信號與系統(tǒng)第3章(1)周期信號的傅里葉級數(shù)和頻譜(31,32)

1、第三章第三章 連續(xù)信號與系統(tǒng)的實頻域分析連續(xù)信號與系統(tǒng)的實頻域分析主講人：史洪宇主講人：史洪宇本章主要內(nèi)容本章主要內(nèi)容:v3.1 連續(xù)周期信號的傅里葉級數(shù)與頻譜連續(xù)周期信號的傅里葉級數(shù)與頻譜 v3.2 連續(xù)非周期信號傅里葉變換與頻譜連續(xù)非周期信號傅里葉變換與頻譜 v3.3 傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì) v3.4 LTI連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析連續(xù)系統(tǒng)的頻域分析v3.5 濾波器濾波器v3.6 采樣器采樣器 v3.7 調(diào)制器與解調(diào)器調(diào)制器與解調(diào)器 變換域分析的基本思想為：將信號分解為變換域分析的基本思想為：將信號分解為基本信號之和或積分的形式，再求系統(tǒng)對基本基本信號之和或積分的形式，再求系統(tǒng)對基本信

2、號的響應(yīng)，從而求出系統(tǒng)對給定信號的響應(yīng)信號的響應(yīng)，從而求出系統(tǒng)對給定信號的響應(yīng)（零狀態(tài)響應(yīng)）。（零狀態(tài)響應(yīng)）。在第二章中我們以在第二章中我們以 dthfthtftyf 其中其中h(t)反映了系統(tǒng)的特性。反映了系統(tǒng)的特性。 dtfttftf t 為基本信號將任意信號為基本信號將任意信號進行分解進行分解t je (虛指數(shù)函數(shù)虛指數(shù)函數(shù)) 為基本為基本信號。信號。本章以本章以正弦函數(shù)正弦函數(shù) 或或 任意周期信號任意周期信號可以表示為一系列不同頻率的可以表示為一系列不同頻率的正弦或正弦或 虛指數(shù)函數(shù)之和。虛指數(shù)函數(shù)之和。 210 , tncos, sin ,netntjn任意非周期信號任意非周期信號可

3、以表示為一系列不同頻率的正可以表示為一系列不同頻率的正弦或虛弦或虛 指數(shù)函數(shù)積分。指數(shù)函數(shù)積分。 , cos, sin tje tt 具有一定幅度和相位，角頻率為具有一定幅度和相位，角頻率為 的虛指數(shù)函數(shù)的虛指數(shù)函數(shù)tjFe 作用于作用于LTI連續(xù)系統(tǒng)時，所引起的響應(yīng)連續(xù)系統(tǒng)時，所引起的響應(yīng)(零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng))是是同同頻率的虛指數(shù)函數(shù)頻率的虛指數(shù)函數(shù)，可表示為：，可表示為： tjtjFejHYe 系統(tǒng)的影響表現(xiàn)為頻率響應(yīng)函數(shù)系統(tǒng)的影響表現(xiàn)為頻率響應(yīng)函數(shù) jH，它是信號角，它是信號角頻率頻率 的函數(shù)，而與時間的函數(shù)，而與時間t無關(guān)，用于系統(tǒng)分析的獨立變無關(guān)，用于系統(tǒng)分析的獨立變 量為量為 ，

4、故稱之為，故稱之為頻域分析頻域分析。 jFjHjY將周期信號將周期信號 )()(mTtftf 在區(qū)間在區(qū)間 Ttt 00,內(nèi)展開成完內(nèi)展開成完備正交信號空間中的無窮級數(shù)。如果完備的正交函數(shù)集備正交信號空間中的無窮級數(shù)。如果完備的正交函數(shù)集 是三角函數(shù)集或指數(shù)函數(shù)集，那么，周期信號所展開的是三角函數(shù)集或指數(shù)函數(shù)集，那么，周期信號所展開的 無窮級數(shù)就分別稱為無窮級數(shù)就分別稱為“三角形傅里葉級數(shù)三角形傅里葉級數(shù)”或或“指數(shù)形傅指數(shù)形傅 里葉級數(shù)里葉級數(shù)”，統(tǒng)稱為，統(tǒng)稱為傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)。 ., ) (sin , . ,t sin2 , sin . , ) cos( , . , 2cos , co

