東大課件-第4章 根軌跡法_清華版_

1、東北大學東北大學自動控制原理自動控制原理課程組課程組東北大學自動控制原理課程組2 主要內(nèi)容主要內(nèi)容n根軌跡的基本概念根軌跡的基本概念n根軌跡的繪制法則根軌跡的繪制法則n用根軌跡法分析系統(tǒng)的暫態(tài)特性用根軌跡法分析系統(tǒng)的暫態(tài)特性n小結(jié)小結(jié)東北大學自動控制原理課程組3學習重點學習重點v了解根軌跡的基本特性和相關(guān)概念了解根軌跡的基本特性和相關(guān)概念v了解根軌跡的類型劃分，熟練掌握根軌跡的分了解根軌跡的類型劃分，熟練掌握根軌跡的分類原則類原則v掌握根軌跡的繪制法則，并能夠熟練地應用到掌握根軌跡的繪制法則，并能夠熟練地應用到根軌跡的繪制過程中根軌跡的繪制過程中v學會應用主導極點、偶極子等概念近似分析系學會應

2、用主導極點、偶極子等概念近似分析系統(tǒng)的性能統(tǒng)的性能v了解根軌跡形狀與系統(tǒng)性能指標之間的關(guān)系了解根軌跡形狀與系統(tǒng)性能指標之間的關(guān)系東北大學自動控制原理課程組4根軌跡法根軌跡法 一種由一種由傳遞函數(shù)求傳遞函數(shù)求特征根的簡便方法。特征根的簡便方法。它是一種用圖解方法表示特征根與系統(tǒng)參數(shù)的全部它是一種用圖解方法表示特征根與系統(tǒng)參數(shù)的全部數(shù)值關(guān)系的方法。數(shù)值關(guān)系的方法。 19481948年，由伊文思（年，由伊文思（W.R.EvansW.R.Evans）提出。）提出。根軌跡法的任務根軌跡法的任務 由已知的開環(huán)零極點和根軌跡增益，用圖解方由已知的開環(huán)零極點和根軌跡增益，用圖解方法確定閉環(huán)極點。法確定閉環(huán)極點

3、。 東北大學自動控制原理課程組5根軌跡根軌跡 系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的某一個參數(shù)從零系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)的某一個參數(shù)從零變化到無窮大時，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根變化到無窮大時，閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根在在 S S 平面上的變化軌跡。平面上的變化軌跡。東北大學自動控制原理課程組6)15 .0(ssK例例4.1 二階系統(tǒng)的根軌跡二階系統(tǒng)的根軌跡閉環(huán)傳遞函數(shù)閉環(huán)傳遞函數(shù)特征方程特征方程閉環(huán)極點閉環(huán)極點2( )220D sssK22( )22BKWsssK1211 211 2sKsK 東北大學自動控制原理課程組7 研究開環(huán)放大系數(shù)研究開環(huán)放大系數(shù)K K與閉環(huán)特征根的關(guān)系。當取不同與閉環(huán)特征根的關(guān)系。當取不同K K值值時

4、，算得閉環(huán)特征根如下：時，算得閉環(huán)特征根如下：K K0 00 0-2-20.50.5-1-1-1-11 1-1+j-1+j-1-j-1-j2 2-1+j-1+j-1-j-1-j-1+j-1+j-1-j-1-j1s332s東北大學自動控制原理課程組8K K由由00變化時，閉環(huán)特征根在變化時，閉環(huán)特征根在S S平面上移動的平面上移動的軌跡如下圖所示。這就是該系統(tǒng)的根軌跡。軌跡如下圖所示。這就是該系統(tǒng)的根軌跡。根軌跡直觀地表示了根軌跡直觀地表示了參數(shù)參數(shù)K K變化時，閉環(huán)特變化時，閉環(huán)特征根的變化，并且還征根的變化，并且還給出了參數(shù)給出了參數(shù)K K對閉環(huán)特對閉環(huán)特征根在征根在S S平面上分布的平面上

5、分布的影響。影響。東北大學自動控制原理課程組9根軌跡方程根軌跡方程控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖開環(huán)傳遞函數(shù)開環(huán)傳遞函數(shù))()()()()()()()()(11212121sDsNKpszsKsDsDsNsNKKsWgnjjmiigK東北大學自動控制原理課程組10式中：式中： 開環(huán)零點；開環(huán)零點； 開環(huán)極點。開環(huán)極點。閉環(huán)系統(tǒng)特征方程式為閉環(huán)系統(tǒng)特征方程式為或可寫作或可寫作izjp( )11( )0( )gKK N sWsD s gnjjmiiKpszssDsN1)()()()(11東北大學自動控制原理課程組11 這個方程式表達了開環(huán)傳遞函數(shù)與閉環(huán)這個方程式表達了開環(huán)傳遞函數(shù)與閉環(huán)特征方程式的關(guān)

6、系，該方程的解即為閉環(huán)特征特征方程式的關(guān)系，該方程的解即為閉環(huán)特征根，因此該式又稱為根，因此該式又稱為根軌跡方程根軌跡方程。 上式是一個復數(shù)，可表示成幅值和輻角的上式是一個復數(shù)，可表示成幅值和輻角的形式，則根軌跡方程又可分別表示成：形式，則根軌跡方程又可分別表示成：gnjjmiiKpszssDsN1)()()()(11東北大學自動控制原理課程組12幅值條件：幅值條件： 1111()()miiiinjjjjszlN sD sLsp1gssK開環(huán)有限零點到 點的矢量長度之積開環(huán)極點到 點的矢量長度之積東北大學自動控制原理課程組13輻角條件：（充分必要條件）輻角條件：（充分必要條件）式中：式中： 開

