模糊模式識別課件學(xué)習(xí)PPT

1、5.1 5.2 的基本方法的基本方法5.3 5.4 世界是模糊的世界是模糊的l 現(xiàn)實(shí)世界中有許多界限不分明甚至是很模糊的概念和問題。l 人類自然語言具有模糊性，使用了許多模糊的和不精確的概念。 人們經(jīng)常接受模糊語言與模糊信息，并能做出正確的識別和判斷。例如，個子高和低，天氣熱和冷What Is LostHistoryL. A. Zadeh(1921)扎德扎德 美國控制論專家，美國工程科學(xué)院院士。現(xiàn)任伯克利加利福尼亞大學(xué)電機(jī)工程與計(jì)算機(jī)科學(xué)系教授。因發(fā)展模糊集理論的先驅(qū)性工作而獲電氣與電子工程師學(xué)會(IEEE)的教育勛章。 1965年， L.A. Zadeh在信息與控制雜志第8期上發(fā)表模糊集模糊

2、集“Fuzzy Sets”的論文的論文, 開創(chuàng)了以精確數(shù)學(xué)方法研究模糊概念的模糊數(shù)學(xué)開創(chuàng)了以精確數(shù)學(xué)方法研究模糊概念的模糊數(shù)學(xué)領(lǐng)域，奠定了模糊數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)領(lǐng)域，奠定了模糊數(shù)學(xué)的理論基礎(chǔ)。Lotfi Zadeh, at the University of California at Berkeley, first presented fuzzy logic in the mid-1960s. he introduced the idea of partial set membership.第一節(jié)第一節(jié) 模糊數(shù)學(xué)的基本概念模糊數(shù)學(xué)的基本概念1、集合及其特征函數(shù)：、集合及其特征函數(shù)：（1）集合：）

3、集合： 論域論域E中具有性質(zhì)中具有性質(zhì)P的元素組成的總體稱為集合。的元素組成的總體稱為集合。（2）集合的運(yùn)算：）集合的運(yùn)算： 集合的常用運(yùn)算包括：交（集合的常用運(yùn)算包括：交（）、并（）、并（）、補(bǔ)）、補(bǔ)（3）特征函數(shù)：）特征函數(shù)： （3）特征函數(shù)：）特征函數(shù)： 對于論域?qū)τ谡撚駿上的集合上的集合A和元素和元素x，如有以下函數(shù)：，如有以下函數(shù)：l 特征函數(shù)表達(dá)了特征函數(shù)表達(dá)了元素元素x對集合對集合A的隸屬程度的隸屬程度l 可以用集合來表達(dá)各種概念的精確數(shù)學(xué)定義和各可以用集合來表達(dá)各種概念的精確數(shù)學(xué)定義和各種事物的性質(zhì)種事物的性質(zhì) 的特征函數(shù)的特征函數(shù)為集合為集合則稱則稱當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)AxAxAxxAA

4、, 0, 12、模糊集合、模糊集合（1）概念的模糊性：）概念的模糊性： 許多概念集合具有模糊性，例如：許多概念集合具有模糊性，例如：成績：好、差成績：好、差身高：高、矮身高：高、矮年齡：年輕、年老年齡：年輕、年老頭發(fā)：禿、不禿頭發(fā)：禿、不禿模糊集合模糊集合l 模糊集也有它的元素，每個元素有屬于該模糊集模糊集也有它的元素，每個元素有屬于該模糊集的程度，從低至高一般用的程度，從低至高一般用 0 到到 1 之間的數(shù)表示。之間的數(shù)表示。u在經(jīng)典的集合論中，所謂的二分條件規(guī)定每個元素只能屬于或不屬于某個集合（因此模糊集不是集合）；可以說，每個元素對每個集合的歸屬性（membership）都只能是 0 或