5、s , 1 tnttmttntje ). , 2 , 1 , 0( nv從本章開始由從本章開始由時域時域轉(zhuǎn)為轉(zhuǎn)為變換域變換域分析。分析。 首先考慮傅里葉變換。首先考慮傅里葉變換。v頻域分析將時間變量頻域分析將時間變量t轉(zhuǎn)換成頻率變量轉(zhuǎn)換成頻率變量或或f。 揭示了信號內(nèi)在的頻率特性以及信號時間特性揭示了信號內(nèi)在的頻率特性以及信號時間特性及其頻率特性之間的密切關(guān)系及其頻率特性之間的密切關(guān)系 從而導(dǎo)出信號的頻譜、帶寬以及濾波、調(diào)制等從而導(dǎo)出信號的頻譜、帶寬以及濾波、調(diào)制等重要概念。重要概念。一、周期信號的分解一、周期信號的分解設(shè)有一個周期信號設(shè)有一個周期信號 )(tf，它的周期是，它的周期是 T，角

6、頻率，角頻率 TF 22 ，它可分解為：，它可分解為：.)2sin()sin( .)2cos()cos(2)(21210 tbtbtataatf其中其中 稱為傅里葉系數(shù)，稱為傅里葉系數(shù)， 。nnba , T2110)sin()cos(2nnnntnbtnaa3.1 連續(xù)周期信號的傅里葉級數(shù)與頻譜連續(xù)周期信號的傅里葉級數(shù)與頻譜 . , 2 , 1 , )sin()(2,. 2 , 1 , 0 , )cos()(22222ndttntfTbndttntfTaTTnTTndttfTaTT 220)(12那么那么,傅里葉系數(shù)如何求得呢傅里葉系數(shù)如何求得呢? . , 2 , 1 , )sin()(2,.

7、 2 , 1 , 0 , )cos()(22222ndttntfTbndttntfTaTTnTTn由上式可見，由上式可見， 是是 的偶函數(shù)的偶函數(shù) ， 是是 的奇函數(shù)，的奇函數(shù)， nannnaa nbnnnbb 由于由于tntn sincos和和是同頻率項是同頻率項,因此因此:110)sin()cos(2nnnntnbtnaa.)2cos()cos(2)(22110 tAtAAtf)cos(210nnntnAA )cos(210nnntnAA 式中：式中： ,. 3 , 2 , 1 , 22 nbaAnnn00aA )arctan(nnnab 則有則有 00Aa . , 2 , 1 , cos

8、 nAannn nnnAb sin . , 2 , 1 , n nAnnnAA 可見，可見， 是是 的偶函數(shù)，即有的偶函數(shù)，即有 而而 是是nn的奇函數(shù)，即有的奇函數(shù)，即有 nn 可見，任何滿足狄里赫利條件的周期信號均可分解為直可見，任何滿足狄里赫利條件的周期信號均可分解為直 流分量流分量 ，一次諧波或基波，一次諧波或基波 ，它的，它的角角 頻率與原周期信號相同，二次諧波頻率與原周期信號相同，二次諧波波波 ， 以此類推，三次，四次等諧波。以此類推，三次，四次等諧波。 20A)cos(11 tA)2cos(22 tA 一般而言一般而言 稱為稱為 次諧波次諧波 ， 是是 次諧波的振幅，次諧波的振幅

9、， 是其初相角。是其初相角。 )cos(nntnAnnAnn.)2cos()cos(2)(22110 tAtAAtf)cos(210nnntnAA *結(jié)論：周期信號可分解為各次諧波分量之和。結(jié)論：周期信號可分解為各次諧波分量之和。例例3.1-1 將下圖中的方波信號展開為傅里葉級數(shù)。將下圖中的方波信號展開為傅里葉級數(shù)。解：解： 110sincos2)(nnnntnbtnaatf dttntfTaTTn cos)(222 2200cos2cos)1(2TTdttnTdttnT sin12sin212002TTtnnTtnTn ,.3 , 2 , 1 ,0 n0 2 naT sin12sin2120

