有限元絕密講義1

1、第1章 桿件結(jié)構(gòu)1.1 直梁左端A簡支，右端D固定，B處承受集中力F、彎距M作用，求其撓度？（矩陣位移法）分析步驟：Step 1、離散化、離散化梁的特征？將結(jié)構(gòu)自然分為三段：AB、BC、CD。每一段內(nèi)部有相同的幾何尺寸、無外載，可視作一個單位體（單元），各段內(nèi)部特性（材料、幾何）可與其他單元相互獨立。各段之間的交界截面可看作單元之間的連接節(jié)點，兩端支座A、D也可以看作節(jié)點。 梁單元就轉(zhuǎn)化為下圖所示的計算模型。含有3個單元，4個節(jié)點（注意要分別編號，不重復）節(jié)點(node)：單元之間的連接，本身是虛構(gòu)的，而結(jié)構(gòu)是連續(xù)的，采用“結(jié)”或 “節(jié)”無實質(zhì)區(qū)別?！敖Y(jié)”強調(diào)了單元之間的連接，而“節(jié)”則有所淡

2、化，有虛擬之意。-文人嚼字 Step 2：節(jié)點位移描述：節(jié)點位移描述理論力學：空間任一物體有三個方向的運動，三個方向的轉(zhuǎn)動，即有6個位移量；平面上任一物體則有二個位移和一個轉(zhuǎn)動。對于平面內(nèi)變形的梁，為簡化起見，引入材料力學的平面假設(shè)：梁任一截面(節(jié)點)的變形只需中性面位移及其繞中性面的轉(zhuǎn)角就可確定。梁受橫向載發(fā)生變形時，各截面的位移只含截面中性軸處的撓度及其截面的轉(zhuǎn)角，無軸向位移。 任一節(jié)點 處的位移為 、 。換言之，任一節(jié)點 有兩個自由度。規(guī)定 向上為正， 逆時針為正。 記： 節(jié)點的位移為 ，iifiiiifi i iiif對應于節(jié)點位移，有相應的節(jié)點載荷，也成為廣義力：若梁離散有n個節(jié)點，

3、則對應有2n個節(jié)點位移、載荷分量。全部節(jié)點位移記為 、全部節(jié)點載荷記為 ： iiiFQM Q 1122,.,Tnnfff 1122,.,TnnQF MF MF MStep 3：單元彈性特征：單元彈性特征當建立了 與 的定量關(guān)系后，對于任一 就有對應的 ，則問題就可以求解。對任一單元e，建立節(jié)點位移與截面節(jié)點力之間的關(guān)系。 Q Q e單元的節(jié)點位移 ，單元變形時，節(jié)點 和 處應受到力的作用，有節(jié)點力 。 注意：注意：節(jié)點力與截面載荷意義不相同！節(jié)點力指單元截面處的內(nèi)力，為材料力學中的切向力和彎距。節(jié)點載荷為梁結(jié)構(gòu)在節(jié)點處受到的外載荷。節(jié)點力與節(jié)點載荷的正向取為一致。與材料力學中的符號規(guī)定有異 ：

4、 ,Tiijjffij ,Teiijjpq m q m在線性彈性，小變形條件下，存在線性關(guān)系： （1.1)(1.2)11121314212223243132333441424344iiiijjjjqfaaaamaaaaqfaaaamaaaa eeepk 代表了力與位移的關(guān)系，為一特定的物理意義，仿彈簧變形規(guī)律，可定義為剛度矩陣。 存在另一種表達式：（1.3)稱為柔度矩陣 本步的工作就是要給出 的具體表達式。為規(guī)范化編制程序，對梁單元的節(jié)點位移、節(jié)點力另外編號： ek eeeRp eR ek 1234Teuuuu 1234Tepssss則（1.1式）變換為：1112131411212223242

