有限元分析平面問(wèn)題有限單元法2

1、有限元分析有限元分析內(nèi)容內(nèi)容 平面問(wèn)題的有限元法平面問(wèn)題的有限元法 2 3 形函數(shù)的性質(zhì)形函數(shù)的性質(zhì) 4 整體剛度矩陣的組裝及其性質(zhì)整體剛度矩陣的組裝及其性質(zhì) 5 等效節(jié)點(diǎn)載荷向量等效節(jié)點(diǎn)載荷向量要求要求 理解：連續(xù)體有限元理解：連續(xù)體有限元分片插值分片插值的含義；的含義； 形函數(shù)形函數(shù)的功能及其性質(zhì)；的功能及其性質(zhì)； 基于虛功方程的基于虛功方程的整體剛度矩陣整體剛度矩陣的組裝；的組裝； 基于虛功方程的基于虛功方程的等效節(jié)點(diǎn)載荷向量等效節(jié)點(diǎn)載荷向量的生成的生成 掌握：掌握： 常應(yīng)變?nèi)切螁卧M裝技術(shù)常應(yīng)變?nèi)切螁卧M裝技術(shù)； 常應(yīng)變?nèi)切螁卧刃Ч?jié)點(diǎn)載荷向量的生成常應(yīng)變?nèi)切螁卧刃Ч?jié)點(diǎn)載荷向

2、量的生成 課后作業(yè)課后作業(yè) 推導(dǎo)常應(yīng)變?nèi)切螁卧倓偤偷刃лd荷向量推導(dǎo)常應(yīng)變?nèi)切螁卧倓偤偷刃лd荷向量回顧回顧整體離散單元組裝人工節(jié)點(diǎn)人工節(jié)點(diǎn)逼近離散逼近離散vmumvjviuii (xi , yi)j (xj , yj)m (xm , ym)eujyxo單元節(jié)點(diǎn)位移FmyFmxFjyFiyFixi (xi , yi)j (xj , yj)m (xm , ym)eFjxyxo單元等效節(jié)點(diǎn)力單元?jiǎng)偠确匠虇卧獎(jiǎng)偠确匠?0eeeKF回顧回顧幾何實(shí)體的逼近性離散幾何實(shí)體的逼近性離散回顧回顧 iiiejjjmmmuvuvuv 目標(biāo)目標(biāo)：對(duì)三角形單元，建立節(jié)點(diǎn)位移與等效節(jié)點(diǎn)力之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。：對(duì)三角形單

3、元，建立節(jié)點(diǎn)位移與等效節(jié)點(diǎn)力之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系。vmumvjviuii (xi , yi)j (xj , yj)m (xm , ym)eujyxo單元節(jié)點(diǎn)位移FmyFmxFjyFiyFixi (xi , yi)j (xj , yj)m (xm , ym)eFjxyxo單元等效節(jié)點(diǎn)力 exieyiexjeeyjexmeymFFFFFFF？回顧回顧單元分析的流程單元分析的流程（1）節(jié)點(diǎn)位移節(jié)點(diǎn)位移內(nèi)部節(jié)點(diǎn)位移內(nèi)部節(jié)點(diǎn)位移vmumvjviuii (xi , yi)j (xj , yj)m (xm , ym)eujyxo解決辦法：插值 (分片插值的提法),0,0,0,0,0,0,iiijmjijmjmmu