5、 1。l 而模糊集則擁有一個歸屬函數(shù)（而模糊集則擁有一個歸屬函數(shù)（membership function），其值允許取閉區(qū)間），其值允許取閉區(qū)間0,1（單位區(qū)間）（單位區(qū)間）中的任何實(shí)數(shù)，用來表示元素對該集的歸屬程度中的任何實(shí)數(shù)，用來表示元素對該集的歸屬程度。Fuzzy set (figure from Earl Cox)（2）隸屬度函數(shù)：）隸屬度函數(shù)： 如果一個集合的特征函數(shù)如果一個集合的特征函數(shù)A(x)不是不是0,1二值二值取值，而是在閉區(qū)間取值，而是在閉區(qū)間0，1中取值，則中取值，則A(x)是是表示一個對象表示一個對象x隸屬于集合隸屬于集合A的程度的函數(shù)，的程度的函數(shù)，稱為稱為隸屬度函數(shù)

6、隸屬度函數(shù)。l 隸屬度函數(shù)用精確的數(shù)學(xué)方法描述了概念的模隸屬度函數(shù)用精確的數(shù)學(xué)方法描述了概念的模糊性。糊性。 AxAxxAxxAA當(dāng)當(dāng)在一定程度上屬于在一定程度上屬于當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng), 0, 10, 1（3）模糊子集）模糊子集 設(shè)集合A是集合U的一個子集，如對于任意U中的元素x，用隸屬度函數(shù)A(x)來表示x對A的隸屬程度，則稱A是U的一個模糊子集，記為：A=A(xi), xi 模糊子集可以用下式表示模糊子集可以用下式表示： x1,x2,xn 稱為模糊子集稱為模糊子集A的支持點(diǎn)的支持點(diǎn)nnAAAxxxxxxA2211例：在論域例：在論域U中確定一個模糊子集中確定一個模糊子集A，它表示，它表示“圓圓塊塊”

7、這一模糊概念。（如圖）這一模糊概念。（如圖）U =(a,b,c,d,e, f）(a)=1, (b)=0.9, (c)=0.4, (d)=0.2, (e)= (f)=010.90.40.2AabcdabcdefE(i) 論域無限時(shí)由隸屬函數(shù)表出論域無限時(shí)由隸屬函數(shù)表出;(ii) 論域有限時(shí)表出方法如下：論域有限時(shí)表出方法如下：模糊集的分解模糊集的分解3、模糊集合的、模糊集合的水平截集水平截集l 模糊子集模糊子集本身沒有確定邊界本身沒有確定邊界，其，其水平截集有確定水平截集有確定邊界邊界，并且不再是模糊集合，并且不再是模糊集合，而是一個確定集合而是一個確定集合。水水平平截截集集的的稱稱為為模模糊糊

8、子子集集，的的模模糊糊子子集集，則則對對任任意意為為設(shè)設(shè)AxxAxUAA)( 1 , 0l 用用水平集來劃分模糊集水平集來劃分模糊集A為有限個時(shí)，水平集為為有限個時(shí)，水平集為A為無限個時(shí)，水平集為為無限個時(shí)，水平集為例：關(guān)于例：關(guān)于“年青年青”的模糊集為的模糊集為 E=A50, A45, A40 ,A35, A30, A25E中模糊集：中模糊集：A=0/ A50+0.1 / A45 + 0.3/ A40 + 0.5/ A35 + 0.9/ A30 +1 / A25;AAEAA例：年齡的取值集合為 U=50歲,45歲, 40歲 ,35歲,30歲, 25歲模糊集“年青”可表示為： A=0/ 50歲

9、+0.1 / 45歲 + 0.3/40歲 + 0.5/ 35歲 + 0.9/ 30歲 +1/ 25歲A的不同的水平截集為： =0 ， A0 =50歲，45歲, 40歲 ,35歲,30歲, 25歲 =0.1， A0.1 =45歲, 40歲 ,35歲,30歲, 25歲 =0.2， A0.2 =40歲 ,35歲,30歲, 25歲 =0.3， A0.3 =40歲 ,35歲,30歲, 25歲 =0.5， A0.5 =35歲,30歲, 25歲 =0.7， A0.7 =30歲, 25歲 =0.9， A0.9 =30歲, 25歲 =1 ， A1 =25歲125355 . 060 =0.1水平集水平集: A=0

