數(shù)學(xué)建模無處不在(2013年)

1、2022-7-5數(shù)學(xué)建模無處不在 主講人 張引娣一、什么是數(shù)學(xué)建模？（數(shù)學(xué)是什么 ）l數(shù)學(xué)是人們認識世界、探索宇宙奧秘的工具、 手段和方法。l數(shù)學(xué)模型就是用數(shù)學(xué)的語言和方法，通過抽象、簡化、構(gòu)造出近似刻畫現(xiàn)實現(xiàn)象的表達式。l這種從實際現(xiàn)象中抽象，提煉出數(shù)學(xué)模型的過程被稱為數(shù)學(xué)建模（Mathematical Modeling）.2022-7-5（1）理論研究：高度抽象化、理論化，提倡數(shù)學(xué)的自我完善與發(fā)展（如集合論、抽象代數(shù)、群論、哥德巴赫猜想等）。（2）應(yīng)用研究：強調(diào)問題驅(qū)動的應(yīng)用數(shù)學(xué)研究,強調(diào)數(shù)學(xué)與相關(guān)學(xué)科領(lǐng)域交叉融合的主導(dǎo)作用2022-7-5二、數(shù)學(xué)的作用n“世界是一本數(shù)學(xué)語言寫成的書”n李

2、約瑟難題：為什么近代科學(xué)與工業(yè)革命沒有在中國產(chǎn)生？n錢學(xué)森難題：為什么我們的學(xué)?？偸桥囵B(yǎng)不出杰出人才？n科學(xué)技術(shù)的發(fā)展與進步離不開數(shù)學(xué)；2022-7-5李約瑟難題n據(jù)有關(guān)資料,從公元6世紀到17世紀初，在世界重大科技成果中，中國所占的比例一直在54%以上，而到了19世紀，劇降為只占0.4%。中國與西方為什么在科學(xué)技術(shù)上會一個大落，一個大起，拉開如此之大的距離，這就使李約瑟覺得不可思議，久久不得其解的難題。n李約瑟英國著名生物化學(xué)家，后來他因?qū)χ袊萍际费芯康慕艹鲐暙I成為權(quán)威，“如果我的中國朋友們在智力上和我完全一樣，那為什么像伽利略、拓利拆利、斯蒂文、牛頓這樣的偉大人物都是歐洲人，而不是中國人

3、或印度人？”2022-7-5希爾伯特對西爾多-馮-卡門的影響n世界航空航天事業(yè)的奠基人，美籍匈牙利科學(xué)家西爾多-馮-卡門早年曾在哥廷根大學(xué)留學(xué)和工作，他在自傳中講到了這里的兩位數(shù)學(xué)大師克萊因和希爾伯特對他的影響。n哥廷根-曾是世界數(shù)學(xué)中心-普林斯頓高等研究中心。n高斯、狄利克萊、黎曼、克萊因、希爾伯特-1900巴黎國際數(shù)學(xué)大會“23個問題”深深影響了整個20世紀數(shù)學(xué)研究的發(fā)展-促進了量子力學(xué)、愛因斯坦相對論等的發(fā)展研究。2022-7-5哥廷根學(xué)派n高斯、狄利克萊、黎曼、克萊因、希爾伯特n哥廷根的100年歷史可以分為三個階段：高斯開創(chuàng)了哥廷根的數(shù)學(xué)；狄利克萊和黎曼繼承了高斯的傳統(tǒng)并使得哥廷根學(xué)派