5、231323334334142434444aaaasuaaaasuaaaasuaaaasu（e）4S2S3SjS1i取單元長度，彈性模量、截面慣性矩分別討論如下： 設(shè) 、 ，其物理意義相當于懸臂梁的變形：11u 參考材料力學中梁的變形公式： 從（1.4）式中，可以得到一個聯(lián)立方程（關(guān)于 、 ），1s2s32121132sls luEJEJ 212202sls luEJEJ42432322212124143132121111uauauauasuauauauas聯(lián)立上述二方程組求解 （注意： 與變形定義有負號之差 ）最后求得：EJlsEJlsas232231111EJlsEJlsas2322312

6、122s221311612lEJalEJa由單元的力矩平衡方程：這樣，由 、其余等于0時，可以導出中 第一列的元素。 13ss33112lEJa214slss2416lEJa11u ek 設(shè) （1弧度），其物理意義如下圖，相當于左簡支和右懸臂。同樣由梁的變形及平衡方程可以得到： 12u0432uuu232126lEJaalEJa422lEJa242 反過來，分別設(shè)： ；對應于左端固支的懸臂梁。同樣可以得出， 中的第三列、第四列元素。最后得到具有普遍意義的單元剛度矩陣：（1.5) 13u0421uuu14u0421uuu ek 2222346266126122646612612lllllllll

7、llllEJke 回顧一下 元素的求解過程，任一元素都是在 狀態(tài)下求出的， 對應于一個變形剛度。整個矩陣 的物理意義就對應為一個剛度矩陣。 ，當節(jié)點 i 取單位位移，而其他節(jié)點位移為零時，對應于節(jié)點 i 的節(jié)點力。 通常約定：通常約定：單元的位移、節(jié)點力、剛度矩陣均按節(jié)點分組；對每一節(jié)點的位移，節(jié)點力分量，再按 順序排列。其剛度矩陣節(jié)點子塊則對應各分量排列。 ekjijiuas ija ekijazyxzyxuuu,Step4： 單元的組合單元的組合上一步中，我們導出了任一單元的剛度矩陣，從而確定了單元內(nèi)部的節(jié)點力，節(jié)點位移之間的定量關(guān)系。下面討論單元1、2之間的關(guān)系：將單元1、2分解為：單元

8、1，獨立節(jié)點2，單元2三部分，單元之間不直接聯(lián)系，通過獨立節(jié)點聯(lián)系。 分別表示單元1的節(jié)點2上的節(jié)點力、力矩；余類推。 q223（2）m2222qq2112m（1）11212,mq單元剛度方程： 單元1： （1.6a） 單元2： （1.6b）121122211211121kkkkpp232233322322232kkkkpp梁在靜平衡狀態(tài)下，節(jié)點2的節(jié)點力由兩部分組成：單元1的2節(jié)點上的反作用力、單元2的2節(jié)點上的反作用力，則，獨立節(jié)點2處于平衡狀態(tài)條件為： 或（1.6c)由（1.6a）（1.6b）得： 2212222122mmmqqq 22122ppQ 121221112112kkp 232

9、232222222kkp注意：對于節(jié)點2，其位移是唯一的，否則各單元間的變形不連續(xù)，代入式（1.6c）：（1.6d）同樣地，在單元2與單元3的連接，由力平衡關(guān)系得：（1.6e) 22212 3223222212211212kkkkQ 4334333323322323kkkkQ對于節(jié)點1、4，分別只有一個單元獨有：(1.6f)(1.6g)將（1.6d）（1.6g）合并： (1.7) 434433434kkQ 211211111kkQ43213443433343332332322232221221211121114321000000kkkkkkkkkkkkQQQQ單元組合規(guī)律：單元組合規(guī)律：從（1