10、.1/A45 + 0.1/A40 + 0.1/A35 + 0.1/A30 +0.1/A25 =0.3水平集水平集: A=0.3/ A40 + 0.3/ A35 + 0.3/ A30 +0.3 / A25 =0.5水平集水平集:A=0.5/ A35 + 0.5/ A30 +0.5 / A25 不同的不同的有不同的模糊集有不同的模糊集A0.1 =A45, A40 ,A35, A30, A25A0.3 =A40 ,A35, A30, A25A0.5 =A35, A30, A25A0.9 =A30, A25一、并集、交集、補(bǔ)集一、并集、交集、補(bǔ)集l 設(shè)：A,B為E =（x）上的兩個模糊集，則它們的并集

11、AB、交集AB、及A的補(bǔ)集 仍為模糊集，則它們的隸屬函數(shù)為：并集并集:A B(x)max(A(x) ,B(x)交集交集: A B(x)min(A(x) ,B(x)補(bǔ)集補(bǔ)集: =1- B(x) , A(x) ,B(x) 分別為分別為A、B的的隸屬函數(shù)隸屬函數(shù)包含：包含：A B， A(x) y圖形表示法：關(guān)系圖圖形表示法：關(guān)系圖矩陣表示法：矩陣表示法：100110111010010110011011101001014321432143214321xxxxyyyyxxxxxxxxRXXRYX上上的的關(guān)關(guān)系系上上的的關(guān)關(guān)系系例：例：U張三，李四，王五張三，李四，王五， V數(shù)學(xué)，英語，政治數(shù)學(xué)，英語，政

12、治則關(guān)系則關(guān)系R（選課）可表示為：（選課）可表示為：101110011 張三 李四 王五數(shù)學(xué)英語政治（3）模糊關(guān)系）模糊關(guān)系 如關(guān)系如關(guān)系R是是UV的一個模糊子集，則稱的一個模糊子集，則稱R為為UV的一個模糊關(guān)系，其隸屬度函數(shù)為的一個模糊關(guān)系，其隸屬度函數(shù)為R(x,y)l 隸屬度函數(shù)隸屬度函數(shù)R(x,y)表示表示x,y具有關(guān)系具有關(guān)系R的程度的程度l 模糊關(guān)系是笛卡兒乘積集的一個子集，是有約束模糊關(guān)系是笛卡兒乘積集的一個子集，是有約束的的p例：例： u為身高為身高， v為體重為體重u= (1.4,1.5,1.6,1.7,1.8 ) （單位（單位m）v = (40, 50, 60, 70, 80

13、) （單位（單位kg）40506070801.410.80.2001.50.810.80.201.60.20.810.80.21.700.20.810.81.8000.20.81v模糊關(guān)系模糊關(guān)系“合乎標(biāo)準(zhǔn)合乎標(biāo)準(zhǔn)”表示為：表示為：（具有關(guān)系具有關(guān)系R的程的程度度）vu),( vuR也可記為：也可記為： 這樣的矩陣（元素介于這樣的矩陣（元素介于0，1之間）稱為之間）稱為模糊模糊矩陣矩陣，即，即模糊關(guān)系模糊關(guān)系。18 .02 .0008 .018 .02 .002 .08 .018 .02 .002 .08 .018 .0002 .08 .01R1、自反性自反性：對：對EE中的模糊關(guān)系中的模糊關(guān)

14、系 ， 為為 內(nèi)的元素，若內(nèi)的元素，若 成立，則成立，則 有自反有自反性。性。2、對稱性對稱性：若對：若對(x,y)EE都有都有則則 有對稱性。矩陣對角線元素對稱，有對稱性。矩陣對角線元素對稱，ij= ji。1000010000100001RRRRR1),(xxR成立),(),(xyyxRRR四、模糊關(guān)系的性質(zhì)四、模糊關(guān)系的性質(zhì)l 具有自反性對稱性的模糊關(guān)系稱為具有自反性對稱性的模糊關(guān)系稱為相似關(guān)系相似關(guān)系（或類似關(guān)系）（或類似關(guān)系）3、傳遞性、傳遞性 若矩陣若矩陣 中中 有有:l 具有自反性、對稱性、傳遞性的模糊關(guān)系稱為具有自反性、對稱性、傳遞性的模糊關(guān)系稱為等價(jià)關(guān)系等價(jià)關(guān)系。R),(yxR