10、02TTtnnTtnTn 200222sin2sin)1(2sin)(2TTTTndttnTdttnTdttntfTb 2002cos12cos12TTtnnTtnnT nnnnnnncos121cos1cos11 ,. 7 , 5 , 3 , 1 , 4,. 8 , 6 , 4 , 2 , 0nnn 它僅含有一、三、五、七它僅含有一、三、五、七. 等奇次諧波分量。等奇次諧波分量。如下頁圖所示，是用有限項傅里葉級數(shù)來逼近的情況：如下頁圖所示，是用有限項傅里葉級數(shù)來逼近的情況： .sin1.5sin513sin31sin4 tnnttttf , 5 , 3 , 1 n,.3 , 2 , 1 ,0

11、 n0 na ,. 7 , 5 , 3 , 1 , 4,. 8 , 6 , 4 , 2 , 0nnnbn TT/ 20t(a)基波基波0T/ 2Tt(b)基波基波+三次諧波三次諧波0T/ 2Tt(c)基波基波+三次諧波三次諧波+五次諧波五次諧波0T/ 2Tt(c)基波基波+三次諧波三次諧波+五次諧波五次諧波+七次諧波七次諧波圖圖 3.1-1 方波的組成方波的組成（1）所取項愈多，合成波形（除間斷點外）愈）所取項愈多，合成波形（除間斷點外）愈接近于原方波信號。接近于原方波信號。（2）所取項數(shù)愈多，在間斷點附近，尖峰愈靠）所取項數(shù)愈多，在間斷點附近，尖峰愈靠近間斷點。近間斷點。（3）即使）即使 ，

12、在間斷點處尖峰仍不能與之，在間斷點處尖峰仍不能與之吻合，有吻合，有 的偏差。但在均方的意義上合成的偏差。但在均方的意義上合成波形同原方波的真值之間沒有區(qū)別。波形同原方波的真值之間沒有區(qū)別。 (吉布斯現(xiàn)吉布斯現(xiàn)象）象）n%9主體主體 -低頻低頻 細節(jié)細節(jié)-高頻高頻二、傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式二、傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式2cosjxjxeex 1101)()(021212 22)(ntjnjnntjnjnntnjtnjneeAeeAAeeAAtfnnnn 將上式第三項中的將上式第三項中的 用用 代換，并考慮到代換，并考慮到 是是 的的偶函數(shù)，即偶函數(shù)，即 ； 是是 的奇函數(shù)的奇函數(shù), 則上式可寫為則上式可

13、寫為 :nn nAnnnAA n nnn )cos(210nnntnAAtf 11021212ntjnjnntjnjneeAeeAAnn 11021212ntjnjnntjnjneeAeeAAnn 如將上式中的如將上式中的 寫成寫成 （ ），）， 則上式可以寫成則上式可以寫成:0AtjjeeA 000 00 ntjnjneeAtfn 21)( 11021212)(ntjnjnntjnjneeAeeAAtfnn 令復(fù)數(shù)量令復(fù)數(shù)量 ，稱其為，稱其為復(fù)傅復(fù)傅里葉系數(shù)里葉系數(shù)，簡稱傅里葉系數(shù)。其模為，簡稱傅里葉系數(shù)。其模為 ，相，相角為角為 ， 則得傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式為則得傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式為 ：

14、nFn ntjnneFtf)( ntjnjneeAtfn 21)(njnjnFeFeAnn 21復(fù)傅里葉系數(shù)復(fù)傅里葉系數(shù) )(21sincos2121nnnnnnjnnjbajAAeAFn . , 2 , 1 , )sin()(2,. 2 , 1 , 0 , )cos()(22222ndttntfTbndttntfTaTTnTTnt dtntfTjdttntfTFTTTTn 2222)sin()(1)cos()(1 22)(1TTtjnndtetfTF2, 1, , 0 ndttnjtntfTTT)sin()cos(122 22)(1TTtjndtetfT2, 1, , 0 n這就是求指數(shù)形式