10、.7）式，單元的組合即為剛度矩陣疊加的過程，只需把具有相同下標的剛陣元素（多為子矩陣）相加在一起。改寫為：（1.8) KQ 、 、 分別稱為總節(jié)點力（載荷）列陣、總剛度矩陣，總位移列陣。矩陣，列陣的維數(shù)： 一般情況下，結(jié)構(gòu)若含n個節(jié)點，則（1.8）含有2n個方程，即為結(jié)構(gòu)分析矩陣位移法的基本方程（力平衡方程）。由所離散的全部單元剛度矩陣疊加而成。 Q K 18Q 88K 18 K單元剛度矩陣的特性：單元剛度矩陣的特性：a)、單元剛度矩陣為對稱矩陣；b)、單剛元素表示單元發(fā)生某種單位節(jié)點位移時所對應的節(jié)點力，反映出單元抵抗這種變形的能力剛度；c)、對角元素總為正值d)、奇異性，其行列式為零，物理

11、意義代表單元有剛體運動存在。 總體剛度矩陣的特性：總體剛度矩陣的特性：a)、結(jié)構(gòu)總體剛度矩陣為對稱矩陣；b)、稀疏、呈帶狀分布，非零元素集中在對角線附近；c)、總剛矩陣表示結(jié)構(gòu)發(fā)生某種單位節(jié)點位移時所對應的節(jié)點載荷，反映結(jié)構(gòu)整體的剛度，代表了各單元剛度之總體效應。d)、對角元素總為正值e)、奇異性，其行列式為零，物理意義代表結(jié)構(gòu)有剛體運動存在，存在整體漂移。 Step 5： 建立定解建立定解（1.8）式不能直接求解？源于總剛的奇異性。結(jié)構(gòu)存在剛體運動，為一類任意的、結(jié)構(gòu)不發(fā)生變形的剛體漂移。 根據(jù)邊界的約束條件，確定出相應的節(jié)點已知位移； 代入方程組中，化解降階，消除總剛的奇異性； 最后求解新

12、方程組。（1.9）上式即為初始形態(tài)的有限元方程 QK討論：討論：A、上述有限元方程是在力系平衡條件下建立，力的平衡條件自動滿足；導出單元剛度時，引入了材料力學中的力與變形的關(guān)系，也就是物理關(guān)系滿足：力與變形中涉及到單元內(nèi)的幾何關(guān)系，同時單元節(jié)點的位移相同，保證了變形的協(xié)調(diào)性；這樣彈性理論中的三個基本方程：力平衡、幾何、物理，均已近似滿足！B：在單元剛度建立過程中，我們根據(jù)材料力學結(jié)果直接導出單元剛度元素值，未引入新的理論與假設(shè)，是否存在問題或不足？ 簡要、明確地闡述了建立有限元方程的一種原始模式，但是流程具有共通性。C：在單元剛度矩陣的推導中，我們均未涉及結(jié)構(gòu)載荷、邊界條件等； 在有集中載荷作

13、用處，我們直接取為節(jié)點，集中載荷均轉(zhuǎn)化為節(jié)點載荷； 若是梁的一段上承受均布或者其他形式的連續(xù)分布載荷，怎么處理？等效節(jié)點載荷：從力的平衡等效原理出發(fā)，將連續(xù)分布載荷等效變更為節(jié)點載荷。根據(jù)圣維南原理，只是梁的局部受影響較大，而遠離區(qū)域幾乎不受影響。1.2 平面剛架平面剛架：意指平面內(nèi)的一種桿件（梁）組合結(jié)構(gòu)，在平面內(nèi)承受載荷、變形也發(fā)生于平面內(nèi)。這種桿件相當于一種細長梁，長度方向遠大于其界面尺寸。Step1：離散化：離散化結(jié)構(gòu)中的每一個桿件可作為一個單元，各桿件的交點作為節(jié)點，共26單元、13節(jié)點。注意：平面剛架中的截面載荷一般都作用在節(jié)點處。Step2：節(jié)點位移描述：節(jié)點位移描述平面剛架中，