4、繼續(xù)發(fā)展；而在克萊因和希爾伯特的手上，哥廷根迎來了它的 黃金時代，成為名副其實的世界數(shù)學(xué)中心，對當時和后世都產(chǎn)生了極為深遠的影響。n基本上是克萊因一個人建立了哥廷根的數(shù)學(xué)體制，使得哥廷根完成了從少數(shù)偉人到全面繁榮的過渡。2022-7-5希爾伯特的23個問題n為什么希爾伯特要在大會上總結(jié)數(shù)學(xué)的基本問題，而不像常人一樣宣講自己的某項成果？這和另一位數(shù)學(xué)巨匠龐加萊(Henri Poincare)有關(guān)，龐加萊在1897年舉行的第一屆國際數(shù)學(xué)家大會上做的是應(yīng)用數(shù)學(xué)方面的報告。他們兩人是當時國際數(shù)學(xué)界中的雙子星座，均為領(lǐng)袖級人物，當然也存在一定的競爭心理。既然龐加萊講述的是自己對物理、數(shù)學(xué)關(guān)系的一般看法，

5、那么希爾伯特就為純粹數(shù)學(xué)做一些辯護2022-7-5希爾伯特問題與20世紀的數(shù)學(xué)n“希爾伯特問題”深深地影響了整個20世紀數(shù)學(xué)研究的發(fā)展。n在解決希爾伯特問題的過程中，20世紀最著名的數(shù)學(xué)家?guī)缀醵甲鬟^貢獻，因為沒有任何一種榮譽能夠比解決這樣一位偉大人物提出的問題更令人神往了。n希爾伯特指出：“只要一門科學(xué)分支能提出大量的問題，它就充滿著生命力，而問題缺乏則預(yù)示著獨立發(fā)展的衰亡和終止。”2022-7-5n事實證明，一方面，純粹數(shù)學(xué)的工作是應(yīng)用的可靠基礎(chǔ)和強大后盾，比如希爾伯特的積分方程論對于20世紀初誕生的量子力學(xué)是一種有效的工具；另一方面，很多純粹數(shù)學(xué)當中的問題往往是由外部現(xiàn)象世界提出的，現(xiàn)實中

6、的問題有時候可以打開純粹數(shù)學(xué)家的研究思路，同時又可以避免純數(shù)學(xué)陷入鉆牛角尖的“死胡同”2022-7-519世紀前號稱數(shù)學(xué)王子幾位數(shù)學(xué)家n阿基米德、牛頓、歐拉、高斯。n高斯一生從事了天文學(xué)、大地測量學(xué)、地磁學(xué)、力學(xué)、屈光學(xué)和其它物理的實驗及理論研究，56歲時與韋伯合作發(fā)明了電報。2022-7-519世紀末20世紀初最偉大的數(shù)學(xué)家nA.N.Kolmogorov-為概率論建立了公立體系的俄羅斯人。nH.Poincare-nD.Hilbert-號稱。數(shù)學(xué)之王，無數(shù)天才的老師2022-7-5三、數(shù)學(xué)建模無處不在l美國首位Nobel經(jīng)濟學(xué)獎獲得者:保羅.薩繆爾森將數(shù)學(xué)分析引入到了經(jīng)濟學(xué)，用數(shù)學(xué)方法精確、清

7、晰地回答和解決經(jīng)濟問題。l我國著名科學(xué)家錢學(xué)森是二十世紀應(yīng)用數(shù)學(xué)和應(yīng)用力學(xué)的領(lǐng)袖人，其代表性的工作之一是創(chuàng)立工程控制論。錢學(xué)森的工程控制論是航天航空工程與數(shù)學(xué)學(xué)科交叉融合的一個范例。2022-7-5歷時最長的數(shù)學(xué)建模問題l萬有引力定律的發(fā)現(xiàn)(1513-1686)l哥白尼(1473-1543)、第谷(1546-1601)l1571-1630 開普勒（J.Kepler）-磁力流l1645年，法國天文學(xué)家布里阿德(I.Bulliadus)第一次提出平方反比關(guān)系的思想l1661年，英國皇家學(xué)會成立了一個專門委員會研究重力問題。羅伯特.胡克(Robert Hooke)、克里斯托夫.雷恩(Christop

