半導(dǎo)體物理_第二章

1、 第二章第二章 固體理論概要固體理論概要本章學(xué)習(xí)要點：本章學(xué)習(xí)要點：1. 1. 了解半導(dǎo)體物理中用到的基本量子力學(xué)原理，主要了解半導(dǎo)體物理中用到的基本量子力學(xué)原理，主要 結(jié)論，結(jié)論，包括能量量子化和幾率波的概念包括能量量子化和幾率波的概念，以便更好，以便更好 地理解晶體中的電子特性；地理解晶體中的電子特性；2. 2. 建立半導(dǎo)體的能帶理論；建立半導(dǎo)體的能帶理論；3. 3. 掌握掌握k k空間能帶圖，電子的有效質(zhì)量，空穴的概念；空間能帶圖，電子的有效質(zhì)量，空穴的概念；4. 4. 掌握量子態(tài)密度與電子能量之間的函數(shù)關(guān)系；掌握量子態(tài)密度與電子能量之間的函數(shù)關(guān)系；5. 5. 掌握費米狄拉克分布函數(shù)，由

2、此確定電子占據(jù)一掌握費米狄拉克分布函數(shù)，由此確定電子占據(jù)一 個量子態(tài)的幾率與電子能量之間的函數(shù)關(guān)系個量子態(tài)的幾率與電子能量之間的函數(shù)關(guān)系, ,費米費米 能級。能級。2.1 2.1 量子力學(xué)原理量子力學(xué)原理三個基本的量子力學(xué)原理三個基本的量子力學(xué)原理1. 1. 能量量子化能量量子化實驗現(xiàn)象：光電效應(yīng)，采用單一頻率的入射光照射到實驗現(xiàn)象：光電效應(yīng)，采用單一頻率的入射光照射到金屬材料的表面上，則會有光電子激發(fā)出來。金屬材料的表面上，則會有光電子激發(fā)出來。光強一定時，激發(fā)出的光電子光強一定時，激發(fā)出的光電子的最大動能與入射光的頻率成的最大動能與入射光的頻率成線性關(guān)系，且當(dāng)入射光的頻率線性關(guān)系，且當(dāng)入射

3、光的頻率低于某個臨界頻率時，則無論低于某個臨界頻率時，則無論光強多大，都不會有光電子激光強多大，都不會有光電子激發(fā)出來。發(fā)出來。光電效應(yīng)采用經(jīng)典理論無法解釋。愛因斯坦引入光電效應(yīng)采用經(jīng)典理論無法解釋。愛因斯坦引入“光子光子”的概念，成功解釋了光電效應(yīng)，臨界頻率的概念，成功解釋了光電效應(yīng)，臨界頻率則對應(yīng)于金屬材料的則對應(yīng)于金屬材料的功函數(shù)。功函數(shù)。( (金屬中的價電子逸出金屬中的價電子逸出體外，需要外界對它做的功體外，需要外界對它做的功) )2. 2. 波粒二象性原理波粒二象性原理 光電效應(yīng)表明光波具有粒子（光子）的特性光電效應(yīng)表明光波具有粒子（光子）的特性，電電磁波的康普頓效應(yīng)實驗也驗證了光子

4、在與電子之間的磁波的康普頓效應(yīng)實驗也驗證了光子在與電子之間的相互作用滿足能量和動量守恒。相互作用滿足能量和動量守恒。那么粒子是否也具有那么粒子是否也具有波動的特性呢波動的特性呢？ 19241924年德布羅意提出物質(zhì)波的假說，即各種微觀年德布羅意提出物質(zhì)波的假說，即各種微觀粒子也同時具有波動特性，此即波粒二象性原理。粒子也同時具有波動特性，此即波粒二象性原理。 實驗現(xiàn)象：電子的雙縫干涉實驗表明實驗現(xiàn)象：電子的雙縫干涉實驗表明，電子電子（粒粒子子）也具有）也具有波動波動的特性的特性。（19271927年，戴維遜和革末）年，戴維遜和革末）3.3.不確定原理不確定原理 不確定原理的首要觀點是對同一粒子

