解延拓定理PPT課件

1、 ,fx y yx 0 xxh 10 xxh 11,x y1Q 10yxh ）10h 11xxh 11,xy yx 111xxxx 處處有有的每一點(diǎn)，有以其為中心的完全包含在于G內(nèi)的閉矩形R存在，在R上 關(guān)于y滿足Lipschitz條件設(shè)方程（4.2.1）的解已經(jīng)定義在區(qū)間上，取，然后以為中心做（即圖（4.2.1）中的點(diǎn)，一個(gè)小的矩形，使它連同其邊界都包含在區(qū)域G的內(nèi)部。運(yùn)用第4.1節(jié)中的存在唯一性定理，知道存在，使得在區(qū)間上，方程的解，且在（4.2.1）有過，由于唯一性，顯然第1頁/共35頁0 x0y00-xh00+xh =yx 1QxyR11+xh第2頁/共35頁 yx yx 111xhx

2、x xx 111xxxh yx 0 xxh yx 001,xh xhh 00001,xxhxxhyxxhxxhh 解和解都有定義，在區(qū)間上，。但在區(qū)間上，解仍有定義，我們把上的解向右方的延拓，這樣我們就在區(qū)間上確定方程的一個(gè)解 它看成是原來定義在區(qū)間即將解擴(kuò)大到較大的區(qū)間001xhxxh h 上述解的延拓辦法可以繼續(xù)進(jìn)行，最后我們可以得到一個(gè)解 yx 它已經(jīng)不能再向左右方延拓了第3頁/共35頁1.可延拓解與不可延拓解的定義定義4.2.1對(duì)于定義在平面 上的一個(gè)區(qū)域（即連通的開集）G中的微分方程2R00,=dyf x yy xydx（4.2.1）設(shè) 是方程（4.2.1）定義于區(qū)間 yx11, 內(nèi)

3、的一個(gè)解，若存在方程（4.2.1）的一個(gè)解 ，在區(qū)間 內(nèi)有定義，并且滿足 yx22, 22112211111,2,.xxx ，但；當(dāng)時(shí)第4頁/共35頁則稱解 是可延拓的，并且稱 11,yxx yx yx22,是 在 上的一個(gè)延拓。 倘若不存在滿足上述條件的解 ，則稱解 為方程（4.2.1）的不可延拓解，或飽和解。此時(shí)把不可延拓解的定義區(qū)間 稱為一個(gè)飽和區(qū)間。 yx 11,yxx 11, 第5頁/共35頁2. 不可延拓解的存在性定理4.2.1 如果 上連續(xù)，且對(duì)y滿足局部李普希茲條件，則對(duì)任何 初值問題（4.2.1）存在唯一不可延拓解。定義4.2.1（局部李普希茲條件）設(shè) 定義在開區(qū)間 上，如果

4、對(duì)于D上任意一點(diǎn) 都存在以 為中心，完全屬于D的閉矩形域R，使得 在R上關(guān)于y滿足李普希茲條件，則稱 在D上關(guān)于y滿足局部李普希茲條件。2,fx yDR在區(qū)域00,x yD,f x y2DR00,x y00,x y,f x y,f x y第6頁/共35頁證明定理4.2.1 在 內(nèi)應(yīng)用解的存在唯一性定理，知存在 使解在 上存在唯一，令 得點(diǎn) 以其為中心，再做 在其上再用存在唯一性定理，重復(fù)以上過程，直到 再不能向右延拓了，這時(shí)的 一定是開區(qū)間。3 不可延拓解的形狀由定理4.2.1，初值問題（4.2.1）一定存在不可延拓解0 xx設(shè)，1R0h0000-,+x h xh 1000=+xxh 1110

5、0,y,P x2,R =,yxx , =,yxx 第7頁/共35頁那么，當(dāng) 時(shí)，解具有什么特征？引理4.2.1 設(shè) 是有界開區(qū)域， 且對(duì)y滿足局部李普希茲條件，如果 是初值問題（4.2.1）的一個(gè)不可延拓解，那么當(dāng) 時(shí)，證明 首先證明下面極限存在只證一邊即可，另一邊同理。+0-0 xx和20DR,f x y0,Df x yM在上連續(xù)有界 設(shè)， =,yxx +0-0 xx或 00.xxDD，趨于的邊界 +0-0+0 = lim;-0 = lim.xxxx 第8頁/共35頁用柯西收斂準(zhǔn)則來證明?？挛魇諗繙?zhǔn)則 時(shí)，總有證明引理4.2.1 設(shè) 是初值問題（4.2.1）的解，由等價(jià)性知其滿足積分方程對(duì)于

