數(shù)值分析(牛頓插值法)

1、一、差商及其性質(zhì)一、差商及其性質(zhì) 三、牛頓插值公式三、牛頓插值公式四、牛頓插值法舉例四、牛頓插值法舉例二、差商的計(jì)算二、差商的計(jì)算 一、差商及其性質(zhì)一、差商及其性質(zhì) 1. 差商的定義差商的定義ijijjixxxfxfxxf )()(,ikjikjkjixxxxfxxfxxxf ,二階差商二階差商函數(shù)函數(shù)關(guān)于關(guān)于 一一階差商階差商xi, xj11102010,.,.,., kkkkkkxxxxxfxxxfxxxf一般的一般的k k階差商階差商定義為定義為特別地，特別地，f(x)關(guān)于一個(gè)點(diǎn)關(guān)于一個(gè)點(diǎn)xi的的零階零階差商差商定義為函數(shù)值本身，即定義為函數(shù)值本身，即)(iixfxf 1.差商與節(jié)點(diǎn)的排

2、列次序無(wú)關(guān)，稱差商與節(jié)點(diǎn)的排列次序無(wú)關(guān)，稱為差商的為差商的對(duì)稱性對(duì)稱性性質(zhì)：性質(zhì)：2.高階差商可由低階差商反復(fù)作一高階差商可由低階差商反復(fù)作一階差商得到，計(jì)算具有階差商得到，計(jì)算具有遞推性遞推性3.若若f(x)在在a, b上存在上存在n階導(dǎo)數(shù)，則階導(dǎo)數(shù)，則,!)(,)(10banfxxxfnn f(x)=x3，則，則fx0, x1, x2, x3 = ? ,fx0, x1, x2, x3, x4 = ? 例例 已知函數(shù)已知函數(shù)y= f (x)的觀測(cè)數(shù)據(jù)如下，的觀測(cè)數(shù)據(jù)如下，試構(gòu)造差商表，并求試構(gòu)造差商表，并求 f 2,4,5,6的值的值解解 構(gòu)造差商表如下構(gòu)造差商表如下由表可知由表可知f2,4

3、,5,6 =5二、牛頓差商插值多項(xiàng)式二、牛頓差商插值多項(xiàng)式000)()(,xxxfxfxxf 由差商定義由差商定義可得可得)(,)()(000 xxxxfxfxf 又又)(,110100 xxxxxfxxfxxf )(,010110nnnnxxxxxfxxxfxxxxf 代入得代入得).(,.,).(,.)(,)()(001000100nnnnxxxxxxxfxxxxxxfxxxxfxfxf 插值余項(xiàng)插值余項(xiàng))()(xRxNnn 牛頓插值牛頓插值多項(xiàng)式多項(xiàng)式n=1)(,)()(01001xxxxfxfxNn=2)(,)(,)()(1021001002xxxxxxxfxxxxfxfxN)()()

4、()()(11001xlxfxlxfxL)()()()()()()(2211002xlxfxlxfxlxfxL牛頓插值與拉氏插值的比較：牛頓插值與拉氏插值的比較：1. 1.由插值多項(xiàng)式的唯一性，兩余項(xiàng)由插值多項(xiàng)式的唯一性，兩余項(xiàng)是是等價(jià)等價(jià)的，即的，即2.2.牛頓插值法牛頓插值法由差商表中的差商值由差商表中的差商值可判斷出插值多項(xiàng)式的次數(shù)，而可判斷出插值多項(xiàng)式的次數(shù)，而拉氏插值法則要計(jì)算到最后。拉氏插值法則要計(jì)算到最后。兩點(diǎn)說(shuō)明：兩點(diǎn)說(shuō)明：)(,.,)()!1()()(101)1(xxxxfxnfxRnnnnn 例例 已知函數(shù)已知函數(shù)y=f(x)的觀測(cè)數(shù)據(jù)如下，的觀測(cè)數(shù)據(jù)如下，試用全部節(jié)點(diǎn)構(gòu)造

5、牛頓差商插值多試用全部節(jié)點(diǎn)構(gòu)造牛頓差商插值多項(xiàng)式，并用二次插值求項(xiàng)式，并用二次插值求f(3)的近似的近似值。值。四、牛頓插值法舉例四、牛頓插值法舉例解解 構(gòu)造差商表如下構(gòu)造差商表如下由表可知由表可知1464412)5)(4)(2)(0()4)(2)(0)(1()2)(0(0)0(21)(2344 xxxxxxxxxxxxxxxP用二次插值求用二次插值求f (3)時(shí)，取時(shí)，取 x0=2, x1=4, x2=5, 得得12)43)(23(57)43)(23(5 , 4 , 2)23(4 , 2)2()3( ffff思考：思考：若本題只給出前三個(gè)點(diǎn)，結(jié)果若本題只給出前三個(gè)點(diǎn)，結(jié)果如何？請(qǐng)你總結(jié)牛頓插值法何時(shí)停止？如何？請(qǐng)你總結(jié)牛頓插值法何時(shí)停止？牛頓插值法的特點(diǎn)牛頓插值法的特點(diǎn)特點(diǎn)特點(diǎn)1