5、不可能同時不確定原理的首要觀點是對同一粒子不可能同時確定其坐標(biāo)和動量。如果動量的不確定度為確定其坐標(biāo)和動量。如果動量的不確定度為 ，而坐標(biāo)的不確定度為而坐標(biāo)的不確定度為 ，則不確定關(guān)系為：，則不確定關(guān)系為：pxxp 對于具有對于具有特定動量特定動量的電子，在任意時刻，其位置的電子，在任意時刻，其位置是不能確定的，只能由幾率函數(shù)給出。是不能確定的，只能由幾率函數(shù)給出。2.2 2.2 能量量子化與幾率波的概念能量量子化與幾率波的概念 能量量子化和波粒二象性原理都無法應(yīng)用經(jīng)典能量量子化和波粒二象性原理都無法應(yīng)用經(jīng)典力學(xué)的理論來解釋，力學(xué)的理論來解釋，19261926年薛定諤提出了微觀粒子年薛定諤提出

6、了微觀粒子的波動力學(xué)理論。穩(wěn)態(tài)情況下，不含時間的薛定諤的波動力學(xué)理論。穩(wěn)態(tài)情況下，不含時間的薛定諤方程可以表示為：方程可以表示為： 其中其中E E是微觀粒子總的能量，假設(shè)其為常數(shù)，是微觀粒子總的能量，假設(shè)其為常數(shù)，V(xV(x) )為微觀粒子的勢能，為微觀粒子的勢能，m m是微觀粒子的質(zhì)量。是微觀粒子的質(zhì)量。反映電子在原胞內(nèi)運動的。的分布幾率是一樣原胞的相應(yīng)位置，電子明在每個周期性調(diào)制的振幅，表振幅為任意晶格矢，又因為(x)(x) ),()(nnaaxx化運動。體中的共有反映的是電子在整個晶而)(t自由電子的波函數(shù)為：自由電子的波函數(shù)為：tEjAe(x)/(氫原子模型示意圖氫原子模型示意圖對于

7、氫原子模型這樣的三維波函數(shù)問題，除了主量對于氫原子模型這樣的三維波函數(shù)問題，除了主量子數(shù)子數(shù)n n之外，還必須引入另外量子數(shù)，即：軌道角量之外，還必須引入另外量子數(shù)，即：軌道角量子數(shù)子數(shù)L L和磁量子數(shù)和磁量子數(shù)m m，這些量子數(shù)之間的關(guān)系為：，這些量子數(shù)之間的關(guān)系為：n=1, 2, 3, . ,n=1, 2, 3, . ,L=n-1, n-2, n-3, ., 3, 2, 1, 0L=n-1, n-2, n-3, ., 3, 2, 1, 0|m|=L, L-1, L-2, . , 2, 1, 0|m|=L, L-1, L-2, . , 2, 1, 0每一組量子數(shù)對應(yīng)于電子可以占據(jù)的一個量子態(tài)

8、。每一組量子數(shù)對應(yīng)于電子可以占據(jù)的一個量子態(tài)。在氫原子模型中，薛定諤波動方程的解可表示為：在氫原子模型中，薛定諤波動方程的解可表示為：其中其中n n、L L、m m為一組量子數(shù)。為一組量子數(shù)。當(dāng)當(dāng)n=1n=1、l=0l=0、m=0m=0時，波函數(shù)為：時，波函數(shù)為：該波函數(shù)是球?qū)ΨQ的，其中的該波函數(shù)是球?qū)ΨQ的，其中的a a0 0為：為：a a0 0稱為玻爾半徑稱為玻爾半徑（起源于經(jīng)典理論中的玻爾原子理論）。（起源于經(jīng)典理論中的玻爾原子理論）。電子的徑向幾率密度函數(shù)，即在距離原子核一定間距范圍內(nèi)找到電子的幾率，既正比于乘積 ，同時也正比于環(huán)繞原子核的一個球殼的微分體積。左圖給出了氫原子模型中最低能

9、態(tài)上電子的幾率密度分布函數(shù)。從圖中可見，當(dāng)r=ar=a0 0時，電子的分布幾率最大。當(dāng)當(dāng)n=2n=2、l=0l=0、m=0m=0時，對應(yīng)的高能態(tài)球?qū)ΨQ波函數(shù)時，對應(yīng)的高能態(tài)球?qū)ΨQ波函數(shù)的的徑向幾率密度函數(shù)如下圖所示：徑向幾率密度函數(shù)如下圖所示：2.3 2.3 固體的量子理論固體的量子理論 在上一節(jié)關(guān)于氫原子模型的討論中，看到在上一節(jié)關(guān)于氫原子模型的討論中，看到束縛束縛電子的能級是量子化的，只能取一系列分立的數(shù)值，電子的能級是量子化的，只能取一系列分立的數(shù)值，而電子的空間位置則是由徑向幾率分布密度函數(shù)決而電子的空間位置則是由徑向幾率分布密度函數(shù)決定。定。在這一節(jié)中我們將把上述有關(guān)單個原子的結(jié)論在

