必修4-112弧度制-修改版

1、12022年年7月月5日星期二日星期二2 在平面幾何中研究角的度量，當(dāng)時(shí)是用度做單位在平面幾何中研究角的度量，當(dāng)時(shí)是用度做單位來度量角，來度量角，1 1的角是如何定義的？的角是如何定義的？ 角度制周角的周角的 叫做叫做1 1度角度角, ,記為記為1 13601復(fù)習(xí)引入復(fù)習(xí)引入 思考：思考： 在角度制下，當(dāng)把兩個(gè)帶著度、分、秒各在角度制下，當(dāng)把兩個(gè)帶著度、分、秒各單位的角相加、相減時(shí)，由于運(yùn)算進(jìn)率非十進(jìn)制，總單位的角相加、相減時(shí)，由于運(yùn)算進(jìn)率非十進(jìn)制，總給我們帶來不少困難那么我們能否重新選擇角單位，給我們帶來不少困難那么我們能否重新選擇角單位，使在該單位制下兩角的加、減運(yùn)算與常規(guī)的十進(jìn)制加使在該

2、單位制下兩角的加、減運(yùn)算與常規(guī)的十進(jìn)制加減法一樣去做呢？減法一樣去做呢？ 為使用方便，我們經(jīng)常會(huì)用到一種為使用方便，我們經(jīng)常會(huì)用到一種十進(jìn)制十進(jìn)制的度量角的度量角的單位制的單位制-弧度制弧度制.3目的要求目的要求 1.理解弧度制的意義理解弧度制的意義. 2.熟練進(jìn)行角度制與弧度制的換算熟練進(jìn)行角度制與弧度制的換算. 3.能應(yīng)用弧長(zhǎng)公式與扇形面積公式解決有關(guān)能應(yīng)用弧長(zhǎng)公式與扇形面積公式解決有關(guān)問題問題 重點(diǎn)重點(diǎn) : 用弧度制表示角用弧度制表示角 難點(diǎn)難點(diǎn) : 弧度制的概念弧度制的概念重點(diǎn)重點(diǎn) . 難點(diǎn)難點(diǎn)41.弧度制的定義弧度制的定義 長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角叫做長(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)

3、的圓心角叫做 1 弧度的角弧度的角，弧度弧度記作記作rad；這種用弧度度量角的單位制就叫這種用弧度度量角的單位制就叫弧度制弧度制動(dòng)畫展示實(shí)例展示orr1 radAB思考：大小不同的圓中，思考：大小不同的圓中，長(zhǎng)為長(zhǎng)為1的弧所對(duì)的圓心角相的弧所對(duì)的圓心角相等嗎？等嗎？1弧度的角的大小和弧度的角的大小和圓的半徑有關(guān)嗎？圓的半徑有關(guān)嗎？5思考：怎么進(jìn)行角度與弧度的換算？思考：怎么進(jìn)行角度與弧度的換算？orl radAB2.角的弧度數(shù)的計(jì)算角的弧度數(shù)的計(jì)算: 一般地一般地,可以得到可以得到:正角的弧度數(shù)是一正角的弧度數(shù)是一個(gè)正數(shù)個(gè)正數(shù), 負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù), 零零角的弧度數(shù)是

4、角的弧度數(shù)是0.rl（l為弧長(zhǎng)，為弧長(zhǎng)，r為半徑）為半徑）填表：教材填表：教材P6 探究：探究：練習(xí)：當(dāng)練習(xí)：當(dāng)l=6cm,r=2cm時(shí)該弧所對(duì)的圓心角時(shí)該弧所對(duì)的圓心角為多少弧度？為多少弧度？6 若弧是一個(gè)整圓，它的圓心角是周角若弧是一個(gè)整圓，它的圓心角是周角, ,其弧其弧度數(shù)是度數(shù)是2,2,而在角度制里它是而在角度制里它是360360. .因此 360=2 rad 180= rad3.3.角度制與弧度制的換算角度制與弧度制的換算 1 rad 1 rad 1800.017 45 rad18057.3057 18 角度轉(zhuǎn)化為弧度：角度轉(zhuǎn)化為弧度：180 radrad18010)180(1 ra