7、環(huán)有限零點到開環(huán)有限零點到s s點的矢量輻角；點的矢量輻角； 開環(huán)極點到開環(huán)極點到s s點的矢量輻角；點的矢量輻角； 滿足幅值條件和輻角條件的滿足幅值條件和輻角條件的s s值，就是特征方程式的值，就是特征方程式的根，也就是閉環(huán)極點。根，也就是閉環(huán)極點。 1111()()mnmnijijijijN sszspD s180 (12 )(0,1,2,)o ij東北大學自動控制原理課程組14 因為因為 在在0范圍內(nèi)連續(xù)變化，總有一范圍內(nèi)連續(xù)變化，總有一個值能滿足幅值條件。所以，繪制根軌跡的個值能滿足幅值條件。所以，繪制根軌跡的依據(jù)是輻角條件。依據(jù)是輻角條件。 利用幅值條件計算利用幅值條件計算 值比較方

8、便，它可值比較方便，它可以作為計算以作為計算 值的依據(jù)。值的依據(jù)。gKgKgK東北大學自動控制原理課程組15 繪制根軌跡的一般步驟繪制根軌跡的一般步驟（1 1）求出）求出 和和 時的特征根；時的特征根；（2 2）根據(jù)繪制法則大致畫出）根據(jù)繪制法則大致畫出 時的根軌跡時的根軌跡草圖；草圖；（3 3）利用輻角條件，對根軌跡的某些重要部分精確）利用輻角條件，對根軌跡的某些重要部分精確繪制繪制。0gK gK 0gK 東北大學自動控制原理課程組16 4.2.1 4.2.1 繪制根軌跡的一般法則繪制根軌跡的一般法則1 1 起點（起點（ ） 時，閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程式等效為時，閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程式等效為上式即

9、為開環(huán)系統(tǒng)的特征方程式。所以，當上式即為開環(huán)系統(tǒng)的特征方程式。所以，當 = 0= 0時，時，閉環(huán)極點也就是開環(huán)極點。閉環(huán)極點也就是開環(huán)極點。0gK gK0gK njjpssD10)()(東北大學自動控制原理課程組17 2. 2. 終點終點（ ）當當 時，閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程式等效為時，閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程式等效為上式表明，當上式表明，當 時，閉環(huán)極點也就是開環(huán)有限零時，閉環(huán)極點也就是開環(huán)有限零點。點。 今設今設 為為m階方程，故有階方程，故有m個開環(huán)有限零點決定個開環(huán)有限零點決定了閉環(huán)極點的位置，尚有了閉環(huán)極點的位置，尚有n-m個閉環(huán)極點，隨著個閉環(huán)極點，隨著 ，它們都趨向無限遠（無限零點）它們都

10、趨向無限遠（無限零點）。gK gK gK gK miizssN10)()( N s東北大學自動控制原理課程組18 3. 3. 根軌跡分支數(shù)和它的對稱性根軌跡分支數(shù)和它的對稱性 根軌跡分支數(shù)取決于閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程式根軌跡分支數(shù)取決于閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程式中中s s的最高次項，即為的最高次項，即為max(n,m)條。條。 閉環(huán)系統(tǒng)的特征根只有實數(shù)根和共軛復根，閉環(huán)系統(tǒng)的特征根只有實數(shù)根和共軛復根，故根軌跡都對稱于實軸故根軌跡都對稱于實軸。 東北大學自動控制原理課程組19 4實軸上的根軌跡實軸上的根軌跡 根軌跡左側(cè)的實數(shù)零、極點到根軌跡的矢量輻角根軌跡左側(cè)的實數(shù)零、極點到根軌跡的矢量輻角總為零；復平

11、面上的所有零、極點是共軛的，它們到總為零；復平面上的所有零、極點是共軛的，它們到實軸上根軌跡的矢量輻角之和也總為零。根軌跡右側(cè)實軸上根軌跡的矢量輻角之和也總為零。根軌跡右側(cè)的實數(shù)零、極點到根軌跡的矢量輻角均為的實數(shù)零、極點到根軌跡的矢量輻角均為180180 。結(jié)論：結(jié)論：在實軸上根軌跡分支存在的區(qū)間的右側(cè)，開環(huán)在實軸上根軌跡分支存在的區(qū)間的右側(cè)，開環(huán)零、極點數(shù)目的總和為奇數(shù)。零、極點數(shù)目的總和為奇數(shù)。東北大學自動控制原理課程組20 證明：證明：設設 為實軸上根軌跡右側(cè)的開環(huán)有限零點數(shù)目，為實軸上根軌跡右側(cè)的開環(huán)有限零點數(shù)目， 為實軸上根軌跡右側(cè)的開環(huán)極點數(shù)目，為實軸上根軌跡右側(cè)的開環(huán)極點數(shù)目，

12、 由輻角條件由輻角條件 整理得整理得 所以，實軸上存在根軌跡的條件應滿足所以，實軸上存在根軌跡的條件應滿足11(1 2 )mnijzpijNN ()2()(12 )zzzpzzpNNNNNNN ), 2, 1, 0(21pzNNzNpN東北大學自動控制原理課程組21例如下圖所示，對于根軌跡例如下圖所示，對于根軌跡 ；對根軌跡對根軌跡 ；對根軌跡；對根軌跡 。它們都是奇數(shù)。它們都是奇數(shù)。,11,0zppzA NNNN,5zpC NN,3zpB NN東北大學自動控制原理課程組225 5分離點和會合點分離點和會合點 兩條或兩條以上的根軌跡分支在兩條或兩條以上的根軌跡分支在 s s 平面上相遇又立即平

13、面上相遇又立即分開的點稱為分離點（或會合點）。分開的點稱為分離點（或會合點）。 在下圖上畫出了兩條根軌跡。我們把在下圖上畫出了兩條根軌跡。我們把a a點叫做分離點，點叫做分離點，b b點叫做會合點。它們表示當點叫做會合點。它們表示當 ，特征方程式，特征方程式會出現(xiàn)重根。會出現(xiàn)重根。 12ssss或時東北大學自動控制原理課程組23 ( )1( )10( )1( )( )( )0KgKgN sWsKD sWsK N sD s 0)()( )()( sDsNsNsD 分離點（會合點）的坐標分離點（會合點）的坐標 由下列方程所決定由下列方程所決定ds整理得整理得東北大學自動控制原理課程組24說明：說明