14、載荷的方向不再與梁的截面平行（即與梁的縱向不再垂直），梁不再只是一種彎曲變形，還包含有軸向拉伸、壓縮變形。與直梁單元相似，需要對各單元的每一節(jié)點的位移作描述，為簡化起見，在單元內(nèi)引入局部坐標系 、 。,x,y對任一節(jié)點 ，在局部坐標系中有三個位移分量：縱向位移、橫向位移、截面轉(zhuǎn)角；亦有相應的載荷分量：縱向力、垂向力、彎矩：而在整體坐標系中節(jié)點 有三個位移分量：水平位移、水平位移、轉(zhuǎn)角；亦有相應的載荷分量：水平力、垂向力、力矩。 i Tiiiivu, TiiiiMYXQ, Tiiiif,i TiiiimqTQ,由于各桿件的分布方向不一致，各局部坐標系紊亂，不利于公共節(jié)點處力平衡關(guān)系的建立。需引入

15、統(tǒng)一坐標系描述剛架的變形，將局部坐標系轉(zhuǎn)換到總體坐標系，相應的位移、節(jié)點力也需作變換。Step3：單元剛度矩陣：單元剛度矩陣單元的位移、節(jié)點力在局部坐標系中可表述為： Tjjjiiieff, TjjjiiiemqTmqTQ,注意：軸向變形 只與軸向力 相關(guān)，而與橫向力、彎矩 無關(guān)；同樣地撓度 、轉(zhuǎn)角 只與 相關(guān)，而與軸向力 無關(guān)。也就是說，桿的軸向變形與彎曲變形相互獨立！單元的剛度矩陣即可簡單分離為軸向、彎曲兩部分剛度。分別討論如下：假定：桿截面積為 ，截面慣性矩 ，彈性模量 ,單元長度 。fTmq,mq,TAJElI 彎曲變形部分彎曲變形部分節(jié)點力與節(jié)點位移之關(guān)系與1.1節(jié)中的直梁變形一致。

16、(1.10)其中，（1.5) jjiibjjiiffKmqmq 2222346266126122646612612lllllllllllllEJKb 軸向變形軸向變形彈性范圍內(nèi)，節(jié)點力與節(jié)點位移存在線性關(guān)系：（1.11)表示桿件的軸向變形特性，為拉伸剛度: jisjiKTT sKsjjsjisijsiieskkkkK同樣地，采用與1.1節(jié)確定彎曲剛度矩陣元素的相同方法，可以直接定 。令 時，由桿件的拉伸理論：由 令 時，則：（1.12) sK0, 1jilEAkTsiii0jiTTlEAkTsjij1, 0jilEAkTsjjjlEAkTsiji 1111lEAKs分別將（1.5）代入（1.1

17、0）、（1.12）代入（1.11），再按節(jié)點分塊合并（1.10）、（1.11），有：（1.13)其中, TiiiimqTQ Tiiiif bijsijijkkk00 ejjjiijiiekkkkK eeeKQ jie jieQQQ(1.14) lEJlEJlEJlEJlEJlEJlEJlEJlEAlEAlEJlEJlEJlEJlEJlEJlEJlEJlEAlEAKe460260612061200000260460612061200000222323222323通過上面的步驟，我們導出了平面內(nèi)任一梁單元局部坐標下的剛度矩陣。上述單元剛度矩陣推導中，立足于局部坐標系，使得單元的剛度、節(jié)點力、節(jié)點位

18、移描述具有通用性，物理意義清晰； 對多單元結(jié)構(gòu)系統(tǒng)就出現(xiàn)了問題：局部坐標系多而亂，單元之間的耦合無基準可依，難以建立結(jié)構(gòu)系統(tǒng)的節(jié)點力節(jié)點位移關(guān)系。在節(jié)點位移描述（Step2）中，我們提出了需要建立總體坐標系，以使統(tǒng)一描述整體結(jié)構(gòu)的變形。 Step 4：坐標變換：坐標變換設(shè)任一單元的局部坐標系與整體坐標系存在一相對角位移，討論節(jié)點的變化： 節(jié)點 在局部坐標系中的位移為： 在整體坐標系中的位移為：由幾何關(guān)系，而在兩個坐標系中， 均采用右手法則定義，相同無變化。兩組位移的變換關(guān)系（幾何）可由矩陣形式表示。 Tiiiifi Tiiiivusincosiiivucossiniiivufi（1.15a）定

