第29講 圖形的旋轉(zhuǎn)

1、數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)第29講圖形的旋轉(zhuǎn)第七章圖形的變化課標(biāo)解讀1通過(guò)具體實(shí)例認(rèn)識(shí)平面圖形關(guān)于旋轉(zhuǎn)中心的旋轉(zhuǎn)，探索它的基本性質(zhì)：一個(gè)圖形和它經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)所得到圖形中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心距離相等，兩組對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別與旋轉(zhuǎn)中心連線所成的角相等2了解中心對(duì)稱(chēng)，中心對(duì)稱(chēng)圖形的概念，探索它的基本性質(zhì)：成中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形中，對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線經(jīng)過(guò)對(duì)稱(chēng)中心，且被對(duì)稱(chēng)中心平分3探索線段、平行四邊形、正多邊形、圓的中心對(duì)稱(chēng)性質(zhì)4認(rèn)識(shí)并欣賞自然界和現(xiàn)實(shí)生活中的中心對(duì)稱(chēng)圖形年份題號(hào)題型考查點(diǎn)考查內(nèi)容分值201325(3)解答題圖形的旋轉(zhuǎn)以?xún)蓚€(gè)全等三角形旋轉(zhuǎn)為背景：(3)計(jì)算重疊部分的面積2201117填空題圖形的旋轉(zhuǎn)以等腰直角三角形的旋轉(zhuǎn)為背

2、景，計(jì)算掃過(guò)的陰影部分面積3近幾年山西中考，對(duì)圖形的旋轉(zhuǎn)的考查形式靈活多樣，在填空題中考查三角形或線段旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，在解答題中大多與折疊、相似及探究性問(wèn)題結(jié)合考查，可能會(huì)和平面直角坐標(biāo)系結(jié)合起來(lái)考查相關(guān)知識(shí)而在作圖題中，多以旋轉(zhuǎn)的特殊情況中心對(duì)稱(chēng)為考查重點(diǎn)預(yù)計(jì)2016年會(huì)在解答題中以幾何圖形猜想證明題為背景考查圖形的旋轉(zhuǎn) 1圖形的旋轉(zhuǎn)：(1)定義：把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)O轉(zhuǎn)動(dòng)一定角度的圖形變換叫做_，如果圖形上的點(diǎn)P經(jīng)過(guò)旋轉(zhuǎn)變?yōu)辄c(diǎn)P，那么這兩個(gè)點(diǎn)叫做這個(gè)旋轉(zhuǎn)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)；(2)要素：確定一個(gè)旋轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)的條件是要確定旋轉(zhuǎn)中心、_和旋轉(zhuǎn)角度；(3)性質(zhì)：對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離_；對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的

3、夾角等于_；旋轉(zhuǎn)前、后的圖形_旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)方向相等旋轉(zhuǎn)角全等2中心對(duì)稱(chēng)：(1)定義：把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)_，如果它能夠與_圖形重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān)于這個(gè)點(diǎn)成中心對(duì)稱(chēng)，這個(gè)點(diǎn)叫做_，這兩個(gè)圖形中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)叫做關(guān)于中心的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)；(2)性質(zhì)：關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形，對(duì)稱(chēng)點(diǎn)所連線段都經(jīng)過(guò)_，而且被對(duì)稱(chēng)中心_；關(guān)于中心對(duì)稱(chēng)的兩個(gè)圖形是_180另一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心對(duì)稱(chēng)中心平分全等3中心對(duì)稱(chēng)圖形：(1)定義：把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合，那么這個(gè)圖形叫做_，這個(gè)點(diǎn)就是它的_；(2)常見(jiàn)的中心對(duì)稱(chēng)圖形：平行四邊形、矩形、菱形、正方形、邊數(shù)為偶數(shù)的正多邊形、圓等中心對(duì)稱(chēng)