4、vN x yN x yN x yu x yuN x yN x yN x yv x yvuv 形函數(shù)形函數(shù)矩陣矩陣回顧回顧1,()2iiiiNx yab xc yA下標(biāo)下標(biāo)i, j, m 輪換輪換ijmmjax yx yijmbyyijmcxx 性質(zhì)：性質(zhì)：其中：其中：（a）Ni (x, y)在在i點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)位移為點(diǎn)的節(jié)點(diǎn)位移為1，其它節(jié)點(diǎn)為，其它節(jié)點(diǎn)為0。（b）單元中任一點(diǎn)各形函數(shù)的和為）單元中任一點(diǎn)各形函數(shù)的和為 1。力學(xué)意義力學(xué)意義：固定：固定 j，m節(jié)點(diǎn)，使節(jié)點(diǎn)，使 i節(jié)點(diǎn)發(fā)生位移節(jié)點(diǎn)發(fā)生位移 1，則單元內(nèi)各點(diǎn)的位，則單元內(nèi)各點(diǎn)的位移場(chǎng)為移場(chǎng)為Ni (x, y)。力學(xué)意義力學(xué)意義：令單元發(fā)

5、生剛體位移：令單元發(fā)生剛體位移u0，則單元內(nèi)各點(diǎn)的位移均為，則單元內(nèi)各點(diǎn)的位移均為u0，即，即00,iijjmmijmu x yNx y uNx y uNx y uNNNuu（2）內(nèi)部節(jié)點(diǎn)位移內(nèi)部節(jié)點(diǎn)位移應(yīng)變應(yīng)變回顧回顧解決辦法：彈性力學(xué)幾何方程 00 xuvyyx euNv 00010002iiijmjijmjiijjmmmmuvbbbucccvAcbcbcbuveBB矩陣稱(chēng)為應(yīng)變矩陣 得得代入代入該單元為常應(yīng)變單元該單元為常應(yīng)變單元（3）應(yīng)變應(yīng)變應(yīng)力應(yīng)力回顧回顧解決辦法：彈性力學(xué)物理方程eB得得代入代入 D eDB eSS矩陣稱(chēng)為應(yīng)力矩陣。 SD B 2101011002ED ijmSSS

6、S 22 (1)1122iiiiiiiibcESDBbcAcb 00010002ijmijmiijjmmbbbBcccAcbcbcb例：對(duì)于平面應(yīng)力問(wèn)題SDB代入代入得得其中其中dddeeepxxyyxyxyxyxySbubvpupvS （4）應(yīng)力等效節(jié)點(diǎn)內(nèi)力回顧回顧解決辦法：?jiǎn)卧胶夥治銎矫鎲?wèn)題虛功原理euNveB eS代入代入得得 ddeeTeTexxyyxyxyBD B 內(nèi)力虛功內(nèi)力虛功外力虛功外力虛功 ddeepeTexyxySbubvpupvSF 外力虛功外力虛功內(nèi)力虛功內(nèi)力虛功 0eeeKF單元?jiǎng)偠确匠虇卧獎(jiǎng)偠确匠?單元?jiǎng)偠确匠虇卧獎(jiǎng)偠确匠探⒘藛卧墓?jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)建立了

7、單元的節(jié)點(diǎn)力與節(jié)點(diǎn)位移之間的關(guān)系，系， 稱(chēng)為稱(chēng)為單元?jiǎng)偠染仃噯卧獎(jiǎng)偠染仃?。它是。它? 66 6矩陣，矩陣，其元素其元素表示該單元的各節(jié)點(diǎn)沿坐標(biāo)方向發(fā)生單位位移時(shí)引起的表示該單元的各節(jié)點(diǎn)沿坐標(biāo)方向發(fā)生單位位移時(shí)引起的節(jié)點(diǎn)力，節(jié)點(diǎn)力，它決定于該單元的形狀、大小、方位和彈性常它決定于該單元的形狀、大小、方位和彈性常數(shù)，而與單元的位置無(wú)關(guān)，即不隨單元或坐標(biāo)軸的平行數(shù)，而與單元的位置無(wú)關(guān)，即不隨單元或坐標(biāo)軸的平行移動(dòng)而改變。移動(dòng)而改變。 eK 0eeeKF一、 單元?jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x及其性質(zhì) 已經(jīng)求出了下列關(guān)系已經(jīng)求出了下列關(guān)系 t ABT t ABDBKTe e eF D B BDS ( (6 6)