19、義方向余弦矩陣：（1.15b）（1.15c）iiiiiivuf1000cossin0sincos 1000cossin0sincos ii對節(jié)點 ，同樣有相同的表達式，合并為：記為， （1.16） （1.15c）即為單元局部位移與總體位移的變換關(guān)系。其中 為坐標變換矩陣，（1.15d） jjiji00 eT 00eT eeeT問題：上面只考慮了局部與整體系原點相同，存在相對轉(zhuǎn)動時，位移之間存在坐標變換關(guān)系。那么，原點不一致，即坐標系有平行移動時，對節(jié)點位移的描述有無變化？局部系到總體系的變換，勿需考慮坐標系的相對平移，只需考慮相對轉(zhuǎn)動 ！仿上述方式 ，同樣可導出兩坐標系中節(jié)點力的變換關(guān)系：(1

20、.17)反觀局部系中的節(jié)點力節(jié)點位移關(guān)系（1.13）式，即將(1.16)、(1.17) 式代入： eeeQTQ eeekQ eeeeTkQT兩端同乘以 （注: 為非奇異矩陣，存在唯一的逆矩陣）自然地， 為單位矩陣！ 則令 （1.18)（1.19) 1eT eT eeeeeeTkTQTT11 eeTT1 eeeeTkTQ1 eeeTkTk1 eekQ (1.19)式即是總體坐標系中單元節(jié)點的力和位移之間的表述形式， (1.18)式則表示了局部坐標系的單元剛度到總體坐標系的變換關(guān)系 。注意：這是一種相似變換（線性代數(shù)中的相似變換定義），可以進一步證明亦為正交變換。證明：由于力做功與坐標系無關(guān)，即在

21、局部坐標系或總體系中，單元節(jié)點力在節(jié)點位移上所做功應相等： 比較之，而 則， 為一正交矩陣，即 QQTT QTTT QTTTT ITTT ITT1 T 1 TTT（1.18）式即可改寫為：(1.20)經(jīng)過正交變換后，因 對稱， 亦為對稱矩陣 。經(jīng)坐標變換后，單元剛度矩陣的對稱性不變，結(jié)構(gòu)的總體剛度矩陣也將保持其對稱性。依據(jù)上述變換，對任一種單元，可建立其特定局部系的單元剛度矩陣，具有通用表達式（就可以形成單元庫）；而在整體結(jié)構(gòu)中，只需對逐一單元的剛度矩陣進行坐標變換，就能實現(xiàn)單元的組合疊加；各通用程序出于規(guī)范、簡化之目的，均采用這種模式。 eTeeTkTk ek ekStep 5： 整體剛度矩

22、陣整體剛度矩陣各單元的疊加與1.1節(jié)中直梁單元剛度疊加方式一致?；驹瓌t：與任一節(jié)點相連的各單元，在此節(jié)點處的位移均相同，這些單元對該節(jié)點的節(jié)點力貢獻之和（即節(jié)點力）與節(jié)點處的外載荷是平衡的。整體剛度由單元剛度按節(jié)點編號分塊疊加而成：（1.21）上式(1.21)僅為一符號！單元剛度組積（疊加）中：一般按單元編號逐個計算其剛度，先變換到總體坐標系中，再按照總節(jié)點編號的節(jié)點，疊加在對應的剛度元素上。 meekK1根據(jù)單元節(jié)點號的設(shè)置，一個單元內(nèi)的節(jié)點總編號的數(shù)值之差，就能確定出結(jié)構(gòu)整體剛度矩陣的帶寬大小，若半帶寬為 ，某一單元有節(jié)點編號數(shù)值差 ，每一節(jié)點的位移分量數(shù)（自由度）為 ，則總剛的半帶寬