8、her Wren)、愛德蒙.哈雷(Edmund Halley)l在引力問題的研究上他們都曾做出過貢獻。2022-7-5羅伯特.胡克的貢獻n早在1661年，羅伯特.胡克就覺察到引力和地球上物體的重力應(yīng)該是有著同樣的本質(zhì)。并大膽提出了關(guān)于引力的三個假設(shè)。n1679年，胡克與牛頓之間進行了關(guān)于引力問題的交流，胡克在信中向牛頓提出，希望他能完成這個定律的數(shù)學(xué)證明與公式推導(dǎo)。n從牛頓與胡克的通信中看出，直到1679年，牛頓對落體引力的問題還沒有徹底解決，-1685年還沒有解決，直到1686年，牛頓才最終解決了它,1687完成自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理。 2022-7-52022-7-5四、數(shù)學(xué)建模常用方法四、數(shù)

9、學(xué)建模常用方法層次分析法層次分析法最小二乘法最小二乘法差分法差分法定性理論法定性理論法優(yōu)化法優(yōu)化法變分法變分法回歸分析法回歸分析法機理分析法機理分析法統(tǒng)計分析法統(tǒng)計分析法聚類分析法聚類分析法主成分分析法主成分分析法馬爾科夫預(yù)測法馬爾科夫預(yù)測法系統(tǒng)分析法系統(tǒng)分析法模糊數(shù)學(xué)法模糊數(shù)學(xué)法灰色系統(tǒng)法灰色系統(tǒng)法2022-7-5五、參考書n1.韓中庚，數(shù)學(xué)建模方法及其應(yīng)用n2.姜啟源，數(shù)學(xué)模型n3.馮杰、黃力偉等數(shù)學(xué)建模原理與案例n4.陳冬彥、李冬梅數(shù)學(xué)建模n5.梁國業(yè)、廖健平數(shù)學(xué)建模n6.薛毅數(shù)學(xué)建模基礎(chǔ)n7.楊啟帆數(shù)學(xué)建模2022-7-52022-7-5優(yōu)化模型是中國大學(xué)生建模競賽常見的類型，占很大的

10、比重。92 年以來，優(yōu)化模型有：94年A題：“逢山開路”設(shè)計最短路徑。95年A題：“一個飛行管理問題”，線性規(guī)劃 和非線性規(guī)劃模型。96年A題：“最優(yōu)捕魚策略”，以微分方程為 基礎(chǔ)的優(yōu)化模型。2022-7-596年B題：“洗衣節(jié)水問題”，以用水量為目 標函數(shù)的優(yōu)化模型。97年A題：“零件的參數(shù)設(shè)計”，隨機優(yōu)化模型。97年B題：“截斷切割”，動態(tài)優(yōu)化模型。98年A題：“投資的收益和風(fēng)險”，雙目標優(yōu) 化模型。98年B題：“災(zāi)情巡視的最佳路線”，0-1線性 規(guī)劃模型。2022-7-599年A題：“自動化車床管理”，雙參數(shù)規(guī)劃模型。99年B題：“鉆井布局”，非線性混合整數(shù)規(guī)劃模型。00年B題：“鋼管訂

11、購和運輸”，二次規(guī)劃模型。01年B題：“公交車調(diào)度”，雙目標規(guī)劃模型。02年A題：“車燈線光源的優(yōu)化設(shè)計”，規(guī)劃模型。2022-7-503年B題：“露天礦生產(chǎn)的車輛安排”，非線性規(guī)劃模型。04年B題：“電力市場的輸電阻塞管理”，雙目 標線性規(guī)劃模型。05年B題：“DVDDVD在現(xiàn)租賃在現(xiàn)租賃”，0-1規(guī)劃模型。06年A題：“出版社的資源優(yōu)化配置出版社的資源優(yōu)化配置”，線性規(guī)劃模型。2022-7-5近年來全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽題n07年A題：中國人口增長預(yù)測。n07年B題：乘公交、看奧運。(多目標優(yōu)化模型)n08年A題：數(shù)碼相機定位問題。n08年B題：高等教育學(xué)費標準探討。n09年A題：制動器試