14、： 用分離點方程式求解后，需將所求結(jié)果代用分離點方程式求解后，需將所求結(jié)果代入特征方程式中驗算。只有當與之對應的入特征方程式中驗算。只有當與之對應的 值為值為正值時，這些分離點才是實際的分離點或會合點。正值時，這些分離點才是實際的分離點或會合點。gK東北大學自動控制原理課程組25n如果實軸上相鄰開環(huán)極點之間存在根軌跡，如果實軸上相鄰開環(huán)極點之間存在根軌跡，則在此區(qū)間上必有分離點。則在此區(qū)間上必有分離點。n如果實軸上相鄰開環(huán)零點之間存在根軌跡，如果實軸上相鄰開環(huán)零點之間存在根軌跡，則在此區(qū)間上必有會合點。則在此區(qū)間上必有會合點。 東北大學自動控制原理課程組26 例例4-2 已知開環(huán)傳遞函數(shù)為已知

15、開環(huán)傳遞函數(shù)為 式中，式中， ，求分離點和會合點。，求分離點和會合點。112( )()( )( )()()ggKK N sKszWsD sspsp1120,0gKzpp解解 由已知：由已知：1)(zssN)()(21pspssD12( )(2)D sspp( )1N s東北大學自動控制原理課程組27 代入分離點和會合點方程，有代入分離點和會合點方程，有由此得分離點和會合點分別為由此得分離點和會合點分別為( )( )( ) ( )D s N sN s D s12112(2)()()()0sppszspsp)(211111pzpzzs)(211112pzpzzs東北大學自動控制原理課程組28該系統(tǒng)

16、的根軌跡圖如下圖所示。該系統(tǒng)的根軌跡圖如下圖所示。東北大學自動控制原理課程組296 根軌跡的漸近線根軌跡的漸近線 研究根軌跡是按什么走向趨向無窮遠。研究根軌跡是按什么走向趨向無窮遠。 當當 nm 時，則有（時，則有（n-m) 條根軌跡分支終止于條根軌跡分支終止于無限零點無限零點。這些趨向無窮遠的根軌跡分支的漸近。這些趨向無窮遠的根軌跡分支的漸近線由與實軸的線由與實軸的夾角夾角和和交點交點來確定。來確定。 東北大學自動控制原理課程組30180 (12 )(0,1,2,)nm無窮遠處的特征根，到無窮遠處的特征根，到S平面上所有開環(huán)有限零點和極點平面上所有開環(huán)有限零點和極點的矢量輻角都相等，均為的矢

17、量輻角都相等，均為 ，即，即ji1118012mnijijmn 獨立的漸近線只有（獨立的漸近線只有（n-m）條。）條。（1）漸近線的傾角）漸近線的傾角代入輻角條件得代入輻角條件得即漸近線的傾角為即漸近線的傾角為東北大學自動控制原理課程組31gnjjnjnjnmiimimimnjjmiiKpspszszspszssDsN1)()()()(11111111111111()n mnmkgn mn mjijisKspzs當當 時，時， ，即得，即得ksskjipz（2）漸近線的交點）漸近線的交點k由幅值條件由幅值條件東北大學自動控制原理課程組32令上式中等式兩邊的項系數(shù)相等，令上式中等式兩邊的項系數(shù)相

18、等，即得即得漸近線的漸近線的交點交點mnzpmiinjjk11由于由于 和和 是實數(shù)或共軛復數(shù)，故是實數(shù)或共軛復數(shù)，故 必為實數(shù)，必為實數(shù)，因此因此漸近線交點總在實軸上漸近線交點總在實軸上。jpizk東北大學自動控制原理課程組33例例4-3 4-3 設開環(huán)傳遞函數(shù)為設開環(huán)傳遞函數(shù)為)4)(1()(sssKsWgK180 (12 )180 (12 )60 ,60 ,18030nm 試確定其根軌跡漸近線。試確定其根軌跡漸近線。解解 （1 1）計算漸近線傾角。）計算漸近線傾角。 因為因為 , ,所以所以可得漸近線傾角為可得漸近線傾角為0,3mn東北大學自動控制原理課程組34111405303nmji

19、jikpznm 因為因為 ；所以漸近線交點為所以漸近線交點為0120,1,4;0,3pppmn（2）計算漸近線交點。）計算漸近線交點。東北大學自動控制原理課程組357 根軌跡的出射角和入射角根軌跡的出射角和入射角出射角出射角 ：根軌跡離開：根軌跡離開S S平面上開環(huán)極點處的切平面上開環(huán)極點處的切線與實軸的夾角。線與實軸的夾角。入射角入射角 ：根軌跡進入：根軌跡進入S S平面上開環(huán)零點處的切平面上開環(huán)零點處的切線與實軸的夾角。線與實軸的夾角。scsr東北大學自動控制原理課程組36例例4-4 已知開環(huán)傳遞函數(shù)為已知開環(huán)傳遞函數(shù)為試計算起點（試計算起點（-1+j1）的斜率。）的斜率。)22)(3()

20、2()(2sssssKsWgK東北大學自動控制原理課程組37把以上諸值代入輻角條件，即得起點（把以上諸值代入輻角條件，即得起點（-1+j1）的出射角為）的出射角為解解 令令 稍為增大，在（稍為增大，在（-1+j1）附近的特征根）附近的特征根 應滿足輻應滿足輻角條件，即角條件，即ksks11234()180 (12 ) 426.6 112345 ,135 ,26.690，解得解得東北大學自動控制原理課程組38111180nmscjiji111180nmsrjiji同理可得同理可得入射角入射角的計算公式為的計算公式為通過這個例子，可以得到計算通過這個例子，可以得到計算出射角出射角的公式為的公式為東

21、北大學自動控制原理課程組39 8根軌跡與虛軸的交點根軌跡與虛軸的交點 根軌跡與虛軸相交時，特征方程式的根根軌跡與虛軸相交時，特征方程式的根 ，此時系，此時系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，令此時的統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)，令此時的 。由此可計算對應的。由此可計算對應的臨界放大系數(shù)臨界放大系數(shù) 值。值。 確定交點的方法：確定交點的方法： （1 1）把）把 代入特征方程式；代入特征方程式； （2 2）利用勞斯判據(jù)）利用勞斯判據(jù)。 sj lKglKKsj 東北大學自動控制原理課程組40例例4-5 設有開環(huán)傳遞函數(shù)為設有開環(huán)傳遞函數(shù)為 試確定根軌跡與虛軸的交點，并計算臨界放大系數(shù)。試確定根軌跡與虛軸的交點，并計算臨界放

