)應(yīng)的差分格式為。則差分格式的截局部截?cái)嗾`差的范數(shù)形式。斷誤差為。定定義義0,00,0()0()0lim. . .lim()0ennextxtL uL uLT EL u ：差分格式的相與微分方程對(duì)應(yīng)的差分格式為。如果，則稱差分格式與微分方程容性的。是相容定定義義. . .() )() )0,0pqLT EOtOxpq如果差分格局部截?cái)嗾`差式的為，則當(dāng)時(shí)，差分格式是相容的。2.3.4 差分格式的收斂性和穩(wěn)定性1. 差分方程的矩陣形式考慮線性的發(fā)展方程（雙

32、曲型方程和拋物型方程）的差分格式。發(fā)展型方程的一般形式：( ,)0 xug u ut 以非定常熱傳導(dǎo)方程的FTCS格式為例，將差分格式寫成矩陣形式：111(1 2 )nnnnkkkkuuuuFTCS格式：解向量記為：1111101101(,)(,)nnnnTnnnnTuuuuuuuu 考慮到邊界條件，則差分格式可以寫為：10()nnuQuQ差分算子Dirichlet boundary conditionQ在第一類邊界條件（，指定微分方程的解在邊界上的值）下， 是一個(gè)三對(duì)角矩陣。Q對(duì)于線性方程的線性差分格式， 為線性算子。10nnuQu一般情況下，發(fā)展方程的涉及兩個(gè)時(shí)間層的差分格式均可寫成( )

33、0L u差分方程的一般形式：1()0(2.3.6)nnntL uuQu兩種形式之間的關(guān)系：2. 整體截?cái)嗾`差局部截?cái)嗾`差：差分方程逼近微分方程的程度整體截?cái)嗾`差：差分方程的解逼近微分方程的精確解的程度1()ennneennneuuQutL u設(shè)微分方程的精確解為 ，則其中，為差分方程的局部截?cái)嗾`差。11(2.3.8)(2.3.8)nnennnuuQuwuuwQwt數(shù)值解 滿足設(shè)精確解和數(shù)值解的差為，則下面通過研究差分方程的解逼近微分方程精確解的程度。11100()nnnnnnnjnjjwQwtQ QwttQwtQ00w 10nnnjjjwtQ 100nnnjnjjnjjjwtQtQ ()(),

34、njpqnjCtxnj 時(shí)刻的局部截?cái)嗾`差。010max()()(2.3.10)njj nnnpqjjCCwtCtxQ 取，則1nw定義為差分方程的（與差分格式的局部截?cái)嗾`差、差分算子的范數(shù)有關(guān)，通常整體截?cái)嚯y以誤差。估算）。3. 差分格式的收斂性和穩(wěn)定性1110,00,0(1)0,0limlim(2.3.11)ennnextxtuut tntxtwuu ：。設(shè)微分方程的精確解為 ，由差分方程得到的數(shù)值解為 ，在時(shí)刻，當(dāng)時(shí)，如果=0則稱差分格式是的收斂性收斂。定定義義差分格式的收斂性對(duì)于保證數(shù)值解的有效性是非常重要的。如果差分格式是收斂的，那么，當(dāng)計(jì)算網(wǎng)格足夠密時(shí)，數(shù)值解將相當(dāng)接近精確解。10

35、00010()0( )0,00(2.3.12)nnnntL uuQuxtnKK tntxxttuK u ：。對(duì)差分格式，如果存在正常數(shù)，及與 無關(guān)的，使穩(wěn)定性得對(duì)于任意的，當(dāng)，時(shí)，有 則稱差分格式是穩(wěn)定的。定定義義差分格式的穩(wěn)定性等價(jià)于差分方程數(shù)值解的一致有界性。100001()0( )0,(0(1)00(2.3.13)nnnntL uuQuxtKK tnttntxxttQK ：差分格式穩(wěn)定的充分必要條件是，存在正常數(shù)，及，使得對(duì)于任意的，當(dāng)，時(shí)，有 定定理理12110nnnnuQuQ uQu證證明明：110010001nnnnuQuK uQuKuuQK：如果差分格式是穩(wěn)定的，則即 由 的任意

36、性及算子范數(shù)的定義，有必必要要性性11010110nnnnnuQuQuQKuK u：考慮到如果 成立，必有。充充分分性性上述定理建立了算子范數(shù)的一致有界性與穩(wěn)定性之間的關(guān)系。00jnjnQKKnt由于對(duì)任意的 ，定理均成立，所以，對(duì)于穩(wěn)定的差分格式，有其中，與 無關(guān)，可能與 有關(guān)。101()()(2.3.10)(1)()()()()nnpqjjnpqpqwtCtxQwntKCtxOtx 由得當(dāng)差分格式穩(wěn)定時(shí)，整體截?cái)嗾`差和局部截?cái)嗾`差量級(jí)相同。1. . .()()()()pqnpqLT EOtxwOtx ：對(duì)于適定的線性偏微分方程的差分格式，其局部截?cái)嗾`差，如果差分格式是穩(wěn)定的， 其整體截?cái)嗾`