23、。帶寬越大，對總剛 的有效數(shù)值的存儲量就越大；求解有限元方程時，計算量就越大，求解效率越低，一般按3次方形式增加；尤其是自編程序，手工離散結(jié)構(gòu)時，需特別重視。整體剛度矩陣仍然具有對稱、稀疏、帶狀、奇異等特性。 BDm1DmB K整體剛度流程圖： 否e K + K eTe T k T eee結(jié) 束e = m K 計 算 ： K 計 算 ： k , T 輸 入 ： 滿 足 e 單 元 的 E , J , A , l , i , j , 參 數(shù)Step 6： 建立定解建立定解引入位移邊界條件，消除結(jié)構(gòu)的漂移（即剛體運動），對方程組降階，整體結(jié)構(gòu)的有限元方程具有下列形式：（1.22） KQ 1.3 空

24、間桿結(jié)構(gòu)空間桿結(jié)構(gòu)空間結(jié)構(gòu)具有普遍性意義，其求解步驟與直梁，平面剛架的相同。只是節(jié)點位移描述、單元剛度方面復雜了。Step1： 離散化離散化 Step2： 節(jié)點位移描述節(jié)點位移描述節(jié)點 位移變形分量： 軸向位移 ，兩個平面內(nèi)彎曲位移（撓度） 、 ，（分別對應 軸， 軸）； 桿件的扭轉(zhuǎn) （截面繞 軸轉(zhuǎn)動）； 截面繞 、 軸的轉(zhuǎn)動 、 。簡言之：三個位移，三個轉(zhuǎn)動。 一個節(jié)點含有6位移分量（自由度），記為：方向：線位移：沿坐標軸 向為正；角位移：右手螺旋指向與坐標軸正向相同為正。 iiuiviwyzxixyzyizi Tziyixiiiiiwvu單元節(jié)點位移 ：這樣，每一單元具有12個位移分量（自

25、由度）。對節(jié)點力，同樣有：所有這些變形之間是否存在關(guān)聯(lián)性？也就是說節(jié)點力的分量與變形分量之間如何對應？ ejie ejieQQQa)、單元的軸向節(jié)點力，不產(chǎn)生彎曲、扭轉(zhuǎn)變形， 即 與 、 、 、 、 無關(guān)；b)、單元的扭轉(zhuǎn)，不產(chǎn)生軸向及彎曲變形， 即 與其它位移分量無關(guān)，是獨立的；c)、各平面的彎曲變形是獨立的， 即 與 是相互獨立的。注意： 與 配對，在 平面內(nèi)變形、彎曲； 與 匹配，在 平面內(nèi)變形、彎曲。iuiviwxiyizixiziiv,yiiw,ivziyoxiwyizoxStep3： 單元剛度單元剛度軸向節(jié)點力與位移的關(guān)系，與1.2節(jié)中相同，(1.23) (1.24) 在 平面內(nèi)，

26、節(jié)點力與節(jié)點位移之關(guān)系，與（1.5）式相同， yox 1111lEAkesejiejiuulEATT1111(1.25)在 平面內(nèi)，節(jié)點力與位移之關(guān)系與上式相似， (1.26) zjjziizzzzzzzzzzzjyjziyivvlEJlEJlEJlEJlEJlEJlEJlEJlEJlEJmqmq46261261246122232323zoxyjjyiiyyyyyyyyyyyjzjyiziwwlEJlEJlEJlEJlEJlEJlEJlEJlEJlEJmqmq46261261246122232323下面分析扭轉(zhuǎn)變形，設(shè)剪切模量為 ，截面極慣性矩為 ，桿長 。與1.2節(jié)中的推導相似，由扭矩扭轉(zhuǎn)角