22、大系數(shù)。 2( )(1)(0.51)(1)(2)KKKKKWss sss ss32( )3220KF ssssK假設假設 時根軌跡與虛軸相交，于是令上式中時根軌跡與虛軸相交，于是令上式中sjKlKK解解 方法（方法（1 1） 根據(jù)給定的開環(huán)傳遞函數(shù)，可得特征方程式為根據(jù)給定的開環(huán)傳遞函數(shù)，可得特征方程式為東北大學自動控制原理課程組41 則得則得 亦即亦即 解得：解得： ， ，對應根軌跡的起點；，對應根軌跡的起點； ， ，對應根軌跡與虛軸相交。，對應根軌跡與虛軸相交。 交點處的（臨界放大系數(shù)）為交點處的（臨界放大系數(shù)）為 0KK3KK00)2(32)(32jKjFl2323020lK2 3lK

23、東北大學自動控制原理課程組42方法（方法（2 2） 用勞斯判據(jù)計算交點和臨界放大系數(shù)用勞斯判據(jù)計算交點和臨界放大系數(shù)3213s2s2KK1s223KK0s2KK32( )3220KF ssssK勞斯表勞斯表特征方程特征方程東北大學自動控制原理課程組43在第一列中，令在第一列中，令 行等于零，則得臨界放大系數(shù)行等于零，則得臨界放大系數(shù) 根軌跡與虛軸的交點可根據(jù)根軌跡與虛軸的交點可根據(jù) 行的輔助方程求得，即行的輔助方程求得，即 令上式中令上式中 ，即得根軌跡與虛軸的交點為，即得根軌跡與虛軸的交點為 3KK2sj 2s2320KsK3KlKK1s東北大學自動控制原理課程組44 9 根軌跡的走向根軌跡

24、的走向 如果特征方程的階次如果特征方程的階次 ，則一些根軌跡右行時，則一些根軌跡右行時，另一些根軌跡必左行另一些根軌跡必左行 。說明：把特征方程式改為說明：把特征方程式改為式中：式中： 是一個常數(shù)，它是各特征根之和。這表明，是一個常數(shù)，它是各特征根之和。這表明，隨著隨著 值改變，一些特征根增大時，另一些特征根必減小。值改變，一些特征根增大時，另一些特征根必減小。 2mn 1111()0nnnkjnjWssRsa sanjjRa11gK東北大學自動控制原理課程組45根軌跡繪制法則歸納如下：根軌跡繪制法則歸納如下：（1 1）起點（起點（ ）。開環(huán)傳遞函數(shù)的極點即根軌跡）。開環(huán)傳遞函數(shù)的極點即根軌跡

25、的起點。的起點。（2 2）終點（終點（ ）。根軌跡的終點即開環(huán)傳遞函數(shù)）。根軌跡的終點即開環(huán)傳遞函數(shù)的零點（包括的零點（包括 個有限零點和個有限零點和 個無限零個無限零點）。點）。（3 3）根軌跡數(shù)目及對稱性。根軌跡數(shù)目為根軌跡數(shù)目及對稱性。根軌跡數(shù)目為 ，根軌跡對稱于實軸。根軌跡對稱于實軸。（4 4）實軸上的根軌跡。實軸上根軌跡右側(cè)的零點、實軸上的根軌跡。實軸上根軌跡右側(cè)的零點、極點之和應是奇數(shù)。極點之和應是奇數(shù)。0gKgK max( ,)n mnmm東北大學自動控制原理課程組46（5 5）分離點與會合點。分離點與會合點滿足方程）分離點與會合點。分離點與會合點滿足方程 0)()( )()(

26、sDsNsNsD（6 6）根軌跡的漸近線。根軌跡的漸近線。 漸近線的傾角漸近線的傾角 180 (12 )(0,1,2,)nm漸近線交點漸近線交點 11nmjijikpznm東北大學自動控制原理課程組47（9 9）根軌跡走向。根軌跡走向。 如果特征方程的階次如果特征方程的階次 ，則一些根軌跡，則一些根軌跡右行時，另一些根軌跡必左行右行時，另一些根軌跡必左行。2mn（8 8）根軌跡與虛軸交點。把根軌跡與虛軸交點。把 代入特征方程式代入特征方程式 ，即，即可解出交點處的臨界可解出交點處的臨界 值和交點坐標。值和交點坐標。sj gK入射角入射角njmiijosr111180111180njmiijos

27、c出射角出射角（7 7）根軌跡的出射角與入射角。根軌跡的出射角與入射角。 東北大學自動控制原理課程組48 4.2.2 4.2.2 自動控制系統(tǒng)的根軌跡自動控制系統(tǒng)的根軌跡1. 1. 二階系統(tǒng)二階系統(tǒng) 設二階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下圖所示。它的開環(huán)傳遞函數(shù)為設二階系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下圖所示。它的開環(huán)傳遞函數(shù)為( )1(1)()gKKKKWssTss sT東北大學自動控制原理課程組49二階系統(tǒng)的根軌跡圖如右圖所示。二階系統(tǒng)的根軌跡圖如右圖所示。gK如果要使得系統(tǒng)的阻尼比為如果要使得系統(tǒng)的阻尼比為 21則從原點作阻尼線則從原點作阻尼線0R, 交根軌跡于交根軌跡于R（見右圖）。（見右圖）。 開環(huán)放大系數(shù)開環(huán)放大系