15、傅里葉級數(shù)的復(fù)系數(shù)這就是求指數(shù)形式傅里葉級數(shù)的復(fù)系數(shù) 的的公式。公式。 nF任意周期信號任意周期信號 可分解為許多不同頻率的虛指可分解為許多不同頻率的虛指數(shù)信號數(shù)信號 之和，其各分量的復(fù)數(shù)幅度（或相之和，其各分量的復(fù)數(shù)幅度（或相量）為量）為 。)(tf)(tjne nF ntjnneFtf)( 22)(1TTtjnndtetfTF2, 1, , 0 n總結(jié)：總結(jié)： nnnjbaF 21 與與 互為共軛。互為共軛。nFnF 與與 的關(guān)系。的關(guān)系。nFnF nnnnnjbajbaF 2121nnnnnAFFFF21 . , 2 , 1 , )sin()(2,. 2 , 1 , 0 , )cos()

16、(22222ndttntfTbndttntfTaTTnTTn三角形式傅里葉級數(shù)：三角形式傅里葉級數(shù)：110)sin()cos(2)(nnnntnbtnaatf指數(shù)形式傅里葉級數(shù)：指數(shù)形式傅里葉級數(shù)： ntjnneFtf)( 22)(1TTtjnndtetfTF2, 1, , 0 n任意周期信號可以表示為一系列不同頻率的正弦函任意周期信號可以表示為一系列不同頻率的正弦函 數(shù)或虛指數(shù)函數(shù)之和。數(shù)或虛指數(shù)函數(shù)之和。 210 , tncos, sin ,netntjn復(fù)傅里葉系數(shù)復(fù)傅里葉系數(shù) 與與 ， ， 的關(guān)系的關(guān)系:nFnAnbna nnjnnjbaeAFn 2121 222121nnnnbaAF

17、 nnnabarctan nnnjnnFjbaeAFn2121 nnnnnFFAa cos nnnnnFFjAb sinnnFA2 3.1.2 周期信號的頻譜周期信號的頻譜一、一、 周期信號的頻譜周期信號的頻譜 1)0cos(2)(nnntnAAtf dtetfTeFeAFTtjnjnjnnTnn 22121 ntjnneF三角形式：三角形式：指數(shù)形式：指數(shù)形式：如果將如果將 ， 的關(guān)系繪成如圖的關(guān)系繪成如圖3.3.1（a）（）（c）線圖，便可清楚而直觀地看）線圖，便可清楚而直觀地看出各頻率分量的相對大小及各分量的相位，出各頻率分量的相對大小及各分量的相位，分別稱為分別稱為幅度譜幅度譜和和相位

18、譜相位譜（單邊）（單邊）。 nAn nn nFn如果將如果將 ， 的關(guān)系繪成如圖的關(guān)系繪成如圖4.3.1（b）（）（d）的線圖，同樣可清楚而直觀地看出）的線圖，同樣可清楚而直觀地看出各頻率分量的相對大小及各分量的相位，也分各頻率分量的相對大小及各分量的相位，也分別稱為別稱為幅度譜幅度譜和和相位譜相位譜（雙邊）（雙邊）。 nn 例例 3.1-2 ),306cos(8 . 0)453cos(4 . 0)202cos(2)10cos(31)(tttttf試畫出試畫出f(t)的振幅譜和相位譜。的振幅譜和相位譜。 解：解：f(t)為周期信號，題中所給的為周期信號，題中所給的f(t)表達式可視為表達式可視

19、為f(t)的傅里葉級數(shù)展開式。據(jù)的傅里葉級數(shù)展開式。據(jù) 10)cos(2)(nnntnAAtf 可知，其基波頻率可知，其基波頻率=(rad/s)，基本周期，基本周期T=2s，=2、3、 6 分別為二、分別為二、 三、六次諧波頻率。且三、六次諧波頻率。且有：有： 8 . 04 . 063AA304563其余其余 0nA2321AA120A20100211圖圖 3.1-2 (a)振幅譜；振幅譜； (b) 相位譜相位譜 Ano23456( a )321 no23456( b )15304510204530320.40.8Ano23456( a )321 no23456( b /p>

20、530320.40.8圖圖 3.1-3 信號的雙邊頻信號的雙邊頻譜譜 (a) 振幅譜；振幅譜； (b) 相位譜相位譜 |Fn|o23456(a)121.510.20.41.510.20.43456 no234561530451020453015304510204530234562(b)222121nnnnbaAF 二、二、 周期矩形脈沖的頻譜周期矩形脈沖的頻譜T 設(shè)有一幅度為設(shè)有一幅度為1，脈沖寬度為，脈沖寬度為 的周期性矩形脈的周期性矩形脈 沖，其周期為沖，其周期為 ，求其復(fù)傅里葉系數(shù)。，求其復(fù)傅里葉系數(shù)。圖圖 3.1-4 周期矩形脈沖周期矩形脈沖12 2 0TT T2 tft 22111

