中南大學(xué)線性代數(shù)

1、線性空間中向量之間的聯(lián)系，是通過線性空線性空間中向量之間的聯(lián)系，是通過線性空間到線性空間的映射來實現(xiàn)的間到線性空間的映射來實現(xiàn)的映射映射).( ,)( ),(, , , 1ATTBABABA 或或記作記作或映射或映射的變換的變換到集合到集合合合這個對應(yīng)規(guī)則稱為從集這個對應(yīng)規(guī)則稱為從集那么那么和它對應(yīng)和它對應(yīng)中一個確定的元素中一個確定的元素總有總有按照一定規(guī)則按照一定規(guī)則元素元素中任一中任一如果對于如果對于設(shè)有兩個非空集合設(shè)有兩個非空集合定義定義 ,)()(ATAT 變換的概念是函數(shù)概念的推廣變換的概念是函數(shù)概念的推廣即即記記作作象象集集稱稱為為象象的的全全體體所所構(gòu)構(gòu)成成的的集集合合的的源源集

2、集稱稱為為變變換換下下的的源源在在變變換換稱稱為為下下的的象象在在變變換換稱稱為為變變?yōu)闉榘寻言厮鼐途驼f說變變換換設(shè)設(shè)),(,. , ,)(,ATTATTTTA .)(BAT 顯顯然然 ; ,)1(212121 TTTVn 有有任給任給 .,)2( kTkTRkVn 都都有有任任給給.,的的線線性性變變換換到到為為從從就就稱稱那那么么mnUVT滿足滿足如果變換如果變換的變換的變換到到是一個從是一個從性空間性空間維線維線維和維和分別是實數(shù)域上的分別是實數(shù)域上的設(shè)設(shè)定義定義TUVTmnUVmnmn, , 22 2從線性空間從線性空間 到到 的線性變換的線性變換VnUm ., 2)( 下下的的象

3、象在在變變換換代代表表元元素素或或變變換換代代表表線線性性一一般般用用黑黑體體大大寫寫字字母母TTTBAT 說明說明.)1(組合的對應(yīng)的變換組合的對應(yīng)的變換線性變換就是保持線性線性變換就是保持線性., 中的線性變換中的線性變換稱為線性空間稱為線性空間自身的線性變換自身的線性變換到其到其是一個從線性空間是一個從線性空間那么那么如果如果VVTVUnnnm 從線性空間從線性空間 到其自身的線性變換到其自身的線性變換Vn下面主要討論線性空間下面主要討論線性空間 中的線性變換中的線性變換Vn, 3中中在線性空間在線性空間xP例1例1. )1( 是一個線性變換是一個線性變換微分運算微分運算D, 30122

4、33xPaxaxaxap ,231223axaxaDp ,3012233xPbxbxbxbq ,231223bxbxbDq )()()()(0011222333baxbaxbaxbaD )( qpD 從而從而)()(2)(31122233baxbaxba )23()23(12231223bxbxbaxaxa ;DqDp )()(012233akxakxakxakDkpD )23(1223axaxak .kDp .,)( )2(0也是一個線性變換也是一個線性變換那么那么如果如果TapT );()()(00qTpTbaqpT ).()(0pkTakkpT ., 1)()3( 11性變換性變換但不是

5、線但不是線是個變換是個變換那么那么如果如果TpT , 1)(1 qpT, 211)()( 11 qTpT但但).()()( 111qTpTqpT 所以所以.,cossinsincos 的幾何意義的幾何意義說明說明平面上的一個變換平面上的一個變換確定確定由關(guān)系式由關(guān)系式TTxOyyxyxT 例2例2解解 ,sin,cos ryrx記記于是于是 yxT cossinsincosyxyx cossinsincossinsincoscosrrrr,)sin()cos( rr.: 角角轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)向旋向旋把任一向量按逆時針方把任一向量按逆時針方變換變換上式表明上式表明 Txyopp1 證明證明設(shè)設(shè) .,VxgV