4、圖形對(duì)稱(chēng)中心1中心對(duì)稱(chēng)與中心對(duì)稱(chēng)圖形的區(qū)別和聯(lián)系區(qū)別：中心對(duì)稱(chēng)是兩個(gè)圖形的位置關(guān)系，必須涉及兩個(gè)圖形，中心對(duì)稱(chēng)圖形是指一個(gè)圖形；中心對(duì)稱(chēng)是指其中一個(gè)圖形沿對(duì)稱(chēng)中心旋轉(zhuǎn)180后，兩個(gè)圖形重合；中心對(duì)稱(chēng)圖形是指該圖形繞對(duì)稱(chēng)中心旋轉(zhuǎn)180，與原圖形重合聯(lián)系：如果把兩個(gè)成中心對(duì)稱(chēng)的圖形拼在一起，看成一個(gè)整體，那么它就是中心對(duì)稱(chēng)圖形；如果把中心對(duì)稱(chēng)圖形看成以對(duì)稱(chēng)中心為分點(diǎn)的兩個(gè)圖形，那么這兩個(gè)圖形成中心對(duì)稱(chēng) 2中心對(duì)稱(chēng)與軸對(duì)稱(chēng)的區(qū)別和聯(lián)系區(qū)別：中心對(duì)稱(chēng)有一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心點(diǎn)；圖形繞中心旋轉(zhuǎn)180，旋轉(zhuǎn)后與另一個(gè)圖形重合軸對(duì)稱(chēng)有一條對(duì)稱(chēng)軸直線圖形沿直線翻折180，翻折后與另一個(gè)圖形重合聯(lián)系：如果一個(gè)軸對(duì)稱(chēng)圖形有

5、兩條互相垂直的對(duì)稱(chēng)軸，那么它必是中心對(duì)稱(chēng)圖形，這兩條對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)就是它的對(duì)稱(chēng)中心，但中心對(duì)稱(chēng)圖形不一定是軸對(duì)稱(chēng)圖形3旋轉(zhuǎn)作圖(1)旋轉(zhuǎn)作圖的依據(jù)是旋轉(zhuǎn)的特征(2)旋轉(zhuǎn)作圖的步驟如下：確定旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角度；確定圖形的關(guān)鍵點(diǎn)(如三角形的三個(gè)頂點(diǎn))，并標(biāo)上相應(yīng)字母；將這些關(guān)鍵點(diǎn)沿旋轉(zhuǎn)方向轉(zhuǎn)動(dòng)一定的角度；按照原圖形的連接方式，順次連接這些對(duì)應(yīng)點(diǎn)，得到旋轉(zhuǎn)后的圖形，寫(xiě)出結(jié)論命題點(diǎn)：用軸對(duì)稱(chēng)、中心對(duì)稱(chēng)設(shè)計(jì)圖案(2012山西)實(shí)踐與操作：如圖是以正方形兩頂點(diǎn)為圓心，邊長(zhǎng)為半徑，畫(huà)兩段相等的圓弧而成的軸對(duì)稱(chēng)圖形，圖是以圖為基本圖案經(jīng)過(guò)圖形變換拼成的一個(gè)中心對(duì)稱(chēng)圖形；(1)請(qǐng)你仿照?qǐng)D，用兩段相等的圓

6、弧(小于或等于半圓)，在圖中重新設(shè)計(jì)一個(gè)不同的軸對(duì)稱(chēng)圖形；(2)以你以圖中所畫(huà)的圖形為基本圖案，經(jīng)過(guò)圖形變換在圖中拼成一個(gè)中心對(duì)稱(chēng)圖形解：(1)在題圖中設(shè)計(jì)出符合題目要求的圖形即可，圖略(2)在題圖中畫(huà)出符合題目要求的圖形即可，圖略(注：此題為開(kāi)放性試題，答案不唯一，只要符合題目要求即可)A識(shí)別中心對(duì)稱(chēng)圖形【例1】(2015杭州)下列圖形是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是( )【點(diǎn)評(píng)】把一個(gè)圖形繞著某一個(gè)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來(lái)的圖形重合，這樣的圖形才是中心對(duì)稱(chēng)圖形 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練1(2015綏化)下列圖案中，既是中心對(duì)稱(chēng)圖形又是軸對(duì)稱(chēng)圖形的個(gè)數(shù)有( )A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)B(2)如圖，A