21、)(1222222 nnjjtjntjnTTtjnneejTnjneTdteTdtetfTF12 2 0TT T2 tft 2sin21 njjTn22sin nnT 2 nasTxxxSasin)( -取樣函數(shù)取樣函數(shù)x xSa10 2 2 3 3 2 nSTFan 1.它是它是偶函數(shù)。偶函數(shù)。 2. 當(dāng)當(dāng) 時，時， 。0 x1)( xSa3.當(dāng)當(dāng) 時，函數(shù)值為時，函數(shù)值為0。 0 kkx 它是無限拖尾的衰減振蕩。它是無限拖尾的衰減振蕩。,)2( nSaTFn . 2, 1, , 0 n該周期性矩形脈沖的指數(shù)形式傅里葉級數(shù)展開式為：該周期性矩形脈沖的指數(shù)形式傅里葉級數(shù)展開式為： ntjnnt

22、jnnenSaTeFtf)2()( 圖圖3.1-5 周期矩形脈沖的頻譜（周期矩形脈沖的頻譜（T=4 ）41nF 2 2 aTS 4 4 2 0零點的位置：零點的位置：相鄰譜線的間隔：相鄰譜線的間隔：T 2 第一個零點的位置：第一個零點的位置： 2 n kn2 2 kn 0 k 4 T41nF 2 2 aTS 4 4 2 0第一個零點時譜線的序號：第一個零點時譜線的序號： Tn 2 2 n 4 T41nF 2 2 aTS 4 4 2 0 由上圖可以看出，此周期信號頻譜具由上圖可以看出，此周期信號頻譜具有以下幾個特點：有以下幾個特點： 第一為離散性，第一為離散性，此頻譜由不連續(xù)的譜線組成，每此頻譜

23、由不連續(xù)的譜線組成，每一條譜線代表一個正弦分量，所以此頻譜稱為不連一條譜線代表一個正弦分量，所以此頻譜稱為不連續(xù)譜或離散譜。續(xù)譜或離散譜。 第二為諧波性，第二為諧波性，此頻譜的每一條譜線只能出現(xiàn)在此頻譜的每一條譜線只能出現(xiàn)在基波頻率基波頻率的整數(shù)倍頻率上，即含有的整數(shù)倍頻率上，即含有的各次諧波分的各次諧波分量，而決不含有非量，而決不含有非的諧波分量。的諧波分量。 第三為收斂性，第三為收斂性，此頻譜的各次諧波分量的振幅雖此頻譜的各次諧波分量的振幅雖然隨然隨n的變化有起伏變化，但總的趨勢是隨著的變化有起伏變化，但總的趨勢是隨著n的的增大而逐漸減小。增大而逐漸減小。 當(dāng)當(dāng)n時，時，|Fn|0。 1、

24、各譜線的幅度按包絡(luò)線、各譜線的幅度按包絡(luò)線 的規(guī)律變化。的規(guī)律變化。 在在 各處，即各處，即 的各處，的各處， 包絡(luò)為零，其相應(yīng)的譜線，亦即相應(yīng)的頻譜分量也等包絡(luò)為零，其相應(yīng)的譜線，亦即相應(yīng)的頻譜分量也等 于零。于零。)2( SaT2,.) , 1(2 mm m2 2、周期矩形脈沖信號包含無限多條譜線，也就是說，、周期矩形脈沖信號包含無限多條譜線，也就是說， 它可分解為無限多個頻率分量。它可分解為無限多個頻率分量。周期性矩形脈沖信號的頻譜還有周期性矩形脈沖信號的頻譜還有自己的特點自己的特點 :3、周期相同，脈沖寬度不同時信號的頻譜：、周期相同，脈沖寬度不同時信號的頻譜： 譜線間隔不變，但零點位