5、d713567 302 解解：135367 30radrad18028 例例1 按照下列要求按照下列要求,把把6730化成弧度精確值化成弧度精確值題型示范題型示范858180()5288解：解：1rad= 180()例例2. 把把 化成度化成度858注意：注意：一般地，一般地，“弧度弧度”與與“rad“通常略去不寫，而只寫通常略去不寫，而只寫這個(gè)角所對(duì)應(yīng)的弧度數(shù)這個(gè)角所對(duì)應(yīng)的弧度數(shù).如：如：1. =2表示表示2rad的角；的角；的角的正弦值的角的正弦值表示表示rad33sin. 29練習(xí)練習(xí)2：將下列各角度化成弧度：將下列各角度化成弧度：22531202601)(,)(,)(解：3180606

6、01)(321801201202)(451802252253)(10練習(xí)練習(xí)3：將下列各弧度化成角度：將下列各弧度化成角度：解：673432121)(,)(,)(1518012121)()()(21018067673)()(11練習(xí)練習(xí)4：用弧度制表示：用弧度制表示:（1）第二象限的角的集合；）第二象限的角的集合；（2）終邊在）終邊在y軸正半軸上的角的集合軸正半軸上的角的集合 解：（1）Zkkk,36018036090Zkkk),(222,)(Zkk360902,Zkk22注意：角度制與弧度制在表示角的時(shí)候不能混用如：注意：角度制與弧度制在表示角的時(shí)候不能混用如：/2

7、+k3600或或/2+k3600都是錯(cuò)誤的！都是錯(cuò)誤的！12角度弧度060120135270426523064539023341501803236004.4. 特殊角的弧度數(shù)：特殊角的弧度數(shù)：1 rad 1 rad 18018013正角正角零角零角負(fù)角負(fù)角正實(shí)正實(shí)數(shù)數(shù)0 0負(fù)實(shí)負(fù)實(shí)數(shù)數(shù)任意角的集合任意角的集合實(shí)數(shù)集實(shí)數(shù)集R R一一對(duì)應(yīng)一一對(duì)應(yīng)角的概念推廣以后角的概念推廣以后, ,在弧度制下在弧度制下, ,角的集合與角的集合與實(shí) 數(shù) 集實(shí) 數(shù) 集 R 之 間 建 立 了之 間 建 立 了 一 一 對(duì) 應(yīng)一 一 對(duì) 應(yīng) 關(guān) 系關(guān) 系 思考：使用弧度制之后角度和實(shí)數(shù)建立了怎樣的關(guān)系？思考：使用弧度制

8、之后角度和實(shí)數(shù)建立了怎樣的關(guān)系？有什么好處？有什么好處？這種對(duì)應(yīng)關(guān)系使得數(shù)學(xué)中與角相關(guān)的運(yùn)算變得簡(jiǎn)潔這種對(duì)應(yīng)關(guān)系使得數(shù)學(xué)中與角相關(guān)的運(yùn)算變得簡(jiǎn)潔, 相相關(guān)公式也有了更簡(jiǎn)單的形式關(guān)公式也有了更簡(jiǎn)單的形式14其中其中R是半徑，是半徑，l是弧長(zhǎng)，是弧長(zhǎng)，(02)為圓心角為圓心角,S是扇形面積是扇形面積.題型示范題型示范例例3 3 利用弧度制證明下列關(guān)于扇形公式利用弧度制證明下列關(guān)于扇形公式: : 1 lR 2122SR 132SlR15例例3 3 利用弧度制證明下列關(guān)于扇形公式利用弧度制證明下列關(guān)于扇形公式( (2):0為常數(shù)為常數(shù)），），當(dāng)扇形中心當(dāng)扇形中心角為多大時(shí)，扇形面積最大，并求出最大面積