8、 )( (3 3) )( (3 3) )( (6 63 3) )( (3 33 3) )( (3 36 6) )( (3 36 6) )( (6 66 6) )一、 單元?jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x及其性質(zhì) 節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系：(以簡(jiǎn)單平面桁架為例)平面問(wèn)題中，離散化的單元組合體極為相似，單元組合體在節(jié)點(diǎn)載荷的作用下，節(jié)點(diǎn)對(duì)單元、單元對(duì)節(jié)點(diǎn)都有作用力與反作用力存在，大小相等方向相反，統(tǒng)稱(chēng)為節(jié)點(diǎn)力。 節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系為單元?jiǎng)偠确匠蹋篈DBPCAP eeeFK一、單元?jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x及其性質(zhì) 單元?jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x： 將將 寫(xiě)成分塊矩陣寫(xiě)成分塊矩陣 寫(xiě)成普通方程寫(xiě)成普通方程 其中其中 表示節(jié)點(diǎn)表

9、示節(jié)點(diǎn)s(s=i,j,m)s(s=i,j,m)產(chǎn)生單位位移時(shí)，在產(chǎn)生單位位移時(shí)，在節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)r(r=i,j,m)r(r=i,j,m)上所需要施加的上所需要施加的節(jié)節(jié)點(diǎn)力的大小。點(diǎn)力的大小。iiiijimijjijjjmjmmimjmmmFKKKFKKK FKKK miiiiijjimimjjiijjjjmmmiimjjmmmFK K K FK K K FK K K eF rsK eF一、 單元?jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x及其性質(zhì) 單元?jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x： 將節(jié)點(diǎn)力列向量將節(jié)點(diǎn)力列向量 與節(jié)點(diǎn)位移列向量與節(jié)點(diǎn)位移列向量 均擴(kuò)展成均擴(kuò)展成(6(61)1)階列矩陣，單元?jiǎng)偠染仃囅鄳?yīng)地展開(kāi)成階列矩陣，單元?jiǎng)偠染仃?/p>

10、相應(yīng)地展開(kāi)成(6(66)6)階方陣：階方陣： 元素元素K K的腳碼，標(biāo)有的腳碼，標(biāo)有“- -”的表示水平方向，沒(méi)有標(biāo)的表示水平方向，沒(méi)有標(biāo)“- -”的表示垂直方向。的表示垂直方向。 eF eiijuvu ixiiiiijijimimiiijimimiyiiijjxjijijjjjjmjmjijjjmjmjyjijjjmimjmmmmmxmimjmmimjmmmmmymimjmKKKKKKFKKKKKKFKKKKKKFKKKKKKFvKKKKKKFuKKKKKKFv 一、 單元?jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x及其性質(zhì) 單元?jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x： 單元?jiǎng)偠染仃嚨母髟氐奈锢硪饬x： 表示節(jié)點(diǎn)s(s=i,j,m)在水

11、平方向、垂直方向產(chǎn)生單位位移時(shí)，在節(jié)點(diǎn)r(r=i,j,m)上分別所要施加的水平節(jié)點(diǎn)力和垂直節(jié)點(diǎn)力的大小。例如 表示節(jié)點(diǎn)j在垂直方向產(chǎn)生單位位移時(shí)，在節(jié)點(diǎn)i所需要施加的水平節(jié)點(diǎn)力的大小。rxrssrsss i, j,mF (KuK v )(ri,j,m)ryrssrssS i, j, mF (K uK v )(ri, j,m)rsrsrsrsK ， K ， K ， KijK一、 單元?jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x及其性質(zhì) 單元?jiǎng)偠染仃嚨男再|(zhì)： 1)1)對(duì)稱(chēng)性：對(duì)稱(chēng)性： 是對(duì)稱(chēng)矩陣是對(duì)稱(chēng)矩陣 2)2)奇異性：奇異性： 是奇異矩陣是奇異矩陣 單元?jiǎng)偠染仃囁衅鏀?shù)行的對(duì)應(yīng)元素之和為零，所有偶數(shù)行的對(duì)應(yīng)元素之和也為