25、置變化。譜線間隔不變，但零點位置變化。 周期不同，脈沖寬度相同時信號的頻譜：周期不同，脈沖寬度相同時信號的頻譜： 零點位置不變，譜線間隔變化。零點位置不變，譜線間隔變化。 相鄰譜線的間隔相鄰譜線的間隔 零，周期信號的零，周期信號的 離散頻譜離散頻譜 非周期信號的連續(xù)頻譜。非周期信號的連續(xù)頻譜。 T 通常把頻率范圍通常把頻率范圍 稱為周期矩形脈沖稱為周期矩形脈沖 信號的信號的帶寬帶寬，用符號，用符號 表示，即周期矩形脈沖信表示，即周期矩形脈沖信 號的頻帶寬度為號的頻帶寬度為 。)20(10 f 1 FF圖圖3.1-6 脈沖寬度與頻譜的關(guān)系脈沖寬度與頻譜的關(guān)系1/1602 / 4 / Fnf (t

26、)tT0 =T/ 8f (t)tT0 =T/402 / 8 / 1/ 8Fn4 / 02 / 16 / 1/ 4Fn4 / 8 / tT0 =T/16f (t)周期相同，脈沖寬度不同周期相同，脈沖寬度不同: 譜線間隔不變，但零點位置變化譜線間隔不變，但零點位置變化f (t)2TtT03T4TT=4 f (t)2TtT0T=8 f (t)tT0T=16 f (t)t0T02 / 4 / 1/ 4Fn02 / 4 / /TFn02 / 4 / 1/16Fn02 / 4 / 1/ 8Fn圖圖3.1-7 周期與頻譜的關(guān)系周期與頻譜的關(guān)系周期不同，脈沖寬度相同周期不同，脈沖寬度相同:零點位置不變，譜線間

27、隔變化零點位置不變，譜線間隔變化總結(jié)v1、傅里葉級數(shù)的三角形式、傅里葉級數(shù)的三角形式v2、傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式、傅里葉級數(shù)的指數(shù)形式v3、周期信號的頻譜及其特點。、周期信號的頻譜及其特點。 3.2連續(xù)非周期信號傅里葉變換與頻譜連續(xù)非周期信號傅里葉變換與頻譜 前已指出，當(dāng)周期信號周期趨于無限大時，前已指出，當(dāng)周期信號周期趨于無限大時，相鄰譜線的間隔趨近于無窮小，從而信號的頻譜相鄰譜線的間隔趨近于無窮小，從而信號的頻譜密集成為連續(xù)頻譜。密集成為連續(xù)頻譜。 同時，各頻率分量的幅度也都趨近于無窮小，同時，各頻率分量的幅度也都趨近于無窮小，不過，這些無窮小量之間仍保持一定的比例關(guān)系。不過，這些無窮小量之

28、間仍保持一定的比例關(guān)系。 一、傅里葉變換一、傅里葉變換TFTFjFnTnT lim/1lim)( 令令)( jF稱稱 為為頻譜密度函數(shù)頻譜密度函數(shù)。 為了描述非周期信號的頻譜特性，引入為了描述非周期信號的頻譜特性，引入頻譜密度的概念。頻譜密度的概念。 ntjnneFtf)( 22)(1TTtjnndtetfTF由式由式 ， 可得可得TFTFjFnTnT lim/1lim)( 如何求頻譜密度函數(shù)？如何求頻譜密度函數(shù)？. 22)(TTtjnndtetfTFTTeFtfntjnn1)( 當(dāng)周期當(dāng)周期 趨近于無限大時，趨近于無限大時， 趨近于無窮小，趨近于無窮小，取其取其 為為 ，而，而 將趨近于將趨

29、近于 ， 是變量，當(dāng)是變量，當(dāng) 時，它是離散值，當(dāng)時，它是離散值，當(dāng) 趨趨近于無限小時，它近于無限小時，它 就成為連續(xù)變量，取為就成為連續(xù)變量，取為 ，求和符號改為積分。求和符號改為積分。 Td21T 2dn0于是當(dāng)于是當(dāng) 時，式時，式T 22)(TTtjnndtetfTFTTeFtfntjnn1)( 成為成為)1()(lim)( dtetfTFjFtjnT )2()(21)( dejFtftjdef （1）式稱為函數(shù)）式稱為函數(shù) 的的傅里葉變換傅里葉變換 。)(tf（2）式稱為函數(shù)）式稱為函數(shù) 的的傅里葉逆變換傅里葉逆變換。 )(jF)( jF)(tf)(tf)( jF 稱為稱為 的頻譜密度