9、角為多大時(shí)，扇形面積最大，并求出最大面積。x=c/4時(shí)，時(shí)，Smax=c2/16.21222324度度030456090120135150180弧度弧度0/6/4/3/22/33/45/6度度210225240270300315330360弧度弧度7/65/44/33/25/37/411/62對(duì)應(yīng)關(guān)系對(duì)應(yīng)關(guān)系25弧度制是以“弧度”為單位度量角的制度，角度制是以“度”為單位度量角的制度； 的大小，而是圓的所對(duì)的圓心角（或該?。?13601弧度是等于半徑長(zhǎng)的圓弧所對(duì)的圓心角（或該弧）的大?。徊徽撌且浴盎《取边€是以“度”為單位的角的大小都是一個(gè)與半徑大小無關(guān)的定值角度制與弧度制的比較度弧比較度弧比較

10、26（1）弧度；180“弧化角”時(shí)，將乘以 ；180180(2）“角化弧”時(shí), 將n乘以；（其中l(wèi)為圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng),為圓心角的弧度數(shù),r為圓半徑.)lr（3）弧長(zhǎng)公式：21122Slrr扇形面積公式：課堂小結(jié)課堂小結(jié)27定義定義 弧長(zhǎng)與半徑相等的弧所對(duì)應(yīng)的圓心角大小為弧度制度弧長(zhǎng)與半徑相等的弧所對(duì)應(yīng)的圓心角大小為弧度制度量角的單位，稱為量角的單位，稱為 1 弧度弧度，弧度弧度記作記作rad； 這種用弧度度量角的單位制就叫弧度制這種用弧度度量角的單位制就叫弧度制展示結(jié)論展示結(jié)論（1）弧度的大小是弧長(zhǎng)與半徑的一個(gè)比值）弧度的大小是弧長(zhǎng)與半徑的一個(gè)比值（2）弧度的大小與所在圓的半徑無關(guān)）弧度的大小

11、與所在圓的半徑無關(guān)例1：當(dāng)l=6cm,r=2cm時(shí)該弧所對(duì)的圓心角 為多少弧度？解：由弧度制的定義可知 radrl326注：這里角注：這里角 的加絕對(duì)值符號(hào)，是因?yàn)闆]有考慮角的符號(hào)的加絕對(duì)值符號(hào)，是因?yàn)闆]有考慮角的符號(hào) 例1：當(dāng)l=6cm,r=2cm時(shí)該弧所對(duì)的圓心角 為多少弧度？解：由弧度制的定義可知 281. 在半徑為在半徑為R的圓中，的圓中，240 的中心角所對(duì)的弧的中心角所對(duì)的弧長(zhǎng)為長(zhǎng)為 ，面積為，面積為2R2的扇形的中的扇形的中心角等于心角等于 弧度?；《?。解：（解：（1）240= ，根據(jù)，根據(jù)l=R，得，得4343lR（2）根據(jù)）根據(jù)S= lR= R2，且，且S=2R2.2121所

12、以所以 =4.練一練練一練292.集合集合則有則有( ) A. B. C. D.,2442kkMx xkZNx xkZMNMNMNMN C方法一：方法一：從從“數(shù)數(shù)”的角度列舉；的角度列舉；方法二：方法二：從從“數(shù)數(shù)”的角度化為相同結(jié)構(gòu)的角度化為相同結(jié)構(gòu)( (兩法：帶或兩法：帶或不帶不帶 ) )；方法三：方法三：從從“形形”的角度列舉；的角度列舉；方法四：方法四：用幾個(gè)具體的角進(jìn)行用幾個(gè)具體的角進(jìn)行“篩選篩選”. .302.終邊落在終邊落在x軸的正半軸軸的正半軸的角的集合的角的集合 ； x軸的負(fù)半軸軸的負(fù)半軸的角的集合的角的集合 ； 終邊落在終邊落在y軸的正半軸軸的正半軸的角的集合的角的集合

13、； y軸的負(fù)半軸軸的負(fù)半軸的角的集合的角的集合 ； 終邊落在終邊落在x軸軸上的角的集合上的角的集合 ； y軸軸上的角的集合上的角的集合 。 2,kkZ 2,kkZ 2,2kkZ 2,2kkZ ,kkZ ,2kkZ 313.第一象限角為：第一象限角為： 第二象限角為：第二象限角為： 第三象限角為：第三象限角為： 第四象限角為：第四象限角為： (2,2),2kkkZ(2,2),2kkkZ (2,2),2kkkZ(2,2),2kkkZ325例.,cm4,cm82度度數(shù)數(shù)求求該該扇扇形形的的圓圓心心角角的的弧弧面面積積為為已已知知扇扇形形的的周周長(zhǎng)長(zhǎng)為為 LR:解解則由則由弧長(zhǎng)為弧長(zhǎng)為設(shè)扇形半徑為設(shè)扇