12、零。（力學(xué)含義是什么？） 由此可見(jiàn)，單元?jiǎng)偠染仃嚫髁性氐目偤蜑榱?。由?duì)稱(chēng)性可知，各行元素的總和也為零。 eK eK0Ke一、一、 單元?jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x及其性質(zhì)單元?jiǎng)偠染仃嚨奈锢硪饬x及其性質(zhì) 單元?jiǎng)偠染仃嚨男再|(zhì)： 例題：求下圖所示單元的剛度矩陣，設(shè)例題：求下圖所示單元的剛度矩陣，設(shè)yxaai(a,0)m(0,0)j(0,a)1 1、求、求BB2 2、求求 DD3 3、求求 SS4 4、求求 0 eK 1000101000101011011Ba 5.000010001 ED 1000100001010 0.5 0.5 00.50.5ESa 5.15.15.5.05.5.105.5.110100

13、05.5.05.5.05.5.05.5.00100012EtKe回顧回顧整體離散單元組裝人工節(jié)點(diǎn)人工節(jié)點(diǎn)逼近離散逼近離散vmumvjviuii (xi , yi)j (xj , yj)m (xm , ym)eujyxo單元節(jié)點(diǎn)位移FmyFmxFjyFiyFixi (xi , yi)j (xj , yj)m (xm , ym)eFjxyxo單元等效節(jié)點(diǎn)力單元?jiǎng)偠确匠虇卧獎(jiǎng)偠确匠?0eeeKF二、單元組裝技術(shù)ijmiiii) 1(iVyiPxiP)e (iU )3(iV)3(iU) 1(iU)4(iV)4(iU)e (iV (a)(b)(c)二、單元組裝技術(shù)ijmiiii) 1(iVyiPxiP)

14、e (iU )3(iV)3(iU) 1(iU)4(iV)4(iU)e (iV (a)(b)(c),iiuv以i點(diǎn)為例，利用虛功原理建立平衡方程，設(shè)虛位移各單元i節(jié)點(diǎn)等效內(nèi)力的虛功為:1,3,4eeiiiieUuVv各單元i節(jié)點(diǎn)等效外力的虛功為:xiiyiiPuPvi節(jié)點(diǎn)平衡方程：1,3,4eeiiiieUuVvxiiyiiPuPv二 iiejjmmuvuvuv 0eeeKF由單元?jiǎng)偠确匠蹋簩?duì)每一個(gè)單元，將i節(jié)點(diǎn)虛位移擴(kuò)展到單元全部節(jié)點(diǎn)，如， eeiiuTv 則則Te表示節(jié)點(diǎn)位移提取矩陣表示節(jié)點(diǎn)位移提取矩陣對(duì)對(duì)i節(jié)點(diǎn)，有節(jié)點(diǎn)，有 TT,1:6,eeeeeeixiyix iyeKTP PT Tee

15、eeeeixiiyieeFuFvKT 同理，可建立其它節(jié)點(diǎn)的平衡方程。二對(duì)對(duì)i節(jié)點(diǎn)，有節(jié)點(diǎn)，有 TT,1:6,eeeeeeixiyix iyeKTP PT 將每一個(gè)單元的節(jié)點(diǎn)位移（包括虛位移）擴(kuò)展到全部節(jié)點(diǎn)位移向量，如 eeT則，11iinnuvuvuvTe表示單元節(jié)點(diǎn)位移提取矩陣表示單元節(jié)點(diǎn)位移提取矩陣二對(duì)所有節(jié)點(diǎn)，有對(duì)所有節(jié)點(diǎn)，有 TTTTeeeeTKTP 由虛位移的任意性，整理得由虛位移的任意性，整理得 TTeeeeTKTP TeeeeKTKT總體剛度矩陣總體剛度矩陣總體剛度方程總體剛度方程二 KP總體剛度方程等效節(jié)點(diǎn)外載荷向量。等效節(jié)點(diǎn)外載荷向量。三、 單元等效節(jié)點(diǎn)外載荷向量 連續(xù)彈性