28、數(shù) 應為應為 KK12KKT上式和第三章第三節(jié)用分析法所得的二階工程最佳上式和第三章第三節(jié)用分析法所得的二階工程最佳參數(shù)相同參數(shù)相同 東北大學自動控制原理課程組50 2 2開環(huán)具有零點的二階系統(tǒng)開環(huán)具有零點的二階系統(tǒng) 二階系統(tǒng)增加一個零點時，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下圖所示。二階系統(tǒng)增加一個零點時，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如下圖所示。 它的開環(huán)傳遞函數(shù)為它的開環(huán)傳遞函數(shù)為)2 . 0()() 15(2 . 0)()(ssasKssasKsWgK東北大學自動控制原理課程組51由下圖知，復平面上的根軌跡是一個圓（證明詳見教材）。由下圖知，復平面上的根軌跡是一個圓（證明詳見教材）。這個圓與實軸的交點即為這個圓與實軸的交點即為

29、分離點和會合點：分離點和會合點： aaas2 . 021aaas2 . 022 本例說明：正向通道內(nèi)適當引進零點，將使根軌跡向左偏移，本例說明：正向通道內(nèi)適當引進零點，將使根軌跡向左偏移，能改善系統(tǒng)動態(tài)品質(zhì)。能改善系統(tǒng)動態(tài)品質(zhì)。時的根軌跡圖時的根軌跡圖 1a 東北大學自動控制原理課程組523. 三階系統(tǒng)三階系統(tǒng) 二階系統(tǒng)附加一個極點的系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下圖所二階系統(tǒng)附加一個極點的系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖如下圖所示。它的開環(huán)傳遞函數(shù)為示。它的開環(huán)傳遞函數(shù)為( )(1)(1)(1)()KKgKWss sTsKs ssa在在 時，分離點為時，分離點為 和和 。因為在。因為在-1-4之間不可能有根軌跡，故分離點應為之

30、間不可能有根軌跡，故分離點應為 。4a 467. 01s87. 22s467. 01s東北大學自動控制原理課程組53當當 時，根軌跡與虛軸交點為時，根軌跡與虛軸交點為對應的根軌跡放大系數(shù)為對應的根軌跡放大系數(shù)為考慮到考慮到 ，于是得臨界開，于是得臨界開環(huán)放大系數(shù)為環(huán)放大系數(shù)為根軌跡繪于右圖。根軌跡繪于右圖。4a 220gKlgKK45420lK本例說明：在二階系統(tǒng)中附加一個極點，隨著本例說明：在二階系統(tǒng)中附加一個極點，隨著 增大，增大，根軌跡會向右變化，并穿過虛軸，使系統(tǒng)趨于不穩(wěn)定。根軌跡會向右變化，并穿過虛軸，使系統(tǒng)趨于不穩(wěn)定。 gK東北大學自動控制原理課程組54 4 4 具有時滯環(huán)節(jié)的系統(tǒng)

31、具有時滯環(huán)節(jié)的系統(tǒng)假設假設, , 時滯系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖所示時滯系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖所示, , 其開環(huán)傳遞函數(shù)為其開環(huán)傳遞函數(shù)為sgKesDsNKsW)()()(閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程式為閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程式為0)()()()(11misignjjsgezsKpsesNKsD東北大學自動控制原理課程組55假設特征根假設特征根 ，則滿足特征根的幅值和輻角條，則滿足特征根的幅值和輻角條件為件為jsgnjjmiiKpszse1)()(11njmiijzsps11)21 ()()(與前面介紹的根軌跡繪制法則相對比可知，時滯系統(tǒng)的與前面介紹的根軌跡繪制法則相對比可知，時滯系統(tǒng)的根軌跡繪制法則根軌跡繪制法則要有所變化。

32、要有所變化。東北大學自動控制原理課程組56 時滯系統(tǒng)的根軌跡繪制法則：時滯系統(tǒng)的根軌跡繪制法則：（1）起點（起點（ ）。當）。當 時，除開環(huán)極點時，除開環(huán)極點 是起點外，是起點外， 也是起點。也是起點。（2）終點（終點（ ）。當）。當 時，除開環(huán)有限零時，除開環(huán)有限零點點 是終點外，是終點外， 也是終點。也是終點。（3）根軌跡數(shù)目及對稱性。根軌跡有無限多條分支。根軌跡數(shù)目及對稱性。根軌跡有無限多條分支。根軌跡對稱于實軸。根軌跡對稱于實軸。（4）實軸上的根軌跡。實軸上根軌跡右側(cè)的開環(huán)零、實軸上的根軌跡。實軸上根軌跡右側(cè)的開環(huán)零、極點之和為奇數(shù)。極點之和為奇數(shù)。gK 0gK 0gK gK jpiz

33、東北大學自動控制原理課程組57（5）分離點與會合點。分離點與會合點。0)()()()( sDsNeesNsDss（6）漸近線。水平線，與虛軸交點為漸近線。水平線，與虛軸交點為N0gK 時，gK 時，2 ,12NnmNnm 為奇數(shù)，為偶數(shù)12N 東北大學自動控制原理課程組58 （7 7）出射角與入射角。）出射角與入射角。 111)(njmiijscnjmiijsr111)(（8）根軌跡與虛軸交點。根軌跡與虛軸交點。11arctanarctan(12 )nmjijipzmiinjjlzjpjK11)()(臨界根軌跡放大系數(shù)臨界根軌跡放大系數(shù) 東北大學自動控制原理課程組59（9）復平面上的根軌跡。復

34、平面上的根軌跡。 由輻角條件，假設由輻角條件，假設 得得0miinjjzsps110)()(例4-6 設系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為設系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 ) 1()()(sseKesDsNKsgsg試繪制其根軌跡。試繪制其根軌跡。東北大學自動控制原理課程組60解解（1）起點起點 為：為： ；其他起點；其他起點為為 ，其漸近線為，其漸近線為 010,1pp (12 )(0,1, 2,) (0)gK 01)2()()( )()()( 2sssDsNsNsNsD （2）終點終點 為：為： ，其漸近線同上。，其漸近線同上。 )(gK（3）在實軸的在實軸的 區(qū)間有根軌跡。區(qū)間有根軌跡。（4）分離點位置按式分離