27、關(guān)系，可以導出：(1.27)當單元節(jié)點位移為：節(jié)點力相應有： Gl xjxiTxjxiTjjjiijiiexjxiKkkkkmm Tzjyjxjjjjziyixiiiiewvuwvu TziyixiziyijziyixiziyiiemmmqqTmmmqqTQJ 1111lGJKT將（1.221.25）四組方程組合起來（按節(jié)點位移、節(jié)點力順序）我們就可求得局部坐標系中的空間桿單元的剛度矩陣：(1.28)(1.29) eeekQlEJlEJlEJlEJlEJlEJlEJlEJlGJlGJlEJlEJlEJlEJlEJlEJlEAlEAlEJlEJlEJlEJlGJlEJlEJlEAzzzzyyyy

28、Yyyzzzzzyyyz40006020006040600020600000000001200060120012060001200000040006040600000120012022223233232233Step4： 坐標變換坐標變換在總體坐標系中，節(jié)點 的位移有相似排序：在小變形條件下，局部坐標到總體坐標系的變換：(1.30) 上式為彈性力學中的坐標變換公式，將之退化為二維，可取 軸 軸重合，二軸夾角為 ，有： （1.15b)i Tziyixiiiiiwvu ),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(),cos(zzyzxzzyyyx

29、yzxyxxxzz 1000cossin0sincos局部坐標系下的節(jié)點位移與總體坐標系下的節(jié)點位移實質(zhì)上相當于坐標軸系的變換，可直接表述為：單元節(jié)點位移的變換關(guān)系為： (1.31) iiiiiiwvuwvu ziyixiziyixi 1212eT eeeT空間結(jié)構(gòu)中的單元剛度變換形式為： 為12*12方陣。同樣可以證明： 為正交矩陣， 經(jīng)正交變換后仍為對稱矩陣。 eeTeeTkTk ek eT ekStep5： 整體剛度整體剛度同樣地，先將單元的剛度從局部系變換到總體系，再按節(jié)點塊形式組積成結(jié)構(gòu)整體剛度。步驟與1.2節(jié)平面剛架問題相似。Step6： 建立定解建立定解注意：前面我們介紹了從直梁

30、、平面、到空間桿件結(jié)構(gòu)分析的矩陣位移法，但并非現(xiàn)在通常意義的有限元方法。其分析方法、表達方式、流程、及一些概念都與有限元法有密切的關(guān)聯(lián)（正如一開始我們提到的，可理解為最原始的有限元方法）。采用材料力學梁理論，直接建立梁的剛度矩陣和相應的載荷位移方程，即原始形態(tài)的有限元方程。 主要差異在于單元剛度矩陣的建立。 1.4 桿件結(jié)構(gòu)的有限單元法（初級）桿件結(jié)構(gòu)的有限單元法（初級）以平面梁單元為例，結(jié)合材料力學中的基本假定（注意不是依賴和采用材料力學結(jié)果!），討論梁單元的剛度矩陣。 、對任一梁單元e，仍在局部系中討論。 節(jié)點 的位移為：單元的節(jié)點位移為：i Tiiiivu jie、位移函數(shù)軸向變形u：梁

31、單元內(nèi)的軸向變形與其彎曲、轉(zhuǎn)角均無關(guān)聯(lián)；由于單元內(nèi)無外載荷，其軸向應變?yōu)槌Ａ浚?于是，可以假定位移模式： (1.32)矩陣形式： cdxduxaau10 axhaaxu101 xxh1橫向變形（撓度）v：由小變形，梁的轉(zhuǎn)角 ；彎曲應變 ；在節(jié)點力 作用下，梁單元內(nèi)的彎曲應力（應變）沿單元長度線性變化，于是 沿單元長度變化，即 ，可以假定位移模式： (1.33)dxdv22dxvdiq22dxvdxccdxvd1022332210 xbxbxbbv寫成矩陣形式：為位移模式的待定系數(shù)。 、轉(zhuǎn)化待定系數(shù)為節(jié)點位移和坐標表示節(jié)點坐標記為： bxHbbbbxxxv3210321 321xxxxH ba