15、222,RRRRRRR RR 其中為元素，為矩陣內(nèi)的元素，稱 具有傳遞性。l 設(shè)：設(shè)：l R與與S的最大最小關(guān)系表示為：的最大最小關(guān)系表示為：l 則則維模糊矩陣是維模糊矩陣是rmsSmnrRikij1,(1,2,., ;1,2,., )mikijjkitrsin kr SRTSRtTik記作的復(fù)合矩陣，對為五、復(fù)合矩陣五、復(fù)合矩陣8.001003.02.04.017.008.008.012.04.03.009.0S17.03.08.08.05.013.07.03.07.04.0SRT3 . 04 . 0108 . 012 . 005 . 03 . 07 . 0102 . 01 . 0Rl解：仿

16、矩陣相乘解：仿矩陣相乘相乘時(shí)取最小，相加時(shí)取最大相乘時(shí)取最小，相加時(shí)取最大。一、一、 統(tǒng)計(jì)法統(tǒng)計(jì)法例如: 確定 S=“幾個”的隸屬函數(shù),10, 2 , 1X論域有人在武漢建材學(xué)院調(diào)查126人,統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)如下:123456789102678124125 12411210810299131.4 隸屬函數(shù)的確定隸屬函數(shù)的確定1隸屬隸屬“幾個幾個”的隸屬頻率為的隸屬頻率為:將將0.2063視為視為1隸屬隸屬 S=“幾個幾個”的隸屬度，的隸屬度，S(1)=0.2063計(jì)算出所有的隸屬頻率即得計(jì)算出所有的隸屬頻率即得S 的隸屬函的隸屬函數(shù)近似為數(shù)近似為:2063. 01262610/1 . 09/78. 0

17、0.81/80.86/70.89/6 5/98. 04/99. 03/98. 02/62. 01/2 . 0Sl 對連續(xù)論域，適當(dāng)選取一些分割點(diǎn)，用統(tǒng)計(jì)方對連續(xù)論域，適當(dāng)選取一些分割點(diǎn)，用統(tǒng)計(jì)方法求得這些分點(diǎn)的隸屬度，用光滑曲線連接，法求得這些分點(diǎn)的隸屬度，用光滑曲線連接，即得隸屬函數(shù)。即得隸屬函數(shù)。l 例如例如: X=0,100，求，求Y=“年輕人年輕人”的隸屬函數(shù)的隸屬函數(shù) 將將X進(jìn)行分割，假定進(jìn)行分割，假定27是一個分點(diǎn)是一個分點(diǎn); 調(diào)查調(diào)查106人，每人給出自己確定的年輕人區(qū)間人，每人給出自己確定的年輕人區(qū)間; 其中其中81個區(qū)間包含個區(qū)間包含27歲，因而歲，因而27歲對年輕人的歲對年

18、輕人的隸屬頻率為隸屬頻率為81/106=0.76；將其作為；將其作為Y(27)。 對每個分點(diǎn)同樣處理，并用光滑曲線連接即得對每個分點(diǎn)同樣處理，并用光滑曲線連接即得Y的隸屬函數(shù)的隸屬函數(shù)二、二、 利用已知隸屬函數(shù)利用已知隸屬函數(shù),確定其中的參數(shù)確定其中的參數(shù)常見的隸屬函數(shù)如下:1.梯形梯形偏小型bxbxaabxbaxxA01)(偏大型bxbxaabaxaxxA10)(Fuzzy Sets (figure from Klir &Yuan)中間型dxdxccdxdcxbbxaabaxaxxA010)(2. 正態(tài)形正態(tài)形偏小型axeaxxAax21)(梯形的一種特殊情形是三角形偏大型axeax