35、點位置按式（4-25）計算，得計算，得01東北大學自動控制原理課程組61 由此算得由此算得4)2(212s當當 時，得時，得 ， 。因根軌跡位。因根軌跡位于于 間，故分離點是間，故分離點是 。110.382s 22.618s 10.382s （5）根軌跡與虛軸交點。當根軌跡與虛軸交點。當 ， ，得，得 012arctan0.86由此得由此得 對應的臨界根軌跡放大系數(shù)為對應的臨界根軌跡放大系數(shù)為134. 1lK同理可計算同理可計算 時的時的 和和 值值 。根據(jù)以上計算結(jié)根據(jù)以上計算結(jié)果作的根軌跡如下圖所示。果作的根軌跡如下圖所示。 0lK01東北大學自動控制原理課程組62 當滯后時間當滯后時間

36、很小時，根軌跡與虛交點的值很小時，根軌跡與虛交點的值 將很大，臨界根軌跡放大系將很大，臨界根軌跡放大系數(shù)數(shù) 也是很大。這時時滯環(huán)節(jié)的影響減弱。因此，也是很大。這時時滯環(huán)節(jié)的影響減弱。因此，對于滯后時間對于滯后時間 為毫秒級為毫秒級的元件，我們常把它的傳遞函數(shù)近似地認為的元件，我們常把它的傳遞函數(shù)近似地認為 ，即把它等效成為，即把它等效成為一個慣性元件。一個慣性元件。lK11ses東北大學自動控制原理課程組634.2.3 4.2.3 零度根軌跡零度根軌跡 零度根軌跡：根軌跡的輻角條件不是零度根軌跡：根軌跡的輻角條件不是 ，而，而是是 的情況。的情況。 )21 (180 360 圖示系統(tǒng)有一個零點

37、在圖示系統(tǒng)有一個零點在S右半平面，它的傳遞函數(shù)為右半平面，它的傳遞函數(shù)為)()()1 ()1 ()(111psszsKsTssTKsWgakK東北大學自動控制原理課程組64 它的閉環(huán)特征方程式為它的閉環(huán)特征方程式為 0)()()()(11zsKpsssNKsDgggKpsszssDsN1)()()(11亦即亦即 gKpsszssDsN1)()()(11幅值條件幅值條件輻角條件輻角條件minjjipszssDsN11)()()()(11360(0,1,2)mnijij由于輻角條件是偶數(shù)個由于輻角條件是偶數(shù)個 ，故名為零度根軌跡。，故名為零度根軌跡。 東北大學自動控制原理課程組65零度根軌跡的繪制

38、，改變了與幅角有關(guān)的規(guī)則：零度根軌跡的繪制，改變了與幅角有關(guān)的規(guī)則：（1 1）實軸上的根軌跡。實軸上根軌跡右側(cè)的零點、極點之和）實軸上的根軌跡。實軸上根軌跡右側(cè)的零點、極點之和應是偶數(shù)。應是偶數(shù)。（2 2）根軌跡的漸近線。傾角根軌跡的漸近線。傾角 （3 3）根軌跡的出射角與入射角。根軌跡的出射角與入射角。2,(0,1,2,)nm111360nmsrjiji111360nmscjiji入射角入射角出射角出射角東北大學自動控制原理課程組66 例例4-7 4-7 試繪制下圖示系統(tǒng)的根軌跡。試繪制下圖示系統(tǒng)的根軌跡。 解解（1）二個開環(huán)極點：二個開環(huán)極點： ， ； 一個有限零點：一個有限零點： 和一個

39、無限零點。和一個無限零點。 00p111TpaTz11東北大學自動控制原理課程組67 （2）實軸上根軌跡。確定這一系統(tǒng)實軸上軌跡的原則是，它實軸上根軌跡。確定這一系統(tǒng)實軸上軌跡的原則是，它右側(cè)的零、極點數(shù)目之和應是偶數(shù)。因為只有這樣，右側(cè)的零、極點數(shù)目之和應是偶數(shù)。因為只有這樣，才能滿足輻角條件。才能滿足輻角條件。 因此在實軸的因此在實軸的 和和 區(qū)間存在根軌跡。區(qū)間存在根軌跡。（3）分離點與會合點分離點與會合點 分離點與會合點分別為分離點與會合點分別為 110T1aT0)()()()( )()( 111psszsspssDsNsNsD11111aaTsTT21111aaTsTT東北大學自動控

40、制原理課程組68 根軌跡如下圖所示。根軌跡如下圖所示。 不難證明，復平面上的軌跡是一個圓，圓心為有限零不難證明，復平面上的軌跡是一個圓，圓心為有限零點點 ，半徑為，半徑為 。 aTz1111TTa東北大學自動控制原理課程組69 4.2.4 4.2.4 參數(shù)根軌跡參數(shù)根軌跡 參數(shù)根軌跡（或廣義根軌跡）：以參數(shù)根軌跡（或廣義根軌跡）：以 以外的參數(shù)作為變以外的參數(shù)作為變量的根軌跡，稱為參數(shù)根軌跡。量的根軌跡，稱為參數(shù)根軌跡。1. 1. 一個參數(shù)變化的根軌跡一個參數(shù)變化的根軌跡 假設系統(tǒng)的可變參數(shù)是某一時間常數(shù)假設系統(tǒng)的可變參數(shù)是某一時間常數(shù)T T，原特征方程式變，原特征方程式變?yōu)闉間K( )( )

41、( )( )gTTK N sTNsD sDs式中，式中， 、 分別為等效的開環(huán)傳遞函數(shù)分子、分母多項分別為等效的開環(huán)傳遞函數(shù)分子、分母多項式，式，T的位置與原根軌跡放大系數(shù)的位置與原根軌跡放大系數(shù) 完全相同。完全相同。( )TNs( )TDsgK東北大學自動控制原理課程組70 例例4-9 4-9 給定控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為給定控制系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數(shù)為 試作出以為參變量的根軌跡，并利用根軌跡分析取何值時試作出以為參變量的根軌跡，并利用根軌跡分析取何值時閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。解解 閉環(huán)特征方程閉環(huán)特征方程 改寫為改寫為 等效的開環(huán)傳遞函數(shù)為等效的開環(huán)傳遞函數(shù)為 ,0(2)KsaWsassa