32、,)0 ,(),0 , 0(lji軸向節(jié)點位移記為：撓度、轉(zhuǎn)角記為： 節(jié)點軸向位移和坐標代入（1.32），得到： jiuuu Tjjiivvvlaauauji100 aAaalu110101 uAa11 llA110111節(jié)點撓度、轉(zhuǎn)角和坐標代入（1.33），得到：于是，0bvi1bdxdvii332210lblblbbvj232132lblbbj bAbbbblllllv232102323210100100001 vAb12232322121212132300100001llllllllA位移模式分別可表示為：記： （1.34） 上式稱為形函數(shù)，關(guān)于節(jié)點位移為未知量的單元位移模式可以記為：

33、（1.35）vu, uAxhaxhu11 vAxHv12 1211AxHNAxhNvu vNvuNuvu綜合上述，位移模式改寫為矩陣形式：（1.36）式中， eevuNAxHxHvuf 3201000001xxxxHxxHvu 232322120120130230001001000100000010000001llllllllllA、用節(jié)點位移表示應變、應力梁單元受到拉壓、彎曲作用，變形后有拉壓應變 ，彎曲應變 ，且隨截面高度變化（設(shè)反對稱變化），忽略剪切影響。 記：則：(1.37) 稱為應變矩陣0b evubAxHyxHdxvdydxdu 220 AxHyxHBvu eB B由Hooke定律

34、，應力 ，得到：(1.38) 問題：如何建立力載荷和位移之間的關(guān)系？前述假定力與位移服從彈性規(guī)律，借助于材料力學結(jié)果導出單元剛度特性；力與位移之間的聯(lián)系？ E ebBEE0、由虛位移原理導出單元剛度矩陣虛位移原理：在外力作用下處于平衡狀態(tài)的彈性體，當發(fā)生約束所允許的任意微小虛位移時，外力在虛位移上所作功等于彈性體內(nèi)的應力在相應的虛應變上所作的功。假定單元內(nèi)存在虛位移 ，由（1.36）式，可用節(jié)點虛位移表征單元內(nèi)任意節(jié)點的虛位移， （1.39a）單元內(nèi)相應有虛應變，（1.39b） f eNf eB由彈性理論，梁單元內(nèi)應力由于虛應變所作虛功為：(1.39c) 單元節(jié)點力記為： 為任意性，再考慮單元

35、沿軸線作用有分布載 、節(jié)點處有集中載 ，單元外力在虛位移所作的虛功為：(1.39d) dUTe eTTedBBE TjjjiiiemqTmqTQ q eTeTeFdxqfW eTTeFdxqN eF由虛位移原理 ，從(1.39c)、(1.39d)式，（1.39e）再由假定虛位移的任意性 ， 兩邊可同時消去項 ，則，令 (1.40) (1.41)為單元等效節(jié)點載荷、為單元的剛度矩陣 。eeWU 0e Te eTeTFdxqNdBBE eTeFdxqNQ eQ ek dBBEkTe梁單元的有限元方程 ：(1.42)對（1.41）式作一系列積分運算，即可得到與1.2節(jié)中的 相同的表達式：(1.43) eeeQk ek lEJlEJlEJlEJlEJlEJlEJlEAlEAlEJlEJlEJlEAk4602601206120004601202232323、等效節(jié)點力計算 為單元節(jié)點載荷（集中載），分布載荷 通過形函數(shù)等效到節(jié)點上，形成等效節(jié)點載荷 ： 討論： A：若 為分布軸向力，其對應的軸向位移的形函數(shù)矩陣為 ，節(jié)點等效載荷： eeeTeFQFdxqNQ q eQ dxqNQTe eF