37、差為定定理理10,000 (1)lim0()nxttxtnttw 根據(jù)上述定理，在某一確定時(shí)刻 ，當(dāng)，時(shí)，對(duì)于相容的差分格式，有收斂00 xt 即：相容且穩(wěn)定的差分格式，當(dāng)，時(shí)，差分方程的數(shù)值解逼近微分方程的精確解，差分格式是收斂的。(,) , ( )() ()xxa bu xu xk bak 如果只考慮初值問題 空間求解域?yàn)?，或雖然求解域是有限的但在邊界處滿足周期性條件，即，為整數(shù) ，則可以得到更強(qiáng)的結(jié)論，Lax等價(jià)即性定理。 適定的線性方程初值問題相容格式對(duì)于適定的線性偏微分方程的初值問題，如果差分格式是相容的，那么，其收斂的充分必要條件是該差分格式是穩(wěn)定的。即穩(wěn)Lax等價(jià)性定定理：收斂L

38、ax等價(jià)性定理是計(jì)算流體力學(xué)中的一個(gè)重要定理。直接分析差分格式的收斂性比較困難，而穩(wěn)定性分析則比較簡(jiǎn)單。Lax定理告訴我們，在一定條件下，收斂性和穩(wěn)定性是等價(jià)的；通過穩(wěn)定性分析，即可確定差分格式的收斂條件。4. 穩(wěn)定性的意義0, t，如果差分格式是穩(wěn)定的，那么數(shù)值解是一致有界的。而且數(shù)值解范數(shù)的上界與時(shí)間根據(jù)區(qū)間內(nèi)推進(jìn)的穩(wěn)定步性的定義數(shù)無關(guān)。10(2.3.16)nnvuQuvuuvu，考慮差分格式由于計(jì)算機(jī)的字長(zhǎng)有限，我們得到的是近似的數(shù)值解 ，而不是精確數(shù)值解 。精確數(shù)值解 和近似數(shù)從另一角度分析舍入誤差，記值解 之間的誤為差稱為。11+(+)0(2.3.17)nnnnuQ u在計(jì)算機(jī)上，求

39、解的是1100(2.3.18)nnnQQK是線性算子，所以 滿足與差分方程形式相同，所以，對(duì)于穩(wěn)定的舍入差分格式，必誤差一有即致有界。2.4 發(fā)展方程的穩(wěn)定性分析2.4.1 矩陣方法11000(0(1)00( )nnnuQunttntxxttQKKK tn 差分格式穩(wěn)定的充要條件：對(duì)于任意的 ，當(dāng)，時(shí)，有，與 無關(guān) 。Q其中，算子 是一個(gè)矩陣，這種通過算子范數(shù)研究穩(wěn)定性的方法稱為。矩陣方法適用于初值和初邊矩陣方法值問題。10( )1( )nnuQuQM tQQM 差分格式穩(wěn)定的必要條件：。其中，是矩陣 的譜半徑，是常數(shù)。定定理理：1112122110,( )1,() ( ),(1)1(1)()

40、1(1)2!( )00nnnnnnMQM tQQQnnQM ntM tM ntnKK tMQKQK 證明反證法。如果由譜半徑的性質(zhì)，有此時(shí)，任選一與 無關(guān)的，總可以找到一個(gè)，使得，與矛盾。證畢。：10( )1nnQuQuQM t 如果 是對(duì)稱矩陣，則穩(wěn)定的充分必要條件：。定定理理：111(1)21221( )1() ( )(1)(1)1(1)()2!( )0nnnnnMtnQQM tQQQM tnnQM ntM tenKK tQK 證明充分性。如果 是對(duì)稱矩陣，且成立則有即 存在與 無關(guān)的，使得：1112122110,( )1,() ( ),(1)1(1)()1(1)2!( )00nnnnnn

41、MQM tQQQnnQM ntM tM ntnKK tMQKQK 必要性（反證法）。如果由對(duì)稱矩陣譜半徑的性質(zhì)，有此時(shí)，任選一與 無關(guān)的，總可以找到一個(gè)，使得，與矛盾。證畢。0M 在實(shí)用中，通常取。FTCS對(duì)于一維熱傳導(dǎo)方程的格式例例：111(1 2 )(1,2,1)nnnnkkkkuuuukM000nnMuu邊界條件：10nnuQu寫成矩陣形式：1221nnnnMnMuuuuu1 21 21 21 2QFTCS( )1QQ對(duì)于格式， 是對(duì)稱矩陣，差分格式穩(wěn)定的充分必要條件：。(1) (1)1 2/cos(1,2,1)MMmAMbcabcAabcabmAbca cmMM 利用：是三對(duì)角矩陣的階