12、驗臺的控制。n09年B題：眼科病房床位分配。2022-7-5n10年A題：儲油罐的變位識別與罐容表標定。n10年B題：2010上海世博會影響力的定量評估n11年A題：城市表層土壤重金屬污染分析。n11年B題：交巡警平臺設(shè)置問題。n12年A題：紅葡萄酒質(zhì)量的分類與評價問題n12年B題：太陽能小屋的構(gòu)建問題2022-7-5讀題、審題。做什么？答什么？讀題、審題。做什么？答什么？準確把握題意，提出基本假設(shè)。準確把握題意，提出基本假設(shè)。 深入理解題意給出建模及求解思路。深入理解題意給出建模及求解思路。不能滿足于不能滿足于“只做所問只做所問”、“有問必答有問必答”。對求得的結(jié)果要進行檢驗。對求得的結(jié)果要

13、進行檢驗。六、如何完成一次數(shù)學(xué)建模競賽六、如何完成一次數(shù)學(xué)建模競賽2022-7-5關(guān)于撰寫建模論文關(guān)于撰寫建模論文1.摘要摘要2.問題重述問題重述3.模型假設(shè)模型假設(shè)4.問題分析問題分析5.模型建立與求解模型建立與求解6.結(jié)果的分析與檢驗結(jié)果的分析與檢驗7.模型的優(yōu)缺點評價模型的優(yōu)缺點評價8.問題的進一步思考問題的進一步思考(模型推廣模型推廣) . 參考文獻參考文獻2022-7-5數(shù)學(xué)建模競賽答卷要求n結(jié)構(gòu)完整n條理清晰n文字通順n可讀性強n打印規(guī)范2022-7-5數(shù)學(xué)建模競賽評閱章程數(shù)學(xué)建模競賽評閱章程n合理滿意度高的算法合理滿意度高的算法n模型方法正確模型方法正確n表述的清晰程度表述的清晰

14、程度n結(jié)果的正確性結(jié)果的正確性(合理性合理性)n建模的創(chuàng)造性建模的創(chuàng)造性n假設(shè)的合理性假設(shè)的合理性2022-7-51.摘要及問題重述摘要及問題重述n摘要應(yīng)包含有價值的信息：建模思路、模型特點、求解思路、主要結(jié)果，既要概括全文、又要體現(xiàn)特色。摘要應(yīng)回答你做了什么？怎么做的？結(jié)論是什么？特別要突出你的亮點。n問題重述要用自己對題目的理解把題目重述一遍。重述、分析闡述亮點。2022-7-52.假設(shè)及符號說明假設(shè)及符號說明 假設(shè)就是舍去次要的，抓住主要的，對假設(shè)就是舍去次要的，抓住主要的，對實際實際(復(fù)雜復(fù)雜)問題進行簡化，不同的假設(shè)有問題進行簡化，不同的假設(shè)有可能導(dǎo)致不同的模型。不同深度的假設(shè)，可能

15、導(dǎo)致不同的模型。不同深度的假設(shè)，有可能導(dǎo)致不同水平的模型。假設(shè)必須有可能導(dǎo)致不同水平的模型。假設(shè)必須是合理的。即必須符合實際。是合理的。即必須符合實際。 假設(shè)是在做題的過程中不斷形成的，假設(shè)是在做題的過程中不斷形成的，摘要和假設(shè)是在最后完成的。摘要和假設(shè)是在最后完成的。2022-7-5例例1. 2009A題（制動器試驗臺的控制方法分析）題（制動器試驗臺的控制方法分析） 有一些答卷做出了“系統(tǒng)的制動過程是勻減速”之類的假設(shè)。要知道，實驗之前我們對制動器的性能是不知道的，這正是試驗臺工作的目的，所以任何關(guān)于制動力矩與時間的函數(shù)性質(zhì)的假設(shè)都是不適當?shù)摹?2022-7-5“基本假設(shè)基本假設(shè)”起著舉足輕