14、形半徑為,L,R8LR2 4LR21 4L2R 得得解解的弧度數(shù)為的弧度數(shù)為故該扇形的圓心角故該扇形的圓心角 RL 24 2 33練習(xí)、下列角的終邊相同的是（）A4kkk，42與與與與B322kk，3C2kkk，2 D 12kkk ，3B34 1 1、已知扇形周長(zhǎng)為、已知扇形周長(zhǎng)為6cm6cm，面積為，面積為2cm2cm2 2，則扇形，則扇形圓心角的弧度數(shù)為圓心角的弧度數(shù)為 A A、1 B1 B、4 C4 C、1 1或或4 D4 D、2 2或或4 4C 2 2、當(dāng)圓心角、當(dāng)圓心角=-216=-216o o，弧長(zhǎng)，弧長(zhǎng)l l =7cm=7cm時(shí)，其半徑時(shí)，其半徑r=_r=_35cm6 3 3、在

15、半徑為、在半徑為 的圓中，圓心角為周角的的圓中，圓心角為周角的 的角的角所對(duì)圓弧的長(zhǎng)為所對(duì)圓弧的長(zhǎng)為_30 2340 4 4、若、若2 rad2 rad的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)是4cm4cm，則這個(gè)，則這個(gè)圓心角所在扇形的面積為圓心角所在扇形的面積為_4cm23537作業(yè) 1.已知一扇形的周長(zhǎng)為40cm，當(dāng)它的半徑和圓心角取什么值時(shí)，才能使扇形的面積最大？最大面積是多少？解:設(shè)半徑為R,則扇形弧長(zhǎng)為40-2R;則S扇形=(1/2)*(40-2R)*R=-R+20R=-(R-10)+100.則當(dāng)R=10cm時(shí)，扇形的面積最大，最大為100cm;設(shè)圓心角為n度.由S扇形=nR/360

16、，得：100=n*10/360, n=(360/)114.6;答:當(dāng)半徑為10cm,圓心角為（360/)時(shí)，才能使扇形面積最大，最大是100cm. 3839返回目錄返回目錄 已知角已知角是第四象限角，求是第四象限角，求 與與 所在的象限所在的象限.角角在第四象限，在第四象限，2k+ 2k+2（kZ）,即即k+ k+(kZ).當(dāng)當(dāng)k取偶數(shù)時(shí)，取偶數(shù)時(shí)， 是第二象限角；當(dāng)是第二象限角；當(dāng)k取奇數(shù)時(shí)，取奇數(shù)時(shí)， 是第是第 四四象限角象限角.用同樣的方法得用同樣的方法得 + + (kZ).當(dāng)當(dāng)k=3n（nZ）時(shí)，）時(shí)， 是第二象限角是第二象限角;當(dāng)當(dāng)k=3n+1(nZ)時(shí)，時(shí)， 是第三象限角是第三象限角;當(dāng)當(dāng)k=3n+2(nZ)時(shí)，時(shí)， 是第四象限角是第四象限角.3a2a23 43 2a2a2a32 k2 3a32 k32 3a3a3a40 已知扇形的周長(zhǎng)是8，（1）若圓心角=2，求弧長(zhǎng)l（注 l/r）（2）若弧長(zhǎng)為6，求扇形的面積S 解：扇形的周長(zhǎng)是8，（1）若圓心角=2，弧長(zhǎng)l，所以l=2r，l+2r=8，所以l=4，；（2）若弧長(zhǎng)為6，半徑r=1，所以扇形的面積S=1/2lr3 41象限角的表示象限角的表示Zkkk,36090360|第一第一象限象限Zkkk,222|第二第二象限象限Zkk