6、任意 有 lim0,0,xaf x存在對(duì)任意存在使當(dāng)12- ,- x ax a12-0,2M取則當(dāng)12- ,-0,使得解可以延拓到區(qū)間 上，這與 是不可延拓解 的存在區(qū)間的右端點(diǎn)相矛盾，因此同理可證+0 -0 0,-0.D 0,-0D 是 =yx, +h x0,-0.D 0,+0.D 第11頁/共35頁定理4.2.2 如果 在有界或無界區(qū)域 上連續(xù)，且對(duì)y滿足局部李普希茲條件，那么對(duì)任意 初值問題（4.2.1）的不可延拓解 ，那么當(dāng) 時(shí)，定理4.2.2與引理4.2.1的區(qū)別在于D的有界性證明 做有界區(qū)域當(dāng)D為平面有界區(qū)域時(shí)，只要取 為D的邊界 的內(nèi)側(cè)領(lǐng)域即可。20DR,f x y0012-+1

7、=1,2,=1,2,;,+nnnnnDnx yDDDDDDnDDn 使且 =,yxx .xxDD，趨于 的邊界00,x yD+0 x-0 x和nDD第12頁/共35頁當(dāng)D為無界區(qū)域時(shí)，可取D與閉圓域?qū)τ趨^(qū)域 由引理4.2.1，積分曲線 可以達(dá)到區(qū)域?qū)τ?再次利用引理4.2.1，積分曲線又可以達(dá)到 如此繼續(xù)下去，在積分曲線上得到兩個(gè)點(diǎn)列又因?yàn)?所以 也趨于D的邊界222:+, n=1,2,=, n=1,2,+nnnnSxynDSDDDn 的交集，11,DDD由于 =yx111DAB的邊界點(diǎn) 和 ，2D =yx222DAB的邊界點(diǎn)和。nnAB和 ，,=1,2,.nnnABDn、,+,nDDnnnA

8、B和.D第13頁/共35頁使用延拓定理時(shí)的幾點(diǎn)注意：1. 不可延拓解的存在區(qū)間定義右行解： 方向的延拓解， 左行解： 方向的延拓解。推論4.2.1 定理4.2.2中的右行不可延拓解的存在區(qū)間必為下列情形之一：（1）（2） 解曲線上的點(diǎn)與區(qū)域短點(diǎn)的距離等于零，b為有限數(shù)。0 xx0 xx0,+ );x 0 xb-0, ), lim= ,x bx xb-0lim,=0dxxD第14頁/共35頁（1）x =yxy0,+ );x0 x第15頁/共35頁 12 0 xb-0, ), lim= .x bxb =yx0 x第16頁/共35頁 22 0 xb-0, ), lim= .x bxd, b db =

9、yxD第17頁/共35頁x =yxy0 x 32bD 0 xb-0, ), limx bx不存在。第18頁/共35頁,f x y2. 與解存在區(qū)間的關(guān)系例1 討論方程通過（1.1）的解和通過（3-1）的解的存在區(qū)間。解 在全平面上連續(xù)，因此滿足解的延拓定理的區(qū)域是方程的通解是 2=dyydx2,=,=2yyfx yyfx y2=.D R1=,-yCC x是積分常數(shù)。第19頁/共35頁通過（1,1）的解是通過（3，-1）的解是1=,- ,2 .2-yxx1=,2,+.2-yxx2第20頁/共35頁此例說明，盡管 在整個(gè)平面 上滿足延拓定理的條件，即方程的任一解可以任意接近平面的邊界，但方程解的定

10、義區(qū)間卻未必是3.整體解存在的條件 （在全軸或半軸上存在的解）當(dāng) 滿足什么條件時(shí)，能夠保證方程的所有解或一些解的存在區(qū)間為,f x y2R=,dyf x ydx-+，。,f x y=,dyf x ydx-+，。第21頁/共35頁保證解整體存在的幾個(gè)條件（充分條件）（1）兩個(gè)解的限制條件；（2）一個(gè)解和 定號(hào)性限制條件；（3） 有界性限制條件。例2 在方程中，已知 上連續(xù)。且求證 對(duì)任意 方程滿足 的解 的存在區(qū)間必為 ,f x y,f x y =dyf xydx -+f xy，在，1 =0.001xy 和，00=y xy y x-+.，第22頁/共35頁分析：本題為限制條件（1）的情形。證明

