牛頓萊布尼茨微積分參考模板

1、牛頓與萊布尼茲創(chuàng)立微積分之解析摘要:文章主要探討了牛頓和萊布尼茲所處的時代背景以及他們的哲學(xué)思想對其創(chuàng)立廣泛地應(yīng)用于自然科學(xué)的各個領(lǐng)域的基本數(shù)學(xué)工具微積分的影響。 關(guān)鍵詞:牛頓;萊布尼茲;微積分;哲學(xué)思想 今天,微積分已成為基本的數(shù)學(xué)工具而被廣泛地應(yīng)用于自然科學(xué)的各個領(lǐng)域。恩格斯說過:“在一切理論成就中,未有象十七世紀(jì)下半葉微積分的發(fā)明那樣被看作人類精神的最高勝利了,如果在某個地方我們看到人類精神的純粹的和唯一的功績,那就正是在這里?！?(p.244)本文試從牛頓、萊布尼茲創(chuàng)立“被看作人類精神的最高勝利”的微積分的時代背景及哲學(xué)思想對其展開剖析。 一、牛頓所處的時代背景及其哲學(xué)思想 “牛頓(I

2、saacNewton,1642-1727)1642年生于英格蘭。,1661年,入英國劍橋大學(xué),1665年,倫敦流行鼠疫,牛頓回到鄉(xiāng)間,終日思考各種問題,運(yùn)用他的智慧和數(shù)年來獲得的知識,發(fā)明了流數(shù)術(shù)(微積分)、萬有引力和光的分析。”2(p.155) 1665年5月20日,牛頓的手稿中開始有“流數(shù)術(shù)”的記載。流數(shù)的介紹和用運(yùn)動解決問題等論文中介紹了流數(shù)(微分)和積分,以及解流數(shù)方程的方法與積分表。1669年,牛頓在他的朋友中散發(fā)了題為運(yùn)用無窮多項方程的分析學(xué)的小冊子,在這里,牛頓不僅給出了求一個變量對于另一個變量的瞬時變化率的普遍方法,而且證明了面積可以由求變化率的逆過程得到。因為面積也是用無窮小

3、面積的和來表示從而獲得的。所以牛頓證明了這樣的和能由求變化率的逆過程得到(更精確地說,和的極限能夠由反微分得到),這個事實就是我們現(xiàn)在所講的微積分基本定理。這里“,牛頓使用的是無窮小方法,把變量的無限小增量叫做“瞬”,瞬是無窮小量,是不可分量,或是微元,牛頓通過舍棄“瞬”求得變化率?！?(p.199)1671年牛頓將他關(guān)于微積分研究的成果整理成流數(shù)法和無窮級數(shù)(1736),在這里,他認(rèn)為變量是連續(xù)運(yùn)動產(chǎn)生的,他把變量叫做流,變量的變化率叫做流數(shù)。牛頓更清楚地陳述了微積分的基本問題:已知兩個流之間的關(guān)系,求它們流數(shù)之間的關(guān)系,以及它的逆問題。流數(shù)法和無窮級數(shù)是一部較完整的微積分著作。書的后半部分

4、通過20個問題廣泛地介紹了流數(shù)法各無窮級數(shù)的應(yīng)用。1676年,牛頓寫出了求曲邊形的面積(1704),在這里,牛頓的微積分思想發(fā)生了重大變化,他放棄了微元或無窮小量,而采用了最初比和最后比的方法。 1687年牛頓發(fā)表了它的劃時代的科學(xué)名著自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理,流數(shù)術(shù)(即微積分)是其三大發(fā)現(xiàn)之一。正如愛因斯坦所說的:“牛頓啊你所發(fā)現(xiàn)的道路在你的那個時代是一位具有最高思維能力和創(chuàng)造能力的人所發(fā)現(xiàn)的唯一道路,你所創(chuàng)造的概念即使在今天仍然指導(dǎo)著我們的物理學(xué)思想”。4(p.192) 牛頓生活的時代正是英國發(fā)生變化的時代,當(dāng)時英國發(fā)生了國內(nèi)戰(zhàn)爭,資產(chǎn)階級和貴族的階級妥協(xié),使英國資產(chǎn)階級革命明顯的帶上了不徹底性