42、的三對(duì)角矩陣，即則值為性質(zhì)的特征。2(12 )2cos12 (1 cos)14sin(1,2,1)2mmQMmMmmMM 可得 的特征值為。22111114sin12FTCS110022mmMmMtx要求對(duì)于任意的，有，即所以，格式的穩(wěn)定性條件為或矩陣方法是一種通用的穩(wěn)定性分析方法，但是，由于矩陣的算子范數(shù)及譜半徑的計(jì)算非常復(fù)雜，所以難小結(jié)：于應(yīng)用。2.4.2 Von Neumann穩(wěn)定性理論Von Neumann（馮 諾依曼）穩(wěn)定性理論：分析常系數(shù)差分方程初值問題穩(wěn)定性的通用方法。該方法簡(jiǎn)單、實(shí)用，是分析差分格式穩(wěn)定性的重要工具。1.1.常常系系數(shù)數(shù)差差分分格格式式00110, /1(0,1

43、,)(),jnnjjMTnnnnnnMMxLML MMxj xjMuuuuuuuu 把求解域劃分為等份，網(wǎng)格間距為。求解域內(nèi)有個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)，。只考慮初值問題，為了消除邊界條件的影響，假定解滿足周期性條件為整數(shù)則，差分方程的解向量為 110(2.4.2)(2.4.2)nnnnnjjjsj snsjuQuuQ uc ucu設(shè)差分格式中的任一分量可以寫成下面的形式：當(dāng) 為常數(shù)，且常系與無關(guān)時(shí)，稱為數(shù)差分格式。1nnsnjjjsxjsjsxuQ uc EujQc E引入移位算子， 則即 點(diǎn)的差分算子為2.2.有有限限離離散散FourierFourier級(jí)級(jí)數(shù)數(shù)利用Fourier級(jí)數(shù)可以使對(duì)一些問題的分析變

44、得簡(jiǎn)單。定義在有限區(qū)間上的絕對(duì)可積的周期性函數(shù)可以展開為Fourier級(jí)數(shù)。Fourier對(duì)于離散網(wǎng)格點(diǎn)上滿足周期性條件的數(shù)值解，也可以展開為Fourier級(jí)數(shù)，稱為有限的離散級(jí)數(shù)。Fourier級(jí)數(shù)：把函數(shù)表示為一系列簡(jiǎn)諧（正弦和余弦）波的疊加。2sin()sin()mmxyyk xk考慮一個(gè)典型的正弦波波長(zhǎng)或波數(shù)maxminminmaxmaxmin0, 12222222(1,2,/ 2)mmmLMMLM xxMkL MMkLkmmML 在求解域區(qū)間內(nèi)，有個(gè)均勻分布的網(wǎng)格點(diǎn)，假定是偶數(shù)，則這些離散點(diǎn)可以表示的正弦波的最大波長(zhǎng)為最小波長(zhǎng)為最小波數(shù)為最大波數(shù)為一般地，波數(shù)0, FourierxL

45、在上，離散解可以表示為最小波數(shù)和最大波數(shù)之間且為最小有限離散波數(shù)整數(shù)倍的一系列簡(jiǎn)諧波的疊加，稱為級(jí)數(shù)。0/2 10/2/21Fourier()cos()sin()cos()22nnMMMjmmjmmjmjmuuaau xak xbk xkx利用周期性邊界條件，,有限離散級(jí)數(shù)可以寫為/2/2/2 10/21Eulercos();sin()22Fourier()22222mmmmMjMjmjmjik xik xik xik xmmikxikxMik xik xmmmmMjmeeeek xk xiaaibaibaeeu xee 利用公式,把有限離散級(jí)數(shù)寫成復(fù)數(shù)形式/2/2 1Fourier()()m

46、mjjMik xjmmMmmmmmmik xmjAu xA eAAAkeAw即：。其中，。是的共軛復(fù)指數(shù)形式的有限離散級(jí)數(shù)稱為波數(shù)下的幅值稱為基函復(fù)數(shù) 。，數(shù)簡(jiǎn)稱基。011(,)mmmmmMkwwww基矢在每個(gè)波數(shù)下，各個(gè)網(wǎng)格點(diǎn)上的基函數(shù)構(gòu)成量相應(yīng)的：。10,1,()Mjjjjju vu vu vvvM定義向量的內(nèi)積：為 的共軛復(fù)數(shù)10,1,1=,0Mjjjkkwwwww wMww ：基矢量的正交性。波數(shù)和對(duì)應(yīng)的基矢量為，其內(nèi)積為則定定理理110021()0221()()02()11,=1111101jjjMMik xik xjjjjMixLjMjMiiMMjiMwww weeMMeMeeMM