16、重的作用。起著舉足輕重的作用。根據(jù)不同的假設(shè)有可能得出不同的模型；不同深度的假設(shè)會導(dǎo)致不同水平的模型；不合理的假設(shè)顯然偏離原題。例例2. 2003B題題 (露天礦生產(chǎn)的車輛安排露天礦生產(chǎn)的車輛安排)有一個至關(guān)重要的假設(shè)：“只考慮同一條路線上的只考慮同一條路線上的車輛不發(fā)生等待，并且不進行排時討論車輛不發(fā)生等待，并且不進行排時討論”。這是因為，如果連這一點都做不到，那么等待就是“必然”的；而做到了這一點之后，不同路線上的車輛在某一裝點（或卸點）是否出現(xiàn)等待將是“隨機”的。 2022-7-53.模型及其求解n模型的表述力求簡明、直觀。模型的表述力求簡明、直觀。n要有集中完整的數(shù)學(xué)表述、要有建模過程

17、。要有集中完整的數(shù)學(xué)表述、要有建模過程。n對求解困難的模型也一定要寫出。對求解困難的模型也一定要寫出。n對求解困難的模型可考慮能否簡化求解。對求解困難的模型可考慮能否簡化求解。n一份答卷可以有幾個模型，但不宜過多一份答卷可以有幾個模型，但不宜過多(1-2)。n算法如何選擇的，是否自己設(shè)計的？用什么軟算法如何選擇的，是否自己設(shè)計的？用什么軟件，要是自己的結(jié)論，證明很重要，關(guān)鍵的東件，要是自己的結(jié)論，證明很重要，關(guān)鍵的東西一定要寫在答卷上，要按實際要求給出結(jié)果。西一定要寫在答卷上，要按實際要求給出結(jié)果。2022-7-5必須按照實際問題的需要去做，并且按照實際必須按照實際問題的需要去做，并且按照實際

18、問題的需要給出結(jié)果問題的需要給出結(jié)果n例例2. 2. 2003B2003B題題 ( (露天礦生產(chǎn)的車輛安排露天礦生產(chǎn)的車輛安排) ) 這是一個優(yōu)化問題，用數(shù)學(xué)方法可求得目標這是一個優(yōu)化問題，用數(shù)學(xué)方法可求得目標函數(shù)的最優(yōu)值以及相應(yīng)的決策變量。但是，答卷函數(shù)的最優(yōu)值以及相應(yīng)的決策變量。但是，答卷在表述最終結(jié)果時，在表述最終結(jié)果時，應(yīng)當按照題目的要求具體給應(yīng)當按照題目的要求具體給出出“一個班次的生產(chǎn)計劃一個班次的生產(chǎn)計劃”： 動用幾臺電鏟，在動用幾臺電鏟，在哪幾個鏟位作業(yè)；出動多少量自卸卡車，分別運哪幾個鏟位作業(yè)；出動多少量自卸卡車，分別運行在哪幾條線路上。如果這樣安排，那么一個班行在哪幾條線路上

19、。如果這樣安排，那么一個班次就能生產(chǎn)多少礦石、多少巖石；總運量是多少次就能生產(chǎn)多少礦石、多少巖石；總運量是多少等等。等等。2022-7-5例例3 . 2007B題題 (乘公交，看奧運乘公交，看奧運) 該題的背景是城市公交路徑查詢系統(tǒng)的研制。該題的背景是城市公交路徑查詢系統(tǒng)的研制。該題僅提出該題僅提出“應(yīng)該從實際情況出發(fā)，滿足查詢者的應(yīng)該從實際情況出發(fā)，滿足查詢者的各種不同要求各種不同要求”，并沒有對，并沒有對“什么樣的路徑為最優(yōu)什么樣的路徑為最優(yōu)”提出明確的要求，需要參賽者自己去思考。體現(xiàn)了提出明確的要求，需要參賽者自己去思考。體現(xiàn)了開放性。開放性。 該題前兩問應(yīng)當就題目給定的該題前兩問應(yīng)當就