7、BC中，ABAC1，BAC45，AEF是由ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到的，連接BE，CF相交于點(diǎn)D.求證：BECF；當(dāng)四邊形ACDE為菱形時(shí)，求BD的長(zhǎng)【點(diǎn)評(píng)】(1)抓住旋轉(zhuǎn)中的“變”與“不變”；(2)找準(zhǔn)旋轉(zhuǎn)前后的對(duì)應(yīng)點(diǎn)和對(duì)應(yīng)線段、旋轉(zhuǎn)角等；(3)充分利用旋轉(zhuǎn)過(guò)程中線段、角之間的關(guān)系 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練2(1)(2015吉林)如圖，在RtABC中，ACB90，AC5 cm，BC12 cm，將ABC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60，得到BDE，連接DC交AB于點(diǎn)F，則ACF與BDF的周長(zhǎng)之和為_(kāi)cm.42 (2)(2015日照)如圖，已知，在ABC中，CACB，ACB90，E，F(xiàn)分別是CA，CB邊的三等分點(diǎn)，將

8、ECF繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)角(090)，得到MCN，連接AM，BN.求證：AMBN；當(dāng)MACN時(shí)，試求旋轉(zhuǎn)角的余弦值與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的作圖【例3】(2015昆明)如圖，ABC三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(2，4)，B(1，1)，C(4，3)(1)請(qǐng)畫(huà)出ABC關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的A1B1C1，并寫(xiě)出點(diǎn)A1的坐標(biāo)；(2)請(qǐng)畫(huà)出ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90后的A2BC2；(3)求出(2)中C點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到C2點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑長(zhǎng)(結(jié)果保留根號(hào)和)【點(diǎn)評(píng)】本題考查了利用旋轉(zhuǎn)變換作圖，利用軸對(duì)稱(chēng)變換作圖，熟練掌握網(wǎng)格結(jié)構(gòu)準(zhǔn)確找出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置是解題的關(guān)鍵 對(duì)應(yīng)訓(xùn)練3(2015廈門(mén))在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(3，1)，B(2，0)，C(

9、0，1)，請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出ABC，并畫(huà)出與ABC關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱(chēng)的圖形解：作圖如下：軸對(duì)稱(chēng)、平移、旋轉(zhuǎn)的綜合應(yīng)用【例4】(2015東營(yíng))如圖，兩個(gè)全等的ABC和DFE重疊在一起，固定ABC，將DEF進(jìn)行如下變換：(1)如圖，DEF沿直線CB向右平移(即點(diǎn)F在線段CB上移動(dòng))，連接AF，AD，BD.請(qǐng)直接寫(xiě)出SABC與S四邊形AFBD的關(guān)系；(2)如圖，當(dāng)點(diǎn)F平移到線段BC的中點(diǎn)時(shí)，若四邊形AFBD為正方形，那么ABC應(yīng)滿(mǎn)足什么條件？請(qǐng)給出證明【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正方形的判定以及等腰直角三角形的性質(zhì)等知識(shí)，熟練應(yīng)用正方形的判定方法是解題關(guān)鍵試題如圖，正方形ABCD的頂點(diǎn)A與正三角形AEF的頂點(diǎn)A重合

10、，將AEF繞其頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)BEDF時(shí)，BAE的大小是_錯(cuò)解15解析：正方形ABCD與正三角形AEF的頂點(diǎn)A重合，BEDF，ABAD，AEAF，ABE ADF(SSS)，BAEFAD.EAF60，BAEFAD30，BAEFAD15 15或165剖析正三角形AEF可以在正方形的內(nèi)部也可以在正方形的外部，所以要分兩種情況分別求解正解解：(1)當(dāng)正三角形AEF在正方形ABCD的內(nèi)部時(shí)，如圖，正方形ABCD與正三角形AEF的頂點(diǎn)A重合，BEDF，ABAD，AEAF，ABEADF(SSS)，BAEFAD.EAF60，BAEFAD30，BAEFAD15.(2)當(dāng)正三角形AEF在正方形ABCD

11、的外部時(shí)，如圖，正方形ABCD與正三角形AEF的頂點(diǎn)A重合，BEDF，ABAD，AEAF，ABE ADF(SSS)，BAEFAD，EAF60，2BAEEAF90360，BAE165.故答案為15或1652016年中考預(yù)測(cè)題如圖，在ABC中，ABAC，BAC90，點(diǎn)D，E分別是AB，AC邊的中點(diǎn)，將ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角(0180)，得到ABC.(1)探究DB與EC的數(shù)量關(guān)系，并給予證明；(2)當(dāng)DBAE時(shí)，試求旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)一、選擇題(每小題5分，共25分)1(2015甘南州)下列交通標(biāo)志中，是中心對(duì)稱(chēng)圖形的是( )D2(2015德州)如圖，在ABC中，CAB65，將ABC在平面內(nèi)繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到