10、這一節(jié)中我們將把上述有關(guān)單個原子的結(jié)論推廣到整個晶體材料中，從而形成晶體材料中的允推廣到整個晶體材料中，從而形成晶體材料中的允許帶和禁帶的概念。許帶和禁帶的概念。1. 能帶的形成能帶的形成 左圖為單個原子的電子云徑向密度分布，右圖左圖為單個原子的電子云徑向密度分布，右圖則是當(dāng)兩個原子靠近之后，二者的電子云發(fā)生重疊，則是當(dāng)兩個原子靠近之后，二者的電子云發(fā)生重疊，此時兩個不同原子的電子之間產(chǎn)生相互作用，導(dǎo)致此時兩個不同原子的電子之間產(chǎn)生相互作用，導(dǎo)致原來相同的兩個能級發(fā)生分裂。原來相同的兩個能級發(fā)生分裂。 下圖所示為兩個氫原子靠得很近之后，原來下圖所示為兩個氫原子靠得很近之后，原來相同的兩個相同的

11、兩個1s1s能級就會發(fā)生分裂，變成兩個離能級就會發(fā)生分裂，變成兩個離散的能級。散的能級。如圖所示為大量相同的原子靠得很近形成晶體材料如圖所示為大量相同的原子靠得很近形成晶體材料之后，原來相同的電子能級就會發(fā)生分裂，變成一之后，原來相同的電子能級就會發(fā)生分裂，變成一系列離散的能級，系列離散的能級，這些離散的能級形成能帶這些離散的能級形成能帶，其中，其中的的r r0 0代表平衡狀態(tài)下晶體中的原子間距。代表平衡狀態(tài)下晶體中的原子間距。圖示為大量包含多個電子的原子靠得很近形成晶體圖示為大量包含多個電子的原子靠得很近形成晶體材料之后，原來相同的電子能級發(fā)生分裂的情況。材料之后，原來相同的電子能級發(fā)生分裂

12、的情況。 原子靠近原子靠近電子云發(fā)生重疊電子云發(fā)生重疊電子之間存在相互作用電子之間存在相互作用分立分立的能級發(fā)生分裂形成能帶。從另外一方面來說，這也是泡利不相的能級發(fā)生分裂形成能帶。從另外一方面來說，這也是泡利不相容原理所要求的。容原理所要求的。大量硅原子形成硅晶體材料的情況：大量硅原子形成硅晶體材料的情況：（1 1）單獨硅原子的電子能級示意圖；）單獨硅原子的電子能級示意圖；(2)(2)大量硅原子（大量硅原子（N N）形成硅晶體的電子能級分裂示）形成硅晶體的電子能級分裂示意圖意圖硅晶體形成過程中發(fā)生的硅晶體形成過程中發(fā)生的spsp3 3軌道雜化，最終形成填軌道雜化，最終形成填滿電子的價帶和完全

13、沒有電子的導(dǎo)帶，二者之間為滿電子的價帶和完全沒有電子的導(dǎo)帶，二者之間為禁帶寬度禁帶寬度EgEg。溫度升高時，共價鍵中的個別電子可能會獲得足夠溫度升高時，共價鍵中的個別電子可能會獲得足夠大的能量，從而克服共價鍵的束縛，進入導(dǎo)帶。大的能量，從而克服共價鍵的束縛，進入導(dǎo)帶。能帶圖：縱坐標(biāo)為能量，橫坐標(biāo)為空間位置。能帶圖：縱坐標(biāo)為能量，橫坐標(biāo)為空間位置。各個分各個分裂出來的能級都位于導(dǎo)帶和價帶之中，導(dǎo)帶底裂出來的能級都位于導(dǎo)帶和價帶之中，導(dǎo)帶底E EC C和價和價帶頂帶頂E EV V之間的能量差為禁帶寬度之間的能量差為禁帶寬度E Eg g。隨著溫度的升高，。隨著溫度的升高，導(dǎo)帶中的電子和價帶中的空位數(shù)