19、xAax211)(中間型2)(axexA3. 拋物形拋物形偏小型bxbxaabxbaxxAk01)(Membership functions (figure from Klir &Yuan)偏大型bxbxaabaxaxxAk10)(中間型dxdxccdxdcxbbxaabaxaxxAkk010)()0( k第二節(jié)第二節(jié) 模糊識別基本方法模糊識別基本方法l模糊模式識別：標(biāo)本或待識別的事物具有模糊模式識別：標(biāo)本或待識別的事物具有模糊性時(shí)，利用模糊數(shù)學(xué)方法處理模式識模糊性時(shí)，利用模糊數(shù)學(xué)方法處理模式識別問題別問題2.1 個體模糊模式識別個體模糊模式識別問題：問題：?, 00應(yīng)相對屬于哪個模式

20、應(yīng)相對屬于哪個模式問問是待識別對象是待識別對象xXx ,21個模式（標(biāo)本）個模式（標(biāo)本）個模糊集，代表個模糊集，代表上的上的是是nnXAAAn、隸屬原則識別法（最大隸屬度識別法）、隸屬原則識別法（最大隸屬度識別法）（1）形式一）形式一 l 設(shè)：設(shè)： A1, A2,. ,An是是U中的中的n個模糊子集，個模糊子集， x0為為U中的一個元素，若有隸屬函數(shù)中的一個元素，若有隸屬函數(shù) i(xo) = max1(xo), 2(xo), . , n(xo) 則則xoAi關(guān)鍵是求隸屬函數(shù)。若有了隸屬函數(shù)關(guān)鍵是求隸屬函數(shù)。若有了隸屬函數(shù) (x)，我們，我們把隸屬函數(shù)作為判別函數(shù)使用即可。把隸屬函數(shù)作為判別函數(shù)

21、使用即可。U中的每一個元素，代表了樣本的一種取值情況，中的每一個元素，代表了樣本的一種取值情況，而而Ai代表了不同的類別代表了不同的類別 例例1：體型判斷這一分類問題中，設(shè)樣本僅有一維特：體型判斷這一分類問題中，設(shè)樣本僅有一維特征，為體型指標(biāo)，分別有征，為體型指標(biāo)，分別有6種取值，取值域?yàn)榉N取值，取值域?yàn)閁5,10,15,20,25,30 ，三種體型類別用模糊子集可以定義為：三種體型類別用模糊子集可以定義為：偏胖偏胖0/5+0.2 /10 + 0.4/15 + 0.6/20 + 0.8/25+ 1/30標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)0.4/5+0.6/10 + 0.8/15 +1/20 + 0.6/25+ 0.4/

22、30偏瘦偏瘦1/5+0.8/10 + 0.6/15 + 0.4/20 + 0.2/25+ 0/30如果某人的體型指標(biāo)為如果某人的體型指標(biāo)為15，則根據(jù)最大隸屬度原，則根據(jù)最大隸屬度原則，可分到則，可分到“標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)”這一類。這一類。（2）形式二）形式二 設(shè)設(shè) A是是U中的中的1個模糊子集，個模糊子集， x1xn為為U中的中的n個個元素，若元素，若A的隸屬度函數(shù)中，的隸屬度函數(shù)中， (xk) =max(x1), (x2),. (xn) 則則A屬于屬于xk對應(yīng)的類別對應(yīng)的類別l U中的每一個元素對應(yīng)了一個類別中的每一個元素對應(yīng)了一個類別l A代表一個樣本，其隸屬度函數(shù)代表了這個樣本代表一個樣本，其隸

23、屬度函數(shù)代表了這個樣本屬于不同類別的程度屬于不同類別的程度l 此法不僅能得到樣本的分類結(jié)果，還可以得到樣此法不僅能得到樣本的分類結(jié)果，還可以得到樣本與各個類間的相似程度排序本與各個類間的相似程度排序例：設(shè)例：設(shè)U為為5種空中飛行目標(biāo)的集合，種空中飛行目標(biāo)的集合，U直升飛直升飛機(jī)，大型飛機(jī)，戰(zhàn)斗機(jī)，飛鳥，氣球機(jī)，大型飛機(jī)，戰(zhàn)斗機(jī)，飛鳥，氣球 ，根據(jù)對，根據(jù)對一個飛行物體的運(yùn)動特征檢測，得到其模糊子集一個飛行物體的運(yùn)動特征檢測，得到其模糊子集表達(dá)為：表達(dá)為：A0.7/直升飛機(jī)直升飛機(jī)+0.3 / 大型飛機(jī)大型飛機(jī) + 0.1/ 戰(zhàn)斗機(jī)戰(zhàn)斗機(jī) + 0.4/ 飛鳥飛鳥 + 0.8/ 氣球氣球根據(jù)最大隸