42、0) 1() 12(22sassasassa0) 12() 1(1sssa) 12() 1()(sssasWeq該系統(tǒng)在繪制以為該系統(tǒng)在繪制以為 參變量的根軌跡時，應遵循零度根軌跡的繪制規(guī)則。參變量的根軌跡時，應遵循零度根軌跡的繪制規(guī)則。東北大學自動控制原理課程組71相應的根軌跡繪于右圖。相應的根軌跡繪于右圖。由圖可知，當由圖可知，當 時時系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。系統(tǒng)處于臨界穩(wěn)定狀態(tài)。閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的范圍：閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的范圍： 例例4-9 系統(tǒng)的根軌跡系統(tǒng)的根軌跡本例說明，盡管在許多情況下，都是繪制常義根軌跡，但是在本例說明，盡管在許多情況下，都是繪制常義根軌跡，但是在繪制參數(shù)根軌跡、研究正反饋系

43、統(tǒng)、處理非最小相位系統(tǒng)時，繪制參數(shù)根軌跡、研究正反饋系統(tǒng)、處理非最小相位系統(tǒng)時，都有可能遇到繪制零度根軌跡的情形。都有可能遇到繪制零度根軌跡的情形。 1a 10 a東北大學自動控制原理課程組72 2. 幾個參數(shù)變化的根軌跡（根軌跡簇）幾個參數(shù)變化的根軌跡（根軌跡簇） 在某些場合，需要研究幾個參數(shù)同時變化對系在某些場合，需要研究幾個參數(shù)同時變化對系統(tǒng)性能的影響。例如在設計一個校正裝置傳遞函數(shù)統(tǒng)性能的影響。例如在設計一個校正裝置傳遞函數(shù)的零、極點時，就需研究這些零、極點取不同值時的零、極點時，就需研究這些零、極點取不同值時對系統(tǒng)性能的影響。為此，需要繪制幾個參數(shù)同時對系統(tǒng)性能的影響。為此，需要繪制

44、幾個參數(shù)同時變化時的根軌跡，所作出的根軌跡將是一組曲線，變化時的根軌跡，所作出的根軌跡將是一組曲線，稱為根軌跡簇。稱為根軌跡簇。東北大學自動控制原理課程組73例例4-104-10 一單位反饋控制系統(tǒng)如圖所示，試繪制以一單位反饋控制系統(tǒng)如圖所示，試繪制以K和和 為為 參數(shù)的根軌跡。參數(shù)的根軌跡。a解解 系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為系統(tǒng)閉環(huán)特征方程為 20sasK先令先令 ，則上式變?yōu)?，則上式變?yōu)榛驅(qū)懽骰驅(qū)懽?a 20sK210Ks東北大學自動控制原理課程組74令令據(jù)此作出據(jù)此作出 對應的根軌跡，如下圖對應的根軌跡，如下圖a所示。所示。這是這是 時，以時，以K為參變量的根軌跡。為參變量的根軌跡。其次考慮其次

45、考慮 ，把閉環(huán)特征方程改寫為，把閉環(huán)特征方程改寫為 令令12( )KKWss1( )KWs0a 0a 210assK22( )KasWssK東北大學自動控制原理課程組75它的極點為它的極點為 ，零點為，零點為0。不難證明，對應特征方程的根。不難證明，對應特征方程的根軌跡為一圓弧，其方程為軌跡為一圓弧，其方程為 例如令例如令K=9，則，則22( )9KasWss2223下圖下圖b為為K取不同值時所作的根軌跡簇。取不同值時所作的根軌跡簇。3j東北大學自動控制原理課程組76 根軌跡繪出以后，對于一定的根軌跡繪出以后，對于一定的 值，即可利用幅值條值，即可利用幅值條件，確定相應的特征根（閉環(huán)極點）。如

46、果閉環(huán)系統(tǒng)的零件，確定相應的特征根（閉環(huán)極點）。如果閉環(huán)系統(tǒng)的零點是已知的，則可以根據(jù)閉環(huán)系統(tǒng)零、極點的位置以及已點是已知的，則可以根據(jù)閉環(huán)系統(tǒng)零、極點的位置以及已知的輸入信號，分析系統(tǒng)的暫態(tài)特性。知的輸入信號，分析系統(tǒng)的暫態(tài)特性。gK東北大學自動控制原理課程組77 4.3.1 在根軌跡上確定特征根在根軌跡上確定特征根 根據(jù)已知的根據(jù)已知的 值，在根軌跡上確定特征根的位置時，可值，在根軌跡上確定特征根的位置時，可以采用試探法。以采用試探法。 gKgK取試驗點取試驗點 連接連接 與開環(huán)零極點與開環(huán)零極點0s0s東北大學自動控制原理課程組78 對于對于 的系統(tǒng)，可先在實軸上選實驗點，的系統(tǒng)，可先在

47、實軸上選實驗點，找出閉環(huán)實極點后再確定閉環(huán)復極點。找出閉環(huán)實極點后再確定閉環(huán)復極點。例例4-11 系統(tǒng)開環(huán)傳函為系統(tǒng)開環(huán)傳函為試確定試確定 的閉環(huán)極點。的閉環(huán)極點。解解 閉環(huán)特征方程為閉環(huán)特征方程為3nm 14gKKWss ss 1140KgWss ssK10gK 東北大學自動控制原理課程組79 由圖可知：在由圖可知：在 有一實根，設其為有一實根，設其為:11R 實根求法：實根求法：1. 試探法試探法 2. 作圖法作圖法由由140gs ssK求得求得 的一個特征根為的一個特征根為114.6R-=10gK 4 東北大學自動控制原理課程組80 設另外兩個復根為：設另外兩個復根為：由特征方程得由特征