16、體離散為單元組合體時(shí)，為簡(jiǎn)化受力情況，需把彈性體承受的連續(xù)彈性體離散為單元組合體時(shí)，為簡(jiǎn)化受力情況，需把彈性體承受的任意分布的載荷都向節(jié)點(diǎn)移置任意分布的載荷都向節(jié)點(diǎn)移置( (分解分解) )，而成為，而成為節(jié)點(diǎn)載荷節(jié)點(diǎn)載荷。 將載荷移置到節(jié)點(diǎn)上，必須遵循將載荷移置到節(jié)點(diǎn)上，必須遵循靜力等效的原則靜力等效的原則。靜力等效是指原載荷。靜力等效是指原載荷與節(jié)點(diǎn)載荷在任意虛位移上做的與節(jié)點(diǎn)載荷在任意虛位移上做的虛功相等虛功相等。在一定的位移模式下，移置結(jié)果。在一定的位移模式下，移置結(jié)果是唯一的，且總能符合靜力等效原則。是唯一的，且總能符合靜力等效原則。等效公式：等效公式： ddeepeTexyxySbu

17、bvpupvSR 注：?jiǎn)卧吔鐑?nèi)力相互抵消三、 單元等效節(jié)點(diǎn)外載荷向量 在線(xiàn)性位移模式下，對(duì)于常見(jiàn)的一些載荷，可以通過(guò)在線(xiàn)性位移模式下，對(duì)于常見(jiàn)的一些載荷，可以通過(guò)簡(jiǎn)單的虛功計(jì)算，得出所需的載荷列矩陣。簡(jiǎn)單的虛功計(jì)算，得出所需的載荷列矩陣。yjcbxiwlmmyiyjyyjcbxiwlmmxixjx均質(zhì)等厚度的三角形單元所受的重力，把均質(zhì)等厚度的三角形單元所受的重力，把1/31/3的重力移到每個(gè)節(jié)點(diǎn)的重力移到每個(gè)節(jié)點(diǎn)三、 單元等效節(jié)點(diǎn)外載荷向量 例：例：總載荷的總載荷的2/32/3移置到節(jié)點(diǎn)移置到節(jié)點(diǎn)i i，1/31/3移置到節(jié)點(diǎn)移置到節(jié)點(diǎn)j j，與原載荷同向與原載荷同向yxmjipixjxj

18、LiLyxmjiqixjxL三、 單元等效節(jié)點(diǎn)外載荷向量 載荷向節(jié)點(diǎn)的移置，可載荷向節(jié)點(diǎn)的移置，可以用普遍公式來(lái)表示。以用普遍公式來(lái)表示。體力的移置體力的移置分布面力的移置分布面力的移置在線(xiàn)性位移模式下，用在線(xiàn)性位移模式下，用直接計(jì)算法簡(jiǎn)單；非線(xiàn)直接計(jì)算法簡(jiǎn)單；非線(xiàn)性模式下，要用普遍公性模式下，要用普遍公式計(jì)算。式計(jì)算。yxoMpmjimxjxixmyjyiyypxp eTRNp tdxdy eTsRNP tds如圖（如圖（a）所示一高深懸臂梁，在右端部受集中力）所示一高深懸臂梁，在右端部受集中力F作用，材料彈性模作用，材料彈性模量量E、泊松比、泊松比v1/3，懸臂梁的厚度（板厚）為，懸臂梁的厚度（板厚）為t，如圖（，如圖（b）所示有）