30、函數(shù)或頻譜函數(shù)的頻譜密度函數(shù)或頻譜函數(shù). 稱為稱為 的原函數(shù)。的原函數(shù)。 )()( jFtf簡記為簡記為 jFtf , 與周期信號的傅里葉級數(shù)相類似，與周期信號的傅里葉級數(shù)相類似，在在f(t)是實函是實函數(shù)時，數(shù)時， F()、()與與R()、 X()相互之間存在下列相互之間存在下列關(guān)系：關(guān)系： )()()()()( jXRejFjFj dtttfjdtttfdtetfjFtj sincos)()()( dtttfR cos)()()()(22 XRjF )()(arctan)( RX dtttfX sin)(是是 的偶函數(shù)。的偶函數(shù)。 是是 的奇函數(shù)。的奇函數(shù)。 在在f(t)是實函數(shù)時：是實函

31、數(shù)時： (1) 若若f(t)為為t的偶函數(shù)，即的偶函數(shù)，即f(t)=f(-t)，則，則f(t)的頻譜的頻譜函數(shù)函數(shù)F(j)為為的實函數(shù)，的實函數(shù)， 且為且為的偶函數(shù)。的偶函數(shù)。 (2) 若若f(t)為為t的奇函數(shù)，即的奇函數(shù)，即f(-t)=-f(t)，則，則f(t)的頻的頻譜函數(shù)譜函數(shù)F(j)為為的虛函數(shù)，且為的虛函數(shù)，且為的奇函數(shù)。的奇函數(shù)。 與周期信號類似，也可將非周期信號的傅里葉與周期信號類似，也可將非周期信號的傅里葉變換表示式改寫成三角函數(shù)的形式，即變換表示式改寫成三角函數(shù)的形式，即 結(jié)論：結(jié)論： dejFdejFtftjtj)()(21 )(21)( dtjF)(cos)(21 dt

32、jFj)(sin)(21 dtjFtf)(cos)(210 0)(cos)(1 )(cos)(21)( dtjFdtjFtf dfjFdjF 2 上上式表明，非周期信號可看作是由不同頻率的式表明，非周期信號可看作是由不同頻率的余弦余弦“分分 量量”所組成，它包含了頻率從零到無限所組成，它包含了頻率從零到無限大的一切頻率大的一切頻率“分分 量量”。由式可見，。由式可見， 相當(dāng)于各相當(dāng)于各 “分量分量”的振的振幅，它是無窮小量。幅，它是無窮小量。 所以信號的頻譜不能再用幅度表示，而改用所以信號的頻譜不能再用幅度表示，而改用密度函密度函 數(shù)來表示。類似于物質(zhì)的密度是單位體數(shù)來表示。類似于物質(zhì)的密度是

33、單位體積的質(zhì)量，函數(shù)積的質(zhì)量，函數(shù) 可看作是單位頻率的振幅，可看作是單位頻率的振幅，稱稱 為頻譜密度函數(shù)。為頻譜密度函數(shù)。 jF jF)(tg 1例例3.2-1 下圖所示為下圖所示為門函數(shù)門函數(shù)（或稱矩形脈沖），（或稱矩形脈沖），用符號用符號 表示，其寬度為表示，其寬度為 ，幅度為，幅度為 。求其頻譜函數(shù)。求其頻譜函數(shù)。01 tg 2 2 t二、二、 典型信號的傅里葉變換典型信號的傅里葉變換解：解： 如圖所示的門函數(shù)可表示為如圖所示的門函數(shù)可表示為: 2 ,02 ,1 tttg其頻譜函數(shù)為其頻譜函數(shù)為: dtetfjFtj )()( jeedtejjtj 22221)2(2sin2sin22