5、。當(dāng)時的英國資產(chǎn)階級正在為現(xiàn)存的剝削階級的一切上層建筑做永恒存在的論證,因此絕對化的思想成為占統(tǒng)治地位的主導(dǎo)思想,它也影響到當(dāng)時的自然科學(xué)家們把形而上學(xué)的思想方法絕對化。牛頓的思想也受到了英國資產(chǎn)階級革命不徹底性的影響,因而牛頓也往往不能從自然界本身或事物的本身來尋找最初的原因,而借助于外來的推動力。 牛頓在30歲以前發(fā)現(xiàn)了微積分,并建立了經(jīng)典力學(xué)體系,而他的后半生在自然科學(xué)的研究上幾乎一事無成。這是由于在資本主義產(chǎn)生和形成的時期,資產(chǎn)階級曾經(jīng)向宗教神學(xué)發(fā)起沖擊,幫助科學(xué)從神學(xué)中解放出來。但是當(dāng)資產(chǎn)階級的地位鞏固以后,階級斗爭逐漸激化之時,資產(chǎn)階級就逐漸衰退,他們就抓住各種各樣的宗教信念作為奴

6、役人民的思想武器。牛頓受其影響很大,其前半生由于自發(fā)的唯物主義的思想傾向,使他獲得了巨大成就,而后半生則完全沉迷于神學(xué)的研究。 牛頓繼承了培根的經(jīng)驗主義傳統(tǒng),特別重視實驗和歸納推理的作用,他曾斷言,自然科學(xué)只能從經(jīng)驗事實出發(fā)解釋世界。這在當(dāng)時對打擊經(jīng)院哲學(xué)的崇尚空談、妄稱神意來歪曲自然界是起過積極作用的。但是“,牛頓卻拘泥于經(jīng)驗事實,片面強(qiáng)調(diào)歸納的重要性。只有大量的感性材料,一切停留在事物的現(xiàn)象上,單獨依靠歸納的方法是得不出系統(tǒng)的普遍性的理性認(rèn)識來的。在分析和綜合、演繹和歸納的問題上,形而上學(xué)使牛頓陷入了矛盾?！?(p.123) 二、萊布尼茲所處的時代背景及其哲學(xué)思想 “萊布尼茲(Gottfr

7、iedWilhelmLeibniz,1646-1716)生于德國。2 / 6,1672年赴巴黎,在那里接觸到惠更斯等一些數(shù)學(xué)名流,引其進(jìn)入了數(shù)學(xué)領(lǐng)域,開始微積分的創(chuàng)造性工作。”2(p.165) 1684年萊布尼茨發(fā)表了數(shù)學(xué)史上第一篇正式的微積分文獻(xiàn)一種求極限值和切線的新方法。這篇文獻(xiàn)是他自1673年以來的微積分研究的概括與成果,其中定義了微分,廣泛地采用了微分符號dx、dy,還給出了和、差、積、商及乘冪的微分法則。同時包括了微分法在求切線、極大、極小值及拐點方面的應(yīng)用。兩年后,又發(fā)表了一篇積分學(xué)論文深奧的幾何與不 變量及其無限的分析,其中首次使用積分符號“”,初步論述了積分(或求積)問題與微分

8、求切線問題的互逆問題。即今天大家熟知的牛頓-萊布尼茨公式baf(x)dx=f(b)-f(a),為我們勾畫了微積分學(xué)的基本雛形和發(fā)展藍(lán)圖。 “牛頓建立微積分是從運(yùn)動學(xué)的觀點出發(fā),而萊布尼茲則從幾何學(xué)的角度去考慮,所創(chuàng)設(shè)的微積分符號遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于牛頓符號,并有效地促進(jìn)了微積分學(xué)的發(fā)展。”6(p.120)牛頓發(fā)現(xiàn)微積分(1665-1666年)比萊布尼茨至少早了9年,然而萊布尼茨公開發(fā)表它的微積分文章比牛頓早3年。據(jù)萊布尼茨本人提供的證據(jù)說明他是在1674年形成了微分的思想與方法。如果說,牛頓建立微積分主要是從運(yùn)動學(xué)的觀點出發(fā),而萊布尼茲則是從哲學(xué)的和幾何學(xué)的角度去考慮,特別是和巴羅的“微分三角形”有密切關(guān)

9、系,萊布尼茲稱它為“特征三角形”。巴羅的微分三角形對萊布尼茲有著重要啟發(fā),對微分三角形的研究,使他意識到求切線和求積問題是一對互逆的問題。萊布尼茲第一個表達(dá)出微分和積分之間的互逆關(guān)系。 萊布尼茲的許多研究成果和思想的發(fā)展,都包含在從1673年起寫的但從未發(fā)表過的成百頁的筆記中。1673年左右,他看到求曲線的切線的正問題和反問題的重要性,他完全相信反方法等價于通過求和來求面積和體積。1684年,萊布尼茲發(fā)表第一篇微分學(xué)論文一種求極大、極小和切線的新方法,它也適用于分式或無理量,以及這種新方法的奇妙類型的計算,對他以往的研究作了初步整理,敘述了微分學(xué)的基本原理,認(rèn)為函數(shù)的無限小增量是自變量無限小變