20、題目給定的6 6對站點分別不對站點分別不同要求（按換乘次數(shù)最少，行程總時間最短，乘車同要求（按換乘次數(shù)最少，行程總時間最短，乘車總費用最?。o出具體的乘車路徑以及相應(yīng)的換總費用最?。?，給出具體的乘車路徑以及相應(yīng)的換乘次數(shù)、行程總時間和乘車總費用。乘次數(shù)、行程總時間和乘車總費用。優(yōu)秀的答卷給優(yōu)秀的答卷給 出了行程總時間最短的路徑（哪怕增加換乘次數(shù)、出了行程總時間最短的路徑（哪怕增加換乘次數(shù)、 增大乘車總費用）增大乘車總費用）2022-7-5 稍加思考便能找出三種主要的要求：稍加思考便能找出三種主要的要求：換乘次數(shù)最少，換乘次數(shù)最少，行程總時間最短，乘車總費用最省行程總時間最短，乘車總費用最省。

21、顯而易見此題。顯而易見此題是一個多目標優(yōu)化問題。是一個多目標優(yōu)化問題。 然而怎樣對待查詢者的各種不同要求呢？然而怎樣對待查詢者的各種不同要求呢？過分過分強調(diào)某一目標（如換乘次數(shù)），或者把三個目標通強調(diào)某一目標（如換乘次數(shù)），或者把三個目標通過加權(quán)合成轉(zhuǎn)化為單目標，都是不合理的，因為不過加權(quán)合成轉(zhuǎn)化為單目標，都是不合理的，因為不符合實際符合實際。 應(yīng)當按不同目標的各種字典序，分別建立不同應(yīng)當按不同目標的各種字典序，分別建立不同的優(yōu)化模型的優(yōu)化模型。 2022-7-54.模型及結(jié)果的評價與檢驗 你的模型、數(shù)據(jù)、算法和結(jié)果都是近似的，你的模型、數(shù)據(jù)、算法和結(jié)果都是近似的，當然需要檢驗。評價部分很重要

22、，最容易被忽視，當然需要檢驗。評價部分很重要，最容易被忽視，不只局限在數(shù)學(xué)上，還要看在實際中是否合理可不只局限在數(shù)學(xué)上，還要看在實際中是否合理可行。有時候自己需要設(shè)計檢驗方法這地方往往能行。有時候自己需要設(shè)計檢驗方法這地方往往能出現(xiàn)亮點。出現(xiàn)亮點。只有進行了檢驗的答卷才有可能評上只有進行了檢驗的答卷才有可能評上全國一等獎。全國一等獎。2022-7-55.數(shù)學(xué)建模的常用預(yù)測方法數(shù)學(xué)建模的常用預(yù)測方法1.插值與擬合方法插值與擬合方法(小樣本內(nèi)部預(yù)測小樣本內(nèi)部預(yù)測)2.回歸模型方法回歸模型方法(大樣本內(nèi)部預(yù)測大樣本內(nèi)部預(yù)測)3.灰預(yù)測灰預(yù)測GM(1,1)模型模型(小樣本的未來預(yù)測小樣本的未來預(yù)測)4.時間序列方法時間序列方法(大樣本的隨即因素或周大樣本的隨即因素或周期特期特 征的未來預(yù)測征的未來預(yù)測)5.神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法(大樣本的未來預(yù)測大樣本的未來預(yù)測)2022-7-5七、數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)展觀七、數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)展觀古代數(shù)學(xué)觀：認識世界（數(shù)與形），個古代數(shù)學(xué)觀：認識世界（數(shù)與形），個人愛好（古代數(shù)學(xué)思想），傳揚中華數(shù)人愛好（古代數(shù)學(xué)思想），傳揚中華數(shù)學(xué)文化，古代數(shù)學(xué)文明。學(xué)文化，古代數(shù)學(xué)文明。近代數(shù)學(xué)觀：改造世界，發(fā)展科學(xué)技術(shù)，近代數(shù)學(xué)觀：改造世界，發(fā)展科學(xué)技術(shù)，促進自然科學(xué)發(fā)展。促進自然科學(xué)發(fā)展。2022-7-5注意注意l求解技巧：求解技巧