14、都會增加。導(dǎo)帶中的電子和價帶中的空位數(shù)都會增加。3. 3. 晶體材料中電子與空穴的有效質(zhì)量晶體材料中電子與空穴的有效質(zhì)量電子在晶體材料中的運動與電子在自由空間的運動有電子在晶體材料中的運動與電子在自由空間的運動有很大的差別，晶體中的電子除了受到外力之外，還會很大的差別，晶體中的電子除了受到外力之外，還會受到來自晶體內(nèi)部各種帶電粒子以及周期性勢場的作受到來自晶體內(nèi)部各種帶電粒子以及周期性勢場的作用。用。Eddkm222*mKE *m*m, ,根據(jù)定義，根據(jù)定義，是狀態(tài)的函數(shù)，其值取決于是狀態(tài)的函數(shù)，其值取決于該狀態(tài)下的該狀態(tài)下的帶頂，帶底附近有效質(zhì)量才近似為常數(shù)帶頂，帶底附近有效質(zhì)量才近似為常數(shù)

15、。帶底：帶底：0000關(guān)系。關(guān)系。帶頂：帶頂：以后方便期間，以后方便期間，*一般省略。一般省略。晶體中的電子，除了受外力作用外，還受到復(fù)雜的周晶體中的電子，除了受外力作用外，還受到復(fù)雜的周期場的作用力，采用期場的作用力，采用 就可以得出外力就可以得出外力F F和加速和加速度度a a的簡單關(guān)系，而把復(fù)雜的周期場力包括到的簡單關(guān)系，而把復(fù)雜的周期場力包括到 中去了，從而可以將晶體中的電子視為經(jīng)典粒子，將中去了，從而可以將晶體中的電子視為經(jīng)典粒子，將其規(guī)律等效為自由電子的運動規(guī)律，使問題大大簡化其規(guī)律等效為自由電子的運動規(guī)律，使問題大大簡化的意義：的意義：*m*m*m4. 4. 帶電載流子帶電載流子

16、電子與空穴電子與空穴 半導(dǎo)體材料中可以用來傳導(dǎo)電流的微觀粒子稱為載半導(dǎo)體材料中可以用來傳導(dǎo)電流的微觀粒子稱為載流子，包含電子和空穴兩大類。流子，包含電子和空穴兩大類。（1 1）電子）電子 我們關(guān)心的主要是位于我們關(guān)心的主要是位于導(dǎo)帶底部導(dǎo)帶底部的這些可以在電的這些可以在電場作用下做定向運動并能夠傳導(dǎo)電流的電子。電子場作用下做定向運動并能夠傳導(dǎo)電流的電子。電子電流密度可以表示為：電流密度可以表示為：iv是是E E引起的電子速度的引起的電子速度的改變量改變量。對于每個電子，由。對于每個電子，由于受到散射，于受到散射， 不同，但大量電子不同，但大量電子 的平均值的平均值 在一定外場下是確定的。在一定

17、外場下是確定的。Dviviv假定平均自由時間為假定平均自由時間為 ,則：則： ttmeEtavnD從而從而EmtnevnenD020 價帶中大量電子的電流，原則上也可用上面的方法價帶中大量電子的電流，原則上也可用上面的方法求，但計算相當(dāng)復(fù)雜且求，但計算相當(dāng)復(fù)雜且 不為常數(shù)，所以實際上不不為常數(shù)，所以實際上不可能。所以引入了可能。所以引入了“空穴空穴”的概念。的概念。nm（2 2）空穴）空穴 假設(shè)半導(dǎo)體材料中價帶頂部的空位濃度為假設(shè)半導(dǎo)體材料中價帶頂部的空位濃度為P P0 0 , ,價帶中全部電子在價帶中全部電子在E E作用下產(chǎn)生的電流密度為作用下產(chǎn)生的電流密度為J Jp p, ,若將空態(tài)全部填

18、滿電子，這些電子（若將空態(tài)全部填滿電子，這些電子（m mn n0EC，mn*為導(dǎo)帶中為導(dǎo)帶中電子的態(tài)密度有效質(zhì)量電子的態(tài)密度有效質(zhì)量。而對于價帶中的空穴來說，則其態(tài)密度分布為：而對于價帶中的空穴來說，則其態(tài)密度分布為：其中，其中，EEV，mp*為價帶中為價帶中空穴的態(tài)密度有效質(zhì)量空穴的態(tài)密度有效質(zhì)量。mkEEC22 當(dāng)當(dāng)EVEEC時，則為禁帶時，則為禁帶,在此能量區(qū)間在此能量區(qū)間g(E)=0導(dǎo)帶中導(dǎo)帶中電子的態(tài)密度分布函數(shù)電子的態(tài)密度分布函數(shù)gC(E)和價帶中空穴的態(tài)密度分布和價帶中空穴的態(tài)密度分布函數(shù)函數(shù)gV(E)隨著能量隨著能量E的變化的變化關(guān)系關(guān)系.當(dāng)電子的態(tài)密度有效質(zhì)當(dāng)電子的態(tài)密度有效