11、顯然方程的右端函數(shù)在取按平面上連續(xù)，因此方程滿足解的存在唯一性定理?xiàng)l件和解的延拓條件的區(qū)域是全平面。又 是常數(shù)解，任取它們都在 上有定義。 ,=,=yF x yf xyFx yf xy=1y0-+,x ，00=1=-1=1=-1yyyy若或，其對(duì)應(yīng)的解是或，-+，第23頁/共35頁若 記過這點(diǎn)的解為y(x)，那么y(x)一方面可以向平面的無窮遠(yuǎn)無限延拓，另一方面這個(gè)解y(x) 上不能穿過 下不能穿過否則與解的唯一性矛盾，故存在區(qū)間為例3 在方程中，若 上連續(xù)可微，且滿足 01,y=+1,y=-1y。-+，。 =dyfydx -+fy在， 0,0yfyy 第24頁/共35頁求證對(duì)平面上任一點(diǎn)的解

12、必在 上存在。分析：此題屬于限制條件（2）的情形證明 顯然方程在全平面時(shí)滿足解的存在唯一及延拓定理的條件。又因?yàn)閒(y)連續(xù)，且可知 這意味著 是解。并且有取0000,=x yy xy方程滿足0,+ )x 0,0yfyy 0 =0,f=0y =0,yfyy當(dāng) =0, 0.yfyy當(dāng)000- ,+,0,+- ,0 xyy或第25頁/共35頁記過由上面的分析可知解 單調(diào)下降又不能下穿y=0（x軸），且又要無限遠(yuǎn)離原點(diǎn)，那么該解的存在區(qū)間必為 00,=.x yy y x的解為 =y y x0,+ ).x =y y x00,x y第26頁/共35頁例4 設(shè) 在整個(gè)平面上連續(xù)且有界，對(duì)y有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，

13、證明方程的任一解 在區(qū)間 上有定義。分析：此題屬于限制性條件（3）的情形證明 方程在全平面上滿足解的存在唯一及延拓定理的條件，任取平面上的一點(diǎn)記過這點(diǎn)的解為y(x),它滿足方程,f x y=,dyf x ydx =yx-+，00,x y 00 x=+,xy xyfyd第27頁/共35頁用反證法。若解的存在區(qū)間不是 則存在使得y(x)只能在 上存在。于是，由即y=y(x)在 上有界，從而0,+ ),x0 ,+ ),x0, )x 00 x00001+,+M-+M-=xy xyfydyx xyxM0, )x -0lim+xy x第28頁/共35頁說明推論4.4.1的情形 不會(huì)發(fā)生；又因?yàn)榉匠逃叶撕瘮?shù)

14、在全平面上滿足延拓定理的條件且有界，從而推論4.2.1的情形也不會(huì)發(fā)生，因此解的存在區(qū)間只能是同理可證左行解的存在區(qū)間是 12 2322和0,+ ).x0(+ ,.x第29頁/共35頁2dyydx 例4.2.1 試討論微分方程通過點(diǎn)（1，1）的解和通過（3，-1）的解的存在區(qū)間。 解 此時(shí)區(qū)域G是整個(gè)平面。方程的通解為第30頁/共35頁1ycx 12yx 20 xy 時(shí)時(shí)， ,2 12yx 20 xy 時(shí)，時(shí)， 2, 0y 其中C是積分常數(shù)。則通過點(diǎn)（1，1）的積分曲線為它向左方可以無限延拓，而當(dāng)所以其存在區(qū)間為。見圖（4.2.3）。 它向左不能無限延拓，其存在區(qū)間為這個(gè)方程只有解可以向左右兩個(gè)方向無限延拓。通過點(diǎn)（3，-1）的積分曲線也為所以第31頁/共35頁例4.2.1 討論微分方程212dyydx （ln2，-3）的解的存在區(qū)間。解 此方程右端函數(shù)在整個(gè)xOy平面上解的存在唯一性定理和解的延拓性定理的條件。容易確定此方程的通解為 圖4.2.3的通過點(diǎn)（0，0）、第32頁/共35頁