34、Sajj 2 Satg圖圖 3.2-1 門函數(shù)及其頻譜門函數(shù)及其頻譜一般而言，信號的頻譜函數(shù)需要用幅度譜一般而言，信號的頻譜函數(shù)需要用幅度譜 和相位和相位 譜譜 兩個圖形才能將它完全表示出來。但如果頻譜兩個圖形才能將它完全表示出來。但如果頻譜 函數(shù)是實函數(shù)或虛函數(shù)，那么只用一條曲線即可。函數(shù)是實函數(shù)或虛函數(shù)，那么只用一條曲線即可。 為負代表相位為為負代表相位為 ， 為正代表相位為為正代表相位為 。)(jF)()(jF)(jF001 tg 2 2 t0 2 aSjF 2 4 4 2 實偶實偶實偶實偶由圖可見，第一個零值的角頻率為由圖可見，第一個零值的角頻率為 （頻率（頻率 ）。）。 21當(dāng)脈沖寬

35、度減小時，第一個零值頻率也相應(yīng)增高。當(dāng)脈沖寬度減小時，第一個零值頻率也相應(yīng)增高。 對于矩形脈沖，常取從零頻率到第一個零值頻率對于矩形脈沖，常取從零頻率到第一個零值頻率 之間的頻段為信號的頻帶寬度。之間的頻段為信號的頻帶寬度。 )1(這樣，門函數(shù)的帶寬這樣，門函數(shù)的帶寬 ，脈沖寬度越窄，脈沖寬度越窄， 其占有的頻帶越寬。其占有的頻帶越寬。1f0 jF 2 4 4 2 (時域越窄時域越窄,頻域越寬頻域越寬)例例3.2-2 求下圖所示的求下圖所示的單邊指數(shù)函數(shù)單邊指數(shù)函數(shù)的頻譜函數(shù)的頻譜函數(shù). tet 0t圖圖 3.2-2 單邊指數(shù)函數(shù)單邊指數(shù)函數(shù)1 0 tet解解: 將單邊指數(shù)函數(shù)的表示式將單邊指

36、數(shù)函數(shù)的表示式 代入到式代入到式 tet dtetfjFtj )()(中得：中得：0 1 )()(0 jdteedtetfjFtjttj這是一復(fù)函數(shù)這是一復(fù)函數(shù),將它分為模和相角兩部分：將它分為模和相角兩部分：)()arctan(22)( 11)( jjejFejjF 幅度譜和相位譜分別為：幅度譜和相位譜分別為：221)( jF)arctan()( 頻譜圖如下圖所示：頻譜圖如下圖所示： ()0- / 2 / 2(b) 相位頻譜圖 3.2-3 單邊指數(shù)函數(shù) 0 t te01/(a) 振幅頻譜 jF例例 3.2-3 求下圖所示求下圖所示雙邊指數(shù)信號雙邊指數(shù)信號的頻譜函數(shù)。的頻譜函數(shù)。 et10tf

37、1 (t)e-t解：上圖所示的信號可表示為：解：上圖所示的信號可表示為：tetf )(10 , 或者寫為或者寫為 0 ,0 ,)(1tetetftt 將將 代入到式代入到式 ， 可得其頻譜函數(shù)為：可得其頻譜函數(shù)為：)(1tf dte )t (f)j(Ftj jj 11 001dteedtee)j(Ftjttjt 222 其頻譜圖如下所示其頻譜圖如下所示 ：F1(j)02/2212 )( jF實偶實偶實偶實偶et10tf1 (t)e-t例例3.2-4 求下圖所示信號的頻譜函數(shù)。求下圖所示信號的頻譜函數(shù)。-et10tf2 (t)e-t-1解解: 上圖所示的信號可寫為上圖所示的信號可寫為 ： 0 ,

38、0 ,)( 2tetetftt （其中（其中 ) 0 dtetfjFtj )()(2 jjdteedteetjttjt 110 0 222 j-et10tf2 (t)e-t-1其頻譜圖如下圖所示：其頻譜圖如下圖所示：X2()01/-1/ 22222jXjjF 實奇實奇虛奇虛奇-et10tf2 (t)e-t-1例例3.2-5 求求沖激函數(shù)沖激函數(shù)的頻譜的頻譜 1)()( dtetttj 即單位沖激函數(shù)的頻譜是常數(shù)即單位沖激函數(shù)的頻譜是常數(shù) ，如下圖所示。其頻，如下圖所示。其頻 譜密度在區(qū)間譜密度在區(qū)間 處處相等，常稱為處處相等，常稱為“均勻譜均勻譜”或或“白色頻譜白色頻譜”。 10t (t )01F(j)(a)(b)圖圖3