10、 化的結(jié)果,且把這個函數(shù)的增量叫做微分,用字母d表示。1675-1676年間,他從求曲邊形面積出發(fā)得到積分的概念,給出微積分基本定理baf(x)dx=f(b)-f(a)。1686年萊布尼茲發(fā)表積分學(xué)論文潛在的幾何與分析不可分和無限。1693年,他給出了上述定理的一個證明。以上這些都發(fā)表在教師學(xué)報上。將微分和積分統(tǒng)一起來,是微積分理論得以建立的一個重要標(biāo)志。萊布尼茲出生在德國路德派諸侯與天主教諸侯之間的對立而引起的“三十年戰(zhàn)爭”結(jié)束前。為了改變宗教紛爭的局面,萊布尼茲立志要發(fā)現(xiàn)一種新的天主教和路德教都能適合的關(guān)于實體的學(xué)說,以成為兩派教會得以聯(lián)合的哲學(xué)基礎(chǔ)。雖然萊布尼茲的意圖是不可能實現(xiàn)的,但他

11、后來卻因此提出了一種與笛卡爾不同的實體學(xué)說單子論。 “單子論是萊布尼茲哲學(xué)的核心內(nèi)容。萊布尼茲認(rèn)為一切事物都由單子這種精神的實體構(gòu)成的,這種單子既非物質(zhì)的而又具有一定的質(zhì),它是精神性的,萊布尼茲就把它比之于靈魂。只有精神的單子才是真實的存在的實體,從單子是不可分的,即沒有部分的“單純”實體這一點出發(fā),萊布尼茲就推論出它的一系列特征:單子沒有部分,它就不能以自然的方式通過各部分的組合而產(chǎn)生,或通過各部分的分解而消滅,因此它的生滅只能出于上帝的突然創(chuàng)造或毀滅;單子沒有部分,就不能設(shè)想有什么東西可以進(jìn)入其內(nèi)部來造成變化,這樣,單子就成了各自獨立或徹底孤立的東西,各單子之間不能有任何真正的相互作用或影

12、響。單子之間沒有量的差異,而只有質(zhì)的不同。”7(p.85) 總之,萊布尼茲的基本觀點是唯心主義的,也是形而上學(xué)的。他把宇宙的秩序都?xì)w因于上帝的預(yù)先決定。他肯定許多必然真理并非來自經(jīng)驗,他認(rèn)為不但認(rèn)識的對象都是由精神性的“單子”所構(gòu)成。而且認(rèn)識的主體也只能作為精神實體的心靈這種“單子”。他把一切發(fā)展變化都?xì)w因于上帝的“前定”,實際也就否定了真正的發(fā)展,這是他的觀點的消極的一面。但另一方面,萊布尼茲的哲學(xué)也有積極方面,它的哲學(xué)中含有豐富的辯證法思想,他肯定實體本身就具有力,因而是能動的,實質(zhì)上肯定了物質(zhì)與運(yùn)動不可分的思想,他試圖解決“不可分的點”和“連續(xù)性”的矛盾問題,接觸到了個別與全體、間斷性與

13、連續(xù)性的對立統(tǒng)一問題,對促進(jìn)理性和經(jīng)驗的辯證結(jié)合做出了一定的貢獻(xiàn)三、牛頓、萊布尼茲創(chuàng)立微積分之比較 牛頓和萊布尼茲用各自不同的方法,創(chuàng)立了微積分學(xué)。如果說牛頓接近最后的結(jié)論要比萊布尼茲早一些,那么萊布尼茲發(fā)表自己的結(jié)論要早于牛頓。雖然牛頓的微積分應(yīng)用遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過萊布尼茲的工作,刺激并決定了幾乎整個十八世紀(jì)分析的方向,但是萊布尼茲成功地建立起更加方便的符號體系和計算方法。兩位微積分的奠基人,一位具有英國式的處事謹(jǐn)慎,治學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)娘L(fēng)度,一位具有德國人的哲理思辨心態(tài),熱情大膽。由于陰陽差錯的時代背景,過分追求嚴(yán)謹(jǐn)?shù)呐ｎD遲遲未將自己的發(fā)現(xiàn)發(fā)表,讓萊布尼茨搶了一個發(fā)表的頭籌。 牛頓和萊布尼茲的哲學(xué)觀點的不同導(dǎo)