6、xf 則有則有 dttgtfxgxfTxa dttgdttfxaxa xgTxfT 例例定義在閉區(qū)間上的全體連續(xù)函數(shù)組成實數(shù)定義在閉區(qū)間上的全體連續(xù)函數(shù)組成實數(shù)域上的一個線性空間域上的一個線性空間 ，在這個空間中變換，在這個空間中變換是一個線性變換是一個線性變換. dttfxfTxa V xkfT故命題得證故命題得證.證明證明則有則有 E EE V ,設(shè)設(shè) dttkfxa tdtfkxa .xfkT . kEkkE 例例線性空間線性空間 中的恒等變換（或稱單位變換）中的恒等變換（或稱單位變換） ：是線性變換是線性變換 .,VE VE所以恒等變換所以恒等變換 是線性變換是線性變換E證明證明 00

7、0000 設(shè)設(shè),V 則有則有 .0000 kkk 所以零變換是線性變換所以零變換是線性變換例例線性空間線性空間 中的零變換中的零變換 ：是線性：是線性變換變換 00 VO證明證明 ,3321321Rbbbaaa 332211,bababaTT 0 ,3232211bbaaba 0 ,0 ,32213221bbbaaa . TT 證畢證畢.例例在在 中定義變換中定義變換則則 不是不是 的一個線性變換的一個線性變換 0 ,3221321xxxxxxT 3R3RT ;, 00. 1 TTT .,. 3 2121亦亦線線性性相相關(guān)關(guān)則則線線性性相相關(guān)關(guān)若若mmTTT ; ,. 222112211mmm

8、mTkTkTkTkkk 則則若若.,2121不不一一定定線線性性無無關(guān)關(guān)則則線線性性無無關(guān)關(guān)若若mmTTT 注注意意證明證明 ,21nVT 設(shè)設(shè),21nV 則則有有,2211 TT使使從而從而2121 TT ,21nVTT ;21nV 因因11 kTk ,1nVTkT ,1nVk 因因由于由于 ,nnVVT 由上述證明知它對由上述證明知它對 中的線中的線nV線性運算封閉，線性運算封閉， 故它是故它是 的子空間的子空間nV.),()( . 4 的象空間的象空間稱為線性變換稱為線性變換的子空間的子空間是一個線性空間是一個線性空間的象集的象集線性變換線性變換TVVTTnn證明證明,21TS 若若,

9、0, 021 TT則則 2121 TTT 0 ;21TS ,1RkST 若若則則 0011 kkTkT .1TSk ,對對線線性性運運算算封封閉閉因因此此TS,nTVS 又又.的的子子空空間間是是故故nTVS ., 0,0. 5 的的核核稱稱為為線線性性變變換換的的子子空空間間是是的的全全體體的的使使TSVTVSTTnnT 階矩陣階矩陣設(shè)有設(shè)有n 例7例7),(21212222111211 nnnnnnnaaaaaaaaaA 為為中的變換中的變換定義定義其中其中)(,21xTyRaaanniiii ),( ,)(RxAxxTn .為線性變換為線性變換則則T,Rban 設(shè)設(shè)則則)(baT )(b

10、aA AbAa );()(bTaT )(kaT)(kaA kAa ).(akT 量空間量空間所生成的向所生成的向的象空間就是由的象空間就是由又又 nT, 21, )(212211RxxxxxxyRTnnnn . 0 間間的解空的解空就是齊次線性方程組就是齊次線性方程組的核的核 AxSTT要證一個變換要證一個變換 是線性變換，必須證是線性變換，必須證 保持保持加法和數(shù)量乘法，即加法和數(shù)量乘法，即 , TTT . kTkT TT若證一個變換若證一個變換 不是線性變換，只須證不是線性變換，只須證 不保不保持加法或數(shù)量乘法，并且只須舉出一個反例即可持加法或數(shù)量乘法，并且只須舉出一個反例即可TT.,)( , 332132133213并分析其幾何意義并分析其幾何意義的一個線性變換的一