47、e證明：/2/2 1( )(0,1,.,)()(),mjjjjjMik xjmmMmmu xxjMuu xuu xA eAu w ：如果在上有定義，則可以展開為其中。定定理理FouriermikxmmxjjxE wewE有限離散級(jí)數(shù)的基函數(shù)有以下性質(zhì)：移位算子10/222/2Fourier1,ParsevalmjMjjjMik xnnnnjmmmMmu vu vMuu uuA eu=A有限離散級(jí)數(shù)滿足：根據(jù)內(nèi)恒等式積的定義式，定義范數(shù)，如果則. Von Neumann方方法法Fourier用有限離散級(jí)數(shù)分析差分格式的穩(wěn)定性：1/211/2 1/2/2/2 1/2 1/2/2 1(2.4.3)F

48、ouriermjmjmjmmjmnnsnjjjsxjMik xnnjmmMMMik xik xik s xsnnsxmsmmMmMMik xik s xnmsmMuQ uc EuuAec EA ecA eeAc ee對(duì)進(jìn)行離散展開，有22222112Parseval( )max,mmmik s xnnnnmmsmmmmissmmuAAc eAc ekx 上式兩邊取范數(shù)，根據(jù)恒等式，有其中222+111100( )( )=( )nnnnnmmmmmmuAAAu 所以，1( )( )0nKKK tn 根據(jù)穩(wěn)定性的定義，得差分格式穩(wěn)定的充分必要條件是其中，且與 無關(guān)。10000Vo(2.4.2n N

49、eum)00( )1annnnnjjjsj suQ uc utxCttxxC t ：常系數(shù)差分格式穩(wěn)定的充分必要條件是：存在，和 ，當(dāng)，時(shí)上述條件件稱為。條定定理理0( )1C 在實(shí)用中，一般取，所以穩(wěn)定性條件為：。11(1)1( )1( )1( )0( )nnC ntCtCtnC tC teeKeKK tnK 證明：充分性：如果成立，那么取，顯然，且與 無關(guān)。因此，格式是穩(wěn)定的。Von Neumann( )1 C t 必要性： 反證法。 假設(shè)格式是穩(wěn)定的，如果條件不成立，即111( )1( ( )( )1kknnkkntCkCkCtKC t 對(duì)任意給定的，可以構(gòu)造一個(gè)序列，使得當(dāng)時(shí)，。因此，

50、當(dāng)時(shí)，。與穩(wěn)定性條件矛盾，所以，。4.Von Neumann簡(jiǎn)簡(jiǎn)化化的的方方法法/2/211/2 1/2 111( )ma1x1()()mjmjmmmmMMik xik xik s xnnnjmmsmMmMik s xnnmmsnik s xmmsnmmmmmuAeAc eemAAc eAGc eAGnGmmGnmG 從另一角度研究差分格式的穩(wěn)定性：由利用基函數(shù)的正交性，有，令，稱。代表 時(shí)刻和時(shí)刻第 個(gè)波的幅值的比值。所以，意大因子味著為放12211nnmmnnnnmmmmAAuAAu，即數(shù)值解的振幅隨時(shí)間減小， 差分格式具有正耗散性，是穩(wěn)定的。Von NeumannVon Neumann注

51、：條件是初邊值問題穩(wěn)定的必要條件，所以，可以用方法對(duì)初邊值問題的穩(wěn)定性進(jìn)行初步分析。2.4.3 穩(wěn)定性分析實(shí)例221FTCSuutx拋物型方程的格式. .111212,( =)nnnnkkkktuuuux差分格式為111(12 )m km km km km kik xnnkmik xik xik xik xnnnnmmmmuA eAeA eA eA e把代入上式，得12(12 )122cos14sin2mmnikxikxmmnmmmAGeeAkxkx放大因子的模為22,14sin12102sin2102mmmkxkxkx 穩(wěn)定性的要求：對(duì)于 -即2Lax-Wendroffuuatx雙曲型方程=0的格式. .22111112211111()(2)22()(2)22nnnnnnnkkkkkkknnnnnnnkkkkkkka tatuuuuuuuxxa tcccuuuuuuux差分格式為令，則111121()(2)22m km km km km km km km kik xnnkmik xik xik xik xik xik xik xnnnnmmmmuA eccAeA eAeeAeee把代入上式，得1222222221sin(1 cos)