14、致了他們創(chuàng)立微積分的方法不同。牛頓堅持唯物論的經(jīng)驗論,特別重視實驗和歸納推理。他在研究經(jīng)典力學(xué)規(guī)律和萬有引力定律時,遇到了一些無法解決的數(shù)學(xué)問題,而這些數(shù)學(xué)問題用歐幾里德幾何學(xué)和16世紀(jì)的代數(shù)學(xué)是無法解決的,因此牛頓著手研究新的以求曲率、面積、曲線的長度、重心、最大最小值等問題的方法流數(shù)法。“牛頓的研究采用了最初比和最后比的方法。他認(rèn)為流數(shù)是初生量的最初比或消失量的最后比。初生量的最初比就是在初生的瞬間的比值,消失量的最后比就是量在消失的瞬間的比值。”4(p.180)這個解釋太模糊了,算不上精確的數(shù)學(xué)概念,只不過是一種直觀的描述。最初比和最后比的物理原型是初速度與末速度的數(shù)學(xué)抽象,在物體作位置

15、移動的過程中的每一瞬間具有的速度是自明的,牛頓就是從這個客觀事實出發(fā)提出了最初比和最后比的直觀概念。這樣他就給出了極限的觀點。 萊布尼茲的微積分創(chuàng)造始于研究“切線問題”和“求積問題”,他從微分三角形認(rèn)識到:求曲線的切線依賴于縱坐標(biāo)之差與橫坐標(biāo)之差的比值;求曲邊圖形的面積則依賴于在橫坐標(biāo)的無限小區(qū)間上的縱坐標(biāo)之和或無限薄的矩形之和。萊布尼茲認(rèn)識到求和與求差運(yùn)算是可逆的。萊布尼茲用無窮小的思想給出了微積分的基本定理,并發(fā)展成為高階微分。萊布尼茲的無窮小是分階的,這源于他哲學(xué)中的單子論思想?！叭R布尼茲在單子論中指出:不同的單子其知覺 的清晰程度是不一樣的,并從一種知覺向另一種知覺過渡和變化,發(fā)展就是

16、由單子構(gòu)成的事物,由低級向高級的不同等級的序列。”6(p.91)可以說,萊布尼茲的無窮小的分階正是和它的客觀唯心論的哲學(xué)體系中那個不同層次的單子系統(tǒng)是相對應(yīng)的。萊布尼茲在微積分的研究過程中,連續(xù)性原則成為其工作的基石,而連續(xù)性原則是扎根于他哲學(xué)中無限的本質(zhì)的思想。 牛頓和萊布尼茲創(chuàng)立微積分的相同點有:從不同的角度創(chuàng)立了一門新的數(shù)學(xué)學(xué)科,使微積分具有廣泛的用途并能應(yīng)用于一般函數(shù);用代數(shù)的方法從過去的幾何形式中解脫出來;都研究了微分與反微分之間的互逆關(guān)系。 牛頓和萊布尼茲創(chuàng)立微積分的不同點主要有:牛頓繼承了培根的經(jīng)驗論,對歸納特別青睞。牛頓的微積分明顯帶著從力學(xué)脫胎而來的物理模型的痕跡,以機(jī)械運(yùn)動

17、的數(shù)學(xué)模型出現(xiàn),其中的基本概念,如初生量、消失量、瞬、最初比和最后比等概念都來自機(jī)械運(yùn)動,是機(jī)械運(yùn)動瞬間狀態(tài)的數(shù)學(xué)抽象。他建立微積分的目的是為了解決特殊問題,強(qiáng)調(diào)的是能推廣的具體結(jié)果。而萊布尼茲強(qiáng)調(diào)能夠應(yīng)用于特殊問題的一般方法和算法,以便統(tǒng)一處理各種問題。萊布尼茲在符號的選擇上花費了大量的時間,發(fā)明了一套富有提示性的符號系統(tǒng)。他把sum(和)的第一個字母S拉長表示積分,用dx表示x的微分,這套簡明易懂又便于使用的符號一直沿用至今。 牛頓認(rèn)為微積分是純幾何的自然延伸,關(guān)心的是微積分在物理學(xué)中的應(yīng)用。經(jīng)驗、具體和謹(jǐn)慎是他的工作特點,這種拘束的做法,使他沒有能盡情發(fā)揮。而萊布尼茲關(guān)心的是廣泛意義下的微積分,力求創(chuàng)造建立微積分的完善體系。他富于想象,喜歡推廣,大膽而且有思辯性,所以毫不猶豫地宣布了新學(xué)科的誕生。 牛頓和萊布尼茲都是他們時代的科學(xué)巨人。微積分之所以能成為獨立的學(xué)科并給整個自然科學(xué)帶來革命性的影響,主要是靠了牛頓與萊布尼茲的工作。從牛頓和萊布尼茲創(chuàng)立微積分的