24、屬度原則，可判斷該飛行物體為根據(jù)最大隸屬度原則，可判斷該飛行物體為“氣氣球球”。 2.2 群體模糊模式識別群體模糊模式識別二、擇近原則識別法二、擇近原則識別法1. 貼近度貼近度 貼近度是兩個模糊子集間互相靠近的程度，理貼近度是兩個模糊子集間互相靠近的程度，理想的貼近度應(yīng)當(dāng)具有以下性質(zhì)：想的貼近度應(yīng)當(dāng)具有以下性質(zhì)：; 1),(1AA）（; 0),(),(2ABBA）（3( )( )( )ABCxUxxx（ ）若對任意有( )( )( )( ,)( ,)ABCxxxA CB C或則有( , ).A BAB則稱為 、 的貼近度l定義：定義：:()()0,1,F XF X設(shè)若 滿足：(1) ( , )

25、1, ( ,)0;A AX (2) ( , )( , );A BB A(3) ,( ,)( , )( ,),ABCA CA BB C時(shí)l 設(shè)A，B為U上的兩個模糊子集，可以將它們之間的貼近度定義為： ”表示求最小?！北硎厩笞钚　！北硎厩笞畲?，“”表示求最大，“符號“符號“UxBAUxBAxxxxBA)()()()(),(例：E=(a,b,c,d,e,f)6.0)6.01(8.021)(6.0)6.04.0()8.06.0()18.0()8.01()6.08.0()4.06.0(8.0)6.04.0()8.06.0()18.0()8.01()6.08.0()4.06.0(6.08.018.06.

26、04.04.06.08.018.06.0BABABAfedcbaBfedcbaA貼近度2. 擇近原則識別法 設(shè)U上有n個模糊子集A1, A2,. ,An及另一模糊子集 B。若貼近度l 樣本和類都用模糊子集來表示l 取值范圍U中的每個元素代表了一個特征維度.),(max),(1類類則則最貼近最貼近與與則稱則稱iijnjiABABABAB例：某氣象臺對于當(dāng)日氣象條件的晨練指數(shù)預(yù)報(bào)分為三級，是用模糊集的方式，依據(jù)氣溫、風(fēng)力、污染程度三個指標(biāo)來決定的，具體隸屬度關(guān)系見下表： 晨練指數(shù)級別對“標(biāo)準(zhǔn)氣溫”隸屬度對“標(biāo)準(zhǔn)風(fēng)力”隸屬度對“有污染”的隸屬度適宜晨練0.70.90.2可以晨練0.50.60.6不適

27、宜晨練0.40.50.8l 某天的氣象條件用模糊集合來表達(dá)為： B=0.8/標(biāo)準(zhǔn)氣溫+0.7/標(biāo)準(zhǔn)風(fēng)力+0.5/有污染請問：該天的晨練指數(shù)應(yīng)該預(yù)報(bào)為哪一級？ l 解：用a來代表“標(biāo)準(zhǔn)氣溫”，b代表“標(biāo)準(zhǔn)風(fēng)力”，c代表“有污染”，則該天的氣象條件可表示為：B=0.8/a+0.7/b+0.5/c用A1表示“適宜晨練”，A2表示“可以晨練”，A3表示“不適宜晨練”，則各晨練指數(shù)級別可表示為：A10.7/a+0.9/b+0.2/cA20.5/a+0.6/b+0.6/cA30.4/a+0.5/b+0.8/c分別求B和A1、A2、A3的貼近度A10.7/a+0.9/b+0.2/c B=0.8/a+0.7/