19、質(zhì)量與空穴的態(tài)密度有效質(zhì)量量與空穴的態(tài)密度有效質(zhì)量相等時，二者則關(guān)于禁帶中相等時，二者則關(guān)于禁帶中心線相對稱。心線相對稱。2.5 統(tǒng)計力學(xué)簡介統(tǒng)計力學(xué)簡介在處理有關(guān)大量微觀粒子的系統(tǒng)時，在處理有關(guān)大量微觀粒子的系統(tǒng)時，我們關(guān)心的主我們關(guān)心的主要是大量微觀粒子所表現(xiàn)出的規(guī)律，而不是具體某要是大量微觀粒子所表現(xiàn)出的規(guī)律，而不是具體某個微觀粒子的特性。個微觀粒子的特性。關(guān)心的是微觀粒子在不同能級關(guān)心的是微觀粒子在不同能級上的分布情況上的分布情況1.統(tǒng)計規(guī)律：統(tǒng)計規(guī)律：（1）麥克斯韋玻爾茲曼統(tǒng)計分布函數(shù)；）麥克斯韋玻爾茲曼統(tǒng)計分布函數(shù)； 不同微觀粒子之間相互可以區(qū)分，每個能態(tài)上所不同微觀粒子之間相互可

20、以區(qū)分，每個能態(tài)上所允許存在的粒子數(shù)量不受限制。允許存在的粒子數(shù)量不受限制。主要適用于經(jīng)典粒子主要適用于經(jīng)典粒子的能量分布，例如在一個低壓密閉容器中的氣體分子的能量分布，例如在一個低壓密閉容器中的氣體分子就遵循麥克斯韋玻爾茲曼統(tǒng)計分布規(guī)律。就遵循麥克斯韋玻爾茲曼統(tǒng)計分布規(guī)律。（2）費米狄拉克統(tǒng)計分布函數(shù)；）費米狄拉克統(tǒng)計分布函數(shù)；不同微觀粒子之間相互無法區(qū)分，并且每個量子態(tài)上不同微觀粒子之間相互無法區(qū)分，并且每個量子態(tài)上只允許存在的一個微觀粒子。只允許存在的一個微觀粒子。費米子，服從泡利不相費米子，服從泡利不相容原理，例如，晶體中的電子就遵循費米狄拉克統(tǒng)容原理，例如，晶體中的電子就遵循費米狄拉

21、克統(tǒng)計分布規(guī)律。計分布規(guī)律。2. 費米狄拉克分布函數(shù)與費米能級：費米狄拉克分布函數(shù)與費米能級： 晶體中的電子遵循費米狄拉克統(tǒng)計分布規(guī)律。晶體中的電子遵循費米狄拉克統(tǒng)計分布規(guī)律。費米狄拉克統(tǒng)計分布函數(shù)為：費米狄拉克統(tǒng)計分布函數(shù)為：上式中，上式中，N(E)為單位體積的晶體材料中，單位能量間為單位體積的晶體材料中，單位能量間隔區(qū)間內(nèi)存在的隔區(qū)間內(nèi)存在的微觀粒子數(shù)量微觀粒子數(shù)量，g(E)為單位體積的晶為單位體積的晶體材料中，單位能量間隔區(qū)間內(nèi)所具有的體材料中，單位能量間隔區(qū)間內(nèi)所具有的量子態(tài)數(shù)量量子態(tài)數(shù)量。fF(E)就稱作費米狄拉克統(tǒng)計分布函數(shù)，就稱作費米狄拉克統(tǒng)計分布函數(shù)，它反映的是它反映的是能量為能量為E的一個量子態(tài)被一個電子占據(jù)的幾率。而的一個量子態(tài)被一個電子占據(jù)的幾率。而EF則稱為費米能級。則稱為費米能級。費米狄拉克統(tǒng)計分布函數(shù)為：費米狄拉克統(tǒng)計分布函數(shù)為：T=0K時的費米狄拉克統(tǒng)計分布函數(shù)：時的費米狄拉克統(tǒng)計分布函數(shù)：如下圖所示。在如下圖所示。在T=0K條件下，當(dāng)條件下，當(dāng)EEF時，時，fF(E)=0；注意：費米能級注意：費米能級EF反映的是電子在不同能態(tài)