48、方程得:根據(jù)代數(shù)方程根與系數(shù)的關(guān)系有：根據(jù)代數(shù)方程根與系數(shù)的關(guān)系有：可求得二共軛復根可求得二共軛復根:2232RjRj 321231454ggs ssKsssKsRsRsR12312212325,0.24.6 0.20.2,1.46gRRRR R RjjK 2,30.21.46Rj 東北大學自動控制原理課程組81 4.3.2 用根軌跡法分析系統(tǒng)的性能用根軌跡法分析系統(tǒng)的性能用根軌跡法分析控制系統(tǒng)：用根軌跡法分析控制系統(tǒng)： 定性分析穩(wěn)定性分析。定性分析穩(wěn)定性分析。 定量分析暫態(tài)響應分析，定量計算性能指標。定量分析暫態(tài)響應分析，定量計算性能指標。 控制系統(tǒng)的性能是由閉環(huán)零、極點的位置決定的。根軌跡

49、控制系統(tǒng)的性能是由閉環(huán)零、極點的位置決定的。根軌跡是閉環(huán)特征根隨參數(shù)變化的軌跡，根軌跡法分析系統(tǒng)性能的是閉環(huán)特征根隨參數(shù)變化的軌跡，根軌跡法分析系統(tǒng)性能的最最大優(yōu)點大優(yōu)點就是可以就是可以直觀直觀地看出系統(tǒng)參數(shù)變化時，閉環(huán)極點的變化。地看出系統(tǒng)參數(shù)變化時，閉環(huán)極點的變化。選擇適當?shù)膮?shù)，使閉環(huán)極點位于恰當?shù)奈恢?，獲得理想的系選擇適當?shù)膮?shù)，使閉環(huán)極點位于恰當?shù)奈恢茫@得理想的系統(tǒng)性能。統(tǒng)性能。東北大學自動控制原理課程組82(1)(1)閉環(huán)系統(tǒng)有兩個負實極點閉環(huán)系統(tǒng)有兩個負實極點暫態(tài)過程主要決定于離虛軸近的暫態(tài)過程主要決定于離虛軸近的極點。極點。一般當時一般當時 ，可忽略極點，可忽略極點的影響。的

50、影響。 由根軌跡求出閉環(huán)系統(tǒng)極點和零點的位置后，就可以按由根軌跡求出閉環(huán)系統(tǒng)極點和零點的位置后，就可以按第三章所介紹的方法來分析系統(tǒng)的暫態(tài)品質(zhì)。第三章所介紹的方法來分析系統(tǒng)的暫態(tài)品質(zhì)。215RR2R東北大學自動控制原理課程組83 假設假設 不變不變隨著阻尼角隨著阻尼角 的改變，極點將沿著以的改變，極點將沿著以 為半徑的圓弧移動。為半徑的圓弧移動。arccosnn(2) (2) 閉環(huán)極點為一對復極點閉環(huán)極點為一對復極點由由 （或阻尼角（或阻尼角 ）和）和 決定系統(tǒng)的暫態(tài)特性。決定系統(tǒng)的暫態(tài)特性。narccos東北大學自動控制原理課程組84 假設假設 不變不變則隨著則隨著 增大，極點將沿矢量方向延

51、伸。增大，極點將沿矢量方向延伸。n等阻尼線等阻尼線東北大學自動控制原理課程組85 是表征系統(tǒng)指數(shù)衰減的系數(shù)，它決定系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間。是表征系統(tǒng)指數(shù)衰減的系數(shù)，它決定系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間。 有相同有相同 的系統(tǒng)，將有相同的衰減速度和大致相同的調(diào)節(jié)的系統(tǒng)，將有相同的衰減速度和大致相同的調(diào)節(jié)時間。時間。nn等衰減系數(shù)線等衰減系數(shù)線 東北大學自動控制原理課程組86 (3)(3) 閉環(huán)系統(tǒng)有一對復極點外加一個實極點閉環(huán)系統(tǒng)有一對復極點外加一個實極點 系統(tǒng)超調(diào)量減小，調(diào)節(jié)時間增長系統(tǒng)超調(diào)量減小，調(diào)節(jié)時間增長一對復極點和一個實極點一對復極點和一個實極點 當實極點與虛軸的距離比當實極點與虛軸的距離比復極點實部與虛軸的

52、距離復極點實部與虛軸的距離大大5倍以上倍以上時，可以不考時，可以不考慮這一負極點的影響，直慮這一負極點的影響，直接用二階系統(tǒng)的指標來分接用二階系統(tǒng)的指標來分析系統(tǒng)的暫態(tài)品質(zhì)。析系統(tǒng)的暫態(tài)品質(zhì)。東北大學自動控制原理課程組87一對復極點和一個零點一對復極點和一個零點 （4）閉環(huán)系統(tǒng)有一對復極點外加一個零點）閉環(huán)系統(tǒng)有一對復極點外加一個零點 將增大系統(tǒng)超調(diào)量將增大系統(tǒng)超調(diào)量但是，如果但是，如果 ， 則可以不計零點的影響，直接用則可以不計零點的影響，直接用二階系統(tǒng)的指標來分析系統(tǒng)的暫二階系統(tǒng)的指標來分析系統(tǒng)的暫態(tài)品質(zhì)。態(tài)品質(zhì)。10.5,4nz東北大學自動控制原理課程組88 （5）閉環(huán)系統(tǒng)中一對相距很近的實極點和零點稱為）閉環(huán)系統(tǒng)中一對相距很近的實極點和零點稱為偶子。偶子。 偶子對系統(tǒng)暫態(tài)響應的影響很小，可以忽略不計。偶子對系統(tǒng)暫態(tài)響應的影響很小，可以忽略不計。 用根軌跡法分析系統(tǒng)暫態(tài)品質(zhì)的最大優(yōu)點是可以用根軌跡法分析系統(tǒng)暫態(tài)品質(zhì)的最大優(yōu)點是可以看出開環(huán)系統(tǒng)放大系數(shù)（或其它參數(shù)）變化時，系統(tǒng)看出開環(huán)系統(tǒng)放大系數(shù)（或其它參數(shù)）變化時，系統(tǒng)暫態(tài)品質(zhì)怎樣變化。暫態(tài)品質(zhì)怎樣變化。 東北大學自動控制原理課程組89 4.3.3 開環(huán)零點對系統(tǒng)根軌跡的影響開環(huán)零點對系統(tǒng)根軌跡的影響 增加