28、b+0.5/c/V: (0.7+0.7+0.2)/(0.8+0.9+0.5) =0.727A20.5/a+0.6/b+0.6/c B=0.8/a+0.7/b+0.5/c/V: (0.5+0.6+0.5)/(0.8+0.7+0.6) =0.762A30.4/a+0.5/b+0.8/c B=0.8/a+0.7/b+0.5/c/V: (0.4+0.5+0.5)/(0.8+0.7+0.8) =0.608B和A2的貼近度最大，根據(jù)擇近識別原則，BA2該天的晨練指數(shù)應(yīng)該預(yù)報(bào)為“可以晨練”。第三節(jié)第三節(jié) 模糊聚類分析模糊聚類分析 1、基于模糊等價(jià)關(guān)系的聚類方法、基于模糊等價(jià)關(guān)系的聚類方法 （1）等價(jià)關(guān)系）等

29、價(jià)關(guān)系 設(shè)設(shè)R是是Ux上一個關(guān)系，若滿足：上一個關(guān)系，若滿足：（a）自反性：）自反性： (x,x) R（b）對稱性：）對稱性： 若若(xi，xj) R，則有，則有(xj，xi) R（c）傳遞性：若）傳遞性：若(xi，xj) R和和(xj，xk) R ，則，則有有(xi，xk) R 則稱則稱R是是U上一個等價(jià)關(guān)系。上一個等價(jià)關(guān)系。l 當(dāng)當(dāng)U上有一個等價(jià)關(guān)系上有一個等價(jià)關(guān)系R時(shí)，并不是時(shí)，并不是U中所有元中所有元素都有等價(jià)關(guān)系，而是素都有等價(jià)關(guān)系，而是U中的元素可以按等價(jià)關(guān)中的元素可以按等價(jià)關(guān)系分成若干類。系分成若干類。 （2）模糊等價(jià)關(guān)系）模糊等價(jià)關(guān)系 設(shè)設(shè)R是是Ux上一個模糊關(guān)系，若滿足：上一

30、個模糊關(guān)系，若滿足：（a）自反性：）自反性： R(x,x) 1（b）對稱性：）對稱性： R (xi，xj)R (xj，xi)（c）傳遞性：）傳遞性： 對于任意對于任意xj U，有有R (xi，xk) (R (xi，xj) R (xj，xk) 則稱則稱R是是U上一個模糊等價(jià)關(guān)系。上一個模糊等價(jià)關(guān)系。l不具有傳遞性的模糊關(guān)系稱為模糊相似關(guān)系，可不具有傳遞性的模糊關(guān)系稱為模糊相似關(guān)系，可通過求通過求R2，R4，R8來獲得一個逼近模糊等價(jià)來獲得一個逼近模糊等價(jià)關(guān)系的模糊關(guān)系。關(guān)系的模糊關(guān)系。（3）等價(jià)關(guān)系定理：）等價(jià)關(guān)系定理： 若若R是是U上的一個模糊等價(jià)關(guān)系。則對任意閾值上的一個模糊等價(jià)關(guān)系。則對任

31、意閾值(0 1)則水平截集則水平截集R也是也是U上的一個等價(jià)關(guān)上的一個等價(jià)關(guān)系。系。l 水平集：水平集： R = x | R(x)（4）基于模糊等價(jià)關(guān)系的聚類）基于模糊等價(jià)關(guān)系的聚類 利用等價(jià)關(guān)系定理，已知樣本集利用等價(jià)關(guān)系定理，已知樣本集X上的模糊等價(jià)上的模糊等價(jià)關(guān)系關(guān)系R，則可通過，則可通過R的不同的不同水平截集得到多種等水平截集得到多種等價(jià)類劃分，也就實(shí)現(xiàn)了樣本集在不同隸屬度要求價(jià)類劃分，也就實(shí)現(xiàn)了樣本集在不同隸屬度要求下的聚類。下的聚類。例：設(shè)例：設(shè)X x1、x2、x3、x4、 x5 ，有一個模糊，有一個模糊等價(jià)關(guān)系等價(jià)關(guān)系R為：為： 543215432116.05.04.05.06.