12、ABC的位置，使CCAB，則旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為( )A35B40C50D65CB4(2015揚(yáng)州)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B，C，E，在y軸上，RtABC經(jīng)過(guò)變換得到RtODE.若點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0，1)，AC2，則這種變換可以是( )AABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，再向下平移3BABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，再向下平移1CABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，再向下平移1DABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90，再向下平移3AA5(2015寧波)如圖，小明家的住房平面圖呈長(zhǎng)方形，被分割成3個(gè)正方形和2個(gè)長(zhǎng)方形后仍是中心對(duì)稱(chēng)圖形若只知道原住房平面圖長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)，則分割后不用測(cè)量就能知道周長(zhǎng)的圖形的標(biāo)號(hào)為( )A B C

13、D7(2015揚(yáng)州)如圖，已知RtABC中，ACB90，AC6，BC4，將ABC繞直角頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90得到DEC.若點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，連接AF，則AF_ _59(2013蘭州)如圖，量角器的直徑與直角三角板ABC的斜邊AB重合，其中量角器0刻度線的端點(diǎn)N與點(diǎn)A重合，射線CP從CA處出發(fā)沿順時(shí)針?lè)较蛞悦棵?度的速度旋轉(zhuǎn)，CP與量角器的半圓弧交于點(diǎn)E，第24秒，點(diǎn)E在量角器上對(duì)應(yīng)的讀數(shù)是_ _度144三、解答題(共50分)11(8分)(2013溫州)如圖，在方格紙中，ABC的三個(gè)頂點(diǎn)和點(diǎn)P都在小方格的頂點(diǎn)上，按要求畫(huà)一個(gè)三角形，使它的頂點(diǎn)在方格的頂點(diǎn)上(1)將ABC平移，使點(diǎn)P落在平移后的三角

14、形內(nèi)部，在圖甲中畫(huà)出示意圖；(2)以點(diǎn)C為旋轉(zhuǎn)中心，將ABC旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)P落在旋轉(zhuǎn)后的三角形內(nèi)部，在圖乙中畫(huà)出示意圖解：(1)平移后的三角形如圖所示：(2)旋轉(zhuǎn)后的三角形如圖所示：12.(10分)(2014咸寧)如圖，在RtABC中，ACB90，B30，將ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)n度后，得到DEC，點(diǎn)D剛好落在AB邊上(1)求n的值；(2)若點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，判斷四邊形ACFD的形狀，并說(shuō)明理由 解：(1)在RtABC中，ACB90，B30，將ABC繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)n度后，得到DEC，ACDC，A60，ADC是等邊三角形，ACD60，n的值是60(2)四邊形ACFD是菱形；理由：DCE

15、ACB90，點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，F(xiàn)CDFFE，CDFA60，DFC是等邊三角形，DFDCFC，ADC是等邊三角形，ADACDC，ADACFCDF，四邊形ACFD是菱形13(10分)(2013荊州)如圖，是一個(gè)44的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1.請(qǐng)你在網(wǎng)格中以左上角的三角形為基本圖形，通過(guò)平移、對(duì)稱(chēng)或旋轉(zhuǎn)變換，設(shè)計(jì)一個(gè)精美圖案，使其滿(mǎn)足：既是軸對(duì)稱(chēng)圖形，又是以點(diǎn)O為對(duì)稱(chēng)中心的中心對(duì)稱(chēng)圖形；所作圖案用陰影標(biāo)識(shí)，且陰影部分面積為4.解：如圖所示：答案不唯一14(10分)(2015南昌)如圖，正方形ABCD與正方形A1B1C1D1關(guān)于某點(diǎn)中心對(duì)稱(chēng)，已知A，D1，D三點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(0，4)，(0，3)，(0，2)(1)求對(duì)稱(chēng)中心的坐標(biāo)(2)寫(xiě)出頂點(diǎn)B，C，B1，C1的坐標(biāo)解：(1)根據(jù)對(duì)稱(chēng)中心的性質(zhì)，可得對(duì)稱(chēng)中心的坐標(biāo)是D1D的中點(diǎn)，D1，D的坐標(biāo)分別是(0，3)，(0，2)，對(duì)稱(chēng)中心的坐標(biāo)是(0，2.5)(2