32、015.04.05.05.05.014.08.04.04.04.014.05.05.08.04.01xxxxxRxxxxx取取0.4，得到水平截集為：，得到水平截集為： 此時(shí)所有樣本等價(jià)，屬于一類；此時(shí)所有樣本等價(jià)，屬于一類； 11111111111111111111111114 . 0R取取0.5，得到水平截集為：，得到水平截集為： x聚為二類即聚為二類即x1,x3,x4, x5 x211101111011110100010111015.0R取取0.6，得到水平截集為：，得到水平截集為： 此時(shí)聚成三類，此時(shí)聚成三類，x1,x3、x4, x5 和和x2110001100000101000100

33、01016 . 0R取取0.8，得到水平截集為：，得到水平截集為： 此時(shí)聚成四類，此時(shí)聚成四類，x1,x3、x4、x5 和和x2 10000010000010100010001018.0R取取1，得到水平截集為：，得到水平截集為： 此時(shí)聚成五類，每個樣本自成一類，此時(shí)聚成五類，每個樣本自成一類，即 x1 x2 x3 x4 x5 10000010000010000010000011R2. 模糊聚類算法模糊聚類算法1. 設(shè)設(shè)x是要分類的對象全體，建立是要分類的對象全體，建立x上的模糊關(guān)系上的模糊關(guān)系R。它滿足自反性、對稱性，即：。它滿足自反性、對稱性，即：ii1，ij ji ，此模糊關(guān)系為相似關(guān)系

34、。，此模糊關(guān)系為相似關(guān)系。2. 把相似關(guān)系（相似矩陣）把相似關(guān)系（相似矩陣） 變成等價(jià)關(guān)系方法為變成等價(jià)關(guān)系方法為： 取取R的乘冪為的乘冪為R2，R4，R844822422kk,.RRRRRRRRRRRRR就是模糊等價(jià)關(guān)系。且則若在某一步有3. 選擇適當(dāng)選擇適當(dāng)值，取等價(jià)關(guān)系值，取等價(jià)關(guān)系R的的水平集，根據(jù)水平集，根據(jù)水平集確定樣本的類別。水平集確定樣本的類別。例：設(shè)例：設(shè)Xx1,x2,x5五個人的集合。五個人的集合。x1為父親，為父親，x2為兒子，為兒子，x3為女兒，為女兒，x4為叔叔，為叔叔，x5為母親，為母親，x上的模糊關(guān)系上的模糊關(guān)系 R表示他們間的相象關(guān)系。表示他們間的相象關(guān)系。R滿

35、足自反性滿足自反性ii1， 、對稱性、對稱性 ij ji，但是不但是不滿足傳遞性。滿足傳遞性。是相似關(guān)系，改造成等價(jià)關(guān)系是相似關(guān)系，改造成等價(jià)關(guān)系其中其中ij表示第表示第i個人個人xi與第與第j個人個人xj的面貌相似程度。的面貌相似程度。11 .09 .085.02 .01 .0102 .01 .09 .0018 .06 .085.02 .08 .018 .02 .01 .06 .08 .01R1x2x1x2x3x4x5x3x4x5x求模糊等價(jià)關(guān)系的算法求模糊等價(jià)關(guān)系的算法nnnjnninijiinjR.2121111211設(shè)設(shè)R為相似關(guān)系為相似關(guān)系222122212121211.2nnnjn

36、inijinjRRRRRRRRRRRR222122331ijijijRijijRijijRijk計(jì)算的算法如下：）若是第 行最大元素，則，否則轉(zhuǎn)到 ），）若是第 列最大元素，則，否則轉(zhuǎn)到 ），）置初值24,6),.5)5,min(,)6 .6?7)14)7max8ijikikijikijkjijkjijkikkjijkRkijbknknkkib）第 行上元素與比較 若轉(zhuǎn)取下一元素 若轉(zhuǎn)）第 列上相應(yīng)元素，與比較 若則令，否則轉(zhuǎn) ）問若轉(zhuǎn)否則令轉(zhuǎn)取第 行下一元素與比較）結(jié)束。11.09.085.02.01.0102.01.09.0018.06.085.02.08.018.02.01.06.08.01R1x2x1x2x3x4x5x3x4x5x210.80.80.20.80.810.850.20.850.80.85